3.3 冪函數(shù)（單元課時教學設計）（張園華）-高中數(shù)學新教材必修第一冊小單元教學+專家指導（視頻+教案）

《冪函數(shù)》單元-課時教學設計內容和及其解析（一）內容冪函數(shù)的定義，y=x,y=x（二）內容解析1.內容的本質：冪函數(shù)是一類重要的基本初等函數(shù)，很多函數(shù)都是由冪函數(shù)及其他基本的初等函數(shù)經(jīng)過運算、復合得到的.冪函數(shù)是學生進入高中后學習的第一類具體的基本初等函數(shù).學生已學習過正比例函數(shù)（y=x）、反比例函數(shù)（y=x?1）、二次函數(shù)（y=x2.蘊含的思想和方法：通過具體實例抽象出冪函數(shù)的定義體現(xiàn)了抽象與概括的思想；五個具體函數(shù)性質的研究滲透著分類討論和數(shù)形結合思想.3.知識的上下位關系：“冪函數(shù)”的內容安排在“函數(shù)的概念與性質”一章的第3節(jié)，是在學習完一般函數(shù)的概念以及函數(shù)的基本性質后，選取一類簡單的基本初等函數(shù)進行研究，使學生明確一類具體函數(shù)的研究內容（背景——概念——表示——圖象和性質——應用），并體會如何在一般函數(shù)的概念及基本性質的指導下展開研究.因此冪函數(shù)的學習即是對前面所學內容的鞏固，也為后面指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習打下基礎.4.育人價值：借助對一類函數(shù)的研究，使學生理解研究一類函數(shù)的內容、基本思路（定義、表示——圖象和性質——應用）和方法.圍繞函數(shù)概念這個核心，從相互聯(lián)系的觀點出發(fā)，利用函數(shù)與數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式等之間的聯(lián)系，通過類比、歸納和概括，引導學生從不同角度理解函數(shù)概念，發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學抽象素養(yǎng).5.教學重點：冪函數(shù)的概念、圖象與性質.二、目標和目標解析（一）目標通過具體實例，結合y=x,y=1（二）目標解析達成上述目標的標志是：能從自變量、函數(shù)值及函數(shù)解析式的結構等角度歸納共性，抽象出冪函數(shù)的一般形式；會利用冪函數(shù)的定義識別給出的函數(shù)是否為冪函數(shù)；會畫出五個冪函數(shù)的草圖，并利用圖象得到它們的定義域、值域、單調性、奇偶性等性質；能利用冪函數(shù)的性質解決一些簡單的問題，如比較大小等.結合對冪函數(shù)的研究，體會從“定義、表示——圖象與性質——應用”的研究具體函數(shù)的方法.三、教學問題診斷分析教學問題1：學生在初中已經(jīng)學習過一些具體的函數(shù)，但缺乏研究一類函數(shù)的內容和方法的認識。破解方法：教學時應引導學生梳理初中學習的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的研究過程與方法，以及前一單元一般函數(shù)的概念和性質的研究過程與方法，讓學生嘗試構建冪函數(shù)的研究過程，從而體會研究一類函數(shù)的內容、思路和方法.教學問題2：學生畫出y=x破解方法：教學時應該先引導學生觀察函數(shù)解析式的特點，得出y=x3是奇函數(shù)教學問題3：在歸納性質時，學生對從哪方面進行歸納會存在困惑。破解方法：教師要引導學生思考研究函數(shù)的一般方法及所要研究的內容，結合前面函數(shù)性質的研究，為這里性質的歸納作好鋪墊.分析五個冪函數(shù)圖象的共性和差異性而得出性質，同時，還要加強信息技術的應用.教學難點：畫y=x3和四、教學支持條件利用geogebra軟件在同一個坐標系中畫出五個冪函數(shù)的圖象，以利于觀察、歸納出函數(shù)的性質，讓學生有更多的時間停留在觀察與思考上，更好的體會函數(shù)的本質與數(shù)學內涵.五、教學過程設計課時安排1課時課時教學設計（一）課時目標：1.通過具體實例，了解冪函數(shù)的定義，會畫y=x,y=x2.通過對冪函數(shù)的研究，體會研究一類函數(shù)的基本內容與方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).（二）教學過程設計引導語：前面我們學習了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對圖象的觀察，研究了函數(shù)的單調性、最值、奇偶性.這節(jié)課我們利用這些知識研究一類新的函數(shù).