2023年山東省聊城市初中學業(yè)水平考試中考數學真題（解析版）

2023年山東省聊城市初中學業(yè)水平考試中考數學真題（解析版）

二O二三年全市初中學生學業(yè)水平考試數學試題

親愛的同學，伴隨著考試的開始，你又走到了一個新的人生驛站.請你在答題之前，一定要

仔細閱讀以下說明：

1.試題由選擇題與非選擇題兩部分組成，共6頁.選擇題36分，非選擇題84分，共120

分.考試時間120分鐘.

2.將姓名、考場號、座號、考號填寫在試題和答題卡指定的位置.

3.試題答案全部涂、寫在答題卡上，完全按照答題卡中的“注意事項”答題.

4.考試結束，答題卡和試題一并交回.

5.不允許使用計算器.

愿你放松心情，認真審題，縝密思考，細心演算，交一份滿意的答卷.

選擇題（共36分）

一、選擇題（本題共12個小題，每小題3分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求）

（一2023）的值為（

B

【解析】

【分析】根據零指數事法則：任何一個不等于零的數的零次哥都等于1,計算即可得到答案

【詳解】解：???任何一個不等于零的數的零次累都等于1,

（-2023）°=1,

故選:B.

【點睛】本題主要考查零指數基法則：任何一個不等于零的數的零次事都等于1,熟練掌握零次轅法則是

解題的關鍵.

2.如圖所示幾何體的主視圖是（）

【答案】D

【解析】

【分析】從正面看到的平面圖形是主視圖，根據主視圖的含義可得答案.

【詳解】解：如圖所示的幾何體的主視圖如下：

故選：D.

【點睛】此題主要考查了三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左

面，上面看得到的圖形.

3.4月15日是全民國家安全教育日.某校為了摸清該校1500名師生的國家安全知識掌握情況，從中隨機抽

取了150名師生進行問卷調查.這項調查中的樣本是（）

A.1500名師生的國家安全知識掌握情況

B.150

C.從中抽取的150名師生的國家安全知識掌握情況

D.從中抽取的150名師生

【答案】C

【解析】

【分析】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個

體，據此即可判斷.

【詳解】解：樣本是從中抽取的150名師生的國家安全知識掌握情況.

故選：C.

【點睛】本題考查了樣本的定義，解題要分清具體問題中的總體、個體與樣本，關鍵是明確考查的對象.總

體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大小.

4.若一元二次方程小2+2%+1=0有實數解，則根的取值范圍是（）

A.m>-\B.m￡1C.，"N-1且加。（）D.且加。（）

【答案】D

【解析】

【分析】由于關于x的一元二次方程〃優(yōu)2+2x+l=0有實數根，根據一元二次方程根與系數的關系可知

A>0,且加。（），據此列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，4-4w>0,且相。0,

解得，m￡1,且mH0.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程公2+法+。=0（“。0）的根的判別式△=〃—4QC與根的關系，熟練

掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵.當△>（）時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當

A=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當A<0時，一元二次方程沒有實數根.

5.如圖，分別過_ABC的頂點4,B作4?BE.若NC4D=25°,NE8C=80°，則的度數

A.65°B.75°C.85°D.95°

【答案】B

【解析】

【分析】根據兩直線平行，同位角相等，得到NA￡>C=NE5C=80。，利用三角形內角和定理計算即

可.

【詳解】?：ADBE,NEBC=80°,

：.ZADC=ZEBC^80°,

,：ZCAD=25°,

：.ZACB=1800-ZADC-ZCAD=75°,

故選B.

【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行線性質是解題的關鍵.

6.如圖，點。是右ABC外接圓圓心，點/是的內心，連接08,IA-若NC4/=35°,則

NQBC的度數為（)

B.17.5°C.20°D.25°

【答案】C

【解析】

【分析】根據三角形內心的定義可得/B4c的度數，然后由圓周角定理求出NBOC，再根據三角形內角

和定理以及等腰三角形的性質得出答案.

