第16講解直角三角形及其應用(5大考點)(原卷版+解析)

第16講解直角三角形及其應用（5大考點）考點考向考點考向一、仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．二、坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．三、方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．四、解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.五、解直角三角形實際應用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；（4）得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．考點精講考點精講一．解直角三角形（共7小題）1．（2021秋?曹縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．92．（2022秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．7 C． D．3．（2021秋?蚌埠期末）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則cos∠ACB的值為（）A． B． C． D．4．（2022秋?襄都區(qū)期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點A，B，C為網(wǎng)格交點，AD⊥BC，垂足為D，則（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．5．（2021秋?衡山縣期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABO的頂點A、點B、點O均落在格點上，則∠OAB的正切值為．6．（2021秋?八步區(qū)期末）如圖，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則BC＝．7．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（5，12），那么OP與x軸正半軸的夾角α的正弦值．二．解直角三角形的應用（共6小題）8．（2022?蘭考縣二模）如圖，兩根木條釘成一個角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，將一根橡皮筋兩端固定在點A，B處，拉展成線段AB，在平面內(nèi)，拉動橡皮筋上的一點C，當四邊形OACB是菱形時，橡皮筋再次被拉長了（）A．2cm B．4cm C． D．9．（2021秋?義烏市期末）圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN為0.5米，主臂MP長為3米，主臂伸展角α的范圍是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范圍是：45°≤β≤135°．當α＝45°時（如圖3），伸展臂PQ恰好垂直并接觸地面．（1）伸展臂PQ長為米；（2）挖掘機能挖的最遠處距點N的距離為米．10．（2021秋?武義縣期末）某校航天社團模擬火星探測器的發(fā)射過程，如圖，地球，火星的運行軌道抽象成以太陽O為圓心的圓，探測器的地球到火星的轉(zhuǎn)移軌道則抽象成以O(shè)'為圓心，AC為直徑的半圓．點O在AC上，點A，B分別代表探測器從地球發(fā)射時地球和火星的位置，火星沿運行，與探測器同時抵達C點，已知∠AOB＝44°，火星的公轉(zhuǎn)周期（繞太陽逆時針轉(zhuǎn)動一周所用時間）為687天，地球與火星的軌道半徑OA，OC分別為1A．U．和1.5A．U．（A．U．為天文單位）．（1）探測器從發(fā)射到抵達火星需要天（精確到個位）．（2）當探測器運行到點T時，太陽爆發(fā)活動向探測器方向拋射速度為A．U/h的體積巨大的“等離子體云”，此時TC恰好等于點O'到TC中點的距離，則最快h后，探測器會受到“等離子體云”的干擾（短時間內(nèi)探測器的運行路程可忽略不計）．11．（2022?濠江區(qū)一模）為解決停車問題，某小區(qū)在如圖所示的一段道路邊開辟一段斜列式停車位，每個車位長6m，寬2.4m，矩形停車位與道路成60°角，則在這一路段邊上最多可以劃出個車位．（參考數(shù)據(jù)：）12．（2022?大連模擬）圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉(zhuǎn)動，測得BC＝12cm，AB＝25cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在圖2中，過點B作BE⊥AD，垂足為E．填空：∠CBE＝°；（2）求點C到AD的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）13．（2021秋?禮泉縣期末）某次臺風來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處，測得∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，AD＝5米，求這棵大樹AB的高．（結(jié)果保留根號）三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共5小題）14．（2021秋?牟平區(qū)期末）2022年2月4日在北京將舉辦第24屆冬季奧運會，很多學校都開展冰雪項目學習，如圖，一位同學乘滑雪板沿斜坡筆直滑下100米，若斜坡的坡比為tan38°：1，用計算器求下降的高度，則下列按鍵順序正確的是（）A．100÷tan38＝ B．100×sin38＝ C．100×cos38＝ D．100×tan38＝15．（2021秋?宛城區(qū)期末）“鄭萬高鐵南陽東站有電動扶梯的”，如圖是其一扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i＝5：12．李老師乘扶梯從底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達頂端B，則李老師上升的鉛直高度BC為（）A． B． C． D．2016．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，AB是河堤橫斷面的迎水坡，坡高AC＝，水平距離BC＝1，則斜坡AB的坡度（）A． B． C．30° D．60°17．（2022秋?皇姑區(qū)校級期中）如圖是某學校食堂的樓梯部分的示意圖，上樓樓梯是由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平天臺DE構(gòu)成，已知樓梯頂部B到地面的垂直高度BC為9.6米，與地面垂直的平臺立柱MN的高度為6米，整個樓梯的水平跨度AC為16米．（1）求樓梯AD的長度；（2）水平天臺DE的長度約為m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）18．（2021秋?桃江縣期末）如圖，有一段斜坡BC長為10米，坡角∠CBD＝12°，為使殘疾人的輪椅通行，現(xiàn)準備把坡角降為5°．（1）求斜坡BC的坡高CD和坡寬BD（結(jié)果精確到0.1米）；（2）求斜坡新起點A與原起點B的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin12°≈0.20，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin5°≈0.09，cos5°≈0.99，tan5°≈0.09）四．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共4小題）19．（2022秋?沈河區(qū)校級期中）如圖，AB表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為40°，底端點C與頂端點B的距離為50米，BC⊥AC于點C，則賽道AB的長度為（）A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米20．（2022?陽信縣模擬）如圖，為了測量某風景區(qū)內(nèi)一座塔AB的高度，小明分別在塔的對面一樓房CD的樓底C，樓頂D處，測得塔頂A的仰角為45°和30°，已知樓高CD為10m，則塔高為（）A．15+5 B．10+5 C．10+5 D．15+521．（2021秋?福山區(qū)期末）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE＝50米（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）22．（2022?大渡口區(qū)校級模擬）如圖，大渡口義渡古鎮(zhèn)某建筑物樓頂立有廣告牌DE，小玲準備利用所學的三角函數(shù)知識估測該建筑的高度．由于場地有限，不便測量，所以小玲從點B處沿坡度為i＝1：0.75的斜坡步行25米到達點C處，測得廣告牌底部D的仰角為45°，廣告牌頂部E的仰角為53°（小玲的身高忽略不計），已知廣告牌DE＝9米．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）（1）求C處距離水平地面的高度；（2）求建筑物AD的高度．