第04講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的關(guān)系(原卷版+解析)

第4講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系考點(diǎn)一：二次函數(shù)與方程的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)睛】求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①當(dāng)求拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)→則令拋物線的y=0，即：ax2+bx+c=0；②當(dāng)求拋物線與直線y＝kx+n的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)→則聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，得，先求x，[即]，再代入直線解析式求y，(x,y)的對(duì)應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)求拋物線與水平直線y＝m的交點(diǎn)是→則聯(lián)立兩個(gè)解析式，得，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入拋物線解析式求y，(x,y)的對(duì)應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；判斷拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)→ax2+bx+c=0△=b2-4ac，∴有：△＞0，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝0，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＜0，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)；②求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n交點(diǎn)個(gè)數(shù)→整理得：，∴有：△＞0，拋物線與直線y＝kx+n有2個(gè)交點(diǎn)；△＝0，拋物線與直線y＝kx+n有1個(gè)交點(diǎn)；△＜0，拋物線與直線y＝kx+n無(wú)交點(diǎn)；③求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與水平直線y＝m交點(diǎn)個(gè)數(shù)→整理得：，后續(xù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)方法同上。一元二次方程ax2+bx+c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y＝ax2+bx+c，“=”右邊的部分看作水平直線y＝n，則方程ax2+bx+c=n即在兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值就是方程的解?！绢愵}訓(xùn)練】1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④A．4 B．3 C．2 D．1?2．若拋物線y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）個(gè)單位后，在﹣1＜x＜4范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0＜m≤7 D．2≤m＜73．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小王同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2+2x﹣3|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1 B．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值是4 C．當(dāng)x＝﹣3或x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值是0 D．當(dāng)﹣1＜x＜1或x＜﹣3時(shí)，函數(shù)值隨值的增大而減小4．拋物線交x軸于O（0，0），A兩點(diǎn)，將C1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，交x軸于另一點(diǎn)A1；將C2繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，交x軸于另一點(diǎn)A2；…，如此進(jìn)行下去，形成如圖所示的圖象，則下列各點(diǎn)在圖象上的是（）A．（2022，1） B．（2022，﹣1） C．（2023，1） D．（2023，﹣1）5．拋物線y＝﹣x2+bx+3的部分圖象如圖所示，則一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣36．拋物線y＝x2+2x+a﹣2與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或37．關(guān)于x的方程x2+bx﹣c＝0的兩根分別是x1＝﹣1，x2＝3，若點(diǎn)A是二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象與y軸的交點(diǎn)，過(guò)A作AB⊥y軸交拋物線于另一交點(diǎn)B，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．38．如表中列出的是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：x…﹣1012…y﹣12…下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圖象開(kāi)口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2） C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小 D．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)9．二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是（）A．有1個(gè)交點(diǎn) B．有2個(gè)交點(diǎn) C．無(wú)交點(diǎn) D．無(wú)法確定10．某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯(cuò)了其中的一個(gè)y值，那么這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣111．二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．若關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解．則t的取值范圍是（）A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥012．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值為：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象從左到右上升 B．拋物線開(kāi)口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣2與﹣1之間 D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝113．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫(xiě)出下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最大值是4；⑥若點(diǎn)P（a，b）在該圖象上，則當(dāng)b＝3時(shí)，可以找到4個(gè)不同的點(diǎn)P．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．614．已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x215．拋物線y＝﹣（x+2）2+6與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是．16．二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（m，0），（n，0），則m2+3n﹣mn的值是．17．已知P（x1，1），Q（x2，1）兩點(diǎn)都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝．18．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，0）和（1，﹣8），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，求△ABC的面積；（3）在拋物線y＝x2+bx+c上是否存在一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合）使S△ABP＝S△ABC，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．