3.1.1函數(shù)的概念及其表-【新教材】人教A版（2019）高中數(shù)學必修第一冊講義

新教材必修第一冊3.1.1：函數(shù)的概念及其表示課標解讀：函數(shù)的概念.（理解）函數(shù)的定義域.（掌握）函數(shù)的值域.（理解）區(qū)間的概念.（了解）學習指導：函數(shù)的概念是初中函數(shù)知識的基礎上出現(xiàn)的全新的現(xiàn)代定義方式（利用集合語言定義函數(shù)），相對來說比較抽象，學習時要注意對概念的理解、三要素的把握、數(shù)形結(jié)合，重點理解定義中的“任意性、存在性、唯一性”，要通過適量的練習加以鞏固，為后續(xù)的學習打牢基礎.此部分題目靈活多變，要學會舉一反三，領悟核心要素.知識導圖：教材全解知識點1：函數(shù)的概念1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義（變量說）一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與之對應，那么就稱是自變量，是的函數(shù).2.函數(shù)的現(xiàn)代定義（對于關系說）一般地，設A，B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)，按照某種確定的對應關系，在集合B中都有唯一確定的數(shù)和它對應，那么就稱A→B為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作其中，叫做自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對應的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.顯然，值域是集合B的子集.例1-1：下列對應關系是集合A到集合B的函數(shù)的為，對應關系如圖所示：答案：A不是B是C不是D是E不是變式訓練：由下列式子是否確定是的函數(shù)？（1）；（2）（3）答案：（1）不能確定；（2）能確定；（3）不能確定.知識點2：函數(shù)的三要素由函數(shù)的概念知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為定義域、對應關系和值域.1.定義域函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍.在函數(shù)關系的表述中，函數(shù)的定義域有時可以忽略，這時就約定這個函數(shù)的定義域就是使得這個函數(shù)關系式有意義的實數(shù)的全體構(gòu)成的集合.在實際問題中，函數(shù)的定義域還要受到自變量實際意義的制約.2.對應關系對應關系是函數(shù)的核心，它是對自變量實施“對應操作”的“程序”或者“方法”.按照這一“程序”，從定義域A中任何取一個，可得到值域中唯一的與之對應.同一“”可以“操作”不同形式的變量.3.值域函數(shù)值域是函數(shù)值的集合，通常一個函數(shù)的定義域和對應關系確定，它的值域也就隨之確定了.例2-2：下列說法不正確的是（）定義域與對應關系后，函數(shù)值域也就確定了函數(shù)的定義域是無限集，則值域也是無限集若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素對于不隨著的變化而變化，所以也成立.答案：B例2-3：下列說法正確的是（）函數(shù)值域中每一個數(shù)在定義域中一定有一個數(shù)與之對應函數(shù)的定義域和值域可以是空集函數(shù)的定義域和值域一定是數(shù)集函數(shù)的定義域和值域確定后，函數(shù)的對應關系也就確定了答案：C例2-4：下表表示是的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（）A.B.RC.D.答案：D例2-5：下列函數(shù)的定義域不是R的是（）B.C.D.答案：C例2-6：已知函數(shù)；求求答案：（1）；（2）知識點3：函數(shù)的相等只有當兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同時，這兩個函數(shù)才相等，即是同一個函數(shù).例3-7：下列表示同意函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：B知識點4：區(qū)間區(qū)間的概念：設是兩個實數(shù)，且，，規(guī)定分別叫做閉區(qū)間、開區(qū)間；叫做半開半閉區(qū)間；叫做相應區(qū)間的端點.注意點：區(qū)間符號內(nèi)的兩個字母或數(shù)之間用“，”隔開.讀作無窮大，它是一個符號，不是一個數(shù).開區(qū)間（）與平面上的點（）要區(qū)分開，在讀題時注意結(jié)合上下文加以區(qū)別.

