4.2 等差數(shù)列（十六大題型）（原卷版）

4．2等差數(shù)列課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．2、探索并掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的關(guān)系．3、能在具體問題情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．4、體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系．1、掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，能利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本的運(yùn)算2、了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程．3、掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．4、能根據(jù)等差數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)01等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示．知識(shí)點(diǎn)詮釋：⑴公差一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)所得，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來求；⑵共同特征：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)（即公差）；符號(hào)語(yǔ)言形式對(duì)于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．知識(shí)點(diǎn)詮釋：定義中要求“同一個(gè)常數(shù)”，必須與無關(guān)．等差中項(xiàng)如果，，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)．任意兩實(shí)數(shù)，的等差中項(xiàng)存在且唯一．②三個(gè)數(shù)，，成等差數(shù)列的充要條件是．【即學(xué)即練1】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，下面的數(shù)列中必為等差數(shù)列的個(gè)數(shù)是（

）①

②

③

④A．1 B．2 C．3 D．4知識(shí)點(diǎn)02等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，推導(dǎo)過程：（1）歸納法：根據(jù)等差數(shù)列定義可得：，所以，，，……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立所以歸納得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：（）．（2）疊加法：根據(jù)等差數(shù)列定義，有：，，，…把這個(gè)等式的左邊與右邊分別相加（疊加），并化簡(jiǎn)得，所以．（3）迭代法：所以．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公差完全確定，一旦一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差確定，該等差數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程，便可求出第四個(gè)量．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣已知等差數(shù)列中，第項(xiàng)為，公差為，則．證明：因?yàn)?，所以所以由上可知，等差?shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公差來表示，公式．可以看成是時(shí)的特殊情況．【即學(xué)即練2】（2023·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.知識(shí)點(diǎn)03等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成公差為的等差數(shù)列的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等差數(shù)列，公差為．③若數(shù)列也為等差數(shù)列，則，，（k，b為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．④仍是等差數(shù)列．⑤數(shù)列（為非零常數(shù)）也是等差數(shù)列．【即學(xué)即練3】（2023·廣東陽(yáng)江·高二?？计谥校┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A． B． C．1 D．2知識(shí)點(diǎn)04等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式公式一：證明：倒序相加法①②①+②：因?yàn)樗杂纱说茫汗蕉鹤C明：將代入可得：知識(shí)點(diǎn)詮釋：①倒序相加是數(shù)列求和的重要方法之一．②上面兩個(gè)公式均為等差數(shù)列的求和公式，共涉及、、、、五個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過解方程組，便可求出其余兩個(gè)量．【即學(xué)即練4】（2023·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且，，則（

）A．-2 B．2 C．4 D．6知識(shí)點(diǎn)05等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)等差數(shù)列中，公差為，則①連續(xù)項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，，③若項(xiàng)數(shù)為，則，，，，【即學(xué)即練5】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在項(xiàng)數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于（

）A．9 B．10C．11 D．12知識(shí)點(diǎn)06等差數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）等差數(shù)列中，，令，則：（，是常數(shù)且為公差）（1）當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，為常數(shù)列；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，是的一次函數(shù)；它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)增，為遞增數(shù)列；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)單調(diào)減，為遞減數(shù)列．等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)（或一次函數(shù)）由，令，，則：（，是常數(shù)）（1）當(dāng)即時(shí)，，是關(guān)于的一個(gè)一次函數(shù)；它的圖象是在直線上的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)即時(shí)，是關(guān)于的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)；它的圖象是在拋物線上的一群孤立的點(diǎn)．=1\*GB3①當(dāng)時(shí)有最小值=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，有最大值知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、公差不為0的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．2、（，是常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．3、公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于n的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)．4、（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．【即學(xué)即練6】（2023·山東日照·高二校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，若，前項(xiàng)和，則的最大值為．【方法技巧與總結(jié)】1、等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用（1）某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；（2）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；（3）四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．2、等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值（1）在等差數(shù)列中，當(dāng)，時(shí)，有最大值，使取得最值的可由不等式組確定；當(dāng)，時(shí)，有最少值，使取到最值的可由不等式組確定．（2），若，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)時(shí)，有最少值；當(dāng)時(shí)，有最大值．當(dāng)取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，取到最值．題型一：等差數(shù)列的判斷例1．（2023·浙江杭州·高二杭師大附中?？计谥校啊笔恰皵?shù)列為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件例2．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則是為等差數(shù)列的（