【詳解】解：連接OC,

?.?點/是二ABC的內心，ZC4/=35°,

ZBAC=2ZC4/=70°,

ABOC=2ZBAC=140°,

OB=OC，

??.NOBC="CB=180—=180-140：=2()O,

22

故選：C.

【點睛】本題主要考查了三角形內心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內心是

三角形三個內角平分線的交點是解題的關鍵.

xm

7.若關于x的分式方程」一+1=——的解為非負數，則〃?的取值范圍是（）

X—11-X

A.機￡1且加。一1B.根2-1且團。1C.機＜1且加D.m＞一1且加工1

【答案】A

【解析】

【分析】把分式方程的解求出來，排除掉增根，根據方程的解是非負數列出不等式，最后求出加的范圍.

【詳解】解：方程兩邊都乘以（X—1），得：x+x-\=-m,

1-m

解得：x=

\—m

Vx-1^0,即：-----wl,

2

/.〃2。一1,

又??,分式方程的解為非負數，

1-m八

???------>0,

2

m￡1,

m的取值范圍是機￡1且加工一1,

故選：A.

【點睛】本題考查了分式方程的解，根據條件列出不等式是解題的關鍵，分式方程一定要檢驗.

8.如圖，在直角坐標系中，ABC各點坐標分別為A(-2,1),3(—1,3),C(Y,4).先作ABC關于x

軸成軸對稱的△ABG，再把△4BG平移后得到△482G.若4(2,1),則點&坐標為()

A.(1,5)B.(1,3)C.(5,3)D.(5,5)

【答案】B

【解析】

【分析】三點A(—2,1),8(—1,3),C(-4,4)的對稱點坐標為4(—2,—1),C(-4,-4),

結合與(2,1),得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，計算即可.

【詳解】?.?三點1(-2,1),8(-1,3),。(<4)的對稱點坐標為4(—2,-1),4(—1,一3),

C(-4,-4),結合與(2,1),

，得到平移規(guī)律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，

故&坐標為(1,3).

故選B.

【點睛】本題考查了關于x軸對稱，平移規(guī)律，熟練掌握軸對稱的特點和平移規(guī)律是解題的關鍵.

9.如圖，該幾何體是由一個大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分.若該幾何體上、下兩個圓的半徑分別

為1和2,原大圓錐高的剩余部分。。為則其側面展開圖的面積為()

A.6乃B.2岳C.3岳D.4舟

【答案】C

【解析】

【分析】根據展開面積大圓錐側面積與小圓錐側面積之差計算即可.

【詳解】根據題意，補圖如下:

?/OCB0\,0C=2,B0\=\，

：.工BO[AsCOA.,

.—L

AOOC2'

；?AO]=O]O=yp2，

；?AB=BC=⑹?+F=g,

.，.側面展開圖的面積為力x2x2百一乃xlx6=36萬，

故選C.

【點睛】本題考查了圓錐的側面積計算，三角形相似的判定和性質，熟練掌握圓錐的側面積計算是解題的

關鍵.

10.甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地.兩人分

別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻r（X時X分）的函數圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻

為（）

A.8:28B.8:30C.8:32D.8:35

【答案】A

【解析】

【分析】利用待定系數法求出兩條直線的函數解析式，將兩個解析式聯立，通過解方程求出交點的橫坐標即

可.

【詳解】解：令小亮出發(fā)時對應的f值為0,小瑩出發(fā)時對應的f值為10,則小亮到達乙地時對應的，值為

70,小瑩到達甲地時對應的r值為40,

設小亮對應函數圖象的解析式為X=k/,

將（70,a）代入解析式得a=70*解得匕=4，

???小亮對應函數圖象的解析式為y=*/,

設小瑩對應函數圖象的解析式為％=&，+6，

a-1022+b

將（10,a）,（40,0）代入解析式，得＜

0=40公+b

a

k2=----

解得《-30

,4

b=—a

3

a4

丁小瑩對應函數圖象的解析式為%=

,0aa4

令A)'|=%，得一t=——t+-a,

-70303

解得1=28,

，小亮與小瑩相遇的時刻為8:28.

