2.2 直線的方程-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)•題型 •技巧》精講與精練高分突破（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）

高二數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版選擇性必修第一冊(cè))直線和圓的方程2.2直線的方程【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程類別點(diǎn)斜式斜截式適用范圍斜率存在已知條件點(diǎn)P(x0，y0)和斜率k斜率k和在y軸上的截距b圖示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b截距直線l與y軸交點(diǎn)(0，b)的縱坐標(biāo)b叫做直線l在y軸上的截距考點(diǎn)二：直線的兩點(diǎn)式方程和截距式方程名稱兩點(diǎn)式截距式條件兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)在x，y軸上的截距分別為a，b(a≠0，b≠0)示意圖方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍斜率存在且不為0斜率存在且不為0，不過(guò)原點(diǎn)考點(diǎn)三直線的一般式方程關(guān)于x和y的二元一次方程都表示一條直線．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式．(1)若直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程．(2)若直線的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0.考點(diǎn)四直線的五種形式的方程形式方程局限點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0＝k(x－x0)不能表示斜率不存在的直線斜截式y(tǒng)＝kx＋b不能表示斜率不存在的直線兩點(diǎn)式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)x1≠x2，y1≠y2截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不能表示與坐標(biāo)軸平行及過(guò)原點(diǎn)的直線一般式Ax＋By＋C＝0無(wú)考點(diǎn)五直線各種形式方程的互化【題型歸納】題型一：與直線點(diǎn)斜式方程有關(guān)的問(wèn)題1．與直線y＝x的斜率相等，且過(guò)點(diǎn)(－4，3)的直線方程為（）A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)2．已知，，，則過(guò)點(diǎn)且與線段垂直的直線方程為（）．A． B．C． D．3．若直線：與互相平行，且過(guò)點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B．C． D．題型二：與直線的斜截式方程有關(guān)的問(wèn)題4．若直線：與：平行，則直線在軸上的截距為（）A．2或 B．或 C．2 D．5．兩直線與(其中a為不為零的常數(shù))的圖象可能是（）A． B． C． D．6．直線過(guò)點(diǎn)，且與軸正半軸圍成的三角形的面積等于的直線方程是（）A． B．C． D．題型三：直線的兩點(diǎn)式方程7．下列說(shuō)法的正確的是（）A．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為B．經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線的方程都可以表示為C．不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線的方程都可以表示為D．經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線的方程都可以表示8．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的方程是（）A． B．C． D．9．光線從點(diǎn)射出，到軸上的點(diǎn)后，被軸反射到軸上的點(diǎn)，又被軸反射，這時(shí)反射線恰好過(guò)點(diǎn)，則所在直線的方程是（）A． B． C． D．題型四：直線的截距式方程10．一束光線從點(diǎn)處射到y(tǒng)軸上一點(diǎn)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程是A． B．C． D．11．已知直線過(guò)點(diǎn)，且在縱坐標(biāo)軸上的截距為橫坐標(biāo)軸上的截距的兩倍，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或12．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸的正半軸交于兩點(diǎn)，則面積最小值為()A．4 B．8 C．12 D．16題型五：直線的一般方程定點(diǎn)問(wèn)題13．不論為何值，直線恒過(guò)定點(diǎn)A． B． C． D．14．已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，點(diǎn)也在直線上，其中，均為正數(shù)，則的最小值為（）A．2 B．4 C．8 D．615．若直線與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．題型六：由一般方程判斷直線的平行問(wèn)題16．已知直線的方程為，直線的方程為，若，則A．或 B． C． D．17．若直線和直線平行，則的值為（）A． B． C．或 D．18．“”是“直線與直線平行”的A．充分非必要條件B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件題型七：由一般方程判斷直線的垂直問(wèn)題19．已知直線:，直線:，若，則（）A． B． C． D．20．“”是“直線與直線互相垂直”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件21．已知直線：和直線：，下列說(shuō)明正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題22．直線和直線的位置關(guān)系是（）A．相交且垂直 B．平行 C．相交且不垂直 D．不確定23．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線的傾斜角互補(bǔ)，則直線l的方程為（）A． B． C． D．24．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的方程為（）A． B． C． D．25．直線過(guò)定點(diǎn)（）A． B． C． D．26．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則的方程為（）A． B． C． D．27．已知點(diǎn)，.若直線與線段相交，則的取值范圍是（）A． B． C． D．28．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A． B．C． D．29．是直線與直線互相垂直的（）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件30．一條光線沿直線入射到軸后反射，則反射光線所在的直線方程為（）.A． B．