人教A版（2019）數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)教案三角恒等變換

三角恒等變換

【第1課時(shí)】

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.（重

點(diǎn)）

1.通過兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)

2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.（難

運(yùn)算素養(yǎng).

點(diǎn)）

2.借助公式的變形、正用、逆用，提升邏輯

3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號(hào)特

推埋素養(yǎng).

征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算.（重點(diǎn)、

易混點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、新知初探

兩角差的余弦公式

公式cos(a—。)=cos_acos_/+simM￡

適用條件公式中的角a,P都是任意角

公式結(jié)構(gòu)公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號(hào)與左邊角的連接符號(hào)相反

二、初試身手

1.sin14°cos160+sin76°cos74°=()

A

1

B,2

C?2

D

答案：B

解析：Vsinl40=cos76°,cos740=sinl6°,

1.原式=cos76°cosl6°+sin76°sinl6°=cos(76°—16°)=cos60°=^.

2.cos(-15°)的值是()

水+啦

而+6

答案：D

解析：cos(—15°)=cosl5°=cos(45°—30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

1#十啦

X2-4-

3.cos65°cos200+sin65°sin20°=.

答案：乎

解析：cos65°cos20°+sin65°sin20°=cos(65°—20°)=cos45°=2?

三、合作探究

給角求值問題

類型1

例1：(1)COS"^的值為()

枳+啦

A?4

B.4

J4

#+啦

(2)求下列各式的值：

①cos750cos150-sin75°sin195°；

@sin460cos14°+sin440cos76°；

?^cosl50+2s*n^°,

答案：(1)D

It71.71.兀

=—cos^cos^-sin4sin^

由Sy[21_#+啦

2^2-2X2=~4

(2)解:①cos750cosl50—sin750sinl95°

=cos75°cos15°-sin75°sin(180°+15°)

=cos75°cosl50+sin750sinl5°

=cos(75°—15°)=COS60°=2-

@sin46°cos14°+sin440cos76°

=sin(90°-44°)cosl4°+sin44°cos(9()。一14。)

=cos44°cos140+sin44°sin14°

=cos(44°—14°)=cos30°=2?

_i、行

③^cos150+考isn150

=cos60°cos150+sin60°sin15°

J2

=cos(60°—15°)=cos45°=2?

規(guī)律方法

1.解含非特殊角的三角函數(shù)式的求值問題的一般思路是：

(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，正用公式直接求值.

(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)形式，然后逆用

公式求值.

2.兩角差的余弦公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

(1)同名函數(shù)相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦.

(2)把所得的積相加.

跟蹤訓(xùn)練

1.化簡下列各式：

(1)cos(6+21。)cos(。-24。)+sin(。+21。)sin(。一24。)；

(2)-sinl67°sin223°+sin257°-sin3130.

s

解：(1)原式=cos[0+21。一(B—24。)J=cos45°=-y.

(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)-sin(360°-47°)

=sin13°sin430+sin77°sin47°

=sin13°sin430+cos13°cos43°

=cos(13°—43°)=cos(—30°)=乎.

給值(式)求值問撅

類型2

探究問題

1.若已知。十小和夕的三角函數(shù)值，如何求cos。的值?

提示:cosa=cos[（a+fi）—p]

=cos(a+4)cos夕+sin(<z+4)sin^.

2.利用a—（a一夕）="可得cos夕等于什么？

提示：cos^=cos[a-(a-夕)]=cosacosCa—fi)+sinasin(a-￡).

例2：(1)已知sin。-sin/?=1—乎，cosa—cos^=^,則cos(a—fl)=(

)

A.

2

B.~2

1

C.2

D.

2

(2)已知sir《+a)=!|,(￡住等,求cosa的值.

思路點(diǎn)撥：（1）先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結(jié)合平方關(guān)系和公式C,a—價(jià)求cos

（a—￡）.

（2）由已知角殲a與所求角a的關(guān)系即。=停+。）一件找解題思路.

