江蘇省2020年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

江蘇省2020年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題(本大題共28小題，每小題3分，共84分。每個(gè)小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不給分)1．復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：D2．已知集合，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，找兩個(gè)集合的公共元素，即可得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.3．函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式化簡(jiǎn)，由可得結(jié)果.【詳解】，其中，最小正周期.故選：B.4．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)條件分析出的奇偶性，然后取特殊值計(jì)算函數(shù)值分析得到的大致圖象.【詳解】因?yàn)椋业亩x域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是奇函數(shù)，所以排除BC，又因?yàn)楫?dāng)且較小時(shí)，可取，所以，所以排除D，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式辨別函數(shù)圖象，難度一般.辨別函數(shù)圖象的常用方法：分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，計(jì)算特殊值的大小等.5．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，列不等式組求解即可.【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選：C.6．給定兩個(gè)向量a=(3,4)，b=(2,-1)，若，則的值是（）A．23 B． C． D．【答案】C【分析】先求出的坐標(biāo),然后利用向量垂直等價(jià)于數(shù)量積為零，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于x的方程，求解即得.【詳解】,，又，即，整理得,解得，故選:C.7．已知，那么函數(shù)有（）A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4【答案】B【分析】利用基本不等式，即可得到答案；【詳解】，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，函數(shù)的最小值2，故選：B.8．二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式可得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】由題意可得，通項(xiàng)，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故選:C.9．已知是空間中兩條不同的直線，為空間中兩個(gè)互相垂直的平面，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由直線是空間中兩條不同的直線，為空間中兩個(gè)互相垂直的平面，對(duì)于A中，若，可能，所以A不正確；對(duì)于B中，若，則或相交或異面，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得或，又由，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由面面垂直的性質(zhì)，可知只有時(shí)，才有，所以D不正確.故選：C.10．已知直線與平行，則實(shí)數(shù)a的值是（）A． B．2 C． D．-2【答案】C【分析】依題意根據(jù)兩直線平行的充要條件得到，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橹本€與平行，所以，解得故選：C11．已知某學(xué)校高二年級(jí)的一班和二班分別有人和人.某次學(xué)?？荚囍?，兩班學(xué)生的平均分分別為和，則這兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用平均數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】這兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)總分為，故這兩個(gè)班學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分為.故選：C.12．已知函數(shù)，則（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得，再求即為所求.【詳解】解：,,故選：D.13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由程序語言依次計(jì)算，直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí)，時(shí)，，此時(shí)輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題14．如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得該幾何體是一個(gè)圓柱，利用圓柱側(cè)面積公式計(jì)算即得結(jié)果.【詳解】解：由已知可得該幾何體是一個(gè)圓柱，底面直徑為1，周長(zhǎng)為，圓柱的高為1，故展開圖是以圓柱底面周長(zhǎng)和高為邊長(zhǎng)的矩形，故這個(gè)幾何體側(cè)面展開圖的面積是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖和圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.15．已知“”表示一種運(yùn)算，定義如下關(guān)系：①；②，.則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件依次令n=1,2,3,……得出規(guī)律即可得到答案.【詳解】∵，∴由②，令n=1，則；令n=2，則；令n=3，則；……；故選：C.16．棉花的纖維長(zhǎng)度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo).在一批棉花中隨機(jī)抽測(cè)了50根棉花的纖維長(zhǎng)度(單位：mm)，其頻率分布直方圖如圖所示.根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)事件“棉花的纖維長(zhǎng)度大于275mm”的概率為（）

A．0.30 B．0.48 C．0.52 D．0.70【答案】C【分析】根據(jù)直方圖計(jì)算最右邊兩個(gè)矩形的面積可得結(jié)果.【詳解】“棉花的纖維長(zhǎng)度大于275mm”的概率為.故選：C17．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，并采用整體法，可得結(jié)果.【詳解】由令所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，重點(diǎn)在于把握正弦函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)對(duì)于整體法的應(yīng)用，使問題化繁為簡(jiǎn)，屬基礎(chǔ)題.18．在等差數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前11項(xiàng)和（）A．58 B．88 C．143 D．176【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，．故選：C．19．在空間中，設(shè)，，為三條不同的直線，為一平面.現(xiàn)有：命題：若，，且，則；命題：若，，且，，則.則下列判斷正確的是（）A．，都是真命題 B．，都是假命題C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是真命題【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面平行的判斷定理和直線與平面垂直的判斷定理即可得出答案.【詳解】根據(jù)直線與平面平行的判斷定理：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則此直線與該平面平行，可得命題為真命題，根據(jù)直線與平面垂直的判斷定理：平面外一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則此直線與該平面垂直,命題為假命題.