）A．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件例3．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)變式1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）下列數(shù)列中，不成等差數(shù)列的是（

）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a(chǎn)，a，a，a D．，，，【方法技巧與總結(jié)】對(duì)于數(shù)列，若（，，為常數(shù)）或（，為常數(shù)），則此數(shù)列是等差數(shù)列，其中常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差．題型二：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例4．（2023·上海閔行·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則.例5．（2023·北京·高二101中學(xué)校考期中）設(shè)是等差數(shù)列，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．例6．（2023·遼寧鞍山·高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末）在數(shù)列中，，且.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.變式2．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中，對(duì)任意總有，且，則．變式3．（2023·北京海淀·高二中關(guān)村中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，，則．變式4．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）數(shù)列中，，，則14是的第項(xiàng)．變式5．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，則.變式6．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，，則．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可．（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中共含有四個(gè)參數(shù)，即，，，，如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”．（3）通項(xiàng)公式可變形為，可把看作自變量為的一次函數(shù)．題型三：等差數(shù)列的證明例7．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)求；(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求.例8．（2023·江蘇連云港·高二贛榆一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例9．（2023·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學(xué)校?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，且(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列(2)求的通項(xiàng)公式變式7．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；變式8．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【方法技巧與總結(jié)】證明等差數(shù)列的方法（1）定義法或數(shù)列是等差數(shù)列．（2）等差中項(xiàng)法數(shù)列為等差數(shù)列．（3）通項(xiàng)公式法數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式形如（，為常數(shù)）數(shù)列為等差數(shù)列．題型四：等差中項(xiàng)及應(yīng)用例10．（2023·山東日照·高二統(tǒng)考期中）已知，，則a，b的等差中項(xiàng)為（

）A． B． C．1 D．例11．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．13 B．26 C．39 D．52例12．（2023·黑龍江哈爾濱·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6變式9．（2023·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校校考期中）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．變式10．（2023·甘肅武威·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）若是與的等差中項(xiàng)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．5變式11．（2023·北京懷柔·高二北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┤簟?、成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】若a，A，b成等差數(shù)列，則；反之，由也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項(xiàng)．題型五：等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用例13．（2023·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？茧A段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?驚蟄?春分?清明?谷雨?立夏?小滿，芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為尺，則春分當(dāng)日日影長(zhǎng)為（

）A．尺 B．5尺 C．尺 D．尺例14．（2023·安徽阜陽(yáng)·高二安徽省太和中學(xué)校考競(jìng)賽）在2022年北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷亮相，與節(jié)氣相配的14句古詩(shī)詞，將中國(guó)人獨(dú)有的浪漫傳達(dá)給了全世界．我國(guó)古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣的晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），二十四節(jié)氣及晷長(zhǎng)變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)減少或增加的量相同，周而復(fù)始．已知雨水的晷長(zhǎng)為9.5尺，立冬的晷長(zhǎng)為10.5尺，則冬至所對(duì)的晷長(zhǎng)為（

）A．11.5尺 B．13.5尺 C．12.5尺 D．14.5尺例15．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）在北京冬奧會(huì)開幕式上，二十四節(jié)氣倒計(jì)時(shí)驚艷了世界．從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，若冬至的日影長(zhǎng)為18.5尺，立春的日影長(zhǎng)為15.5尺，則春分的日影長(zhǎng)為（

）A．9.5尺 B．10.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺變式12．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”"起，例如，第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，以此類推，排列到“癸西”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，以此類推.今年是辛丑年，也是重慶一中建校90周年，則重慶一中建校的那一年是（