19．如圖所示，拋物線y＝ax2﹣4ax+5與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)．?（1）求二次函數(shù)解析式；（2）當(dāng)直線y＝﹣x+b與AP這段函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍；（3）點(diǎn)M（t﹣1，m）、N（t+1，n）在拋物線上，若﹣1＜t＜2，求m﹣n的取值范圍．20．定義：若一個(gè)函數(shù)圖象存在橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”．例如，求函數(shù)y＝x﹣2圖象的“和零點(diǎn)”．解：∵“和零點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴“和零點(diǎn)”在函數(shù)y＝﹣x的圖象上，∴，解得．∴函數(shù)y＝x﹣2圖象的“和零點(diǎn)”是（1，﹣1）．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1）求函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”；（2）若函數(shù)y＝x2﹣3x+k圖象存在唯一的一個(gè)“和零點(diǎn)”，求k的值；（3）如圖，點(diǎn)A，B是函數(shù)y＝﹣x2+4x+6圖象的“和零點(diǎn)”，點(diǎn)C是函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．連接AB，AD，BD，求△ABD的面積．21．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x＝﹣3，直線l的解析式為y＝﹣2x+b．（1）當(dāng)直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的值；（2）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)C時(shí)，l與y軸交于點(diǎn)D，把拋物線沿線段CD方向向右下平移，使拋物線的頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)D處，在平移過(guò)程中，設(shè)拋物線上A，C兩點(diǎn)之間這一段曲線掃過(guò)的面積為S，求S的值．考點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一元一次不等式間的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)睛】利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和上下關(guān)系，直接確定不等式的解集常見(jiàn)關(guān)系如下：①ax2+bx+c＞0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；②ax2+bx+c＜0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；【類題訓(xùn)練】1．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞52．如圖，拋物線y＝x2+1與雙曲線y＝的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式x2+1＜的解集是（）A．x＞1 B．x＜0 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜03．已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a，b是常數(shù)a≠0，b＜0），其對(duì)稱軸是，下列結(jié)論：①拋物線開(kāi)口向下；②拋物線y＝ax2+bx+2必過(guò)兩定點(diǎn)；③不等式ax2+bx＞2的解集是x＜0；④設(shè)方程ax2+bx﹣2b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+2x1?x2+x2＝1．則其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．34．已知二次函數(shù)和y2＝（x﹣a）（x﹣b）且ab≠0，（）A．若﹣1＜x＜1，a＞，則y1＞y2 B．若x＜1，a＞，則y1＞y2 C．若﹣1＜x＜1，，則y1＜y2 D．若x＜﹣1，，則y1＜y25．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2）和（0，3）兩點(diǎn)之間（包含端點(diǎn)）．下列結(jié)論中正確的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根分別為，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④6．已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、B（4，2），則不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是．7．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是．8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足表：x…﹣101234…y…﹣6n2﹣3﹣6﹣11…（1）觀察表格，n的值為．（2）不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集為．9．如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是．10．如圖，直線y1＝﹣x+b與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是．11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與y軸相交于正半軸，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＞0；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有a﹣at2＜bt+b；③若點(diǎn)P（t﹣1，y1）Q（t，y2）在拋物線上，當(dāng)時(shí)，y1＞y2；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2．其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）．12．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點(diǎn)．（1）求b的值；（2）求△ABC的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．13．已知拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）．（1）請(qǐng)求出拋物線對(duì)稱軸及A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)y＞0時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+3a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）．（1）若函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）求y0的最大值；（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)1≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)的最大值為最小值的3倍，若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．15．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B，根據(jù)圖象解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根；（2）求二次函數(shù)的解析式；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，請(qǐng)寫(xiě)mx+n≥ax2+bx+c的解集．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+mx與直線y＝﹣x+b（m、b均為常數(shù)）交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B．（1）求m和b的值；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫(xiě)出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；（3）點(diǎn)M是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N在點(diǎn)M正下方（即MN∥y軸），且MN＝2，若線段MN與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM的取值范圍．