答案：(1)D

因?yàn)閟ince-sin0=1一坐,

所以sin2a_2sinasin/？+sin2^=2,①

因?yàn)閏osa—cos^=；,所以cos：,②

ai

①，②兩式相加得1—2cos(a—￡)+1=1—小+彳+彳

所以一2cos(a—fi)=一小

所以cos(a一夕)=2-

cos?=cos

(nyn.(ny.it5112亞12V5—5

母題探究

1.將例2(2)的條件改為且,如何解答?

皿???，?哈4l7t3n

解：?sin(a+wj=5，且1不＜3方

2.將例2(2)的條件改為“sin住一力=一懸a喏,引”，求cos(a—制的值.

e..兀~~5兀.兀nn

解：?不，,?一/<1—1<不

又sin-1|vo,

但_/+啦4津一L也x上+應(yīng)x(_4=—地

13ar2sinba)~213+2I\y~26,

規(guī)律方法

給值求值問題的解題策略

1.已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值時(shí)，要注意觀察已知角與所求

表達(dá)式中角的關(guān)系，即拆角與湊角.

2.由于和、差角與單角是相對(duì)的，因此解題過程中可以根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角.常

見角的變換有：

?a=（c（—8）+夕；

②片用空

③2a=（a+S）+（a—￡）；

④20=（a+/?）-（a一夕）.

給值求角問題

類型3

4、61371

例3：己知sin（九一a）=T-，cos（a一4）=T7,0<^<a<^,求角尸的大小.

思路點(diǎn)撥：I求cosa、sin（a—￡）|->豫?（儀一夕）］一懣I

解：因?yàn)閟in（7T—a）=4^,

所以4皿=羋.因?yàn)??多

所以cosa=.1-sin2a=-.

13

因?yàn)閏os（a—￡）=N，

且0<尸<04，所以O(shè)Va一夕若，

所以sin（a一p）=^/l—cos2Ca—fl'）—

所以cos^=cos[a—(a-。)]=cosacos(a-+sinasin(a一夕)x-j^-=-.因

jrjr

為OV.V],所以夕=).

規(guī)律方法

已知三角函數(shù)值求角的解題步驟

1.界定角的范圍，根據(jù)條件確定所求角的范圍.

2.求所求角的某種三角函數(shù)值.為防止增解最好選取在范圍內(nèi)單調(diào)的三角函數(shù).

3.結(jié)合三角函數(shù)值及角的范圍求角.

提醒：在根據(jù)三角函數(shù)值求角時(shí)，易忽視角的范圍，而得到錯(cuò)誤答案.

跟蹤訓(xùn)練

2.已知a,￡均為銳角,且cosa=^^,cos夕求a一夕的值.

解：??b,“均為銳角，

..必.°3?

..sina=亨，sinp=-iQ-,

cos(a—￡)=cosacosy?+sinasinfi

_2y[5遮或3y/7b_y/2

-5X10+5X10-2,

又sina<sin/?,

7171

..0<a</?<2，??~2<a一4<0，

故a-P=—^.

四、課堂小結(jié)

1.給式求值或給值求值問題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另

外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“己知角”.注意

公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧.

2.“給值求角”問題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，求一個(gè)角的值，可分以下

三步進(jìn)行：①求角的某一三角函數(shù)值；②確定角所在的范圍(找一個(gè)單調(diào)區(qū)間)；③確定角的

值.確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定.

五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.思考辨析

(1)cos(60°-30°)=cos600-cos300.()

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,B，cos1a一夕)=cosa—cos￡都不成立.()

(3)對(duì)任意a,peR,cos(a一夕)=cosacos￡+sinasi叨都成立.()

(4)cos30°cos1200-I-sin30°sin120°=0.()

提示：(1)錯(cuò)誤.cos(60°—30°)=cos30°#cos60°—cos30°.

(2)錯(cuò)誤.當(dāng)a=-45。，尸=45。時(shí)，cos(a一夕)=cos(—45°—45°)=cos(—90°)=

0,cos。-cos￡=cos(—45°)—cos45°=0,此時(shí)cos=cosa—cos￡.

(3)正確.結(jié)論為兩角差的余弦公式.

(4)正確.cos30°cos120°+sin30°sin120°=cos(120°-30°)=cos90°=0.