五．解直角三角形的應用-方向角問題（共5小題）23．（2021秋?東明縣期末）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔40nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）A． B．20nmile C． D．80nmile24．（2022秋?市北區(qū)期中）如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達B點，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達目的地C點，此時A，C兩點之間的距離為（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m25．（2021秋?牟平區(qū)期末）如圖1，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然后向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向，如圖2，則這段河的寬m（結(jié)果保留根號）．26．（2021秋?新泰市期末）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是多少海里？（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，）27．（2021秋?渠縣期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一碼頭PQ＝1千米，在碼頭西端P的正西方30千米處有一觀察站O．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于北偏西30°方向，且與O相距20千米的A處；航行40分鐘后，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭PQ靠岸？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·重慶一中九年級期中）圖1是重慶歡樂谷的一個大型娛樂設(shè)施——“重慶之眼”摩天輪，它是全球第六、西南最高的觀光摩天輪．如圖2，小嘉從摩天輪最低處出發(fā)先沿水平方向向左行走37米到達點，再經(jīng)過一段坡度為，坡長為26米的斜坡到達點，然后再沿水平方向向左行走50米到達點．在處小嘉操作一架無人勘測機，當無人勘測機飛行至點的正上方點時，測得點處的俯角為，摩天輪最高處的仰角為．所在的直線垂直于地面，垂足為，點、、、、、、在同一平面內(nèi)，則的高度約為（）米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．117 B．120 C．122 D．1302．（2021·河南原陽·九年級期中）某停車場入口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞點O旋轉(zhuǎn)到的位置，已知AO＝4米，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角，則欄桿點A升高的高度為（）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2021·天津河西·九年級期中）如圖，在⊙O中，點A，B在圓上，∠AOB=120°，弦AB的長度為4，則半徑OA的長度為（）A． B．4 C． D．4．（2021·河南鎮(zhèn)平·九年級期中）如圖給出了一種機器零件的示意圖，其中米、米，則的長為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．（2021·重慶八中九年級期中）如圖，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，該山坡的坡度i＝1：2.4．小明為了測得通信基地AB的高度，他首先在C處測得山腳與通信基地AB的水平距離CD＝156米，然后沿著斜坡走了52米到達E處，他在E處測得通信基地頂端A的仰角為60°，則通信基地AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

A．136米 B．142米 C．148米 D．87米二、填空題6．（2021·上海市延安初級中學九年級期中）如圖，某興趣小組用無人機對大樓進行測高，無人機從距離大樓30米（PB＝30米）垂直起飛，飛到A處懸停，測得大樓底部俯角α＝45°，大樓頂部仰角β＝60°，則大樓的樓高BC＝____米．（結(jié)果保留根號）7．（2021·四川省成都市七中育才學校九年級期中）如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結(jié)果保留根號）8．（2021·浙江浙江·九年級期末）某廠家設(shè)計一種雙層長方體垃圾桶，cm，cm，cm，側(cè)面如圖1所示，為隔板，等分上下兩層．下方內(nèi)桶繞底部軸旋轉(zhuǎn)打開，若點恰好能卡在原來點的位置，則內(nèi)桶邊的長度應設(shè)計為______cm；現(xiàn)將調(diào)整為cm，打開最大角度時，點卡在隔板上，如圖2所示，可完全放入下方內(nèi)桶的球體的直徑不大于______cm．9．（2021·浙江浙江·九年級期末）如圖1是某品牌自行車，圖2是其示意圖．已知，，，，，自行車坐墊，平行地面，垂直地面，自行車輪子半徑等于5dm，則A點到所在直線的距離為___dm，坐墊到地面的距離為___dm．（已知，結(jié)果保留根號）三、解答題10．（2021·四川錦江·九年級期末）如圖，在水平地面上，有一盞垂直于地面的路燈AB，在路燈前方豎立有一木桿CD．已知木桿長CD＝2.65米，木桿與路燈的距離BD＝5米，并且在C點測得燈源A的仰角為44°．（結(jié)果保留1位小數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）（1）求路燈高AB大約是多少米？（2）請在圖中畫出木桿CD在燈光下的影子（用線段表示），并求出影長．11．（2021·四川龍泉驛·九年級期末）如圖，樓房AB建在山坡BC上，其坡度為i＝1：2，小明從山坡底部C處測得點A的仰角為56.35°，已知山坡的高度BD為10米，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度BD與水平寬度CD的比）（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）12．（2021·安徽·合肥壽春中學九年級期末）如圖1所示，為了進一步提升教學效果，某校更換了一批最新的投影儀設(shè)備．工人師傅們在安裝投影儀時也有一段小插曲．如圖2所示，AB為教室的高，CD為黑板的寬（點C、D均在AB上）．為了能不遮擋學生看屏幕的視線，投影儀必須安裝在點E處，其中CE⊥AB，且CE＝1.2米．由于投影儀質(zhì)量太大，橫軸（CE）不足以支撐它的重量，于是工人師傅們想用一些鐵絲（EF）來加以固定，其中點F在教室的高AB上，工人師傅在安裝時發(fā)現(xiàn)當∠CEF＝30°時，點F的固定系數(shù)較差．通過實踐發(fā)現(xiàn)，當點F向上移至點G處且∠CEG＝40°時固定系數(shù)最好，請求出工人師傅應該將固定點F向上平移多遠距離可到達點G處（即：求FG）．（其中sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，最后結(jié)果精確到0.1）13．（2021·山西榆次·九年級期末）如圖，離小明家不遠處有一棵直立的大樹，小明想利用所學的知識測量大樹的高度．小明家在大樹對面的高樓，他從自家的窗中處眺望大樹，并測得大樹頂部的俯角是，大樹底部的俯角是．經(jīng)調(diào)查，小明家離大樹米，即米，請你利用這些數(shù)據(jù)幫他求出大樹的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）14．（2021·山東南區(qū)·九年級期末）小穎的數(shù)學學習日記：x月x日：測量旗桿的高度．（1）今天上午王老師要帶我們?nèi)ゲ賵鰷y量旗桿的高度，昨天我們小組設(shè)計了一個方案，方案如下：小亮拿著標桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測量標桿、標桿的影長和旗桿的影長，如圖1所示，標桿AB＝a，影長BC＝b，旗桿的影長DF＝c，則可求得旗桿DE的高度為．（2）但今天測量時，陰天沒有陽光，就不能用以上的方案了．如圖2所示，王老師將升旗用的繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測得繩子與地面的夾角為37°，然后又將繩子拉到一個0.5米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點剛好觸到平臺，剩余的繩子長度為5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿DE的高度嗎？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）請你回答小穎的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．15．