第4講二次函數(shù)與一元二次方程、不等式間的關(guān)系考點(diǎn)一：二次函數(shù)與方程的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)睛】求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①當(dāng)求拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)→則令拋物線的y=0，即：ax2+bx+c=0；②當(dāng)求拋物線與直線y＝kx+n的交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)→則聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，得，先求x，[即]，再代入直線解析式求y，(x,y)的對(duì)應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；③當(dāng)求拋物線與水平直線y＝m的交點(diǎn)是→則聯(lián)立兩個(gè)解析式，得，先求x，[即ax2+bx+c=m];再代入拋物線解析式求y，(x,y)的對(duì)應(yīng)值即為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)；判斷拋物線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)于拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n、水平直線y＝m:①求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)→ax2+bx+c=0△=b2-4ac，∴有：△＞0，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝0，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＜0，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)；②求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝kx+n交點(diǎn)個(gè)數(shù)→整理得：，∴有：△＞0，拋物線與直線y＝kx+n有2個(gè)交點(diǎn)；△＝0，拋物線與直線y＝kx+n有1個(gè)交點(diǎn)；△＜0，拋物線與直線y＝kx+n無(wú)交點(diǎn)；③求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與水平直線y＝m交點(diǎn)個(gè)數(shù)→整理得：，后續(xù)求交點(diǎn)個(gè)數(shù)方法同上。一元二次方程ax2+bx+c=n的解的幾何意義將“=”左邊的部分看作拋物線y＝ax2+bx+c，“=”右邊的部分看作水平直線y＝n，則方程ax2+bx+c=n即在兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以交點(diǎn)橫坐標(biāo)的值就是方程的解?！绢愵}訓(xùn)練】1．方程2x2﹣3x﹣4＝0的解，可看成以下兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④A．4 B．3 C．2 D．1?【分析】由兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)的解析式組成的方程組的解，由此判斷即可．【解答】解：①、把y＝3x代入到y(tǒng)＝2x2﹣4得，3x＝2x2﹣4，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴①符合題意；②、把y＝4代入到y(tǒng)＝2x2﹣3x得，4＝2x2﹣3x，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴②符合題意；③、把y＝3x+4代入到y(tǒng)＝2x2得，3x+4＝2x2，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴③符合題意；④、把代入到y(tǒng)＝2x﹣3得，，整理得：2x2﹣3x﹣4＝0，∴方程2x2﹣3x﹣4＝0的解可看成這兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴④符合題意；故選：A．2．若拋物線y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）個(gè)單位后，在﹣1＜x＜4范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（）A．m≥2 B．0＜m≤2 C．0＜m≤7 D．2≤m＜7【分析】先求出平移后的函數(shù)解析式，分別求出拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，0），（4，0）時(shí)m的值，進(jìn)而求解即可．【解答】解：將拋物線y＝﹣x2+4x﹣2向上平移m（m＞0）個(gè)單位后得到y(tǒng)＝﹣x2+4x﹣2+m，∵y＝﹣x2+4x﹣2+m在﹣1＜x＜4范圍內(nèi)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴當(dāng)（﹣1，0）在拋物線上時(shí)，0＝﹣1﹣4﹣2+m，解得m＝7；當(dāng)（4，0）在拋物線上時(shí)，0＝﹣16+16﹣2+m，解得m＝2；∴2≤m＜7．故選：D．3．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小王同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2+2x﹣3|的圖象（如圖所示），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1 B．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值是4 C．當(dāng)x＝﹣3或x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值是0 D．當(dāng)﹣1＜x＜1或x＜﹣3時(shí)，函數(shù)值隨值的增大而減小【分析】觀察圖象，分別計(jì)算出對(duì)稱軸、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象逐個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可．【解答】解：觀察圖象可知，圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線，故A正確，不符合題意；令丨x2+2x﹣3丨＝0，可得x2+2x﹣3＝0，∴（x﹣1）（x+3）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3，∴（1，0）和（﹣3，0）是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由圖象可知，當(dāng)x＜﹣3時(shí)，函數(shù)值隨x的減小而增大，當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而增大，由圖象可知（﹣1，0）和（3，0）是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)最小值是0，故C正確，不符合題意；綜合來(lái)看：y＝丨x2+2x﹣3丨≥0，所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)的函數(shù)值為4并非最大值，故B錯(cuò)誤，符合題意；∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，∴當(dāng)﹣1≤x≤1或x＜﹣3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而減小，故D正確，不符合題意；綜上，只有B錯(cuò)誤；故選：B．4．拋物線交x軸于O（0，0），A兩點(diǎn)，將C1繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C2，交x軸于另一點(diǎn)A1；將C2繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C3，交x軸于另一點(diǎn)A2；…，如此進(jìn)行下去，形成如圖所示的圖象，則下列各點(diǎn)在圖象上的是（）A．（2022，1） B．（2022，﹣1） C．（2023，1） D．（2023，﹣1）【分析】根據(jù)拋物線的旋轉(zhuǎn)，找到圖象的循環(huán)特征，由循環(huán)特性分別找到當(dāng)x＝2022、x＝2023時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)行判定即可．