答案：(1)x(2)x(3)4(4)7

123

2.已知a為銳角/為第三象限角，且cosG=y^,sin/?=一則cos(a—/?)的值為()

,63

A--65

n33

-65

C.行

D.前

答案：A

解析：Ya為銳角，cosa=Yj,/.sina=^1—cos2a=,

“為第三象限角，si邛=一|,

cosfi=-*\/l-sin2/?=一亍

cos(a—，)=cosacosy?+sinasin^=y^xf—

3.cos(a—35°)cos(a+25°)+sin(a—35°)sin(a+25°)=.

答案：|

解析：原式=cos[(a-35。)-(a+25。)]

=cos(—60°)=cos600=/.

4.已知sina=-g,si叨=W,且180°VaV270。,90°</?<180°,求cos(a-/?)的值.

4

解:因?yàn)閟ina=一§,180°<a<270°,

3

所以cosa=~

因?yàn)閟in^=看，90°<^<180°,

所以cos用=一||,

所以cos（口一4）=cosacos^+sinasin^

=（一飄一商+（一§*

=36_20=16

■65-65-65-

【第2課時(shí)】

兩角和與差的正弦、余弦公式

【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和

與差的正弦公式.1.借助公式的推導(dǎo)過程，培

2.會(huì)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

求值、化簡、計(jì)算等.2.通過公式的靈活運(yùn)用，提

3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用，了解公式升邏輯推理素養(yǎng).

的正用、逆用以及角的變換的常用方法.

【教學(xué)過程】

一、新知初探

1.兩角和與差的余弦公式

名稱簡記符號(hào)公式使用條件

兩角差的余弦

Ccos（Q一2）=cosicos6+sincsin6a,pGR

公式

兩角和的余弦

C<〃+/）cos（a+夕）=cosacos」-sinasinSa,蚱R

公式

2.兩角和與差的正弦公式

名稱簡記符號(hào)公式使用條件

兩隹和的正弦S（a+fi>sin（a+/?）=sinacos￡+cosasin/?a,0GR

兩角差的正弦S（a-p）sin（a一夕）=sinacosb-cosasinCa,眸R

3.重要結(jié)論一輔助角公式

a

y=asinx+bcosx=\/t/2+^2sin(x+夕)(a,b不同時(shí)為0),其中cos0=sin<9=

\la2-hb2

b

+盧

二、初試身手

1.cos570cos3。一sin570sin3。的值為（）

A0

j_

B

2

曲

C2

D.cos54°

答案：B

解析：原式=cos(57°+3°)=cos60°=^.

2.sin245°sin125°+sin155°sin35°W()

C.

Du亞?2

答案：B

解析：Vsin245u=sin(155u+90u)=cos155Q,

sinl25°=sin(90°+35°)=cos350,

:?原式=cosl550cos350+sinl550sin350=cos(155。-35。)=cosl20°=-l.

3.若cosa=—,,a是第三象限的角，貝Usin(a—：)=.

答案.一也

口果.10

3

解析：???cosa=一熱。是第三象限的角，

4

-

5

9nLfcos?=fx

10-

三、合作探究

類型1

給角求值問題

例1：(1)cos70°sin500-cos2(X)0sin400W09()

(2)若夕是第二象限角且sin。4,則cos(。+60。)=

(3)求值：(lanlO。一譽(yù)%.

oil!JU

答案：(1)D(2)~1226^

解析：(1)Vcos200°=cos(180°+20°)=-cos20°=-sin70°,sin40°=cos50°,

A^^；=cos700sin500-(一sin70。)cos50°

h

=sin(50°+70°)=sinl20°=V-

2

(2)???。是第二象限角且sinO$,

______12

cos6=-y)\—sin2^=一行

1s

cos(〃I60°)=]cos。勺sin。

=以_塔—近x'=_12+5小i

一2I13j213—26,」

cos10°

(3)解：原式=(tanl00—tan60°).

olllJsUno

_(sin10。_sin60°￥()s10°

一【cos10°cos60°Jsin50°

sin—50°cos1()。

-cos10°cos60°sin50°

=-2.

規(guī)律方法

解決給角求值問題的策略

（1）對(duì)于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果

整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形.

（2）一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項(xiàng)并消項(xiàng)求值，

化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時(shí)要逆用或變用公式.