（2021·吉林·長春市第八十七中學九年級月考）鄭州二七罷工紀念塔，簡稱“二七紀念塔”，是全國重點文物保護單位，明確提出將二七廣場片區(qū)列為2020年鄭州市建設(shè)發(fā)展重點任務之一，將其打造成為“鄭州人精神家園、河南省消費中心．全國城市復興典范”．某中學數(shù)學研究小組在綜合實踐活動中，下列示意圖中B、C、D在同一條直線上，四邊形BCEF為矩形（1）哪些小組的測量方案可以測量塔高？（2）請選擇其中一個方案及其數(shù)據(jù)計算塔高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）16．（2021·福建省泉州市培元中學九年級期中）汽車盲區(qū)是指駕駛員位于駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的區(qū)域．如圖，、分別為汽車兩側(cè)盲區(qū)的示意圖，已知視線與地面的夾角，視線與地面的夾角，點，分別為，與車窗底部的交點，，，垂直地面，點到點的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）（1）求盲區(qū)中的長度；（2）點在上，，在處有一個高度為的物體，駕駛員能觀察到物體嗎？請說明．17．（2021·山東龍口·九年級期中）某客輪在C點失事后，海上搜救中心立即通知位于A，B兩處的專業(yè)救助輪前往出事地點協(xié)助搜救，B在A的正東方向，且相距100海里．接到通知后，測得出事地點C在A的南偏東60°，C在B的南偏東30°，如果A，B兩處救助輪航行速度都是25海里/時，試問A處救助輪趕到出事地點C需要多長時間？（結(jié)果保留根號）18．（2022·山東·淄博市張店區(qū)實驗中學九年級期中）已知：如圖，BD是的高，，，．（1）求BD和AD的長；（2）求的值．19．（2021·河南鎮(zhèn)平·九年級期中）如圖，在某瞭望臺處，測得江面上的漁船的俯角為40°，若米，米，平行于江面，迎水坡的坡度，坡長米，求的長．（參考數(shù)據(jù)：，，，精確到0.1米）．20．（2021·山東東昌府·九年級期中）如圖，學校教學樓上懸掛一塊長為3m的標語牌，即CD=3m，數(shù)學活動課上，小明和小紅要測量標語牌的底部點D到地面的距離．測角儀支架高AE=BF=1.2m，小明在E處測得標語牌底部點D的仰角為31°，小紅在處測得標語牌頂部點C的仰角為45°，AB=5m，依據(jù)他們測量的數(shù)據(jù)能否求出標語牌底部點D到地面的距離DH的長？（結(jié)果保留1位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）21．（2021·浙江浙江·九年級期末）定義：三角形內(nèi)部有一小三角形與原三角形相似，其中小三角形的三個頂點在原三角形的三邊上（頂點可重合），則稱這兩個三角形是星相似三角形例如：如圖1，中，，和是星相似三角形．如圖2，是的中點，以為直徑畫圓，交，于點，，．（1）①若，求的長．②設(shè)，，試寫出與的函數(shù)關(guān)系式．（2）若，則與哪個三角形星相似，并證明．（3）在（2）的條件下，求的長．第16講解直角三角形及其應用（5大考點）考點考向考點考向一、仰角和俯角仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．二、坡度和坡角坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．三、方向角（或方位角）指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．四、解直角三角形中“雙直角三角形”的基本模型：解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.五、解直角三角形實際應用的一般步驟（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學模型；（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題；（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運算簡便、準確；（4）得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．考點精講考點精講一．解直角三角形（共7小題）1．（2021秋?曹縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，則AC的長為（）A．6 B．2 C．3 D．9【分析】先在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，然后利用勾股定理進行計算即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝9，cosB＝，∴BC＝AB?cosB＝9×＝6，∴AC＝＝＝3，故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．7 C． D．【分析】連接OD，證明點A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個圓上，把求∠AED的正切值轉(zhuǎn)化為求∠ABC的正切值．【解答】解：連接OD，∵AD⊥BC，O是AB中點，∴，∴OD＝OA＝OE＝OD∴點A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個圓上，∴∠ABC＝∠AED，∴．故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形，掌握四點共圓的證明及三角函數(shù)的應用是解題關(guān)鍵，其中連接OD，證明點A、D、B、E在以O(shè)為圓心，1為半徑的同一個圓上是本題的難點．3．（2021秋?蚌埠期末）如圖，△ABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，則cos∠ACB的值為（）A． B． C． D．【分析】設(shè)小正方形的邊長為1，過A作AD⊥BC于D，則CD＝1，根據(jù)勾股定理求出AC，再解直角三角形求出答案即可．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，過A作AD⊥BC于D，則CD＝1，由勾股定理得：AC＝＝，所以cos∠ACB＝＝＝，故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形，能構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．4．（2022秋?襄都區(qū)期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，點A，B，C為網(wǎng)格交點，AD⊥BC，垂足為D，則（1）AD＝；（2）sin∠BAD＝．【分析】（1）如圖，連接AC，利用勾股定理求解BC，再利用等面積法求解AD即可，（2）求解，設(shè)AD＝4x，則AB＝5x，再求解BD，從而可得答案．【解答】解：如圖，連接AC，根據(jù)題意得：，而，∵AD⊥BC，∴，解得：，∴，設(shè)AD＝4x，則AB＝5x，∴，∴．故答案為：，．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，等面積法的應用，銳角三角函數(shù)的應用，掌握“求解銳角三角函數(shù)的方法”是解本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?衡山縣期末）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，△ABO的頂點A、點B、點O均落在格點上，則∠OAB的正切值為．【分析】過O作OC⊥AB于C，則OC＝2，AC＝4，由勾股定理得OA＝2，再由銳角三角函數(shù)定義即可得出答案．【解答】解：過O作OC⊥AB于C，如圖所示：則OC＝2，AC＝4，∴tann∠OAB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形、勾股定理、三角形面積計算等知識，由面積法求出AE的長是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?八步區(qū)期末）如圖，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，則BC＝2．【分析】過點C作CD⊥AB，垂足為D，先在Rt△ACD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得CD＝AC＝，然后在Rt△CDB中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝AC＝，在Rt△CDB中，∠B＝45°，∴BC＝＝＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?奉賢區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P（5，12），那么OP與x軸正半軸的夾角α的正弦值．【分析】過點P作PA⊥x軸于點A，由P點的坐標得PA、OA的長，根據(jù)勾股定理求出OP，然后根據(jù)正弦函數(shù)的定義得結(jié)論．【解答】解：過點P作PA⊥x軸于點A，∵P（5，12），∴OA＝5，PA＝12，∴OP＝13，∴OP與x軸正半軸所夾的角的正弦值為：sin∠POA＝＝．