7.2 空間幾何體積與表面積（精講）（教師版）

7.2空間幾何體積與表面積（精講）一．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.常見(jiàn)的幾種四棱柱的結(jié)構(gòu)特征及其之間的關(guān)系3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓面?zhèn)让嬲归_(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)二．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l三．柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3四．直觀圖1.畫法：常用斜二測(cè)畫法.2.規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.五．平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論1.與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l2.基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論內(nèi)容圖形作用推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面確定平面的依據(jù)推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面3.基本事實(shí)4和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：如果空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).六．空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a，b是異面直線a?α一.空間幾何體表面積的求法1.旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開(kāi)圖中邊的關(guān)系.2.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.二.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，直接利用公式進(jìn)行求解；(2)割補(bǔ)法：把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體；(3)等體積法：通過(guò)選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積.三．立體中的截面、截線1.作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線.作出截面的關(guān)鍵是找到截線，作出截線的主要根據(jù)有：(1)確定平面的條件；(2)三線共點(diǎn)的條件；(3)面面平行的性質(zhì)定理．2.作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實(shí)3作交線；②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.四．證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的2種方法1.先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；2.直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．3．證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法;先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．考法一基本立體圖形【例1-1】（2023春·河北石家莊）（多選）下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．正四棱柱一定是正方體B．圓柱的母線和它的軸不一定平行C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【答案】ABD【解析】對(duì)A：正方體一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方體，故A錯(cuò)誤，對(duì)B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對(duì)D：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，會(huì)得到兩個(gè)同底的圓錐組合體，故D錯(cuò)誤．故選：ABD．【例1-2】（2023浙江省臺(tái)州市）已知圓柱體的底面半徑為，高為，一只蝸牛從圓柱體底部開(kāi)始爬行，繞圓柱體4圈到達(dá)頂部，則蝸牛爬行的最短路徑長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，從圓柱底部點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面旋轉(zhuǎn)4圈到達(dá)頂部的點(diǎn)，沿將側(cè)面展開(kāi)后，最短路程，如圖所示，其中矩形的高等于圓柱的高，矩形的寬等于圓柱的底面圓的周長(zhǎng)的4倍，即，所以蝸牛爬行的最短路徑為.故答案為：.【例1-3】（2023·浙江溫州·樂(lè)清市知臨中學(xué)?？级＃ǘ噙x）正三角形的邊長(zhǎng)為，如圖，為其水平放置的直觀圖，則（

）

A．為銳角三角形B．的面積為C．的周長(zhǎng)為D．的面積為【答案】CD【解析】如圖，因?yàn)檎切蔚倪呴L(zhǎng)為，故，所以，，在中，，由余弦定理得，,在中，，由余弦定理得，,選項(xiàng)A，在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ碇?，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B和D，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；選項(xiàng)C，的周長(zhǎng)為，故選項(xiàng)C正確.

故選：CD.【一隅三反】1．（2023春·福建南平）（多選）下列命題正確的（

）A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形B．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．用平面截圓柱，得到的截面可以是等腰梯形D．底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱是正四棱柱【答案】AC【解析】棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形，則A選項(xiàng)正確；兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體，不一定是棱臺(tái)，還需強(qiáng)調(diào)所有梯形的兩腰延長(zhǎng)線都交于同一點(diǎn)，則B選項(xiàng)錯(cuò)誤；用平面截圓柱得到的截面可能是圓、矩形、等腰梯形，則C選項(xiàng)正確；底面是正方形，兩個(gè)側(cè)面是矩形的四棱柱，可能為斜棱柱，則D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，矩形是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形是（

）

A．面積為的矩形 B．面積為的矩形C．面積為的菱形 D．面積為的菱形【答案】C【解析】，所以，故在原圖中，，，所以四邊形為菱形(如圖所示)，，則原圖形面積為.