C． D．31．已知，直線上存在點(diǎn)，滿足，則的傾斜角的取值范圍是（）A． B． C． D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題32．在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是（）A． B．C． D．33．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).則的最小值為（）A． B． C． D．34．直線經(jīng)過(guò)直線和直線的交點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為（）A． B．C． D．35．已知直線與直線分別過(guò)定點(diǎn)，B，且交于點(diǎn)，則的最大值是（）A． B．5 C．8 D．1036．直線不過(guò)第二象限，則的取值范圍為（）A． B． C． D．37．若直線與垂直，則的方程的截距式為（）A． B．C． D．38．已知三個(gè)頂點(diǎn)分別為則邊上的高所在的直線方程為（）A． B．C． D．39．設(shè)直線l的方程為．若不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、多選題40．下列說(shuō)法正確的是（）A．截距相等的直線都可以用方程表示B．方程能表示平行y軸的直線C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為41．若直線在軸上的截距為，則實(shí)數(shù)可能為（）A． B．C． D．42．直線y＝ax＋可能是（）A． B． C． D．43．已知直線，則下列說(shuō)法正確的是（）A．直線過(guò)定點(diǎn)B．直線一定不與坐標(biāo)軸垂直C．直線與直線一定平行D．直線與直線一定垂直44．下列說(shuō)法正確的是（）A．直線必過(guò)定點(diǎn)（2，1）B．直線在軸上的截距為－2C．直線的傾斜角為120°D．若直線沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，回到原來(lái)的位置，則該直線的斜率為三、填空題45．已知直線l：過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______．46．的三頂點(diǎn)分別是，，，則邊上的高所在的直線的一般式方程是_______．47．如圖，射線，分別與軸正半軸成和角，過(guò)點(diǎn)作直線分別交，于，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)恰好落在直線上時(shí)，則直線的方程是______．48．下列命題：①當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，時(shí)，直線的斜率為②直線與軸交于一點(diǎn)，則直線在軸上的截距為③在軸和軸上截距相等的直線方程為④方程表示過(guò)點(diǎn)和的直線．其中說(shuō)法中正確的命題番號(hào)是______．四、解答題49．求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－，3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半；（3）在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7，3)，且AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，求直線MN的方程．50．求經(jīng)過(guò)直線ll∶2x-y+4=0與直線l2∶x-y+5=0的交點(diǎn)M，且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線x-2y-1=0平行；（2）與直線x+3y+1=0垂直.51．已知直線：（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作一條直線，使夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被點(diǎn)平分，求直線的方程.52．已知直線（1）求證：直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．（2）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，的面積為S，求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程．（3）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案詳解】1．C2．D【詳解】解：因?yàn)?，所以與垂直的直線的斜率為，所以過(guò)點(diǎn)且與線段垂直的直線方程為，即，故選：D3．C【詳解】由題意，的斜率為，則的斜率為，又過(guò)點(diǎn)，所以的方程為：.故選：C.4．D【詳解】因?yàn)?，所以且，解得，所以，?所以直線在軸上的截距為.故選：D5．B【詳解】直線方程可化為，可得直線的斜率為，直線方程可化為，可得直線的斜率為，由此可知兩直線的斜率為同號(hào)，結(jié)合選項(xiàng)可得，只有選項(xiàng)B適合.故選：B.6．A【詳解】設(shè)所求直線方程為：，由題意得，且解得故，即.故選：A.7．D【詳解】A中的方程表示有斜率的直線，但過(guò)定點(diǎn)不一定有斜率，錯(cuò)誤；B中的方程表示有斜率的直線，但過(guò)定點(diǎn)不一定有斜率，錯(cuò)誤；C中的方程表示橫、縱截距不為0的直線，不過(guò)原點(diǎn)但可能垂直坐標(biāo)抽，所以錯(cuò)誤；D、經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線都可以用方程表示，說(shuō)法正確．故選：D8．D【詳解】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、的直線的方程為，即.故選：D.9．A【詳解】解：根據(jù)題意，做出如圖的光線路徑，則點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則所在直線的方程即為直線方程，由兩點(diǎn)是方程得直線方程為：，整理得：故選：A.10．B【詳解】由題得點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)在反射光線所在的直線上，再根據(jù)點(diǎn)也在反射光線所在的直線上，由截距式求得反射光線所在直線的方程為，即，故選B.11．D【詳解】根據(jù)題意，直線分2種情況討論：①當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，又由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所求直線方程為，整理為，②當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)得，解得，此時(shí)直線的方程為，整理為．故直線的方程為或.故選D．12．C【詳解】解:由題意設(shè)直線方程為,.由基本不等式知,