故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．二．解直角三角形的應用（共6小題）8．（2022?蘭考縣二模）如圖，兩根木條釘成一個角形框架∠AOB，且∠AOB＝120°，AO＝BO＝4cm，將一根橡皮筋兩端固定在點A，B處，拉展成線段AB，在平面內(nèi)，拉動橡皮筋上的一點C，當四邊形OACB是菱形時，橡皮筋再次被拉長了（）A．2cm B．4cm C． D．【分析】連接OC，利用菱形的性質(zhì)和直角三角形的邊角間關(guān)系先求出BE，再求出AB，最后求出橡皮筋被拉長了多少．【解答】解：連接OC，交AB于點E．∵四邊形OACB是菱形，∴BC＝AC＝AO＝4cm，OC⊥AB，BE＝AB，∠BOE＝AOB＝60°．在Rt△BOE中，∵AO＝4cm，∠BOE＝60°，∴sin∠BOE＝．∴BE＝sin60°×4＝×4＝2（cm）．∴AB＝2BE＝4（cm）．∴BC+CA﹣AB＝4+4﹣4＝（8﹣4）cm．故選：D．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握“菱形的邊相等、菱形的對角線互相垂直平分、菱形的一條對角線平分一組對角”及直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021秋?義烏市期末）圖1是某型號挖掘機，該挖掘機是由基座、主臂和伸展臂構(gòu)成．圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN為0.5米，主臂MP長為3米，主臂伸展角α的范圍是：0°＜α≤60°，伸展臂伸展角β的范圍是：45°≤β≤135°．當α＝45°時（如圖3），伸展臂PQ恰好垂直并接觸地面．（1）伸展臂PQ長為3.5米；（2）挖掘機能挖的最遠處距點N的距離為米．【分析】（1）過點M作MH⊥PQ，垂足為Q，根據(jù)題意可得HQ＝MN＝0.5米，然后在Rt△PHM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PH的長，從而求出PQ的長，即可解答；（2）當∠QPM＝135°時，過點Q作QA⊥PM，交MP的延長線于點A，連接QM，利用平角定義可求出∠APQ＝45°，然后在Rt△APQ中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AP，AQ的長，從而求出AM的長，再在Rt△AQM中，利用勾股定理求出QM的長，最后在Rt△QMN中，利用勾股定理求出QN的長，即可解答．【解答】解：（1）過點M作MH⊥PQ，垂足為Q，則HQ＝MN＝0.5米，在Rt△PHM中，∠PMH＝45°，PM＝3米，∴PH＝PM?sin45°＝3×＝3（米），∴PQ＝PH+HQ＝3.5米，∴伸展臂PQ長為3.5米，故答案為：3.5；（2）當∠QPM＝135°時，過點Q作QA⊥PM，交MP的延長線于點A，連接QM，∴∠APQ＝180°﹣∠QPM＝45°，在Rt△APQ中，PQ＝3.5米，∴AQ＝PQ?sin45°＝3.5×＝（米），∵PM＝3米，∴AM＝AP+PM＝AQ+PM＝（米），在Rt△AQM中，QM＝＝＝（米），在Rt△QMN中，QN＝＝＝（米），∴挖掘機能挖的最遠處距點N的距離為米，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?武義縣期末）某校航天社團模擬火星探測器的發(fā)射過程，如圖，地球，火星的運行軌道抽象成以太陽O為圓心的圓，探測器的地球到火星的轉(zhuǎn)移軌道則抽象成以O(shè)'為圓心，AC為直徑的半圓．點O在AC上，點A，B分別代表探測器從地球發(fā)射時地球和火星的位置，火星沿運行，與探測器同時抵達C點，已知∠AOB＝44°，火星的公轉(zhuǎn)周期（繞太陽逆時針轉(zhuǎn)動一周所用時間）為687天，地球與火星的軌道半徑OA，OC分別為1A．U．和1.5A．U．（A．U．為天文單位）．（1）探測器從發(fā)射到抵達火星需要260天（精確到個位）．（2）當探測器運行到點T時，太陽爆發(fā)活動向探測器方向拋射速度為A．U/h的體積巨大的“等離子體云”，此時TC恰好等于點O'到TC中點的距離，則最快42h后，探測器會受到“等離子體云”的干擾（短時間內(nèi)探測器的運行路程可忽略不計）．【分析】（1）根據(jù)火星的公轉(zhuǎn)周期（繞太陽逆時針轉(zhuǎn)動一周所用時間）為687天，∠AOB＝44°，列式計算可得答案；（2）設(shè)CT中點為K，過T作TH⊥OC于H，由OA＝1A．U，OC＝1.5A．U，可得O'C＝A．U，在Rt△O'CK中，CK2+（2CK）2＝（）2，解得CK＝，用面積法可求出TH＝＝1，從而CH＝＝（A．U），OH＝OC﹣CH＝1（A．U），故OT＝＝，即可得到答案．【解答】解：（1）∵火星的公轉(zhuǎn)周期（繞太陽逆時針轉(zhuǎn)動一周所用時間）為687天，∠AOB＝44°，∴探測器從發(fā)射到抵達火星需要×（180°﹣44°）≈260（天），故答案為：260；（2）設(shè)CT中點為K，過T作TH⊥OC于H，如圖：∵OA＝1A．U，OC＝1.5A．U，∴AC＝2.5A．U，∴O'C＝AC＝A．U，∵O'T＝O'C，K是CT中點，∴∠O'KC＝∠O'KT＝90°，∵CT＝O'K，∴O'K＝2CK，在Rt△O'CK中，CK2+O'K2＝O'C2，∴CK2+（2CK）2＝（）2，解得CK＝（負值已舍去），∴O'K＝2CK＝（A．U）＝CT，∵2S△O'CT＝CT?O'K＝O'C?TH，∴TH＝＝＝1，∴CH＝＝＝（A．U），∴OH＝OC﹣CH＝1.5﹣＝1（A．U），在Rt△OTH中，OT＝＝＝，∵OT÷＝÷＝30≈42.4（h），∴最快42.4h后，探測器會受到“等離子體云”的干擾，故答案為：42．【點評】本題考查解直角三角形，涉及圓的相關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是能熟練運用勾股定理和面積法解決問題．11．（2022?濠江區(qū)一模）為解決停車問題，某小區(qū)在如圖所示的一段道路邊開辟一段斜列式停車位，每個車位長6m，寬2.4m，矩形停車位與道路成60°角，則在這一路段邊上最多可以劃出9個車位．（參考數(shù)據(jù)：）【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出BC，CF，進而求出CG，再進行計算即可．【解答】解：如圖，設(shè)最后一個車位的點A落在邊線AB上，延長ED于＝與道路邊沿交于F，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，∴BC＝AC＝3，在Rt△CDF中，CD＝2.4，∠DFC＝60°，∴CF＝＝，∴CG＝BG﹣BC＝30﹣3＝27，∴可劃車位的個數(shù)為：27≈9（個），故答案為：9．【點評】本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．12．（2022?大連模擬）圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉(zhuǎn)動，測得BC＝12cm，AB＝25cm，∠BAD＝60°，∠ABC＝50°．（1）在圖2中，過點B作BE⊥AD，垂足為E．填空：∠CBE＝20°；（2）求點C到AD的距離．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：≈1.73，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【分析】（1）根據(jù)垂直定義可得∠AEB＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ABE＝30°，然后利用角的和差關(guān)系進行計算即可解答；（2）過點C作CF⊥AD，垂足為F，過點C作CG⊥BE，垂足為G，則GE＝CF，∠BGC＝90°，從而利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠BCG＝70°，然后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再在Rt△BGC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BG的長，進行計算即可解答．【解答】解：（1）如圖：∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAD＝30°，∵∠ABC＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝20°，故答案為：20；（2）過點C作CF⊥AD，垂足為F，過點C作CG⊥BE，垂足為G，則GE＝CF，∠BGC＝90°，∵∠CBE＝20°，∴∠BCG＝90°﹣∠CBE＝70°，在Rt△ABE中，∠BAE＝60°，AB＝25m，∴BE＝AB?sin60°＝25×＝（m），在Rt△BGC中，BC＝12m，∴BG＝BC?sin70°≈12×0.94＝11.28（m），∴CF＝GE＝BE﹣BG＝﹣11.28≈10.3（m），∴點C到AD的距離約為10.3m．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?禮泉縣期末）某次臺風來襲時，一棵筆直且垂直于地面的大樹AB被刮傾斜后在C處折斷倒在地上，樹的頂部恰好接觸到地面D處，測得∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，AD＝5米，求這棵大樹AB的高．