（4）在數(shù)軸上表示區(qū)間時，用實心點表示端點在區(qū)間內(nèi)，用空心點表示端點不在區(qū)間內(nèi).例4-8：用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）=；（2）=；（3）；（4）R=；（5）；（6）.答案：（1）（2）（3）（4）（5）[-5，-1]（6）例4-9：求解下列問題區(qū)間關于原點對稱，求及該區(qū)間.區(qū)間的右端點為3，求及該區(qū)間.答案：（1），區(qū)間為；（2），區(qū)間為例4-10：設集合則（）A.B.C.D.答案：D重難拓展知識點5：抽象函數(shù)與復合函數(shù)1.抽象函數(shù)的概念沒有給出具體解析式的函數(shù)，稱為抽象函數(shù).2.復合函數(shù)的概念若函數(shù)的定義域為A，函數(shù)的定義域為D，值域為C，則當時，稱函數(shù)為與在D上的復合函數(shù).3.抽象函數(shù)或復合函數(shù)的定義域理解抽象函數(shù)或復合函數(shù)的定義域，要明確以下幾點：函數(shù)的定義域是指的取值所組成的集合；函數(shù)的定義域是指的取值范圍，而不是的范圍；，，三個函數(shù)中的，，在對應關系在下的范圍相同；已知的定義域為A，求的定義域，其實質(zhì)是已知的范圍（值域）為A，求出的取值范圍；已知的定義域為B，求的定義域，其實質(zhì)是已知中的的取值范圍B，求出的范圍（值域），此范圍就是的定義域.例5-11：下列函數(shù)中，是符合函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：B例5-12：函數(shù)的定義域為，且對定義域的任意都有，如，則的值為（）B.C.D.答案：C題型與方法題型1：一元二次不等式的解法例13：（多選題）下列對應關系是從集合A到集合B的函數(shù)的有（）.A={1,2,3}，B={7,8,9}，f(1)=f(2)=7，f(3)=8A=Z，B={-1,1}，n為奇數(shù)時，，n為偶數(shù)時，A=B={1,2,3}，A=B=答案：ABD題型2：求函數(shù)值例14：已知求和求若，求.答案：（1）6（2）（3）例15：已知函數(shù)對任意正實數(shù)，都有求的值；若，求的值.答案：（1）（2）題型3：函數(shù)的定義域問題1.已知解析式求函數(shù)的定義域：（1）（2）（3）（4）答案：變式訓練：函數(shù)的定義域為（）.A.B.C.D.答案：C2.求實際問題中函數(shù)的定義域例17：如圖，用長為1的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓的框架，若半圓的半徑為，求此框架圍成的面積與的函數(shù).答案：3.求抽象函數(shù)或復合函數(shù)的定義域（1）已知的定義域，求的定義域例18：已知函數(shù)則的定義域為.答案：（2）已知的定義域，求的定義域例19：已知的定義域[0,3]，則的定義域為.答案：[-1,8]（3）已知的定義域，求的定義域例20：若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.答案：（4）求運算型抽象函數(shù)的定義域例21：已知函數(shù)的定義域為[0,1]，求函數(shù)的定義域.答案：當，函數(shù)的定義域為.變式訓練：設函數(shù)，則的定義域為（）.A.B.C.D.答案：B4.定義域的逆向問題例22：已知函數(shù)的定義域為[-3,6]，則的值為,的值為.答案：-13例23：已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的值為.答案：0題型4：函數(shù)的值域問題1.求函數(shù)的值域例24：求下列函數(shù)的值域（2）（3）（4）答案：（1）{2,3,4,5,6}；（2）；（3）；（4）例25：函數(shù)的值域為.答案：4.下列函數(shù)中值域是的是（）A.B.C.D.答案：C2.函數(shù)值域的逆向問題例26：已知函數(shù)的定義域為R，值域為[1,9]，則m的值為;n的值為.答案：55易錯提醒易錯1：求函數(shù)定義域時非等價化簡解析式致誤例27：函數(shù)的定義域為.

答案：易錯2：用換元法求值域時，忽略中間變量的取值范圍致錯例28：函數(shù)的值域為.答案：易錯3：誤認為與中“”含義相同例29：已知的定義域為[1,2]，則的定義域為.答案：感知高考考向1：函數(shù)的概念例32：定義在R上的函數(shù)滿足，若當時，，則當時，=.答案：考向2：函數(shù)的定義域例33：函數(shù)的定義域是.答案：[-1,7]考向3：函數(shù)值例35：設函數(shù).已知，且，則實數(shù),b=.答案：-21基礎鞏固：1.函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.2.已知函數(shù)則的值是（）A.-1B.0C.1D.23.下列函數(shù)，值域為的是（）A.B.C.D.4.與函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.B.C.D.5.函數(shù)的值域是（）A.B.C.D.6.若函數(shù)的定義域為[-1,2]，則函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.7.已知等腰三角形ABC的周長為10，底邊長關于腰長的函數(shù)關系式為，則此函數(shù)的定義域為（）A.RB.C.D.8.已知函數(shù)，則的值域是（）A.B.C.D.能力提升9.若函數(shù)與函數(shù)是相等函數(shù)，則函數(shù)的定義域是（）.A.B.C.D.10.的值域為（）.A.B.C.D.11.已知定義在R上函數(shù)的值域也是R，并且對任意，都有，則等于（）.A.0B.1C.20202D.202012.已知若的值域為，的值域為，則實數(shù)的最大值為（）.A.0B.1C.2D.413.（多選題）已知集合，則下列對應關系，能夠構(gòu)成