故選A.

【點睛】本題考查一次函數的實際應用，解題的關鍵是利用待定系數法求出兩條直線的函數解析式，熟練

運用數形結合思想.

11.已知二次函數>=加+歷t+c（awO）的部分圖象如圖所示，圖象經過點（0,2）,其對稱軸為直線

x=-i.下列結論：①3a+c>0；②若點（~4,y），（3,%）均在二次函數圖象上，則必>必；③關于》

的一元二次方程ax2+bx+c=一1有兩個相等的實數根；④滿足ox?+法+°>2的x的取值范圍為

).

C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】根據拋物線開口向下可得“<0,根據拋物線的對稱軸可推得力=2。，根據x=l時，y<0,即

可得至iJa+8+c<（）,推得紜+c?<0,故①錯誤；根據點的坐標和對稱軸可得點（T,y）到對稱軸的距離

小于點（3,必）到對稱軸的距離，根據拋物線的對稱性和增減性可得必>必，故②正確；根據拋物線的圖

象可知二次函數y=or?+bx+c與直線y=-1有兩個不同的交點，推得關于x的一元二次方程

以2+^+c=—］有兩個不相等的實數根，故③錯誤；根據拋物線的對稱性可得二次函數必然經過點

(-2,2),即可得到?2+/+C>2時，x的取值范圍一2<x<(),故④正確.

【詳解】①?.?拋物線開口向下，

/.a<0.

b

???拋物線的對稱軸為直線x=-一=-1,

2a

b=2a,

由圖象可得x=l時，y<o,

即Q+/?+C<0，

而b=2a,

/.3a-i-c<0.故①錯誤；

②???拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線x=-1.

故當時，y隨x的增大而增大，當時，y隨工的增大而減小，

v|-l-(^)|=3,|-1-3|=4,

即點(Y,X)到對稱軸的距離小于點(3,y2)到對稱軸的距離，

故X>必，故②正確；

③由圖象可知：二次函數與直線y=—1有兩個不同的交點，

即關于x的一元二次方程以2+法+c=_］有兩個不相等的實數根，故③錯誤；

④?..函數圖象經過(0,2),對稱軸為直線％=—1，

...二次函數必然經過點(-2,2),

ar?+/?x+c>2時，*的取值范圍—2<x<0,故④正確；

綜上，②④正確，

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數圖象與系數的關系：對

于二次函數>=公2+加二次項系數。決定拋物線的開口方向和大小，當。>0時，拋物線向

上開口；當4<0時，拋物線向下開口：一次項系數力和二次項系數。共同決定對稱軸的位置：常數項。決

定拋物線與y軸交點；熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

12.如圖，己知等腰直角ZACB=90°,A6=0，點C是矩形ECGE與_A8C的公共頂點，

且CE=1,CG=3；點。是CB延長線上一點，且CE>=2.連接BG,DF，在矩形ECGE繞點C按

YTI

順時針方向旋轉一周的過程中，當線段BG達到最長和最短時，線段OF對應的長度分別為相和〃，則一

A.2B.3C.V10D.V13

【答案】D

【解析】

【分析】根據銳角三角函數可求得AC=BC=1,當線段BG達到最長時，此時點G在點C的下方，且

B,C,G三點共線，求得BG=4,DG=5,根據勾股定理求得DF=瘍，即〃?=>/記，當線段

8G達到最短時，此時點G在點C的上方，且8,C,G三點共線，則3G=2,DG=l,根據勾股定

理求得D尸=0，即〃=五，即可求得'=舊.

n

【詳解】；_A3C為等腰直角三角形，AB=J^，，AC=BC=AB-sin45°=0xY2=l，

2

當線段BG達到最長時，此時點G在點C的下方，且B,C,G三點共線，如圖：

D

則BG=BC+CG=4,DG=DB+BG=5,

在Rt^OGF中，DF=y]DG2+GF2=VF+F=>/26

即m=V26，

當線段BG達到最短時，此時點G在點。的上方，且B,C,G三點共線，如圖:

則3G=CG—BC=2,DG=BG—DB=T,

在Rt^OG尸中，DF=ylDG2+GF2=Vl2+12=V2

即〃=\pl,

故選：D.