（結(jié)果保留根號）【分析】解Rt△AED，求出DE及AE的長度，再解Rt△AEC，得出CE及AC的長，進而可得出結(jié)論．【解答】解：∵AE⊥CD于點E，則∠AEC＝∠AED＝90°．在Rt△AED中，∵∠ADC＝45°，∴cos45°＝＝＝，∴DE＝5（米），∴AE＝DE＝5（米），在Rt△AEC中，∵∠CAE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝AE＝（米），∴AC＝2CE＝（米），∴AB＝AC+CE+ED＝++5＝5+5（米）．答：這棵大樹AB原來的高度約是5+5米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用，會解直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．三．解直角三角形的應用-坡度坡角問題（共5小題）14．（2021秋?牟平區(qū)期末）2022年2月4日在北京將舉辦第24屆冬季奧運會，很多學校都開展冰雪項目學習，如圖，一位同學乘滑雪板沿斜坡筆直滑下100米，若斜坡的坡比為tan38°：1，用計算器求下降的高度，則下列按鍵順序正確的是（）A．100÷tan38＝ B．100×sin38＝ C．100×cos38＝ D．100×tan38＝【分析】根據(jù)坡度的概念得到∠A＝38°，再根據(jù)正弦的定義解答即可．【解答】解：∵斜坡AB坡比為tan38°：1，∴∠A＝38°，在Rt△ABC中，sinA＝，則BC＝AB?sinA＝100×sin38°，故選：B．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度與坡角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2021秋?宛城區(qū)期末）“鄭萬高鐵南陽東站有電動扶梯的”，如圖是其一扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i＝5：12．李老師乘扶梯從底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達頂端B，則李老師上升的鉛直高度BC為（）A． B． C． D．20【分析】設(shè)BC＝5x米，根據(jù)坡度的概念得到AC＝12x米，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)BC＝5x米，∵扶梯AB的坡度i＝5：12，∴AC＝12x米，由題意得：AB＝0.5×40＝20米，由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，即202＝（12x）2+（5x）2，解得：x＝（負值舍去），∴BC＝5x＝米，故選：B．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?碑林區(qū)校級期中）如圖，AB是河堤橫斷面的迎水坡，坡高AC＝，水平距離BC＝1，則斜坡AB的坡度（）A． B． C．30° D．60°【分析】根據(jù)坡度的定義直接得出答案即可．【解答】解：∵坡高AC＝，水平距離BC＝1，∴tanB＝，∴斜坡AB的坡度為．故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣﹣坡度坡角問題，理解坡度的概念是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋?皇姑區(qū)校級期中）如圖是某學校食堂的樓梯部分的示意圖，上樓樓梯是由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、BE和一段水平天臺DE構(gòu)成，已知樓梯頂部B到地面的垂直高度BC為9.6米，與地面垂直的平臺立柱MN的高度為6米，整個樓梯的水平跨度AC為16米．（1）求樓梯AD的長度；（2）水平天臺DE的長度約為3.2m．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【分析】（1）過點D作DF⊥AC于F，根據(jù)正弦的定義求出AD；（2）延長DE交BC于G，根據(jù)正切的定義分別求出EG、AF，計算即可．【解答】解：（1）如圖，過點D作DF⊥AC于F，則DF＝MN＝6米，在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6米，∵sinA＝，∴AD＝≈＝10（米），答：樓梯AD的長度約為10米；（2）如圖，延長DE交BC于G，則CG＝6米，∴BG＝BC﹣CG＝9.6﹣6＝3.6（米），在Rt△BEG中，∠BEG＝37°，則EG＝≈＝4.8（米），在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝6米，則AF＝≈＝8（米），∴DE＝16﹣8﹣4.8＝3.2（米），所以水平天臺DE的長度約為3.2米，故答案為：3.2．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．18．（2021秋?桃江縣期末）如圖，有一段斜坡BC長為10米，坡角∠CBD＝12°，為使殘疾人的輪椅通行，現(xiàn)準備把坡角降為5°．（1）求斜坡BC的坡高CD和坡寬BD（結(jié)果精確到0.1米）；（2）求斜坡新起點A與原起點B的距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin12°≈0.20，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21，sin5°≈0.09，cos5°≈0.99，tan5°≈0.09）【分析】（1）根據(jù)正弦的定義列式求出CD和BD；（2）根據(jù)余弦的定義求出BD，根據(jù)正切的定義求出AD，結(jié)合圖形計算得到答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，，，即，，∴CD＝10sin12°≈10×0.20＝2.0（米），BD＝10cos12°≈10×0.98＝9.8（米），答：斜坡BC的坡高CD約為2.0米，坡寬BD約為9.8米．（2）設(shè)AB＝x米，在△ACD中，，即，解得：x≈12.4，故斜坡新起點A與原起點B的距離為12.4米．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．四．解直角三角形的應用-仰角俯角問題（共4小題）19．（2022秋?沈河區(qū)校級期中）如圖，AB表示一條跳臺滑雪賽道，在點A處測得起點B的仰角為40°，底端點C與頂端點B的距離為50米，BC⊥AC于點C，則賽道AB的長度為（）A．米 B．米 C．50sin40°米 D．50cos40°米【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠A＝40°，BC＝50米，∴sin40°＝，∴AB＝＝米，故選：A．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，掌握仰角俯角的意義是解決本題的關(guān)鍵．20．（2022?陽信縣模擬）如圖，為了測量某風景區(qū)內(nèi)一座塔AB的高度，小明分別在塔的對面一樓房CD的樓底C，樓頂D處，測得塔頂A的仰角為45°和30°，已知樓高CD為10m，則塔高為（）A．15+5 B．10+5 C．10+5 D．15+5【分析】過點A作AE⊥CD交CD的延長線于E，設(shè)AB＝xm，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用x表示出BC，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程得到答案．【解答】解：過點A作AE⊥CD交CD的延長線于E，則四邊形ABCE為矩形，∴AB＝CE，AE＝BC，設(shè)AB＝xm，則DE＝（x﹣10）m，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，則BC＝AB＝xm，∴AE＝BC＝xm，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，tan∠DAE＝，即＝，解得：x＝15+5，經(jīng)檢驗，x＝15+5是原方程的根，∴塔高為（15+5）m，故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?福山區(qū)期末）如圖，在建筑物AB左側(cè)距樓底B點水平距離150米的C處有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，坡頂D到BC的垂直距離DE＝50米（點A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)），在點D處測得建筑物頂A點的仰角為50°，則建筑物AB的高度約為多少米？（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）【分析】利用斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，求出CE的長，從而得出BE，再利用tan50°即可求出AB的長．