提醒：在逆用兩角的和與差的正弦和余弦公式時(shí)，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn)，其

次注意角是否滿足要求.

跟蹤訓(xùn)練

1.化簡求值：

sin50°-sin20°cos30°

（1）cos20°;

（2）sin（。+75。）+cos（夕+45。）一小cos（＜9+15°）.

sin200+300-sin200cos30。

解：（1）原式=

cos20°

sin20°cos300+cos200sin30°—sin20°cos30°

cos20°

cos200sin30。.…1

=c八o=sin30=不

cos202

(2)設(shè)a=9+15。,

則原式=sin(a+60°)+cos(a+30°)—y13cosa

給值求值、求角問題

類型2

例2：（1）已知P,Q是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的單位圓上的兩點(diǎn)，且分別位于第一象限和第

四象限，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為4點(diǎn)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a5則cosNPOQ=.

（2）已知COSQ=坐，sin（。-6）且￡￡（°，方）?求：①cos（2a—位的值；

②用的值.

思路點(diǎn)撥：（1）先由任意角三角函數(shù)的定義求NxOP和NxOQ的正弦、余弦值，再依據(jù)N

POQ=NxOP+ZxOQ及兩角和的余弦公式求值.

（2）先求sina,cos（a一4），依據(jù)2a—￡=a+（a一4）求cos（2?—^）.依據(jù)￡=a—（a

一■）求COS0再求夕.

答案：（1）§

03

4

解析：由題意可得，cos/xOP=5，

所以sinZxOP=1.

再根據(jù)cos/xOQ=總

12

可得sinZxOQ=~~^f

45

所以cosZP(?Q=cos(NxOP+NxOQ)=cosNxOPcosNxOQ-sinNxOPsinN尤OQ=gxyj

3I吟56

一劑一13尸再

(2)解：①因?yàn)橐?蚱(0，9

所以a一夕￡(一小宮，又sin(a—/?)=[^>。，

7T

所以0<a—fi<y

所以sina=yj1-cos2a=^^,

cos(a-￡)=yj1-sin2a-,

cos(2a-=cos[a+(a—/?)]

=cosacos(a一夕)—sinasin(a一6)

=立3回2后Vl0_V2

-5X10-5X10-10,

②cos夕=cos[a—(a一4)]

=cosacos(a一4)+sinasin(a一4)

=迅旦適必遮=近

_5]0十51()—2，

又因?yàn)樽?0,野，所以￡寸

規(guī)律方法

給值求值問題的解題策略

在解決此類題目時(shí)，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，

同時(shí)分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是：

1.當(dāng)條件中有兩角時(shí)，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差.

2.當(dāng)己知角有一個(gè)時(shí)，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為己知隹.

跟蹤訓(xùn)練

2.己知銳角a,4滿足cosa=^^,sin(a一/)=-p求sin/?的值.

7TJr

解：因?yàn)閍,4是銳角，即OVaV茅OV.V)

所以一9儀一夕V^,

3

因?yàn)閟in(a—4)=—gVO,

4

所以cos(a—尸)=§,

因?yàn)閏osa=邛^,所以sina=

5，

所以sin"=sin[a-(。一夕)]=sinacos(a—￡)—cosasin(a一夕)

埔助角公式的應(yīng)用

類型3

探究問題

1.能否將函數(shù)y=sinx+cosx(x^R)化為y=Asin(x+9)的形式(儂￡(0，習(xí)卜

提示：能.y=sinx+cosx=<72sinLr+7^.

2.如何推導(dǎo)〃sinx+bcosx=W^T^sin(x+p)(tano=§公式.

提示：asiar+bcosx

=后萬(請(qǐng)加1"赤%。s，

令39=忘”聲=信整

tzsinx+bcosx=\6t2+Z?2(sinxcos^+cosxsin^))

=4?TRsin(x+9)(其中夕角所在象限由a,Z?的符號(hào)確定，9角的值由tanp='確定,

a

或由和cos^=共同確定).

7岸+法

例3：(1)siny^—V3cosy^=.

(2)已知/(x)=V3sinx-cos.r,求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間.