【點睛】本題考查了銳角三角函數，勾股定理等，根據旋轉推出線段BG最長和最短時的位置是解題的關

鍵.

非選擇題（共84分）

二、填空題（本題共5個小題，每小題3分，共15分.只要求填寫最后結果）

13.計算：（例一341+6=.

【答案】3

【解析】

【分析】先利用二次根式的性質化簡，再計算括號內的減法，然后計算二次根式的除法即可.

=（46-@+百

=3拒+下>

=3

故答案為：3.

【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和運算法則是解題的關鍵.

x—1x—2

---->-----

14.若不等式組J2-3的解集為xNm,則機的取值范圍是.

2x-m>x

【答案】

【解析】

【分析】分別求出兩個不等式的解集，根據不等式組的解集即可求解.

七1之二匚①

【詳解】解：《2一3,

2x-m>x@

解不等式①得：%>-1,

解不等式②得：x>m,

???不等式組的解集為：x>m,

m>—1.

故答案為：m>-\.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，根據不等式的解求參數的取值范圍，熟練掌握解不等式組解集

的口訣：同大取大，同小取小大小小大中間找，大大小小找不到（無解）是解題的關鍵.

15.如圖，在YABCD中，的垂直平分線￡0交AO于點￡,交于點0,連接BE,CE,過點

C作Cb〃3E,交EO的延長線于點F,連接所.若AO=8,CE=5,則四邊形的面積為

【答案】24

【解析】

【分析】根據平行線的性質可得/8￡0=/。尸0,根據垂直平分線的性質可得3O=CO,

ZBOE=ZCOF=90°,根據全等三角形的判定和性質可得BE=C尸，OE=OF,根據平行四邊形的判

定和菱形的判定可推得四邊形BFCE為菱形，根據勾股定理求得OE=3,根據菱形的性質即可求得四邊形

BFCE的面積.

【詳解】-：CF//BE,

：.ZBEO=ZCFO,

：8。的垂直平分線E0交A￡＞于點E，

BO=CO,ZBOE=Z.COF=90°,

.BOEaCOF,

；.BE=CF,OE=OF,

四邊形BFCE為平行四邊形，

又,：OE=OF,BO=CO,NBOE=NCOF=9Q0,

平行四邊形5FCE為菱形，

AD-8,

BC=S,

：.OC=-BC=4,

2

在RtZXEOC中，OE=^EC2-OC2=752-42=3-

故菱形BFCE的面積為LX8CXEF=LXBCX2EO='X8X2X3=24,

222

故答案為：24.

【點睛】本題考查了平行線的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定，菱

形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵.

16.在一個不透明的袋子中，裝有五個分別標有數字-百，痛，0,2,冗的小球，這些小球除數字外其

他完全相同.從袋子中隨機摸出兩個小球，兩球上的數字之積恰好是有理數的概率為.

2

【答案】y##0.4

【解析】

【分析】列表得出所有等可能的結果數，再從中找到符合條件的結果數，然后再用概率公式求解即可.

【詳解】解：根據題意列表如下：

娓02兀

-3>/20-2百一百兀

瓜-37202限乖爪

00000

2-2垂)2瓜02兀

71兀02兀

共有20種等可能出現的結果，兩球上的數字之積恰好是有理數的有8種，

Q7

兩球上的數字之積恰好是有理數的概率為p=—=~,

205

2

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果，

適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況

數與總情況數之比.