【解答】解：如圖，過點D作DF⊥AB于F，∵斜坡CD的坡度（或坡比）為i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50米，∴CE＝120米，∵BC＝150米，∴DF＝BE＝150﹣120＝30（米），BF＝DE＝50米，∴AF＝tan50°×30≈35.7（米），∴AB＝35.7+50＝85.7（米）．答：建筑物AB的高度約為85.7米．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，明確坡度、仰角、俯角是解題的關(guān)鍵．22．（2022?大渡口區(qū)校級模擬）如圖，大渡口義渡古鎮(zhèn)某建筑物樓頂立有廣告牌DE，小玲準備利用所學的三角函數(shù)知識估測該建筑的高度．由于場地有限，不便測量，所以小玲從點B處沿坡度為i＝1：0.75的斜坡步行25米到達點C處，測得廣告牌底部D的仰角為45°，廣告牌頂部E的仰角為53°（小玲的身高忽略不計），已知廣告牌DE＝9米．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）（1）求C處距離水平地面的高度；（2）求建筑物AD的高度．【分析】（1）根據(jù)坡度i＝1：0.75，BC＝25米，可以求得C處距離水平地面的高度；（2）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用銳角三角函數(shù)可以求得AD的長．【解答】解：（1）作CG⊥AB于點G，∵坡度i＝1：0.75，BC＝25米，∴＝＝，∴，∴CG＝BC＝×25＝20（米），即C處距離水平地面的高度為20米；（2）作CF⊥AE于點F，∵∠DCF＝45°，∠ECF＝53°，∴CF＝DF，EF＝CF?tan53°≈1.3CF，∵DE＝9米，DE＝EF﹣DF，∴9＝1.3CF﹣CF，解得CF＝30，∴DF＝30米，∴AD＝DF+AF＝DF+CG＝30+20＝50（米），即建筑物AD的高度約為50米．【點評】本題考查解直角三角形的應用—坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．五．解直角三角形的應用-方向角問題（共5小題）23．（2021秋?東明縣期末）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離燈塔40nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔C的南偏東45°方向上的B處，這時輪船B與小島A的距離是（）A． B．20nmile C． D．80nmile【分析】過點C作CD⊥AB于點D，然后分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)，即可求解．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D，∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝40nmile，在Rt△ACD中，，∴CD＝AC?cos∠ACD＝40×＝20（nmile），，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD＝，∴．故選：C．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應用一方向角問題，熟練掌握求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線是解題的關(guān)鍵．24．（2022秋?市北區(qū)期中）如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達B點，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達目的地C點，此時A，C兩點之間的距離為（）A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m【分析】根據(jù)題意畫出圖形，則AB＝1200m，BC＝500m，∠1＝90°﹣53°＝37°，∠4＝37°，再證明∠ABC＝90°，然后利用勾股定理計算AC的長即可．【解答】解：如圖，AB＝1200m，BC＝500m，∠1＝90°﹣53°＝37°，∠4＝37°，∴∠2＝∠1＝37°，∵∠3＝90°﹣∠4＝53°，∴∠2+∠3＝90°，即∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AC＝＝＝1300（m），即A，C兩點之間的距離為1300m．故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題：根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，然后構(gòu)建直角三角形，通過解直角三角形解決問題．25．（2021秋?牟平區(qū)期末）如圖1，某社會實踐活動小組實地測量兩岸互相平行的一段河的寬度，在河的南岸邊點A處，測得河的北岸邊點B在其北偏東45°方向，然后向西走60m到達C點，測得點B在點C的北偏東60°方向，如圖2，則這段河的寬30（）m（結(jié)果保留根號）．【分析】作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)BD＝xm，根據(jù)正切的定義用x表示出CD、AD，根據(jù)題意列出方程，解方程即可．【解答】解：作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)BD＝xm，∵∠BCA＝30°，∴CD＝＝x，∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，則x﹣x＝60，解得x＝30（+1），答：這段河的寬約為30（+1）米．故答案為：30（+1）．【點評】本題考查的是解直角三角形的應用﹣方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．26．（2021秋?新泰市期末）如圖，輪船在A處觀測燈塔C位于北偏西70°方向上，輪船從A處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時后到達碼頭B處，此時，觀測燈塔C位于北偏西25°方向上，則燈塔C與碼頭B的距離是多少海里？（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：，，）【分析】過點B作BF⊥AC，垂足為F，根據(jù)題意可得：∠CAB＝60°，∠EBA＝∠BAD＝50°，AB＝20海里，從而可得∠CBA＝75°，然后利用三角形內(nèi)角和定理可得∠C＝45°，最后在Rt△ABF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BF的長，再在Rt△CBF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，進行計算即可解答．【解答】解：如圖：過點B作BF⊥AC，垂足為F，由題意得：∠CAB＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∠EBA＝∠BAD＝50°，AB＝1×20＝20（海里），∵∠CBE＝25°，∴∠CBA＝∠CBE+∠EBA＝75°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝45°，在Rt△ABF中，BF＝AB?sin60°＝20×＝10（海里），在Rt△CBF中，BC＝＝＝10≈24（海里），∴燈塔C與碼頭B的距離約為24海里．【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣方向角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．27．（2021秋?渠縣期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一碼頭PQ＝1千米，在碼頭西端P的正西方30千米處有一觀察站O．某時刻測得一艘勻速直線航行的輪船位于北偏西30°方向，且與O相距20千米的A處；航行40分鐘后，又測得該輪船位于O的正北方向，且與O相距20千米的B處．（1）求該輪船的速度；（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否正好行至碼頭PQ靠岸？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）【分析】（1）過點A作AC⊥OB于點C．可知△ABC為直角三角形．根據(jù)勾股定理解答．（2）延長AB交l于D，比較OD與OP、OQ的大小即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）過點A作AC⊥OB于點C．由題意得，OA＝千米，OB＝20千米，∠AOC＝30°．∴（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA?cos∠AOC＝＝30（千米），∴BC＝OC﹣OB＝30﹣20＝10（千米）．在Rt△ABC中，＝＝20（千米），∴輪船航行的速度為：（千米/時）．（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭PQ靠岸．理由：延長AB交l于點D．∵AB＝OB＝20（千米），∠AOC＝30°．∴∠OAB＝∠AOC＝30°，∴∠OBD＝∠OAB+∠AOC＝60°．