思路點(diǎn)撥：解答此類問題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式C,*^、Ca+g、S,*小、Ss+m的右側(cè),

逆用公式化成一個(gè)角的一種三角函數(shù)值.

答案：(1)~y[2

解析:原式=2申哈

法一：(化正弦)原式

n.7i.71兀

=2。osqsin五一sinqcos五

法二：(化余弦)原式

J.71.717171

=21sm^siny2-COSTCOSY2

(2)解：f(x)=,\/3sinx—COSA

:?T=^=2R,值域［—2,2］.

jr7T7E7127r

由一］+2后曰一方］+2E,得遞增區(qū)間一？+2也，3~+2&兀，kGZ.

母題探究

1.若將例3(2)中函數(shù)改為f(x)=-sinx+#cosx,其他條件不變?nèi)绾谓獯穑?/p>

解：f(x)=-sinx+小cosx=2^cos.Lgsinx=2cos(x+*,

???丁=2兀，值域?yàn)椋?2,2］,

TT

由一兀+2ESv+濟(jì)2E,得遞增區(qū)間

［一奈+2E,一*+2E］,kGZ.

2.若將例3(2)中函數(shù)改為/(x)=msinx+/ncosx,其中機(jī)＞0,其他條件不變，應(yīng)如何

解答?

sx—y5msinQ+今)，

解：f(x)—znsinx+wco:

AT=2n,值域?yàn)閇一也m,啦利,

由-5+2方0+；遂+2E，得遞增區(qū)間

-3兀兀一

一半+2E,；+2E,kSZ.

規(guī)律方法

埔助角公式及其運(yùn)用

1.公式形式：公式asina+Z?cos“=qa2+/sin(a+g)或asina+力cosa=Ma2+b2cos(。一

9)將形如asimz+反osa(a,b)不同時(shí)為零的三角函數(shù)式收縮為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)式.

2.形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角a的系數(shù)為正，

這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì).

提醒：在使用輔助角公式時(shí)常因把輔助角求錯(cuò)而致誤.

四、課堂小結(jié)

1.兩角和與差公式可以看成是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式可以看成兩角和差公式的特例，

例如：sin^-aj=sin^-cosa—cos^sina=-cosa.

2.使用和差公式時(shí)不僅要會(huì)正用，還要能夠逆用公式，如化簡sin/?cos(a+夕)-cos^sin

(a+￡)時(shí)，不要將cos(a+夕)和sin(a+夕)展開，而應(yīng)采用整體思想，作如下變形：

sin/?cos(a+0)-cos^sin(a+產(chǎn))=sin[￡-(a+￡)]=sin(-a)=-sina.

3.運(yùn)用和差公式求值、化簡、證明時(shí)要注意靈活進(jìn)行三角變換，有效地溝通條件中的角

與問題結(jié)論中的角之間的聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)墓娇旖萸蠼?

五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.思考辨析

(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角a,4是任意的.()

(2)存在a,6CR,使得sin(a一4)=sina—sin夕成立.()

(3)對(duì)于任意a,sin(a+￡)=sina+si叨都不成立.()

(4)sin54°cos240-sin360sin240=sin300.()

提示：(1)正確.根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得.

(2)正確.當(dāng)a=45°,￡=0。時(shí),sin(a-0)=sina—sin^.

(3)錯(cuò)誤.當(dāng)a=30。，￡=—30。時(shí)，sin(a+-)=sina+sin￡成立.

(4)正確.因?yàn)閟in54°cos24°—sin36°sin24°

—sin54°cos24°—cos54°sin24°—sin(54°—24°)

=sin30°,故原式正確.

答案：（1），（2）q（3）x（4）?

2.化簡也cosx-#sinx等于（）

答案：D

解析：也cosx一冊(cè)sinx=2啦&osx一坐sinx

=2啦(cos^cosx-sin^sinx)

=2"\/5COS('+J.

3.cos6cos(a一夕)-sin佻in(a—￡)=.

答案：cosa

解析：cos或cos(a一4)-sin夕sin(a一夕)=cos[fi-\-(a一4)]=cosa.

4.已知a,4均為銳角，sina=坐，cos^=^^,求a一夕.

