專題2.6 冪函數(shù)（解析版）

2.6冪函數(shù)思維導(dǎo)圖知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．典型例題分析考向一冪函數(shù)的概念例1(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案B解析冪函數(shù)有①⑥兩個(gè)．(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)由冪函數(shù)定義求參數(shù)值解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法(1)自變量x前的系數(shù)為1.(2)底數(shù)為自變量x.(3)指數(shù)為常數(shù)．考向二冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．解因?yàn)閒(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)．(2)下列關(guān)于函數(shù)y＝xα與y＝αxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2，3))))的圖象正確的是()答案C反思感悟(1)冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對(duì)于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用．考向三比較冪值的大小例3比較下列各組數(shù)的大?。?1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)與.解(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因?yàn)樵?0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，所以＝1，所以.反思感悟此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變．比較大小的問(wèn)題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．考向四冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例4已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍．考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式解因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.則原不等式可化為因?yàn)樵?－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).通過(guò)具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．基礎(chǔ)題型訓(xùn)練一、單選題1．已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先由函數(shù)是冪函數(shù)，求出，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的特征，即可判斷定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，因此，所以，由可得，，所以函數(shù)(，且)的圖象所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B． C． D．和【答案】D【分析】利用f（x）與y的圖像間的關(guān)系及冪函數(shù)性質(zhì)即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）的圖像是由y的圖像向下平移一個(gè)單位得到的，∴定義域?yàn)閧x|x≠0}，單調(diào)性與y的單調(diào)性相同，而函數(shù)y的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）和（0，+∞），∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，0）和（0，+∞）；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法及圖像變換，考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．已知冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸和y軸沒(méi)有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，則m等于（

）A．1 B．0，2 C．－1，1，3 D．0，1，2【答案】C【分析】由冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)得到指數(shù)小于零，且為偶數(shù)，解不等式得m的可能值，然后再進(jìn)行檢驗(yàn).【詳解】∵冪函數(shù)y＝(m∈Z)的圖象與x軸、y軸沒(méi)有交點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)為偶數(shù)，由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3.當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝0時(shí)，m2－2m－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝1時(shí)，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，為偶數(shù)，符合題意；當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，為奇數(shù)，不符合題意；當(dāng)m＝3時(shí)，m2－2m－3＝9－6－3＝0，為偶數(shù)，符合題意．綜上所述，m＝－1，1，3.故選：C.4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分、和三種情況分類討論，得出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，函數(shù)，在時(shí)的解析式等價(jià)于.根據(jù)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出函數(shù)在上的大致圖像如圖所示，觀察圖像可知，要使，，則需滿足，解得.故選：B.5．下列比較大小中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，又，所以，故C正確，對(duì)于D選項(xiàng)，在上是遞增函數(shù)，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C.6．“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得：，然后根據(jù)充分、必要條件的判斷即可求解.【詳解】由函數(shù)的性質(zhì)可得：，因?yàn)橛梢欢芡瞥?，但由不一定能推出，所以“”是“函?shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件，故選：.二、多選題7．關(guān)于冪函數(shù)是常數(shù)），結(jié)論正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)B．冪函數(shù)圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．冪函數(shù)圖象有可能關(guān)于軸對(duì)稱D．冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)第四象限【答案】BCD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A：冪函數(shù)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，A錯(cuò)誤對(duì)于B：對(duì)于冪函數(shù)是常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，B正確；對(duì)于C：冪函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，C正確；對(duì)于D：冪函數(shù)圖象不可能經(jīng)過(guò)第四象限，D正確.故選：BCD.8．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4） B．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．在上單調(diào)遞減 D．在內(nèi)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【分析】由題意得，結(jié)合冪函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解【詳解】將點(diǎn)代入，可得，則，f（x）的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），A錯(cuò)誤；根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B，C，D正確.故選：BCD三、填空題9．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則m＝______．【答案】4【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)列式求解.【詳解】由題意可得，解得故答案為：4.10．已知是奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若，則__________.【答案】-3【分析】當(dāng)時(shí)，代入條件即可得解.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，，所以，兩邊取以為底的?duì)數(shù)得，所以，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性，對(duì)數(shù)的計(jì)算．滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)．使用轉(zhuǎn)化思想得出答案．11．若函數(shù)為奇函數(shù)，則的取值范圍為_(kāi)_________．【答案】【詳解】分析：中，，由在定義域內(nèi)是一個(gè)偶函數(shù)，，知為奇函數(shù)，由此能求出的取值范圍.詳解：中，，，在定義域內(nèi)是一個(gè)偶函數(shù)，，要使函數(shù)為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，.只有定義域?yàn)榈淖訁^(qū)間，且定義域關(guān)于0對(duì)稱，才是奇函數(shù)，，即，.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的靈活應(yīng)用.12．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則的值為_(kāi)________．【答案】【詳解】試題分析：因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得：，因?yàn)椋曰蚧颍驗(yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，所以是偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不符合，舍去．所以，故．考點(diǎn)：1、冪函數(shù)的性質(zhì)；2、函數(shù)值．四、解答題13．在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖象，并加以比較：（1），；