在Rt△BOD中，OD＝OB?tan∠OBD＝20×tan60°＝（千米）．∵＞30+1，∴該輪船不改變航向繼續(xù)航行，不能行至碼頭PQ靠岸．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，此題結(jié)合方向角，考查了閱讀理解能力、解直角三角形的能力．計算出相關(guān)特殊角和作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2021·重慶一中九年級期中）圖1是重慶歡樂谷的一個大型娛樂設(shè)施——“重慶之眼”摩天輪，它是全球第六、西南最高的觀光摩天輪．如圖2，小嘉從摩天輪最低處出發(fā)先沿水平方向向左行走37米到達點，再經(jīng)過一段坡度為，坡長為26米的斜坡到達點，然后再沿水平方向向左行走50米到達點．在處小嘉操作一架無人勘測機，當無人勘測機飛行至點的正上方點時，測得點處的俯角為，摩天輪最高處的仰角為．所在的直線垂直于地面，垂足為，點、、、、、、在同一平面內(nèi)，則的高度約為（）米．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，，，，）A．117 B．120 C．122 D．130【答案】B【分析】作CN⊥OD于N，F(xiàn)M⊥AB于M，分別解△EFD和△AFM，即可求出的高度．【詳解】解：作CN⊥OD于N，F(xiàn)M⊥AB于M，∵坡度為，坡長為26米，∴，米，米，∴米，米，∵∠MFD=∠FDE=58°，，，米，米，，，米，米，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題關(guān)鍵是熟練作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用坡比和三角函數(shù)求值．2．（2021·河南原陽·九年級期中）某停車場入口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞點O旋轉(zhuǎn)到的位置，已知AO＝4米，若欄桿的旋轉(zhuǎn)角，則欄桿點A升高的高度為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】過點作于C，解直角三角形得到米即為所求．【詳解】解：如圖所示，過點作于C，∴，∴，即，∴米，∴欄桿點A升高的高度為米，故選D．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵在于能夠正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形求解．3．（2021·天津河西·九年級期中）如圖，在⊙O中，點A，B在圓上，∠AOB=120°，弦AB的長度為4，則半徑OA的長度為（）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】過點O作OD⊥AB，垂足為D，利用垂徑定理，三角函數(shù)求解即可．【詳解】過點O作OD⊥AB，垂足為D，∵OA=OB，∠AOB=120°，AB=4，∴AD=BD=AB=2，∠AOD=60°，∵=sin∠AOD=sin60°=，∴OA==4，故選B．【點睛】本題考查了垂徑定理，等腰三角形的三線合一，特殊角的三角函數(shù)，靈活運用以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（2021·河南鎮(zhèn)平·九年級期中）如圖給出了一種機器零件的示意圖，其中米、米，則的長為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】如圖，作交的延長線于作交的延長線于F，證明四邊形為矩形，可得再求解DF=BFtan?DBF=33n,可得再代入數(shù)據(jù)可得答案.【詳解】解：如圖，作交的延長線于作交的延長線于F，而∠F=∠ABF=90°,四邊形為矩形，?BF=CE,CF=BE,在Rt?BDF中，BF=n,∠DBF=30°,?DF=BFtan在Rt?ACE中，∠AEC=90°,∠ACE=45°,?AE=CE=BF=n,?AB=BE?當米、米，?AB=2+3故選：C【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的應用，熟練的構(gòu)建需要的直角三角形是解題的關(guān)鍵.5．（2021·重慶八中九年級期中）如圖，垂直于地面的通信基地AB建在陡峭的山坡BC上，該山坡的坡度i＝1：2.4．小明為了測得通信基地AB的高度，他首先在C處測得山腳與通信基地AB的水平距離CD＝156米，然后沿著斜坡走了52米到達E處，他在E處測得通信基地頂端A的仰角為60°，則通信基地AB的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

A．136米 B．142米 C．148米 D．87米【答案】B【分析】如圖，作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．解直角三角形求出AD、BD即可解決問題．【詳解】解：如圖，作EH⊥CD于H，EF⊥AD于F．在Rt△ECH中，∵EH：CH＝1：2.4，EC＝52m，設(shè)EH=x，則CH=2.4x，，即，解得x=20(負值舍去)，∴EH＝DF＝20m，CH＝48m，∴EF＝DH＝CD﹣CH＝156﹣48＝108m，在Rt△AEF中，∵∠AEF＝60°，∴AF＝EF?tan60°＝108，∴AD＝AF+DF＝108+20≈207m，在Rt△BCD中，∵BD：CD＝1：2.4，∴BD＝65m，∴AB＝AD﹣BD＝207﹣65＝142m，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．二、填空題6．（2021·上海市延安初級中學九年級期中）如圖，某興趣小組用無人機對大樓進行測高，無人機從距離大樓30米（PB＝30米）垂直起飛，飛到A處懸停，測得大樓底部俯角α＝45°，大樓頂部仰角β＝60°，則大樓的樓高BC＝____米．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】過A點作AD⊥BC交BC于D點，根據(jù)題意得到四邊形APBD是正方形，求出DB的長度，然后根據(jù)仰角β＝60°的三角函數(shù)值和AD=30求出DC的長度，即可求出大樓的樓高BC的長度．【詳解】解：如圖所示，過A點作AD⊥BC交BC于D點，∵，，，∴四邊形APBD是矩形，又∵，∴，∴，∴四邊形APBD是正方形，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】此題考查了解直角三角形，三角函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線AD，根據(jù)三角函數(shù)值求解．7．（2021·四川省成都市七中育才學校九年級期中）如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹，數(shù)學興趣小組兩次測量它在地面上的影子，第一次是陽光與地面成60°角時，第二次是陽光與地面成30角時，已知兩次測量的影長相差8米，則樹高AB為多少？___．（結(jié)果保留根號）【答案】米【分析】設(shè)，利用正切的定義以及特殊角的正切值，表示出和，然后求解即可．【詳解】解：設(shè)米在中，，則在中，，則，即，解得即米故答案為米【點睛】本題考查了解直角三角形的實際應用，涉及正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切三角函數(shù)的定義以及特殊角的正切值．8．（2021·浙江浙江·九年級期末）某廠家設(shè)計一種雙層長方體垃圾桶，cm，cm，cm，側(cè)面如圖1所示，為隔板，等分上下兩層．下方內(nèi)桶繞底部軸旋轉(zhuǎn)打開，若點恰好能卡在原來點的位置，則內(nèi)桶邊的長度應設(shè)計為______cm；現(xiàn)將調(diào)整為cm，打開最大角度時，點卡在隔板上，如圖2所示，可完全放入下方內(nèi)桶的球體的直徑不大于______cm．【答案】21【分析】根據(jù)CH=CG，利用勾股定理即可求得BH的長；作出如圖的輔助線，解直角三角形求出即可解決問題．【詳解】解：如圖1，連接CH，∵點恰好能卡在原來點的位置，∴CH=CG=AB=35(cm)，∴BH=(cm)；∠=45，由題意得=BC=25cm，∴CH=(cm)，HG=(cm)，∴∠∠=45，過作⊥CH于I，交CG于J，過J作⊥于K，∵(cm)，∴CI==(cm)，∴，，∴(cm)，∴(cm)，??，∴(cm)，(cm)，∴，過H作HL⊥于L，過G作GM⊥于M，∵∠JCK=∠GCL=∠GHM，∴，，∴(cm)，∴(cm)，∴球體的直徑不大于cm故答案為：；【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．9．（2021·浙江浙江·九年級期末）如圖1是某品牌自行車，圖2是其示意圖．已知，，，，，自行車坐墊，平行地面，垂直地面，自行車輪子半徑等于5dm，則A點到所在直線的距離為___dm，坐墊到地面的距離為___dm．（已知，結(jié)果保留根號）【答案】【分析】通過作垂線，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求解即可【詳解】解：（1）過點A作AH垂直RB的延長線于H點，故AH即為所求A到BR所在直線距離∵，∴在中，即故過點D作DM⊥BR于點M，過點C作CN⊥DM于點N，過點K作KP⊥BR于P，延長CR交地面于點Q，故有MRNC為矩形所以，所求FG到地面距離為（KP+RQ），即KP+CQ-CR在和中∴∽∴∴又AB//CD∴∠∴∠又DM//CR∴∠在中，∴在中，∴∴∴∴即到底面的距離為（）dm．