【解答】解：由已知y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，則拋物線C1的頂點(diǎn)為（1，﹣1），由旋轉(zhuǎn)可知，拋物線C2的頂點(diǎn)為（3，1），則拋物線C2解析式為：y＝﹣（x﹣3）2+1，由題意可知，題干中的復(fù)合圖象，每4個(gè)單位循環(huán)一次，由2022＝505×4+2可知，x＝2022的函數(shù)值等于x＝2時(shí)的函數(shù)值，∴x＝2時(shí)，y＝22﹣2×2＝0，由2023＝505×4+3可知，x＝2023的函數(shù)值等于x＝3時(shí)的函數(shù)值，∴x＝3時(shí)，y＝﹣（3﹣3）2+1＝1，故可知，點(diǎn)（2023，1）在圖象上．故選：C．5．拋物線y＝﹣x2+bx+3的部分圖象如圖所示，則一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝1，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣3【分析】解法一：觀察圖象可得拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可求解．解法二：直接利用跟與系數(shù)的關(guān)系即可求解．解法三：將（1，0）代入拋物線解析式中，求出b，再令y＝0，求解即可．【解答】解：解法一：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），∴拋物線的另外一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為x1＝1，x2＝﹣3．故選：D．解法二：由圖象可設(shè)一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為x1＝1，x2，則x1x2＝﹣3，解得：x2＝﹣3，∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為x1＝1，x2＝﹣3．故選：D．解法三：將（1，0）代入拋物線解析式中得﹣1+b+3＝0，∴b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，則﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴一元二次方程﹣x2+bx+3＝0的根為x1＝1，x2＝﹣3．故選：D．6．拋物線y＝x2+2x+a﹣2與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的值為（）A．3 B．2 C．2或﹣3 D．2或3【分析】拋物線必定與y軸有一交點(diǎn)，另一交點(diǎn)為x軸，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系求解．【解答】解：拋物線y＝x2+2x+a﹣2與坐標(biāo)軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，與y軸一個(gè)交點(diǎn)．令y＝0得x2+2x+a﹣2＝0，∵與x軸一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，∴Δ＝4﹣4（a﹣2）＝0，解得a＝3，當(dāng)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)與y軸交點(diǎn)相重合時(shí)，此時(shí)a﹣2＝0，∴a＝2，故選：D．7．關(guān)于x的方程x2+bx﹣c＝0的兩根分別是x1＝﹣1，x2＝3，若點(diǎn)A是二次函數(shù)y＝x2+bx﹣c的圖象與y軸的交點(diǎn)，過(guò)A作AB⊥y軸交拋物線于另一交點(diǎn)B，則AB的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．3【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出b、c的值，從而求出二次函數(shù)的解析式，令x＝0，得y＝﹣3，根據(jù)AB⊥y軸，得AB∥y軸，得B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3，從而求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵x1＝﹣1，x2＝3，∴x1+x2＝﹣b＝2，x1x2＝﹣c＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），∵AB⊥y軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為﹣3，將y＝﹣3代入y＝x2+2x﹣3得：﹣3＝x2+2x﹣3，解得：x1＝0，x2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣3），∴AB＝2．故選：C．8．如表中列出的是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中x與y的幾組對(duì)應(yīng)值：x…﹣1012…y﹣12…下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圖象開(kāi)口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2） C．當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小 D．這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)【分析】先根據(jù)函數(shù)上的點(diǎn)畫(huà)出函數(shù)的圖象，再根據(jù)圖象判斷求解．【解答】解：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)畫(huà)出函數(shù)的圖象為：由圖象得：A、B、C都是正確的，故選：D．9．二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸的交點(diǎn)情況是（）A．有1個(gè)交點(diǎn) B．有2個(gè)交點(diǎn) C．無(wú)交點(diǎn) D．無(wú)法確定【分析】根據(jù)判別式Δ＞0，得出結(jié)論．【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c，∵c＞0，∴9+8c＞0，∴Δ＞0，∴二次函數(shù)y＝2x2﹣3x﹣c（c＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選：B．10．某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)，列出了下面的表格：x……﹣2﹣1012……y……﹣10﹣3﹣4﹣3……由于粗心，他算錯(cuò)了其中的一個(gè)y值，那么這個(gè)錯(cuò)誤的數(shù)值是（）A．﹣3 B．﹣4 C．0 D．﹣1【分析】假設(shè)三點(diǎn)（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，利用待定系數(shù)法求得解析式，然后判斷其他兩點(diǎn)可得答案．【解答】解：假設(shè)三點(diǎn)（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）在函數(shù)圖象上，把（0，﹣3），（1，﹣4），（2，﹣3）代入函數(shù)解析式得：，解得，函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝0，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝5，故選：D．方法二：解：假設(shè)函數(shù)經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（2，﹣3），則對(duì)稱軸為直線x＝1，此時(shí)y＝﹣4，函數(shù)值最小，∴函數(shù)開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減小，而表格中，x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1，由題意不符，故選：D．11．二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．若關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解．則t的取值范圍是（）A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．可以求得n的值，再根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到t的取值范圍．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．∴（﹣4）2﹣4×1×n＝0，解得n＝4，∴二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝2，圖象開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∴當(dāng)x＝5時(shí)，y＝9，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∵關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解．∴0≤t＜9，故選：B．12．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，y與x的部分對(duì)應(yīng)值為：x…﹣2﹣1012…y…﹣1232？