解：Va,夕均為銳角,sina=雪，cos￡=*%,

..03^102^5

..sinp=JQ,cosa=~^~.

Vsina<sin^,a<p,/.—^<a—/?<0,

Asin(a—￡)=sinacos^—cosasin^

正迎空3班啦

-510510-2'

匹

4,

【第3課時(shí)】

兩角和與差的正切公式

【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)

出兩角和與差的正切公式.

1.通過利用公式進(jìn)行化簡、證明等問題，培

2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、

養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

求值、證明.（重點(diǎn)）

2.借助公式進(jìn)行求值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，

并能靈活應(yīng)用.（難點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、新知初探

兩角和與差的正切公式

名稱簡記符號(hào)公式使用條件

口+用羊也+(攵且

兩角和,、tana+tanBa,B,5￡Z)

tan(a+/D—1.6〃

T(a+ft>11-tanatan6

的正切tana-tan/?^1

，且

兩角差坦na—lan￡a,Ba—S*kit+?(2￡Z)

Ttan(a—p)—.,Q

尸1-Manatan￡

的正切tana-tan/7^-1

二、初試身手

1.已知tana+tan￡=2,tan(a+優(yōu)=4,則tanatanA等于()

A.2

B.1

C-2

D.4

答案：C

解析：Vtan(a+夕)=詈言黑那=4，且tana+taM=2,

21

;----;-7=4,解得tanalan^=z.

1—tanatanp"2

2.求值：tan$^=.

答案：一2+小

1171It

解析：tan，運(yùn)=-tany2=_tan|J-6

,.兀兀

1+tanTtan7

=-2+4.

3.己知tana=2,則tan（a+：）=.

答案：一3

（也tana+tanj2+1

解析：taR+#-----------3.

1—tanatan^

tan75°—tan15°

4-----------------=

1+tan75°tan150---------

答案：小

解析：原式=tan（75°—15°）=tan60°=，§.

三、合作探究

兩角和與差的正切公式的正用

類型1

例1：⑴已知a,￡均為銳角，tana=；,tan￡=；,則a+￡=.

(2)如圖，在△A"C中，AD.LBC,。為垂足，在△A4C的外部，且：

CD：AD=2：3：6,則tanZBAC=.

思路點(diǎn)撥：(1)先用公式T(a+加求tan(a+6),再求a+￡.

(2)先求NC4O,NBA。的正切值，再依據(jù)tanN84C=tan(ZCAD-ZBAD)求值.

答案：⑴京⑵!

解析：(1)Vtana=2，tan^=^,

i+i

tana+tan夕23

tan1-tanatanp_j_j_匕

1-2X3

Va,￡均為銳角,

(0,北),

(2)?.?4OJ_BC且8。：CD：AD=2：3：6,

BD1

?.tanNB4Z)=A0=Q,

,CD1

tanNC4D=

tanZBAC=tan(ZCAD-ZBAD)

tanNC4。一tanNBA。

=1+tanZCADtanZBAD

1_1

2~3

=一]]

1+2X3

=7,

規(guī)律方法

1.公式T（期）的結(jié)構(gòu)特征和符號(hào)規(guī)律：

（1）結(jié)構(gòu)特征：公式T（a物的右側(cè)為分式形式，其中分子為tana與taM的和或差，分母

為1與tanatan/?的差或和.

（2）符號(hào)規(guī)律：分子同，分母反.

2.利用公式Te乃求角的步驟：

（1）計(jì)算待求角的正切值.

（2）縮小待求角的范圍，特別注意隱含的信息.

（3）根據(jù)角的范圍及三角函數(shù)值確定角.

跟蹤訓(xùn)練

1.（1）已知lana一則tana=.

31

（2）己知角a,夕均為銳角，且cosa=§,tan（a一4）=~y貝Utan6=.

.3

答案：（1）2（2）3

解析：（1）因?yàn)閠ana—

所以tana=tan（a一爭+?

5K.5兀1.,

tana—■^--rtan5十]

i5兀5兀一[1]

1—tana-^tan彳1—gx1

344

(2)因?yàn)閏osa=g,a為銳角，所以sina=§,tana=1,

八/c、tana—tana-

所以ta印=tan—(a-)1+tan

兩角和與差的正切公式的逆用

類型2

1+tan15°

例2：(1)

1-tan15°

1-V3tan75°

⑵小+375。=

思路點(diǎn)撥：注意特殊角的正切值和公式T(a±e的結(jié)構(gòu)，適當(dāng)變形后逆用公式求值.