（2），.【答案】（1）答案解詳解；（2）答案見(jiàn)詳解.【分析】（1）利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.（2）利用冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）圖象如圖（1），僅在上存在圖象，在上存在圖象，且在第一象限內(nèi)，兩圖象交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的上方，當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的下方，的圖象在圖象的下方，（2）圖象如圖（2），僅圖象在第一、三象限，圖象在第一、二象限內(nèi)，且在第一象限內(nèi)，兩圖象交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的下方，當(dāng)時(shí)，的圖象在圖象的上方，14．已知函數(shù)為冪函數(shù)，且為奇函數(shù).（1）求的值；（2）求函數(shù)在的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，從而得到或，再根據(jù)為奇函數(shù)，即可得到答案.（2）首先根據(jù)題意得到，再利用換元法求值域即可.【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，解得或.即或.又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，.（2），設(shè)，因?yàn)?，所以?所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故值域?yàn)?15．已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù)m的取值，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求解不等式，可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以，解得．由m為正整數(shù)，則或,又函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，得是偶函數(shù)，而當(dāng)時(shí)，，為奇函數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，于是．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，在與上均為嚴(yán)格減函數(shù)，所以等價(jià)于或或，解得或，即.16．已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中求的值；求使不等式成立的的取值范圍.【答案】（1），.（2）【分析】（1）根據(jù)，可化簡(jiǎn)為，已知，解出的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解不等式，求的取值范圍.【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)定義域內(nèi)任意的恒成立即化簡(jiǎn)得故，，解得，.由知由，得解得綜上，滿足題意的的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)求參數(shù)取值的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型，當(dāng)對(duì)數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)時(shí)，經(jīng)常利用，計(jì)算求解.提升題型訓(xùn)練一、單選題1．冪函數(shù)f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)，則f（x）的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，0）【答案】A【分析】設(shè),根據(jù),解出,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】設(shè),則,即,所以,所以,所以的遞減區(qū)間為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了求冪函數(shù)的解析式,考查了冪函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.2．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)：讓學(xué)習(xí)者會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.“雙11”就要到了，電商的優(yōu)惠活動(dòng)很多，某同學(xué)借助于已學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)“雙11”相關(guān)優(yōu)惠活動(dòng)進(jìn)行研究.已知2019年“雙11”期間某商品原價(jià)為元，商家準(zhǔn)備在節(jié)前連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行提價(jià)且每次提價(jià)，然后在“雙11”活動(dòng)期間連續(xù)2次對(duì)該商品進(jìn)行降價(jià)且每次降價(jià).該同學(xué)得到結(jié)論：最后該商品的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格元相比.A．相等 B．略有提高 C．略有降低 D．無(wú)法確定【答案】C【分析】先閱讀題意，再列出現(xiàn)價(jià)，再比較大小即可.【詳解】解：設(shè)現(xiàn)價(jià)為，則，則，則該商品的價(jià)格與原來(lái)價(jià)格相比略有降低，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，重點(diǎn)考查了閱讀能力，屬基礎(chǔ)題.3．已知是冪函數(shù)，且、，都有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)是冪函數(shù)且在為增函數(shù)可求得的值，將所求不等式變形為，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或.又因?yàn)椤?，都有，可設(shè)，則，所以，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在上不單調(diào)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)在上為增函數(shù).所以等價(jià)于，所以，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)不等式，同時(shí)也考查了利用冪函數(shù)求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．【答案】D【分析】根據(jù)為冪函數(shù)且為偶函數(shù)可得，進(jìn)而得，根據(jù)奇偶性的判斷可判斷A，根據(jù)單調(diào)性確定值域可判斷B，C,代入計(jì)算進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得或,又是偶函數(shù),所以,故,故;對(duì)于A;,故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B；，由于，所以，故，故值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤,對(duì)于C;,由于在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故在遞增，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D；從而，故D正確，故選：D5．定義在R上的偶函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則方程＝的所有實(shí)數(shù)根的和為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由函數(shù)為R上的偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)有f(|x|)＝f(|2x－3|)，再結(jié)合函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.【詳解】解:由于函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故x1＋x2＝4.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性，重點(diǎn)考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.6．下列命題中，正確的有（