…關(guān)于此函數(shù)的圖象和性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象從左到右上升 B．拋物線開(kāi)口向上 C．方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣2與﹣1之間 D．當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，開(kāi)口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A，B，；x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1；x＝﹣1時(shí)，y＝2即可判斷C，D．【解答】解：∵x＝﹣1和x＝1時(shí)的函數(shù)值相同，都是2，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝0，∴拋物線的頂點(diǎn)為（0，3），∴y＝3是函數(shù)的最大值，∴拋物線的開(kāi)口向下，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，即當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象從左到右下降，所以A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤；∵x＝﹣2時(shí)，y＝﹣1；x＝﹣1時(shí)，y＝2，∴方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根在﹣2與﹣1之間，所以C正確，D錯(cuò)誤．綜上所述：其中正確的結(jié)論有C．故選：C．13．我們定義一種新函數(shù)：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．小麗同學(xué)畫(huà)出了“鵲橋”函數(shù)y＝|x2﹣2x﹣3|的圖象（如圖所示），并寫(xiě)出下列結(jié)論：①圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②圖象具有對(duì)稱性，對(duì)稱軸是直線x＝1；③當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大；④當(dāng)x＝﹣1或x＝3時(shí)，函數(shù)的最小值是0；⑤當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)的最大值是4；⑥若點(diǎn)P（a，b）在該圖象上，則當(dāng)b＝3時(shí)，可以找到4個(gè)不同的點(diǎn)P．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由函數(shù)解析式分別令y＝0及x＝0，可求得曲線與x軸及y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可對(duì)①作出判定；根據(jù)y＝x2﹣2x﹣3或y＝﹣（x2﹣2x﹣3）知，它們的對(duì)稱軸為直線x＝1，再由圖象可分別對(duì)②③④⑤作出判斷；根據(jù)函數(shù)解析式求得當(dāng)b＝3時(shí)的自變量的值，從而可對(duì)⑥作出判斷．【解答】解：令y＝|x2﹣2x﹣3|＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），令x＝0，得y＝3，即圖象與y軸的交點(diǎn)為（0，3），即圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（﹣1，0），（3，0）和（0，3），故①正確；由y＝x2﹣2x﹣3或y＝﹣（x2﹣2x﹣3）知，它們的對(duì)稱軸為直線x＝1，故②正確；根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)﹣1≤x≤1或x≥3時(shí)，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故③正確；函數(shù)圖象的最低點(diǎn)就是與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)y＝0，求出相應(yīng)的x的值為x＝﹣1或x＝3，故④正確；從圖象上看，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)值要大于4，因此⑤不正確；當(dāng)y＝|x2﹣2x﹣3|＝3時(shí)，即x2﹣2x﹣3＝±3當(dāng)x2﹣2x﹣3＝3時(shí)，即x2﹣2x﹣6＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣2，當(dāng)x2﹣2x﹣3＝﹣3時(shí)，即x2﹣2x﹣＝0，解得：x3＝0，x4＝2，即當(dāng)b＝3時(shí)，可以得到四個(gè)不同的a的值，從而可以找到4個(gè)不同的點(diǎn)P，故⑥正確；從而錯(cuò)誤的為⑤．故選：C．14．已知m＞n＞0，若關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為x1，x2（x1＜x2），關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為x3，x4（x3＜x4）．則下列結(jié)論正確的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4 B．x1＜x3＜x4＜x2 C．x1＜x2＜x3＜x4 D．x3＜x4＜x1＜x2【分析】畫(huà)出拋物線y＝x2+2x﹣3，直線y＝m，直線y＝n，根據(jù)一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，觀察圖象可得答案．【解答】解：關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，關(guān)于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解為拋物線y＝x2+2x﹣3與直線y＝n的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖：由圖可知，x1＜x3＜x4＜x2，故選：B．15．拋物線y＝﹣（x+2）2+6與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．【分析】令x＝0，求出y的值，即可求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：在拋物線y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，即y＝﹣4+6＝2，則拋物線y＝﹣（x+2）2+6與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），故答案為：（0，2）．16．二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（m，0），（n，0），則m2+3n﹣mn的值是13．【分析】根據(jù)題意可得m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，利用兩根之和與兩根之積與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣3x﹣2與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（m，0），（n，0），∴m，n是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，∴mn＝﹣2，m+n＝3，m2﹣3m﹣2＝0，∴m2＝3m+2，∴m2+3n﹣mn＝3m+2+3n﹣mn＝3（m+n）﹣mn+2＝3×3﹣（﹣2）+2＝13．故答案為13．17．已知P（x1，1），Q（x2，1）兩點(diǎn)都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，那么x1+x2＝3．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性以及對(duì)稱軸公式即可得到＝﹣，解得x1+x2＝3．【解答】解：∵P（x1，1），Q（x2，1）兩點(diǎn)都在拋物線y＝x2﹣3x+1上，∴P、Q關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝﹣，∴x1+x2＝3，故答案為：3．18．如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，0）和（1，﹣8），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC，求△ABC的面積；（3）在拋物線y＝x2+bx+c上是否存在一點(diǎn)P（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合）使S△ABP＝S△ABC，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式，配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用S△ABC＝AB?OC求面積；（3）△ABP與△ABC同底等高，所以|yP|＝5．