故選：C.3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C．6 D．【答案】B【解析】已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長(zhǎng)為，所以，所以，在中，由，得故選：B．4（2023廣東）如圖，正三棱錐P﹣ABC的頂點(diǎn)P為圓柱OO1的上底面的中心，底面ABC為圓柱下底面的內(nèi)接等邊三角形，四邊形DEFG為圓柱的軸截面，BODG，，.現(xiàn)有一機(jī)器人從點(diǎn)A處開(kāi)始沿圓柱的表面到達(dá)E點(diǎn)，再到達(dá)點(diǎn)P處，再?gòu)腜處沿正三棱錐P﹣ABC的表面返回A處，則其最短的路程約為_(kāi)__________.(參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到)【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以（劣弧）的長(zhǎng)為，由圖可知，當(dāng)從到經(jīng)過(guò)的路程最短時(shí)，總路程最短，將圓柱側(cè)面展開(kāi)，從到的最短距離為線段的長(zhǎng)度，此時(shí)，所以最短路程為，故答案為：.考法二表面積【例2-1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中?？寄M預(yù)測(cè)）某同學(xué)有一個(gè)形如圓臺(tái)的水杯如圖所示，已知圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)為6cm，上?下底面圓的半徑分別為4cm和2cm.為了防燙和防滑，水杯配有一個(gè)杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如圖中陰影部分所示，則杯套的表面積為（不考慮水杯材質(zhì)和杯套的厚度）（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，杯套的形狀可看作一個(gè)圓臺(tái)，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是圓臺(tái)形水杯的母線長(zhǎng)的，即4cm，下底面圓的半徑為圓臺(tái)形水杯的下底面圓的半徑，即2cm，上底面圓的半徑是，所以杯套的表面積.故選：C.【例2-2】．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考三模）已知底面半徑為的圓錐，其軸截面為正三角形，若它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖作出圓錐的軸截面，依題意，，，所以，易知，則，所以，即圓錐的內(nèi)接圓柱的底面半徑，高，所以圓柱的側(cè)面積.故選：C【例2-3】（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）柷（zhù），是一種古代打擊樂(lè)器，迄今已有四千多年的歷史，柷的上方形狀猶如四方形木斗，上寬下窄，下方有一底座，用椎（木棒）撞擊其內(nèi)壁發(fā)聲，表示樂(lè)曲將開(kāi)始.如圖，某柷（含底座）高，上口正方形邊長(zhǎng)，下口正方形邊長(zhǎng)，底座可近似地看作是底面邊長(zhǎng)比下口邊長(zhǎng)長(zhǎng)，高為的正四棱柱，則該柷（含底座）的側(cè)面積約為（）（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖正四棱臺(tái)中，連接，，過(guò)點(diǎn)、分別作、，交于點(diǎn)、，依題意，，，則，所以，所以正四棱臺(tái)的斜高為，所以正四棱臺(tái)的側(cè)面積，又正四棱柱的側(cè)面積，所以該柷（含底座）的側(cè)面積約為；故選：B

【一隅三反】1．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐SO的母線長(zhǎng)為2，AB是圓O的直徑，點(diǎn)M是SA的中點(diǎn)．若側(cè)面展開(kāi)圖中，為直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，且為直角三角形，則，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得為等邊三角形，即，則側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為所以該圓錐的側(cè)面積.故選：C.2．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺(tái)，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺(tái)（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)方亭相應(yīng)的正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，則，棱臺(tái)的高，所以，解得，所以正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，下底面邊長(zhǎng)為，棱臺(tái)的高為，所以方亭的斜高為，由于各側(cè)面均為相等的等腰梯形，所以，所以方亭的表面積.故選：C3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，將一個(gè)圓柱等分切割，再將其重新組合成一個(gè)與圓柱等底等高的幾何體，越大，重新組合成的幾何體就越接近一個(gè)“長(zhǎng)方體”．若新幾何體的表面積比原圓柱的表面積增加了10，則圓柱的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】顯然新幾何體的表面積比原幾何體的表面積多了原幾何體的軸截面面積，設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則，所以圓柱的側(cè)面積為．故選：A.4．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）燈籠起源于中國(guó)的西漢時(shí)期，兩千多年來(lái)，每逢春節(jié)人們便會(huì)掛起象征美好團(tuán)圓意義的紅燈籠，營(yíng)造一種喜慶的氛圍如圖，某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個(gè)相同的圓柱的側(cè)面，中間是球面的一部分除去兩個(gè)球冠如圖，球冠是由球面被一個(gè)平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為，球冠的高為，則球冠的面積已知該燈籠的高為，圓柱的高為，圓柱的底面圓直徑為，則圍成該燈籠所需布料的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意得圓柱的底面圓直徑為，半徑為，即球冠底面圓半徑為.已知該燈籠的高為，圓柱的高為，所以該燈籠去掉圓柱部分的高為，所以，得，，所以兩個(gè)球冠的表面積之和為，燈籠中間球面的表面積為．因?yàn)樯舷聝蓚€(gè)圓柱的側(cè)面積之和為，所以圍成該燈籠所需布料的面積為．故選：B．考法三體積【例3-1】（2023·山東濰坊·三模）我國(guó)古代名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有方錐，下廣二丈，高三丈．欲斬末為方亭，令上方六尺．問(wèn)：斬高幾何？”大致意思是：“有一個(gè)正四棱錐的下底面邊長(zhǎng)為二丈，高為三丈，現(xiàn)從上面截去一段，使之成為正四棱臺(tái)，且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺，則截去的正四棱錐的高是多少？”按照上述方法，截得的該正四棱臺(tái)的體積為（