17.如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣.從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個

數字提取出來組成有序數對：（3,5）；（7,10）；（13,17）；（21,26）；（31,37）…如果單把每個數對中的第

一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發(fā)現其中的規(guī)律.請寫出第〃個數對：.

???37

212019181736

227651635

238141534

23114

24933

251011121332

262728293031

【答案】“+〃+I,/+2〃+2)

【解析】

【分析】根據題意單另把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，可發(fā)現第〃個數對的第一

個數為：〃（”+1）+1,第〃個數對的第二個位：（〃+iy+i,即可求解.

【詳解】解：每個數對的第一個數分別為3,7,13,21,31,…

即：1x2+1,2x3+1，3x4+1,4x5+1,5x6+1，…

則第〃個數對的第一個數為：/?（n+l）+l=n2+rt+l.

每個數對的第二個數分別為5,10,17,26,37,…

即：2?+1；32+1;42+1；52+1；62+!",>

則第〃個數對的第二個位：（〃+1）2+1=〃2+2〃+2,

???第〃個數對為：卜2+〃+1,+2〃+2）,

故答案為：[之+〃+],+2〃+2）.

【點睛】此題考查數字的變化規(guī)律，找出數字之間的排列規(guī)律，利用拐彎出數字的差的規(guī)律解決問題.

三、解答題（本題共8個小題，共69分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

a+。+2].2

18.先化簡，再求值:其中Q=&+2.

-4。+42。-)Q--2a

【答案】力C

【解析】

【分析】運用因式分解，約分，通分的技巧化簡計算即可.

aa+2].2

【詳解】

ci~-4。+42a—ci~JQ--2a

'aa+2]a(a-2)

、(a—2)。(&-2)12

aa(a-2)a+2a(a-2)

(4—2)2、—2a(a-2)X-2-

a2a+2_2

2(a-2)__2~~~^2

當Q=V2+2時，

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握因式分解，約分，通分的技巧是解題的關鍵.

19.如圖，在四邊形ABC。中，點E是邊8c上一點，且6E=C。，NB=ZAED=/C.

（1）求證：/EAD=/EDA：

（2）若NC=60。，?！?4時，求匹的面積.

【答案】（1）見解析（2）46

【解析】

【分析】（1）由NB=NAED求出/R4E=NCE?，然后利用AAS證明一B4E與CED,可得EA=ED，

再由等邊對等角得出結論：

（2）過點E作于R根據等腰三角形的性質和含30°直角三角形的性質求出。咒和AO,然后

利用勾股定理求出瓦'，再根據三角形面積公式計算即可.

小問1詳解】

證明：VZB=ZAED，

180。-=1800-ZAED,即ZBEA+ZBAE=NBEA+ZCED,

ZBAE=ZCED,

ZB=ZC

在二84七和ACED中，<NBAE=NCED,

BE=CD

.BAE三C￡Z）（AAS）,

；?EA=ED，

/.ZE4￡>=Z￡ZM：

【小問2詳解】

解：過點E作EFIAD于凡

由（1）知E4=EZ）,

ZA￡Z）=NC=60°,

ZAEF=NOEE=30°,

,/DE=4,

DF=LDE=2,

2

AAD=2DF=4,EF=1DE。-DF°="一2?=26，

S.ra=-AD-EF=-x4x2V3=4V3.

22

【點睛】本題考查了三角形內角和定理,全等三角形的判定和性質,

等腰三角形的性質，含30°直角三角形的性質以及勾股定理等知識，正確尋找證明三角形全等的條件是解

題的關鍵.

20.某中學把開展課外經典閱讀活動作為一項引領學生明是非、知榮辱、立志向、修言行的德育舉措.為

了調查活動開展情況，需要了解全校2000名學生一周的課外經典閱讀時間.從本校學生中隨機抽取100名

進行調查，將調查的一周課外經典閱讀的平均時間x（h）分為5組：?l<x<2；?2<x<3；③

3Vx<4；?4<x<5；?5<x<6.并將調查結果用如圖所示的統(tǒng)計圖描述.