【解答】解：（1）把（5，0）和（1，﹣8）分別代入y＝x2+bx+c得，解得，∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x﹣5，∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣9）；（2）當(dāng)y＝0時(shí)，即x2﹣4x﹣5＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），∴AB＝6，當(dāng)x＝0時(shí)y＝﹣5，∴C（0，﹣5），∴OC＝5，∴S△ABC＝AB?OC＝×6×5＝15；（3）存在點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（2+，5）或（2﹣，5），理由如下：∵S△ABP＝S△ABC，∴AB?OC＝AB?|yP|，∴|yP|＝5，∴yP＝±5，∴x2﹣4x﹣5＝±5，∴x1＝0，x2＝4，x3＝2+，x4＝2﹣，∵點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，﹣5）或（2+，5）或（2﹣，5）．19．如圖所示，拋物線y＝ax2﹣4ax+5與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線頂點(diǎn)．?（1）求二次函數(shù)解析式；（2）當(dāng)直線y＝﹣x+b與AP這段函數(shù)圖象有交點(diǎn)時(shí)，求b的取值范圍；（3）點(diǎn)M（t﹣1，m）、N（t+1，n）在拋物線上，若﹣1＜t＜2，求m﹣n的取值范圍．【分析】（1）把點(diǎn)A坐標(biāo)代入y＝ax2﹣4ax﹣5即可得函數(shù)解析式，再把解析式化為頂點(diǎn)式即可得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)函數(shù)圖象以及直線y＝x+b過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)P時(shí)b的值，可以確定b的取值范圍；（3）把M，N坐標(biāo)代入解析式，然后相減，再根據(jù)t的取值范圍求出m﹣n的取值范圍．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）是拋物線y＝ax2﹣4ax+5上的點(diǎn)，∴a+4a+5＝0，解得a＝﹣1．∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+4x+5，（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，9）．當(dāng)直線y＝﹣x+b過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0）時(shí)，1+b＝0，解得b＝﹣1，當(dāng)直線y＝﹣x+b過(guò)點(diǎn)P（2，9）時(shí)，﹣2+b＝9，解得b＝11，∴b的取值范圍是﹣1≤b≤11．（3）∵點(diǎn)M（t﹣1，m）、N（t+1，n）在拋物線上，∴m＝﹣（t﹣1﹣2）2+9＝﹣t2+6t，n＝﹣（t+1﹣2）2+9＝﹣t2+2t+8，∴m﹣n＝4t﹣8，∵﹣1＜t＜2，∴﹣12＜4t﹣8＜0．∴m﹣n的取值范圍為：﹣12＜m﹣n＜0．20．定義：若一個(gè)函數(shù)圖象存在橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”．例如，求函數(shù)y＝x﹣2圖象的“和零點(diǎn)”．解：∵“和零點(diǎn)”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴“和零點(diǎn)”在函數(shù)y＝﹣x的圖象上，∴，解得．∴函數(shù)y＝x﹣2圖象的“和零點(diǎn)”是（1，﹣1）．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：（1）求函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”；（2）若函數(shù)y＝x2﹣3x+k圖象存在唯一的一個(gè)“和零點(diǎn)”，求k的值；（3）如圖，點(diǎn)A，B是函數(shù)y＝﹣x2+4x+6圖象的“和零點(diǎn)”，點(diǎn)C是函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D．連接AB，AD，BD，求△ABD的面積．【分析】（1）根據(jù)定義列出方程，解方程即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)定義列出方程，由題意可知x2﹣3x+k+x＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，利用Δ＝0求得k的值即可；（3）解方程﹣x2+5x+6＝0求得A、B的坐標(biāo)，由（1）可知C（，﹣），利用S△ABC＝S△ACD+S△BCD求得即可．【解答】解：（1）由題意得：x﹣2+x＝0，解得：x＝，∴x﹣2＝﹣．∴函數(shù)圖象的“和零點(diǎn)”為（，﹣）；（2）∵函數(shù)y＝x2﹣3x+k圖象存在唯一的一個(gè)“和零點(diǎn)”，∴x2﹣3x+k+x＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程整理得x2﹣2x+k＝0，則Δ＝（﹣2）2﹣4k＝0，解得k＝1，故函數(shù)y＝x2﹣3x+k圖象存在唯一的一個(gè)“和零點(diǎn)”，k的值為1；（3）由題意得﹣x2+4x+6+x＝0，即﹣x2+5x+6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A（﹣1，1），B（6，﹣6），由（1）可知C（，﹣），∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝＝．21．如圖，拋物線y＝﹣x2+mx﹣5與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為x＝﹣3，直線l的解析式為y＝﹣2x+b．（1）當(dāng)直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求b的值；（2）若直線l經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)C時(shí)，l與y軸交于點(diǎn)D，把拋物線沿線段CD方向向右下平移，使拋物線的頂點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)D處，在平移過(guò)程中，設(shè)拋物線上A，C兩點(diǎn)之間這一段曲線掃過(guò)的面積為S，求S的值．【分析】（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式求得m的值，從而得出拋物線的解析式，進(jìn)而聯(lián)立拋物線解析式與直線l的解析式的方程組，消去得x的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的根的判別式列出b的方程便可求得b的值；（2）由二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再將C點(diǎn)坐標(biāo)代入直線l的解析式中求得直線的解析式，進(jìn)而求得直線l與y軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)，求得△ACD的面積，進(jìn)而求得設(shè)點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AC、DE、AE、AD，求出平行四邊形ACDE的面積便可是拋物線上A，C兩點(diǎn)之間這一段曲線掃過(guò)的面積．【解答】解：（1）由拋物線對(duì)稱軸為x＝﹣＝﹣3，可得m＝﹣6，所以拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣6x﹣5聯(lián)立拋物線與直線l的解析式，得x2+8x+（b+5）＝0，因直線l與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以該方程根的判別式為0，即Δ＝42﹣4（b+5）＝0，解得b＝﹣1；（2）∵拋物線y＝﹣x2﹣6x﹣5＝﹣（x+3）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣3，4），當(dāng)y＝0時(shí)，有﹣x2﹣6x﹣5＝0，解得，x1＝﹣5，x2＝﹣1，∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）把C（﹣3，4）代入直線l：y＝﹣2x+b．得b＝﹣2，∴直線l：y＝﹣2x﹣2，∴D（0，2），設(shè)點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，連接AC、DE、AE、AD，由平移性質(zhì)可知四邊形ACDE為平行四邊形，，所以S?ACDE＝2S△ACD＝24，∴拋物線上A，C兩點(diǎn)之間這一段曲線掃過(guò)的面積為S＝S?ACDE＝24．