4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)-（新教材 新高考高中數(shù)學(xué)）-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)）

《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）》教學(xué)設(shè)計(jì)-------李德峰（一）教學(xué)內(nèi)容差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（2）（二）教材分析1.教材來(lái)源本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》2.地位與作用數(shù)列是高中代數(shù)的主要內(nèi)容，它與數(shù)學(xué)課程的其它內(nèi)容（函數(shù)、三角、不等式等）有著密切的聯(lián)系，又是今后學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要地位（三）學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：已經(jīng)對(duì)前n項(xiàng)和公式有了一定的基礎(chǔ)2.認(rèn)知障礙：對(duì)于等差數(shù)列項(xiàng)加絕對(duì)值后求和，需要分類討論有一定的難度（四）教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)目標(biāo)：能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題能力目標(biāo)：通過(guò)公式的靈活應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與廣闊性素養(yǎng)目標(biāo)：通過(guò)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).（五）教學(xué)重難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值難點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用（六）教學(xué)思路與方法教學(xué)過(guò)程分為問(wèn)題呈現(xiàn)階段、探索與發(fā)現(xiàn)階段、應(yīng)用知識(shí)階段課前準(zhǔn)備多媒體（八）教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)：新課引入（）教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、知識(shí)梳理：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)dSn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.二、判斷下列命題是否正確(1)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列．()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大．()(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n－1＝(2n－1)an.()[答案](1)√(2)√(3)√讓學(xué)生自行解答，教師點(diǎn)評(píng)強(qiáng)化上節(jié)課知識(shí)。教學(xué)環(huán)節(jié)：例題解析教學(xué)內(nèi)容師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖例8.某校新建一個(gè)報(bào)告廳，要求容納800個(gè)座位，報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個(gè)座位.問(wèn)第1排應(yīng)安排多少個(gè)座位？分析：將第1排到第20排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn。由題意可知，{an解：設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和為Sn.根據(jù)題意，數(shù)列{an}是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且S20＝800.由S20=20可得：a1=因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位。解得a1因此，第1排應(yīng)安排21個(gè)座位.1．本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．2．遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：(1)抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an例9.已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)和為Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求分析:由a1>0和d<0，可以證明{an}是遞減數(shù)列，且存在正整數(shù)k，使得當(dāng)Sn遞減。這樣，就把求Sn的最大值轉(zhuǎn)化為求{an另一方面，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫(xiě)成Sn=d2n2+a1?d2n，所以當(dāng)d≠0時(shí)，Sn可以看成二次函數(shù)y=d解法1.由d＝－2，得an+1－an＝－2＜0，得an+1<anan可知，當(dāng)n＜6時(shí)，an當(dāng)n＝6時(shí)，an當(dāng)n＞6時(shí)，an所以,S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…也就是說(shuō)，當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大.因?yàn)镾5所以sn解法2：因?yàn)橛蒩1＝10，d＝－2，因?yàn)閟所以，當(dāng)n取與112即5或6時(shí)，sn最大，最大值為301.在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．2．尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法：(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)來(lái)尋找．(2)利用到y(tǒng)＝ax2＋bx(a≠0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)．教師鋪設(shè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生逐步完成問(wèn)題，黑板板書(shū)具體解題過(guò)程通過(guò)等差數(shù)列前n項(xiàng)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)例題，歸納求前n項(xiàng)和的最值的一般方法，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素教學(xué)環(huán)節(jié)：課堂練習(xí)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)問(wèn){an}的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn＝|an|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn′.分析：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)．(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解．[解](1)法一：(公式法)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝32＝34－2×1滿足an＝34－2n.故{an}的通項(xiàng)公式為an＝34－2n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(d,2)＝－1，,a1－\f(d,2)＝33，))解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n.(2)法一：(公式法)令an≥0，得34－2n≥0，所以n≤17，故數(shù)列{an}的前17項(xiàng)大于或等于零．又a17＝0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由y＝－x2＋33x的對(duì)稱軸為x＝eq\f(33,2).距離eq\f(33,2)最近的整數(shù)為16,17.由Sn＝－n2＋33n的圖象可知：當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0，當(dāng)n≥18時(shí)，an<0，故數(shù)列{an}的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大．(3)由(2)知，當(dāng)n≤17時(shí)，an≥0；當(dāng)n≥18時(shí)，an<0.所以當(dāng)n≤17時(shí)，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2.當(dāng)n≥18時(shí)，Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn＝n2－33n＋544.故Sn′＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(33n－n2n≤17，,n2－33n＋544n≥18.))通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)環(huán)節(jié)：小結(jié)思考布置作業(yè)小結(jié)等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得{Sn}的最小值．