根據以上信息，解答下列問題：

（1）本次調查中，一周課外經典閱讀的平均時間的眾數和中位數分別落在第組和第組（填

序號）；一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的學生人數占被調查人數的百分比為；估計全校

一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的學生有人；

（2）若把各組閱讀時間的下限與上限的中間值近似看作該組的平均閱讀時間，估計這100名學生一周課

外經典閱讀的平均時間是多少？

（3）若把一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的人數百分比超過40%,作為衡量此次開展活動成功

的標準，請你評價此次活動，并提出合理化的建議.

【答案】（1）?,③，28%,560；

（2）3.4；

（3）此次活動不成功，建議：①學校多舉辦經典閱讀活動；②開設經典閱讀知識競賽，提高學生閱讀興趣

等（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）根據眾數和中位數的定義以及用樣本估計總體的思想求解即可；

（2）首先求出每組的平均閱讀時間，然后根據算術平均數的計算方法求解即可；

（3）將一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的人數百分比與40%進行比較即可解答.

【小問1詳解】

解：?.?第③組的人數最多，

...一周課外經典閱讀的平均時間的眾數落在第③組；

?.?第50、51名學生均在第③組，

.?.一周課外經典閱讀的平均時間的中位數落在第③組；

由題意得：也應xl00%=28%,

100

即一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的學生人數占被調查人數的百分比為28%；

2000x28%=560（人），

即估計全校一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的學生有560人，

故答案為：③，③，28%,560；

【小問2詳解】

解：由題意得，每組的平均閱讀時間分別為1.5,2.5,3.5,4.5,5.5,

...估計這100名學生一周課外經典閱讀的平均時間為：

1.5x10+2.5x26+3.5x36+4.5x20+5.5x8°一

-------------------------------------------=3.4小時；

100

小問3詳解】

解：一周課外經典閱讀的平均時間達到4小時的人數百分比為28%,

V28%<40%,

本次課外經典閱讀活動不成功，

建議：①學校多舉辦經典閱讀活動；②開設經典閱讀知識競賽，提高學生閱讀興趣等（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了頻數分布直方圖，由樣本估計總體，中位數和眾數，從統(tǒng)計圖獲取有用信息是解題的

關鍵.

21.今年五一小長假期間，我市迎來了一個短期旅游高峰.某熱門景點的門票價格規(guī)定見下表：

票的種類4BC

購票人數/人1-5051-100100以上

票價玩504540

某旅行社接待的甲、乙兩個旅游團共102人（甲團人數多于乙團），在打算購買門票時，如果把兩團聯合

作為一個團體購票會比兩團分別各自購票節(jié)省730元.

（1）求兩個旅游團各有多少人？

（2）一個人數不足50人的旅游團，當游客人數最低為多少人時，購買8種門票比購買A種門票節(jié)省？

【答案】（1）甲團人數有58人，乙團人數有44人；

（2）當游客人數最低為46人時，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省.

【解析】

【分析】（1）設甲團人數有x人，乙團人數有y人，根據“甲、乙兩個旅游團共102人，把兩團聯合作為一

個團體購票會比兩團分別各自購票節(jié)省730元”列方程組求解即可；

（2）設游客人數為。人時，購買8種門票比購買A種門票節(jié)省，根據“人數不足50人，購買8種門票比

購買A種門票節(jié)省”列不等式求解即可.

【小問1詳解】

解：設甲團人數有無人，乙團人數有y人,

x+y=102

由題意得：<

45x+50y=102x40+730

x=58

解得：〈

y=44'

答：甲團人數有58人，乙團人數有44人;

【小問2詳解】

解：設游客人數為4人時，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省,

由題意得：45x51<50a，

解得：a>45.9,

為整數,

???當游客人數最低為46人時，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，找出合適的等量關系和不等關系列

出方程組和不等式是解題的關鍵.