問題1：請看下面幾個實例：（1）如果張紅以1元/kg的價格購買了某種蔬菜wkg，那么她需要支付p=w元，這里p是w的函數(shù)；（2）如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數(shù)；（3）如果立方體的邊長為b，那么立方體的體積V=b3，這里V是b的函數(shù)；（4）如果一個正方形場地的面積為S，那么這個正方形的邊長c=S（5）如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v=1tkm/s觀察這五個函數(shù)的解析式，它們有什么共同特征？師生活動：（1）學生思考后回答，根據(jù)學生的回答，教師進行必要的補充.最后指明：這幾個函數(shù)解析式都具有冪的形式，冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)為常數(shù).（2）教師給出冪函數(shù)的定義，并進行板書.（3）追問：能否根據(jù)冪函數(shù)的定義舉出一個冪函數(shù)的例子？（通過舉例理解定義）學生思考后口答，老師將學生舉出的具體冪函數(shù)的解析式寫到黑板上，進行評價糾錯.糾錯時要指出不符合定義中的哪個條件。設計意圖：通過學生熟悉的實際問題抽象概括出冪函數(shù)；通過追問引導學生抓住冪函數(shù)的形式特點，發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).對于冪函數(shù)，我們只研究α=1，2，3，1問題2：結合以往學習函數(shù)的經(jīng)驗，你認為應該如何研究這些函數(shù)？師生活動：（1）學生回顧初中學習函數(shù)的過程，結合前面研究一般函數(shù)的內容回答，教師在學生回答的基礎上進行補充。（2）明確研究一類具體函數(shù)的基本過程：①根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域；②畫出函數(shù)的圖象；③利用圖象和解析式，討論函數(shù)的值域、單調性、奇偶性等問題.教師板書：研究一類具體函數(shù)的基本過程：①根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)的定義域；②畫出函數(shù)的圖象；③利用圖象和解析式，討論函數(shù)的值域、單調性、奇偶性等.（3）教師講解研究一類新函數(shù)的一般思路：定義、表示——圖象與性質——應用.設計意圖：通過回顧已有經(jīng)驗，引導學生體會研究一類函數(shù)的方法，給出研究一類函數(shù)的一般內容、基本思路和方法，發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).問題3：這五個冪函數(shù)中y=x，y=x2和y=x師生活動：（1）追問：觀察這兩個函數(shù)的解析式，你能說出它們的一些性質嗎？學生思考后回答.最后使學生認識到：通過解析式，可以得到y(tǒng)=x3和y=x1（2）學生畫出y=x，y=x2和y=x設計意圖：讓學生先觀察函數(shù)y=x問題4：觀察這五個冪函數(shù)圖象，它們有哪些共同的性質？有哪些不同的性質？師生活動：（1）學生回答，通過交流補充歸納得到五個冪函數(shù)的性質，并將這些性質填入表格中.y=xy=y=y=y=圖象定義域值域奇偶性單調性（2）追問：這些函數(shù)圖象有公共點嗎？在獲得了上面幾條基本性質之后，教師可引導學生關注函數(shù)圖象所經(jīng)過的特殊點以及函數(shù)圖象的變化趨勢，進一步得到“函數(shù)都過（1,1）點”，y=x（3）追問：請舉一個冪函數(shù)的例子，并畫出草圖.學生思考后板書并畫圖.教師根據(jù)學生的回答，進行評價糾錯.設計意圖：引導學生通過觀察函數(shù)的圖象，得出五個函數(shù)各自性質的基礎上，歸納共性和差異性，得出冪函數(shù)的一些基本性質，培養(yǎng)學生的分類討論能力；追問（2）由冪函數(shù)的性質畫出草圖，進一步鞏固冪函數(shù)的性質，發(fā)展學生的數(shù)學抽象核心素養(yǎng).問題5：利用函數(shù)圖象我們得到了五個冪函數(shù)的上述性質.事實上，觀察得到的結論有時候是不可靠的，我們還應該對其進行嚴格的證明.你能證明冪函數(shù)fx師生活動：教師提出問題，學生獨立完成，請幾位學生板書證明過程.教師對學生的證明過程進行評價糾錯.設計意圖：引導學生對觀察得到的性質進行理性思考，利用解析式對結論進行嚴格證明，通過學生思維的嚴謹性，同時引導學生認識到用抽象語言表述的單調性定義在證明中的重要作用，發(fā)展學生的邏輯推理核心素養(yǎng).問題6:回顧本節(jié)課的學習內容，并回答以下問題：（1）什么是冪函數(shù)？結合五個冪函數(shù)，你能說說冪函數(shù)具有哪些性質嗎？（2）結合對五個冪函數(shù)的研究過程，你能歸納一下函數(shù)的研究內容和方法嗎？設計意圖：回顧本節(jié)課的主要知識和研究過程，總結研究函數(shù)的內容、思路和方法.（三）目標檢測設計1、課堂檢測教材第91頁練習1,2,3設計意圖：1題考查冪函數(shù)定義的應用，2題考查學生冪函數(shù)的單調性在比較大小中的應用，3題用