）A．壬酉年 B．壬戊年 C．辛酉年 D．辛未年變式13．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）習(xí)近平總書記提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關(guān)鍵．要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵(lì)外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)．為鼓勵(lì)返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，黑龍江對(duì)青山鎮(zhèn)鎮(zhèn)政府決定投入創(chuàng)業(yè)資金和開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員．預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府每年投入的創(chuàng)業(yè)資金構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列（單位萬(wàn)元，），每年開展“創(chuàng)業(yè)技術(shù)培訓(xùn)”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金的倍，已知．則預(yù)計(jì)該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計(jì)總投入資金的最大值為（

）A．72萬(wàn)元 B．96萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．144萬(wàn)元變式14．（2023·江西宜春·高二上高中學(xué)?？计谀稄埱窠ㄋ憬?jīng)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十織迄……”其大意為：有一女子不善于織布，每天比前一天少織同樣多的布，第一天織5尺，最后一天織一尺，三十天織完…….則該女子第11天織布（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【方法技巧與總結(jié)】（1）解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息．若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時(shí)，則這組數(shù)成等差數(shù)列．合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問題．（2）能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，抽象出數(shù)列的模型，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．題型六：等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例16．（2023·西藏拉薩·高二校考期中）已知是等差數(shù)列，，則等于（

）A．48 B．40 C．60 D．72例17．（2023·甘肅嘉峪關(guān)·高二統(tǒng)考期末）若方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則（

）A．1 B．C． D．例18．（2023·新疆巴音郭楞·高二?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，，則的值為（

）A． B． C． D．變式15．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列，若，則（

）A．20 B．24 C．28 D．32變式16．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A． B．11 C．22 D．33變式17．（2023·陜西延安·高二子長(zhǎng)市中學(xué)?？计谀┮阎炔顢?shù)列中，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式18．（2023·北京順義·高二統(tǒng)考期末）數(shù)列是等差數(shù)列，若，則（

）A． B．5 C．9 D．15變式19．（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考期中）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A．3 B．6 C．2 D．4【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列運(yùn)算的兩種常用思路（1）基本量法：根據(jù)已知條件，列出關(guān)于，的方程（組），確定，，然后求其他量．（2）巧用性質(zhì)法：觀察等差數(shù)列中項(xiàng)的序號(hào)，若，且，則．題型七：等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用例19．（2023·全國(guó)·高二單元測(cè)試）（1）三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的倍，求這三個(gè)數(shù).（2）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為，首末兩項(xiàng)的積為，求這四個(gè)數(shù).例20．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)之和為2，首末兩項(xiàng)之積為，求這四個(gè)數(shù).例21．（2023·寧夏·平羅中學(xué)高二階段練習(xí)）四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，四個(gè)數(shù)之和等于，中間兩個(gè)數(shù)之積為，求這四個(gè)數(shù).變式20．（2023·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）（1）已知四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且是遞增數(shù)列，這四個(gè)數(shù)的平方和為94，首尾兩數(shù)之積比中間兩數(shù)之積少18，求此等差數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，且其前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中對(duì)稱設(shè)項(xiàng)法的應(yīng)用1、某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：，，公差為；2、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)此三數(shù)為：，，，公差為；3、四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)成，，，，公差為．題型八：等差數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算例22．（2023·四川涼山·高二寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和是，若，則（

）A．5 B．45 C．15 D．90例23．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，則其前15項(xiàng)和（

）A．135 B．105 C．90 D．75例24．（2023·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．變式21．（2023·福建莆田·高二校考期中）在等差數(shù)列中，其前項(xiàng)和為，若是方程的兩個(gè)根，那么的值為（

）A． B． C． D．變式22．（2023·河北石家莊·高二石家莊實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，，則（

）A．160 B．253 C．180 D．190變式23．（2023·西藏拉薩·高二?？计谥校┰O(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則等于（