考點(diǎn)二：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）與一元一次不等式間的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)睛】利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)和上下關(guān)系，直接確定不等式的解集常見(jiàn)關(guān)系如下：①ax2+bx+c＞0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；②ax2+bx+c＜0的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；③ax2+bx+c＞kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m上方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；④ax2+bx+c＜kx+m的解表示：拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象在直線y=kx+m下方，則交點(diǎn)橫坐標(biāo)的一側(cè)符合題意；【類題訓(xùn)練】1．如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是（）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1 D．x＜﹣1或x＞5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)函數(shù)圖象寫(xiě)出x軸上方部分的x的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，對(duì)稱軸為直線x＝2，∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），又∵拋物線開(kāi)口向下，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5．故選：A．2．如圖，拋物線y＝x2+1與雙曲線y＝的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，則關(guān)于x的不等式x2+1＜的解集是（）A．x＞1 B．x＜0 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，寫(xiě)出拋物線在雙曲線下方部分的x的取值范圍即可．【解答】解：由圖可知，0＜x＜1時(shí)，x2+1＜．故選：C．3．已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a，b是常數(shù)a≠0，b＜0），其對(duì)稱軸是，下列結(jié)論：①拋物線開(kāi)口向下；②拋物線y＝ax2+bx+2必過(guò)兩定點(diǎn)；③不等式ax2+bx＞2的解集是x＜0；④設(shè)方程ax2+bx﹣2b＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+2x1?x2+x2＝1．則其中正確的結(jié)論有（）個(gè)A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①由拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝，且b＜0，可判斷出a的正負(fù)，進(jìn)而得出拋物線的開(kāi)口方向．②由函數(shù)表達(dá)式的特征，發(fā)現(xiàn)它過(guò)定點(diǎn)（0，2），再根據(jù)對(duì)稱軸可得出另一個(gè)定點(diǎn)．③利用數(shù)形結(jié)合的思想，ax2+bx＞2即圖象上y＞0的部分．④由對(duì)稱軸可得出a，b之間的關(guān)系式，用b表示a，可將原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，進(jìn)而解決問(wèn)題．【解答】解：①由拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝得，＝，則a＝﹣b，又b＜0，則a＞0，拋物線開(kāi)口向上．故①錯(cuò)誤．②當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，故拋物線過(guò)定點(diǎn)（0，2）．又根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知（1，2）也在函數(shù)圖象上．故②正確．③不等式ax2+bx＞2即為拋物線y＝ax2+bx﹣2在x軸上方的部分，又拋物線開(kāi)口向上，且過(guò)定點(diǎn)（0，2），（1，2），則不等式ax2+bx＞2的解集顯然不是x＜0．故③錯(cuò)誤．④由①知a＝﹣b，所以原方程可轉(zhuǎn)化為﹣bx2+bx﹣2b＝0，即x2﹣x+2＝0，又它的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，則x1+x2＝1，x1x2＝2，所以x1+2x1x2+x2＝5．故④錯(cuò)誤．故選：B．4．已知二次函數(shù)和y2＝（x﹣a）（x﹣b）且ab≠0，（）A．若﹣1＜x＜1，a＞，則y1＞y2 B．若x＜1，a＞，則y1＞y2 C．若﹣1＜x＜1，，則y1＜y2 D．若x＜﹣1，，則y1＜y2【分析】由于y1＝ab（x﹣）（x﹣）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），則y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．對(duì)于A選項(xiàng)，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由a＞＞0，可得ab＞1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)，由x＜1，可知（x+1）（x﹣1）不確定正負(fù)，則y1與y2的大小無(wú)法確定，即可判斷B選項(xiàng)；對(duì)于C選項(xiàng)，由﹣1＜x＜1，可得（x+1）（x﹣1）＜0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即可判斷C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，由x＜﹣1，可得（x+1）（x﹣1）＞0，由＜a＜0，可得0＜ab＜1，即可得（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即可判斷D選項(xiàng)．【解答】解：＝（ax﹣1）（bx﹣1）＝abx2﹣（a+b）x+1，y2＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab（ab≠0），∴y1﹣y2＝（ab﹣1）x2+1﹣ab＝（ab﹣1）（x2﹣1）＝（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）．對(duì)于A選項(xiàng)，∵﹣1＜x＜1，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∵a＞＞0，∴ab＞1，∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即y1＜y2，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，∵x＜1，∴（x+1）（x﹣1）不確定正負(fù)，∴y1與y2的大小無(wú)法確定，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，∵﹣1＜x＜1，∴（x+1）（x﹣1）＜0，∵＜a＜0，∴0＜ab＜1，∴ab﹣1＜0，∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＞0，即y1＞y2，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，∵x＜﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＞0，∵＜a＜0，∴0＜ab＜1，∴ab﹣1＜0，∴（ab﹣1）（x+1）（x﹣1）＜0，即y1＜y2，故D選項(xiàng)正確．故選：D．5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），與y軸的交點(diǎn)在（0，2）和（0，3）兩點(diǎn)之間（包含端點(diǎn)）．下列結(jié)論中正確的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個(gè)根分別為，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．?A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】由已知求出b＝﹣2a，c＝﹣3a，由拋物線的對(duì)稱性可求拋物線與x軸的另一個(gè)的交點(diǎn)為（3，0），則不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3；再將b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入9a2﹣b2，即可判斷②；將一元二次方程cx2+bx+a＝0化為﹣3ax2﹣ax+a＝0，即可求方程的根；由已知可得2≤c≤3，再由拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)可求n＝﹣4a，從而進(jìn)一步可求n的范圍為≤n≤4，即可求出6≤3n﹣2≤10．