即(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立).又答案為C13．B【詳解】恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)，由解得即直線恒過(guò)定點(diǎn).14．B【詳解】已知直線整理得：，直線恒過(guò)定點(diǎn)，即.點(diǎn)也在直線上，所以，整理得：，由于，均為正數(shù)，則,取等號(hào)時(shí)，即，故選：B.15．B【詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)，又由于直線與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2恒過(guò)定點(diǎn)(0,2).16．C【詳解】因?yàn)?，故，整理得到，解得或．?dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舎；當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行，符合；故，選C．17．A【詳解】直線和直線平行，可得，得.故選：A.18．C【詳解】當(dāng)時(shí)，直線，直線．此時(shí)，兩條直線平行．當(dāng)，當(dāng)時(shí)兩條直線重合，舍棄．因此．所以為充要條件．故選擇C19．B【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以，所以tanα=2，所以.故選：B．20．C【詳解】若直線與直線互相垂直，則，解得.所以“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件，選C.21．C【詳解】若，則選項(xiàng)B、D都不成立；若，，則直線是一條直線，故選項(xiàng)A不正確；只有C正確．22．A解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，則，則．綜上，知，故選：A．23．A【詳解】因?yàn)榕c直線的傾斜角互補(bǔ)，而直線的斜率為，所以直線l的斜率為，則直線l的方程為，即．故選：A24．D【詳解】，直線的方程為，故選：D25．C【詳解】直線方程可化為，由，解得，因此，直線過(guò)定點(diǎn).故選：C.26．C【詳解】直線與直線垂直，且直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得.故選：C．27．D【詳解】直線恒過(guò)點(diǎn)，如圖，直線l從經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)的直線CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)的直線CB時(shí)，直線l與線段AB都相交，并且斜率逐漸增大，即直線l斜率最小值為直線CA斜率，直線l斜率最大值為直線CB斜率，所以的取值范圍是.故選：D28．C【詳解】直線與直線垂直，設(shè)直線的方程為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，即.直線的方程為.故選：C29．A【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，解得或，所以是直線與直線互相垂直的充分不必要條件.故選：A.30．B【詳解】令得，所以直線與軸的交點(diǎn)為，又直線的斜率為，所以反射光線所在直線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，即.故選：B.31．D【詳解】將代入得，將代入得，所以A，B不在直線l上，又上，所以點(diǎn)p在線段AB上，直線AB的方程為：，由，解得，直線方程，即為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，因?yàn)?，所以，故選：D32．AA：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故正確；B：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；C：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；D：時(shí)，，即；時(shí)，，即，故錯(cuò)誤；故選：A.33．C【詳解】由題意知：，即，∴，而，∴，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為8.34．A【詳解】聯(lián)立，解得，直線與直線垂直，則直線直線的斜率為，所以直線的方程為，整理可得.故選：A.35．D【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故選：D.36．C【詳解】若，可得，直線的方程為，該直線不過(guò)第二象限，合乎題意；若，可得，直線的斜截式方程為，若直線不過(guò)第二象限，則，解得.綜上所述，.故選：C.37．C因?yàn)榕c垂直，所以，解得，則的方程為，即.故選：C.38．A由已知可得，則邊上的高所在的直線斜率，則可得直線的方程為，即.故選：A.39．B【詳解】解：將直線方程化為斜截式方程得，因?yàn)椴唤?jīng)過(guò)第一象限，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：B40．BD解：對(duì)于A，截距相等為0的直線都不可以用方程表示，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程表示平行y軸的直線，故正確；對(duì)于C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線方程不能寫(xiě)成，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，直線的斜率存在，可寫(xiě)成，故正確；故選：BD．41．BC【詳解】由題意可知，當(dāng)，即且時(shí)，令，得在軸上的截距為，即，所以或，故選：BC.42．AB【詳解】因?yàn)閍≠0，所以C錯(cuò)；當(dāng)a＞0時(shí)，＞0，不過(guò)第四象限，故A對(duì)；當(dāng)a＜0時(shí)，＜0，不過(guò)第一象限，故D錯(cuò)，B對(duì)．故選：AB43．AD【詳解】對(duì)于A:整理為：，恒過(guò)定點(diǎn)(-1,0)，故A正確；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，兩直線重合，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋手本€與直線一定垂直，故D正確，故選：AD.44．ACD【詳解】，所以點(diǎn)在直線上，A正確；對(duì)，令，得，直線在軸上截距為2，B錯(cuò)誤；直線的斜率為，傾斜角為，C正確；設(shè)直線方程為，沿軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得，即它就是，所以，所以，D正確．故選：ACD．45．化為，因直線l恒過(guò)定點(diǎn)，即無(wú)論m取何值等式都成立，即與同時(shí)成立，由，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故答案為：46．【詳解】設(shè)BC邊上的高為AD，則，，，，解得．邊上的高所在的直線方程為，即．故答案為：．47．由題意可得，，所以直線的方程：，直線的方程：，設(shè)，，所以的中點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，且三點(diǎn)共線得：解得：，所以又，所以，所以直線的方程是：，即，故答案為：.48．①④對(duì)于①，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，時(shí)，所以直線的斜率為，故①正確；對(duì)于②，截距不是距離，是點(diǎn)的縱坐標(biāo)，其值可正可負(fù)．故②不正確；