）A．49 B．35 C．13 D．63【方法技巧與總結(jié)】等差數(shù)列中的基本計(jì)算（1）利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式中有五個(gè)量和，這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程組，解出和，便可解決問題．解題時(shí)注意整體代換的思想．（2）結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若，則，常與求和公式結(jié)合使用．題型九：等差數(shù)列前項(xiàng)和的比值問題例25．（2023·福建寧德·高二福建省寧德第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和分別為，，且滿足，．例26．（2023·遼寧阜新·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，求.例27．（2023·河南許昌·高二禹州市高級(jí)中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．變式24．（2023·江西宜春·高二江西省清江中學(xué)校考期中）兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，已知，則．變式25．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和，且，則．變式26．（2023·福建莆田·高二莆田第二十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則=.【方法技巧與總結(jié)】設(shè)，的前項(xiàng)和為，，則．題型十：等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例28．（2023·廣西玉林·高二校考期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則的值是．例29．（2023·北京·高二北京市第五中學(xué)校考期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.例30．（2023·上海·高二期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則．變式27．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則．變式28．（2023·安徽亳州·高二校考期中）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則．【方法技巧與總結(jié)】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算（1）在解決等差數(shù)列問題時(shí)，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有時(shí)運(yùn)算量大些；（2）等差數(shù)列前項(xiàng)和的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果．（3）設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法．題型十一：等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題例31．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為．例32．（2023·江西撫州·高二臨川一中?？计谀┰O(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．例33．（2023·上海靜安·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，那么的取值范圍是.變式29．（2023·北京·高二北京市第一六六中學(xué)?？计谥校┑炔顢?shù)列中，公差，，則當(dāng)前項(xiàng)和最大時(shí)，變式30．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，若時(shí)，最小，則=.變式31．（2023·河南許昌·高二?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的通項(xiàng)公式，記其前n項(xiàng)和為，那么當(dāng)時(shí)，取得最小值．變式32．（2023·上海浦東新·高二上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則取最小值時(shí)，．變式33．（2023·高二?？颊n時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則取得最大值時(shí)n的值為.變式34．（2023·上海普陀·高二上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，前項(xiàng)和取得最小值，則公差的取值范圍是.變式35．（2023·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，前項(xiàng)和為，若，且，則的取值范圍為．變式36．（2023·陜西商洛·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的通項(xiàng)公式，是的前項(xiàng)和，時(shí)，最小.【方法技巧與總結(jié)】（1）等差數(shù)列前項(xiàng)和最大（?。┲档那樾微偃簦?，則存在最大值，即所有非負(fù)項(xiàng)之和．②若，，則存在最小值，即所有非正項(xiàng)之和．（2）求等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的方法①尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找．②運(yùn)用二次函數(shù)求最值．題型十二：求數(shù)列的前項(xiàng)和例34．（2023·江蘇蘇州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在公差為的等差數(shù)列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.例35．（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）等差數(shù)列中，，公差，令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．例36．（2023·江蘇鹽城·高二校考開學(xué)考試）在等差數(shù)列中，，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．變式37．（2023·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.變式38．（2023·湖北省直轄縣級(jí)單位·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)單調(diào)遞減的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.變式39．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列中，，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求．【方法技巧與總結(jié)】已知等差數(shù)列，求絕對(duì)值數(shù)列的有關(guān)問題是一種常見的題型，解決此類問題的核心便是去掉絕對(duì)值，此時(shí)應(yīng)從其通項(xiàng)公式入手，分析哪些項(xiàng)是正的，哪些項(xiàng)是負(fù)的，即找出正、負(fù)項(xiàng)的“分界點(diǎn)”．題型十三：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用例37．（2023·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載：今有女子不善織布，逐日織布同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問共織布尺．例38．（2023·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中描述了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.三角垛的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，從第二層開始，每層球數(shù)與上一層球數(shù)之差依次構(gòu)成等差數(shù)列.現(xiàn)有60個(gè)籃球，把它們堆放成一個(gè)三角垛，那么剩余籃球的個(gè)數(shù)最少為.