22.東昌湖西岸的明珠大劇院，隔湖與遠處的角樓、城門樓、龍堤、南關橋等景觀遙相呼應.如圖所示,

城門樓B在角樓A的正東方向520m處，南關橋C在城門樓B的正南方向1200m處.在明珠大劇院P測

得角樓4在北偏東68.2。方向，南關橋C在南偏東56.31°方向（點A,B,C,P四點在同一平面內）.求

明珠大劇院到龍堤BC的距離（結果精確到1m）.

(參考數據：sin68.2°?0.928,cos68.2°?0.371,tan68.2°?2.50,sin56.31°?0.832,

cos56.31°?0.555,tan56.31°?1.50)

圖1圖2

【答案】明珠大劇院到龍堤的距離為1320m.

【解析】

【分析】如圖，首先證明四邊形仍是矩形，可得AO=3E，AB=DE，然后解直角三角形求出

PD=2.5BE,PE=L5CE,進而得出關于的方程，求出師即可解決問題.

【詳解】解：如圖，由題意得A815C，PE±BC,AD±PE,AB=520m,BC=1200m,

ZR4D=68.2。，ZC=56.31°,

???ZB=/BED=ZADE=90°,

四邊形是矩形，

:.AD=BE，AB=DE，

PD

tanZPAD=tan68.2°=----,

AD

：.2.5=—,即PZ)=2.5AD=2.58E,

AD

PE

tanZC=tan56.31°=,

CE

PE

A1.5=—,即PE=1.5C￡,

CE

VPE=PZ)4-Z)E=2.5BE+520,CE=12(X)-BE,

2.5BE+520=1.5(1200-B￡),

解得：BE=320,

：.PE=2.55E+520=1320m,

答：明珠大劇院到龍堤3。的距離為1320m.

矩形的判定和性質，正確理解

23.如圖，一次函數丫=履+人的圖像與反比例函數>='的圖像相交于4（一1,4）,8（。,一1）兩點.

X

（1）求反比例函數和一次函數表達式;

（2）點夕（〃,0）在x軸負半軸上，連接AP,過點B作8。AP,交〉=—的圖像于點。，連接PQ.當

8Q=AP時，若四邊形APQB的面積為36,求〃的值.

4

【答案】（1）y=一一，y=-x+3

x

21

(2)n-----

5

【解析】

【分析】（1）根據反比例函數過點A（—1,4）,3（a,-l）兩點，確定8（4,—1）,待定系數法計算即可.

（2）根據平移思想，設解析式求解即可.

【小問1詳解】

???一次函數y=&+〃的圖像與反比例函數丁=竺的圖像相交于A（—L4）,兩點

X

m=—lx4=-4?

4

故反比例函數的解析式為y=--，

x

故5（4,-1）,

4k+b=-1

一女+。=4

k=-\

解得《

b=3

.?.直線的解析式為y=-x+3.

【小問2詳解】

VA（-l,4）,5（4,-1）,P（〃,0）,BQAP,BQ=AP,

：.四邊形APQB是平行四邊形，

.?.點A到點P的平移規(guī)律是向左平移-1一〃個單位，向下平移4個單位，

/1點8（4,—1）到點Q的平移規(guī)律也是向左平移一1一”個單位，向下平移4個單位,

故。（5+〃,一5）,

4

VQ（5+〃，-5）在＞=——上，

x

_4__4

5+n=^5~5

解得n=一"—.

【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點，平移規(guī)律計算，熟練掌握規(guī)律是解題的關鍵.

24.如圖，在RtZVLBC中，ZACB=90°,4c的平分線AO交8C于點。，NA/X7的平分線￡＞七

交AC于點￡以AO上的點。為圓心，。。為半徑作。，恰好過點￡

A

3

(2)若8=12,tan/A5C=二，求。的半徑.