答案：(1)小(2)-1

tan450+tan15°

解析:(1)原式=

1-tan45°tan15°

=tan(45。+15。)

=tan60o=小.

(2)原式=

tan30°—tan75°

1+tan30°tan75°

=tan(30°—75°)=—tan45°=-1.

規(guī)律方法

公式Ta3的逆用

一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換.

n,7iV3

如taiq=l,tang=tan,=小等.

3，

要HL特+別W汪'、意+ta七（式+ib、1+tana1—tana

1+tana

跟蹤訓(xùn)練

2.已知a、夕均為銳角，且sin2a=2sin2￡,貝U()

A.tan(a+4)=3tan(a一夕)

B.tan(a+0)=2tan(a一6)

C.3tan(a+4)=tan(cc一4)

D.3tan(a+￡)=2tan(a—fl)

答案：A

解析：Vsin2a=2sin2^,

sin[(a+￡)+]=2sin[—(a一4)]?

sin(a十夕)cos(a-/?)+cos(a十夕)sin(a—/?)

=2sin(a+夕)cosQa_0)—2cos(a+夕)sin(a-/?),

Asin(a+夕)cosCa—fi)=3cos(a+4)sin(a—￡),

兩邊同除以cos(a—￡)cos(a+4)得

tan(a+￡)=3tan(a—，).

兩角和與差的正切公式的變形運(yùn)用

類型3

探究問題

1.兩角和與差的正切公式揭示了tanataM與哪些式子的關(guān)系？

提示：揭示了tanataM與lana+laM，tanataM與tana—la叨之間的關(guān)系.

2.若lana、01廠是關(guān)于x的方程or2+for+c=0（存0,Z?2—4tzc^0）的兩個(gè)根，則如何用

〃、b、c表不tan（a+夕）？

_b

出一，?八tana+tan^ab

提不：tan(a+4)=--;----1士=—;=一----

r1—tanatanp_ca~c

a

根|J3：(1)tan67°-tan22°-tan67°tan220=.

(2)已知AABC中，tan8+tanC+Stan8tanC=小，且小tart4+小tan8=tanAtan8—1,

試判斷AABC的形狀.

思路點(diǎn)撥：（1）看到tan67o—tan22。與tan67，an22。想到將tan（67°-22°）展開變形，尋找

解題思路.

(2)先由關(guān)于角4,B的等式求出tan(A+B)得角A+&然后求角C并代入關(guān)于角B,

。的等式求角以最后求角人，判斷△人BC的形狀.

答案：(1)1

?.,tan670-tan220

=tan(67°-22°)(l+tan67otan22°)

=tan45°(1+tan67°tan22°)

=l+tan67°tan22°,

Atan67°-tan22°-tan670tan22°

=1+tan67°tan22°-tan67°tan22°=1.]

(2)解：’?,小tarb4+小tan8=ianAianB-L

:.小(tanA+tanB)=tanAtanB-1,

.tan4+tan6y[3

tan14+8)

*1—tanAtanB33.

又OVA+BV兀，?"+8=7~,/.C=~z.

oo

A

tan8+tanC+蟲tanBtanC=小，tanC=,

；?tanB+號(hào)+tan8=小，tan3=生，

；.A=爭，,△ABC為等腰鈍角三角形.

母題探究

1.將例3(1)中的角同時(shí)增加1。結(jié)果又如何？

/、tan68°—tan23°

解：.??tan45—an(68。-23。)="砒；西，

1+tan68°tan230=tan68°—tan23°,

即tan68°-tan23o-tan68otan23°=1.

2.能否為例3(1)和探究1歸納出一個(gè)一般結(jié)論？若能，試證明.

解：一般結(jié)論：若a—6=45。(a,夕#xl80°+90°,Z￡Z),P!!jtana—tan^—tanatan/?=1.