【解答】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），∴b＝﹣2a，∵與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣3a，∵對(duì)稱軸為直線x＝1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），∴拋物線與x軸的另一個(gè)的交點(diǎn)為（3，0），∵拋物線開(kāi)口向下，∴不等式ax2++bx+c＜0的解集為x＜﹣1或x＞3，即不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3，故①正確；∵9a2﹣b2＝9a2﹣（﹣2a）2＝5a2＞0，故②不正確；∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化為﹣3ax2﹣ax+a＝0，即3x2+2x﹣1＝0，∴方程的根為x1＝，x2＝﹣1，故③正確；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，2）和（0，3）兩點(diǎn)之間，∴2≤c≤3，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），∴n＝﹣4a，∵c＝﹣3a，∴n＝c，∴≤n≤4，∴6≤3n﹣2≤10；故④正確；故選：D．6．已知拋物線y＝﹣3x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2）、B（4，2），則不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是x＞4或x＜0．【分析】直接利用二次函數(shù)圖象利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣3x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，2），B（4，2），如圖所示：∴不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集為：x＞4或x＜0，故答案為：x＞4或x＜0．7．如圖，拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，則不等式ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3．【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以得到不等式ax2﹣mx+c＞n的解集，本題得以解決．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+c與直線y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）兩點(diǎn)，∴ax2+c＞mx+n的解集是x＜﹣1或x＞3，∴ax2﹣mx+c＞n的解集是x＜﹣1或x＞3，故答案為：x＜﹣1或x＞3．8．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足表：x…﹣101234…y…﹣6n2﹣3﹣6﹣11…（1）觀察表格，n的值為﹣3．（2）不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集為0＜x＜2．【分析】（1）由拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，﹣6），（3，﹣6）可得拋物線的對(duì)稱軸，再由拋物線的對(duì)稱性求解．（2）根據(jù)拋物線開(kāi)口方向及y＝﹣3時(shí)x的值求解．【解答】解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)（﹣1，﹣6），（3，﹣6），∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴點(diǎn)（0，n），（2，﹣3）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴n＝﹣3，故答案為：﹣3．（2）由（1）得（1，2）為拋物線頂點(diǎn)，由表格可得拋物線頂點(diǎn)為最高點(diǎn)，∴拋物線開(kāi)口向下，∵拋物線經(jīng)過(guò)（0，﹣3），（2，﹣3），∴0＜x＜2時(shí)，ax2+bx+c＞﹣3，故答案為：0＜x＜2．9．如圖，直線y＝mx+n與拋物線y＝ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是x＜﹣1或x＞4．【分析】觀察兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．【解答】解：觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜﹣1或x＞4時(shí)，直線y＝mx+n在拋物線y＝ax2+bx+c的上方，∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集為x＜﹣1或x＞4．故答案為：x＜﹣1或x＞4．10．如圖，直線y1＝﹣x+b與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，當(dāng)y1＞y2時(shí)，x的取值范圍是﹣6＜x＜0．【分析】求得A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象得出取值范圍即可．【解答】解：因?yàn)橹本€y1＝﹣x+b與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)，令x＝0，則y2＝﹣3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣3），則﹣3＝﹣0+b，解得b＝﹣3，∴直線的解析式為y1＝﹣x﹣3，解方程，得x1＝0，x2＝﹣6，∴A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為﹣6，0，∴當(dāng)y1＞y2時(shí)，﹣6＜x＜0，故答案為：﹣6＜x＜0．11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與y軸相交于正半軸，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，有下列結(jié)論：①abc＞0；②若t為任意實(shí)數(shù)，則有a﹣at2＜bt+b；③若點(diǎn)P（t﹣1，y1）Q（t，y2）在拋物線上，當(dāng)時(shí)，y1＞y2；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，則方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n（m＜n）滿足m＜x1且n＞x2．其中正確的是①④（填寫(xiě)序號(hào)）．【分析】①、由圖象y軸相交于正半軸，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，分別確定c、b的符號(hào)；②、由a＞0可知y有最小值，進(jìn)而建立不等式；③、將t﹣1，t分別代入解析式，用t分別表示y1，y2，解不等式y(tǒng)1﹣y2＞0即可；④、由x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，得y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的兩根m，n得m，n是函數(shù)值為1的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【解答】①、∵圖象y軸相交于正半軸，∴c＞0，∵對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴，∴b＝2a＞0，∴abc＞0，∴①正確．②、∵a＞0，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)y有最小值，∴at2+bt+c≥a﹣b+c，a﹣at2≤bt+b，∴②不正確．③、將t﹣1，t分別代入解析式，得y1＝a（t﹣1）2+b（t﹣1）+c，y2＝at2+bt+c，要使y1＞y2，只需a（t﹣1）2+b（t﹣1）+c＞at2+bt+c，∴，∴③不正確．④、∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的兩根，∴y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），由方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0得a（x﹣x1）（x﹣x2）＝1，即y＝1，則m，n（m＜n）是函數(shù)值為1的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖象可知m＜x1且n＞x2，∴④正確．故答案為：①④12．如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象交于A，C兩點(diǎn)．（1）求b的值；（2）求△ABC的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值．【分析】（1）令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣1，0），B（3，0），將點(diǎn)A（﹣1，0）代入y＝﹣x+b，即可求解；（2）方程組，解得：或，得點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，﹣