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面平行、垂直的判斷定理，屬于基礎(chǔ)題.20．如圖，正方體中，異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，可得即為異面直線與所成的角，求即可.【詳解】因?yàn)椋约礊楫惷嬷本€與所成的角，在中，，所以為等腰直角三角形，所以，即異面直線與所成的角為.故選：B.21．的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【分析】求出最大值角的余弦值后可判斷．【詳解】設(shè)最大角為，則，是鈍角，三角形為鈍角三角形．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理，考查用余弦定理判斷三角形形狀．解題時(shí)求出最大角的余弦即可判斷．22．學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)進(jìn)入學(xué)生會(huì)，其中高二（1）班有4名候選人，假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，若表示選到高二（1）班的候選人的人數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出隨機(jī)變量X的所有取值，分別計(jì)算的各種取值對(duì)應(yīng)的概率，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：的可能取值有0，1，2，且，，，．故選：D.23．基礎(chǔ)建設(shè)對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生巨大的作用，某市投入億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生億元社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益．若該市投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】由4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍求得參數(shù)，然后計(jì)算出產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍的時(shí)間，相減可得結(jié)論．【詳解】由條件得，∴，即．設(shè)投資年后，產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則有，解得，．所以再過年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)笑意是投資額的8倍．故選：B．24．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由條件變形，再結(jié)合基本不等式求最小值.【詳解】由條件可知，，所以，當(dāng)，即，結(jié)合條件，可知時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D25．若直線與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由直線l與曲線的方程可得它們的圖形，結(jié)合圖形分析可知直線l與半圓相切到過時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求的取值范圍.【詳解】由題意知：直線過定點(diǎn)，曲線為y軸上半部分的半圓，如下圖示：如圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線l與半圓相切，到直線l過時(shí)，它們有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線l與曲線相切時(shí)，，得，當(dāng)直線l過時(shí)，，得，∴結(jié)合圖象知：時(shí)直線l與曲線有兩個(gè)交點(diǎn).故選：B26．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（），則下列結(jié)論正確的是()A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C．，，成等差數(shù)列 D．，，成等差數(shù)列【答案】D【分析】由，時(shí)，．時(shí)，．進(jìn)而判斷出正誤．【詳解】解：由，時(shí)，．時(shí)，，時(shí)，，不成立．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列．，因此數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列．，因此，，不成等差數(shù)列．．．．，，，成等差數(shù)列．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．27．已知直線與圓C：相交于A，B兩點(diǎn)，且（C為圓心）為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，可得故圓心到直線的距離為：，同時(shí)由點(diǎn)到直線的距離公式，可得，可得答案.【詳解】解：由題意得：為等腰直角三角形，故圓心到直線的距離為：，在利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得圓心到直線的距離為：，解得：，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用等，屬于基礎(chǔ)題.28．若正數(shù)x，y滿足，則的最大值為（）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】已知等式變形為，然后用“1”的代換求出的最小值即可得．【詳解】∵x，y均為正數(shù)，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴，所求最大值為．故選：D．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方二、解答題(本大題共2小題，共16分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。)29．（本小題滿分8分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可參加抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)有兩種方案可供選擇．方案一:從裝有4個(gè)紅球和2個(gè)白球的不透明箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng);方案二:擲2顆散子，如果出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)為4則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)．[注:散子(或球)的大小?形狀?質(zhì)地均相同]（1）有顧客認(rèn)為，在方案一中，箱子中的紅球個(gè)數(shù)比白球個(gè)數(shù)多，所以中獎(jiǎng)的概率大于．你認(rèn)為正確嗎?請(qǐng)說明理由．（2）如果是你參加抽獎(jiǎng)，你會(huì)選擇哪種方案?請(qǐng)說明理由．【答案】（1）錯(cuò)誤，理由見解析；（2）選擇方案一，理由見解析.【分析】（1）將4個(gè)紅球分別記為，2個(gè)白球分別記為，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和2個(gè)都是紅球所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解.（2）根據(jù)古典摡型的概率計(jì)算公式，求得方案二中獎(jiǎng)的概率，即可得到相應(yīng)的結(jié)論.【詳解】（1）將4個(gè)紅球分別記為，2個(gè)白球分別記為，則從箱中隨機(jī)摸出2個(gè)球有以下結(jié)果：，，總共15種，其中2個(gè)都是紅球的有，，共6種，所以方案一中獎(jiǎng)的概率，所以該顧客的想法是錯(cuò)誤的．（2）拋擲2顆骰子，所有基本事件共有36種，其中出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)4的基本事件有，，共11種，所以方案二中獎(jiǎng)的概率，可得所以應(yīng)該選擇方案一．30．（本小題滿分8分）已知為的三內(nèi)角，且其對(duì)邊分別為，若.（1）求；（2）若，，