4

【答案】(1)見解析⑵15-3出

【解析】

【分析】(1)連接。石，由題意可知。可知NOED=NODE,易證得NOED=NCDE,可知

OECD,由NAC3=90。，易知QE1AC,進而可證得結論；

DF

(2)由角平分線的性質可知CE>=OE,可得8/=--------=16,進而可求得80=20,

tanZABC

BC=CD+BD=32,AC=BCtanZABC=24,AO=12石，由。石1C。，可證得二A石。SaAc。，

―r.EOAOWK―r/BEO12>/5—0D12>/5—EOr_[—口口山八村山,大

可知----,進而可得=------f=—=-----f=—，求得E0=15—3v5，即為1'O的半徑.

CDAD1212V512V5

【小問1詳解】

證明：連接0E，

NOED=NODE,

,/OE平分/ADC,

ZCDE^ZODE,

/OED=/CDE,

：.OECD,

又?:ZACB=90。，

ZAEO=90°,

即QE1AC,

AC是。。的切線；

【小問2詳解】

解：過點。作。

?；4。平分/以。，DFLAB,ZACB=90°,

：.CD=DF,

3

VCD=12,tanZABC=-,

4

Hnrl=-----D--F-----=1.6r,

tanZABC

BD=\JDF2+BF2=20>則BC=CD+BD=32,

AC=BC-tanZABC=24，

22

AD=VAC+CD=12石，

OECD,

?..AEO0a.ACD，

.EOAOEO12亞-OD12逐一EO

??=，Un|nJ：=-------==-------=，

CDAD12127512>/5

可得:￡0=15-375.

?*-C。的半徑為15-3石.

【點睛】本題考查切線的證明，相似三角形的判定及性質，角平分線的性質，解直角三角形，勾股定理等

知識，熟練掌握相關性質定理是解決問題的關鍵.

25.如圖①，拋物線丫=0^+法一9與x軸交于點A（-3,0）,8（6,0）,與y軸交于點C,連接AC,BC.

（2）點。在拋物線上，若以點A,C,P,Q為頂點，AC為一邊的四邊形為平行四邊形時，求點Q的坐

標；

（3）如圖②，當點P（，",0）從點A出發(fā)沿x軸向點8運動時（點尸與點A,8不重合），自點尸分別作

PE//BC,交4c于點E,作ADLBC,垂足為點D當m為何值時，VFED面積最大，并求出最大

值.

1Q

【答案】（1）y=—x2——X—9

22

（2）點。坐標（3,-9）,或（|+生乎,9）或（|一2乎,9）；

31

（3）不時，S△叨2有最大值，最大值為10g.

28

【解析】

【分析】（1）將A（—3,0）,^伯川開弋入丁二口^+兒；—以待定系數法確定函數解析式；

1Q13

（2）由二次函數y=-]x-9,求得點C（0,-9）,設點尸（見0）,點Q（〃，5〃2-9）,分類討

論：當AC為邊，AQ為對角線時，當AC為邊，A尸為對角線時，運用平行四邊形對角線互相平分性

質，構建方程求解；

（3）如圖，過點。作。GJ_A6,過點E作石尸工/W,垂足為G,F,

可證？FPE?DBP，?PDG?DBP；運用待定系數法求直線AC解析式y(tǒng)=-3x—9,直線8C解

33

析式y(tǒng)=設點￡（〃,-3〃-9）,D{q,-q-9）,則尸尸二〃"p,PG=q-m,

3

22

EF二:3。+9,DG=-—q+9,運用解直角三角形，Rt_3OC中，BC=y/oc+OB=V117，

2

3EF31■|(〃2+3),

tan?OBCRtZXPEF中，tan?FPE再產展可得p=§(加-6),PF=

2

=UZ(m+3)；RtAPDG中，tan?PDG:3=七(4m+54),

PE=:------?可得，q二

69DG2

PG=--{m-6),pi)—PG，―?Z_=--HZ_(m_6),于是

13913

1131

SPDE=—PD，PE=--(m+3)(m-6),從而確定〃?='時，最大