）個(gè)①對(duì)應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；②若函數(shù)的定義域是（1,2），則函數(shù)的定義域?yàn)?；③冪函?shù)與圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，方程恒有兩個(gè)實(shí)根.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】對(duì)于①，由映射和函數(shù)的定義判斷即可；對(duì)于②，由抽象函數(shù)的定義求解即可；對(duì)于③，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)作出圖象即可判斷；對(duì)于④，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題，作出圖象即可判斷.【詳解】解：對(duì)于①，對(duì)應(yīng)：是映射，也是函數(shù)；符合映射，函數(shù)的定義，故①對(duì)；對(duì)于②，若函數(shù)的定義域是（1,2），則故函數(shù)的定義域?yàn)?，故②?duì)對(duì)于③，冪函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且圖像過(guò)，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且圖像過(guò)所以兩個(gè)圖像有且只有兩個(gè)交點(diǎn)；故③對(duì)；于④，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且函數(shù)值大于1，所以當(dāng)時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)根.故④錯(cuò)；故選：C二、多選題7．已知函數(shù)f（x）=xa的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（，2），則（

）A．f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4） B．f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 D．f（x）在（0，+∞）內(nèi)的值域?yàn)椋?，+∞）【答案】BD【分析】代入已知點(diǎn)坐標(biāo)求得函數(shù)解析式，然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得，則，的圖象不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A錯(cuò)誤.在上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤.根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得B，D正確.故選：BD．8．設(shè)函數(shù)，則（

）A．存在實(shí)數(shù)，使的定義域?yàn)镽B．函數(shù)一定有最小值C．對(duì)任意的負(fù)實(shí)數(shù)，的值域?yàn)镈．若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則【答案】ABD【分析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)镽，所以A正確；對(duì)于B：，所以一定有最小值，所以B正確；對(duì)于C：舉例驗(yàn)證即可；對(duì)于D：分兩種情況，根據(jù)單調(diào)性求解，所以D正確；【詳解】對(duì)于A：當(dāng)，即時(shí)，若，定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，若的定義域?yàn)镽，則，即，即，，所以存在實(shí)數(shù)，使的定義域?yàn)镽，所以A正確；對(duì)于B：，所以一定有最小值，所以B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，所以的值域?yàn)椋訡不正確；對(duì)于D：當(dāng)，即時(shí)，若，滿足函數(shù)在區(qū)間上遞增，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上遞增，則，解得，綜上，所以D正確；故選：ABD.三、填空題9．已知冪函數(shù)f(x)=xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則a=_______【答案】【分析】直接把點(diǎn)的坐標(biāo)代入冪函數(shù)的解析式即得解.【詳解】由題得所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的解析式中參數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平.10．實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值集合為_(kāi)_________.【答案】【分析】首先分析出冪函數(shù)的定義域和單調(diào)性，然后可解出不等式.【詳解】，其定義域?yàn)椋以诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，解得故答案為?1．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】由冪函數(shù)單調(diào)遞減得，結(jié)合圖像關(guān)于對(duì)稱即為偶函數(shù)，即可求得，利用冪函數(shù)的單調(diào)性即可解不等式.【詳解】由在上單調(diào)遞減得，，故，又，故或2，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故.因?yàn)楹瘮?shù)在為減函數(shù)，故由不等式得，或或.解得或，綜上：.故答案為：12．設(shè)函數(shù)，則使成立的的取值范圍是___________.【答案】【詳解】分析：首先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再判斷在單調(diào)遞減，得到在單調(diào)遞增，從而將原不等式轉(zhuǎn)化為求解即可.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以時(shí)，,可得在單調(diào)遞減，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，，，故答案?點(diǎn)睛：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于難題.將奇偶性與單調(diào)性綜合考查是，一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)奇偶性判斷出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性(偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性列不等式求解.四、解答題13．已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)冪函數(shù)的解析式.【答案】.【解析】設(shè)出冪函數(shù)的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出參數(shù)即可.【詳解】解：設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閳D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了已知冪函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)求解析式問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14．已知冪函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第三象限；(1)求的值；(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可知，再結(jié)合其圖像不經(jīng)過(guò)第三象限即可求出；（2）由（2）可知，，定義域?yàn)椋贀Q元，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．(1)根據(jù)題意得，，解得