例39．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）公元前1800年，古埃及的“加罕紙草書”上有這樣一個(gè)問題：將100德本（德本是古埃及的重量單位）的食物分成10份，第一份最大，從第二份開始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在這個(gè)問題中，最小的一份是德本.變式40．（2023·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）張大爺為了鍛煉身體，每天堅(jiān)持步行，用支付寶APP記錄每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù).在11月的30天中，張大爺每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)都比前一天多相同的步數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)前10天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是6.9萬(wàn)步，前20天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是15.8萬(wàn)步，則張大爺在11月的運(yùn)動(dòng)步數(shù)是萬(wàn)步.變式41．（2023·寧夏石嘴山·高二平羅中學(xué)校考期中）將一些相同的“〇”按如圖所示擺放，觀察每個(gè)圖形中的“〇”的個(gè)數(shù)，若第個(gè)圖形中“〇”的個(gè)數(shù)是，則的值是．變式42．（2023·江西贛州·高二?？茧A段練習(xí)）一支車隊(duì)有15輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)，第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔發(fā)出一輛，假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開車，并都在19時(shí)停下來休息．已知每輛車行駛的速度都是，則這個(gè)車隊(duì)當(dāng)天一共行駛了千米？【方法技巧與總結(jié)】（1）與等差數(shù)列前項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．（2）遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體觀．題型十四：由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷等差數(shù)列例40．（2023·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和（），則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為．例41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求證：數(shù)列是等差數(shù)列．例42．（2023·江蘇南通·高二統(tǒng)考期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（、為常數(shù)），其中為數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)若，，求證：是等差數(shù)列；(2)若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，求的值.變式43．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)當(dāng)時(shí)，求證：該數(shù)列是等差數(shù)列；(2)若數(shù)列是等差數(shù)列，求滿足條件．變式44．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）判斷是不是等差數(shù)列，若是，求其首項(xiàng)、公差；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．變式45．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）數(shù)列滿足前項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為【方法技巧與總結(jié)】（其中，為常數(shù)）是數(shù)列成等差數(shù)列的充要條件．題型十五：等差數(shù)列片段和的性質(zhì)例43．（2023·上海閔行·高二?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，則.例44．（2023·云南曲靖·高二統(tǒng)考期末）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．例45．（2023·江蘇鹽城·高二鹽城市伍佑中學(xué)?？计谀┑炔顢?shù)列的前項(xiàng)和為30，前項(xiàng)和為100，則它的前項(xiàng)和為.變式46．（2023·廣東河源·高二龍川縣第一中學(xué)?？计谀┯洖榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和．若，，則．變式47．（2023·河南商丘·高二校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【方法技巧與總結(jié)】連續(xù)項(xiàng)的和依然成等差數(shù)列，即，，，…成等差數(shù)列，且公差為．題型十六：等差數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和例46．（2023·甘肅·高二?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等差數(shù)列共100項(xiàng)，其和為80，奇數(shù)項(xiàng)和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．例47．（2023·高二單元測(cè)試）設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則其奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比為（

）A． B． C． D．例48．（2023·高二單元測(cè)試）等差數(shù)列共2n+1個(gè)項(xiàng)，且奇數(shù)項(xiàng)和為165，偶數(shù)項(xiàng)和為150，則n=（

）A．10 B．13 C．11 D．22變式48．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27變式49．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知某等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，前三項(xiàng)與最后三項(xiàng)這六項(xiàng)之和為，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】（1）若項(xiàng)數(shù)為，則，，（2）若項(xiàng)數(shù)為，則，，，，一、單選題1．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，，則（

）A．0 B．-2 C．-4 D．-62．（2023·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至起，接下來依次是小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏,小滿、芒種共十二個(gè)節(jié)氣，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，其中大寒、驚蟄、谷雨三個(gè)節(jié)氣的日影長(zhǎng)之和為25.5尺，且前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為85.5尺，則立春的日影長(zhǎng)為（

）A．10.5尺 B．11尺 C．11.5尺 D．12尺3．（2023·江蘇蘇州·高二吳江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，，，的前n項(xiàng)和為，則使得取得最大值的n的值為（

）A．18 B．19 C．20 D．214．（2023·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最小值，且，則使成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．40445．（2023·廣西