▼e/八tana-tanB

證明：?.?tan45o=tan(q一夕)=73-----;—7,

產(chǎn)14-tan?tanp

；?1+tanag叨=tana-tan/?,

即tana-tan^-tanatan^=1.

規(guī)律方法

1.整體意識(shí)：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tana±tan夕'及"tana?ta巾”兩個(gè)整體，?？紤]tan

(a邱)的變形公式.

2.熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：

(1)tana+tan/?=tan(a+《)(1—tanatan^)；

tana+tan/?

⑵l-tanatan/?=；

(3)tana+tan/?+tanatan/7-tan:a+￡)=tan(.+6)；

/、tana+tanp

(4)tan?.tan^=l-.

提醒：當(dāng)一個(gè)式子中出現(xiàn)兩角正切的和或差時(shí)，常考慮使用兩角和或差的正切公式.

四、課堂小結(jié)

1.公式T,a切與S(a物、C3的一個(gè)重要區(qū)別，就是前者角6、萬、。土戒都不能取E+與

4

(A￡Z),而后兩者夕￡R,應(yīng)用時(shí)要特別注意這一點(diǎn).

2.注意公式的變形應(yīng)用.

tana-tan￡

如：tana+tan/?=tan(a+/?)(1—tanatan^),1—tanatan/?=tana-tan^=tan(a

lana+夕

八tana-tan晨.

~P)(1+tanatan^),1+tanatan^=—tana產(chǎn)等.

五、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1.思考辨析

(1)存在a,夕WR,使tan(a+￡)=tana+tan￡成立.()

(2)對(duì)任意a,^eR,tan(。一夕)=——］匕都成立.()

尸產(chǎn)1—tanatanp

tana+tan4

(3)tan(a+￡)等價(jià)于tana+tan￡=tan(a+￡)?(1—tanatan^).()

1—tanatan￡

提示：(1)4.當(dāng)。=0,4=削寸，tan(Q+￡)=tan(0+§=tan0+ta吟，但一般情況下不

成立.

(2)x.兩角和的正切公式的適用范圍是a,1。+省版+3(kGZ).

(3)J當(dāng)今E+方(A6Z),用E+；(kCZ),a+芥E+楙(2￡Z)時(shí),由前一個(gè)式子

兩邊同乘以1-tanataM可得后一個(gè)式子.

答案：(1)?(2)x(3)7

2.若tanQ=3,tan(Q—=—2,則tana=()

C.1

D.-1

答案：A

HL?Ctana-tanB—2+31

解析：tana=tan[(za,)+川=]_(@M一加

3.若tan住一aj=3,則tana的值為

答案:空

解析：tana=l

n

1"ItanQlan

—3

1+小x3

S—33小一]

3小2-i

12TM

26

6—5小

=13.

4.己知cosa=*-,cos或=§,其中a,夕都是銳角，求lan(a+夕)的值.

解：因?yàn)閍,4都是銳角,

所以sina=>>/1-cos2a=

5，

--4

sin看N1-cos%=5,

sina__“sinB4

tana=c~o-s~a=2,taM=cos￡=?

tana+tan°

所以tan(a+￡)

1-tan?tan￡

【第4課時(shí)】

二倍角的正弦、余弦、正切公式

【教學(xué)目標(biāo)】【核心素養(yǎng)】

1.能利用兩角和的正、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余1.通過公式的推導(dǎo)，培

弦、正切公式（重點(diǎn)）養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).

2.能利用二倍角公式進(jìn)行化簡、求值、證明.（難點(diǎn)）2.借助運(yùn)算求值，提升

3.熟悉二倍角公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.（易錯(cuò)點(diǎn)）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【教學(xué)過程】

一、新知初探

1.二倍角的正弦、余弦、正切公式

記法公式

S2Qsin2a=2sinacosa

C2acos2a=cos2a—sin2a

一21an-

tan2a—)

T2G1t—tarra

2.余弦的二倍角公式的變形

2a=J-28in2a|-*jsin2a=1一詈a

2a=cos2a-siMa

2a=2cosb_]00s2a=B?貫2a

3.正弦的二倍角公式的變形

1.sin2a

(1)sinacosa=zsin2a,cosa=v^—.

22sma

(2)1±s