故答案為：；【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意構(gòu)建直角三角形并熟練掌握三角函數(shù)的定義．三、解答題10．（2021·四川錦江·九年級期末）如圖，在水平地面上，有一盞垂直于地面的路燈AB，在路燈前方豎立有一木桿CD．已知木桿長CD＝2.65米，木桿與路燈的距離BD＝5米，并且在C點測得燈源A的仰角為44°．（結(jié)果保留1位小數(shù)：參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）（1）求路燈高AB大約是多少米？（2）請在圖中畫出木桿CD在燈光下的影子（用線段表示），并求出影長．【答案】（1）AB≈7.5米；（2）畫圖見解析；木桿CD在燈光下的影子為2.7米．【分析】（1）過點C作CE⊥AB于E，由正切函數(shù)的定義可以求出AE的長度，由已知得到BE長度后即可得到AB長度；（2）延長AC交BD的延長線于F．則線段DF就是木桿CD在燈光下的影子，由題意可得∠CFD＝∠ACE＝44°，再根據(jù)正切函數(shù)定義即可得到木桿CD的影子DF的長度．【詳解】（1）如圖，過點C作CE⊥AB于E．在Rt△ACE中，∠ACE＝44°，CE＝BD＝5米，∴＝tan44°，∴AE＝EC?tan44°≈5×0.97≈4.85（米），∵EB＝CD＝2.65米，∴AB＝AE+EB＝4.85+2.65≈7.5（米）．（2）如圖，延長AC交BD的延長線于F．則線段DF就是木桿CD在燈光下的影子，∵CE∥BF，∴∠CFD＝∠ACE＝44°，在Rt△CFD中，tan∠CFD＝，∴DF＝≈≈2.7（米）．即木桿CD在燈光下的影子為2.7米．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，根據(jù)已知建立直角三角形模型并靈活運用三角函數(shù)的定義求解是解題關(guān)鍵．11．（2021·四川龍泉驛·九年級期末）如圖，樓房AB建在山坡BC上，其坡度為i＝1：2，小明從山坡底部C處測得點A的仰角為56.35°，已知山坡的高度BD為10米，求樓房AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度BD與水平寬度CD的比）（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin56.35°≈0.83，cos56.35°≈0.55，tan56.35°≈1.50）【答案】20米【分析】根據(jù)題意可得∠ACD＝56.35°，根據(jù)BC的坡度為i＝1：2，BD＝10米，可得CD＝20（米），再利用銳角三角函數(shù)即可求出樓房AB的高度．【詳解】解：根據(jù)題意可知：∠ACD＝56.35°，BC的坡度為i＝1：2，∵BD＝10（米），∴CD＝20（米），在Rt△ACD中，AD＝CD?tan∠ACD≈20×1.50＝30（米），∴AB＝AD﹣BD＝30﹣10＝20（米）答：樓房AB的高度為20米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，坡度坡角問題，掌握解直角三角形的方法是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021·安徽·合肥壽春中學九年級期末）如圖1所示，為了進一步提升教學效果，某校更換了一批最新的投影儀設(shè)備．工人師傅們在安裝投影儀時也有一段小插曲．如圖2所示，AB為教室的高，CD為黑板的寬（點C、D均在AB上）．為了能不遮擋學生看屏幕的視線，投影儀必須安裝在點E處，其中CE⊥AB，且CE＝1.2米．由于投影儀質(zhì)量太大，橫軸（CE）不足以支撐它的重量，于是工人師傅們想用一些鐵絲（EF）來加以固定，其中點F在教室的高AB上，工人師傅在安裝時發(fā)現(xiàn)當∠CEF＝30°時，點F的固定系數(shù)較差．通過實踐發(fā)現(xiàn)，當點F向上移至點G處且∠CEG＝40°時固定系數(shù)最好，請求出工人師傅應該將固定點F向上平移多遠距離可到達點G處（即：求FG）．（其中sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73，最后結(jié)果精確到0.1）【答案】0.3m【分析】在Rt△FCE和Rt△CGE中，利用三角函數(shù)得出CF，CG，進而解答即可．【詳解】解：∵在Rt△FCE中，tan30°＝，∴CF＝CE?tan30°，∵在Rt△CGE中，tan40°＝，∴CG＝CE?tan40°，∴FG＝CG﹣CF＝CE?tan40°﹣CE?tan30°＝CE（tan40°﹣tan30°）≈1.2×（0.84﹣1.73×）≈0.3m【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解決本題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的過程．13．（2021·山西榆次·九年級期末）如圖，離小明家不遠處有一棵直立的大樹，小明想利用所學的知識測量大樹的高度．小明家在大樹對面的高樓，他從自家的窗中處眺望大樹，并測得大樹頂部的俯角是，大樹底部的俯角是．經(jīng)調(diào)查，小明家離大樹米，即米，請你利用這些數(shù)據(jù)幫他求出大樹的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】18米【分析】過點作交于點，過C作CF∥BD，根據(jù)題意，利用銳角三角函數(shù)解直角三角形即可解答．【詳解】解：過點作交于點，過C作CF∥BD，則四邊形為矩形，∴AE=BD=90，AB=DE，由題意得：，，，，在中，（米）．在中，（米）．（米）．（米）．答：大樹的高度為米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，理解俯角定義，添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵．14．（2021·山東南區(qū)·九年級期末）小穎的數(shù)學學習日記：x月x日：測量旗桿的高度．（1）今天上午王老師要帶我們?nèi)ゲ賵鰷y量旗桿的高度，昨天我們小組設(shè)計了一個方案，方案如下：小亮拿著標桿垂直于地面放置，我和小聰用卷尺測量標桿、標桿的影長和旗桿的影長，如圖1所示，標桿AB＝a，影長BC＝b，旗桿的影長DF＝c，則可求得旗桿DE的高度為．（2）但今天測量時，陰天沒有陽光，就不能用以上的方案了．如圖2所示，王老師將升旗用的繩子拉直，使繩子的底端G剛好觸到地面，用儀器測得繩子與地面的夾角為37°，然后又將繩子拉到一個0.5米高的平臺上，拉直繩子使繩子上的H點剛好觸到平臺，剩余的繩子長度為5米，此時測得繩子與平臺的夾角為54°，利用這些數(shù)據(jù)能求出旗桿DE的高度嗎？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75；sin54°≈0.8，cos54°≈0.58，tan54°≈1.45）請你回答小穎的問題．若能，請求出旗桿的高度；若不能，請說明理由．【答案】（1）；（2）能，10.5m.【分析】(1)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)列比例即可求解；（2）根據(jù)已知的長和已知的角利用解直角三角形即可求解.【詳解】（1）解：因為AC//EF，所以∠ACB=∠EFD，所以,所以，所以，所以；（2）設(shè)繩子長為L，ED高度為h，由GE為全長，∠EGD=37°，Lsin37°=h，由臺子高0.5m，繩余5m，夾角54°可得：（L-5）sin54°=h-0.5，聯(lián)立，解得，答：旗桿高度可求，為10.5m.【點睛】本題主要考查解直角三角形的應用，解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握解直角三角形的方法.15．（2021·吉林·長春市第八十七中學九年級月考）鄭州二七罷工紀念塔，簡稱“二七紀念塔”，是全國重點文物保護單位，明確提出將二七廣場片區(qū)列為2020年鄭州市建設(shè)發(fā)展重點任務之一，將其打造成為“鄭州人精神家園、河南省消費中心．全國城市復興典范”．某中學數(shù)學研究小組在綜合實踐活動中，下列示意圖中B、C、D在同一條直線上，四邊形BCEF為矩形（1）哪些小組的測量方案可以測量塔高？（2）請選擇其中一個方案及其數(shù)據(jù)計算塔高．（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）【答案】（1）第一小組和第三小組的測量方案可以測量塔高；（2）選第一組，塔高約為63米．【分析】（1）第一組根據(jù)角的關(guān)系得到AC=CD，三角形ABC可解；無法計算EF的長度，三角形AEF不可解，故第二組不符合題意；可用AB的高度分別表示DB，BC，利用DB+CB=CD建立方程計算即可，故第三組符合題意；（2）答案不唯一，選擇方案1，運用70°角的正弦計算即可．【詳解】（1）第一小組和第三小組的測量方案可以測量塔高．理由如下：∵∠ACB=70°，∠D=35°，∴∠CAD=∠ACB-∠D=70°-35°=∠D=35°，∴AC=CD=67.1，在Rt△ABC中，=sin70°，∴AB=ACsin70