）（注：1丈尺）A．11676立方尺 B．3892立方尺C．立方尺 D．立方尺【答案】B【解析】如圖所示，正四棱錐的下底邊長(zhǎng)為二丈，即尺，高三丈，即尺；截去一段后，得正四棱臺(tái)，且上底邊長(zhǎng)為尺，所以，解得，所以該正四棱臺(tái)的體積是（立方尺）．故選：．【例3-2】．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）如圖，四棱錐中，底面，，E是的中點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：面；(3)若，求三棱錐體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【解析】（1）由平面，平面，可得，又平面，則平面，又平面，則.（2）連接，△中，，則，又E是的中點(diǎn)，則，又，平面，可得平面，又平面，則，由平面，平面，可得，又平面，則平面，又平面，則,又，，平面，則平面.

（3）△中，，則，在△中，過(guò)點(diǎn)C作于N，則，又由平面，平面，可得平面平面，又平面平面，則平面，則點(diǎn)C到平面的距離為，又E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面的距離為，則

【一隅三反】1．（2023·河南洛陽(yáng)·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)上下底面半徑之比為1：2，母線與底面所成的角為60°，其側(cè)面面積為54π，則該圓臺(tái)的體積為（

）A．56π B．63π C． D．【答案】C【解析】圓臺(tái)軸截面如圖，則，∴.圓臺(tái)高，∴.

故選：C2．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，，若是的中點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)如果，求三棱錐與多面體的體積比值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】（1）由題意證明如下：∵，所以，又因?yàn)?，且，面，面∴平面，又平面，所?，即，所以，所以，同理，所以，即.又由于，∴，∵，平面，平面，所以平面，∵平面，∴平面平面.（2）由題意及（1）得，幾何體為直三棱柱，，∵，，∴，而，∴.3．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面平面，已知底面為梯形，，，.(1)證明：.(2)若平面，，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)?，，由余弦定理得，所以，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫蚁嘟挥?，面，所以平面，平面，所?（2）因?yàn)槠矫?，所以，由平面，則，故，在△中，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考二模）如圖；在直三棱柱中，，，，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

(1)求證；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)8【解析】（1）在中，因?yàn)?，，，所以，所以為直角三角形，即，又因?yàn)樵谥比庵?，平面，且平面，所以，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）在中，過(guò)C作，F(xiàn)為垂足，

由直三棱柱得平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，在中，，又因?yàn)?，所以?．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語(yǔ)，指的是一個(gè)類似隧道形狀的幾何體.如圖，在羨除中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，.(1)證明：平面平面.(2)求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】（1）分別取和的中點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，，所以.在梯形中，，分別作垂直于，垂足分別為，則，故由勾股定理得，所以，易知，故.又，所以，因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?

（2）連接.因?yàn)?，所以四邊形的面積，所以.因?yàn)椋矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，平面，所以平面，?因?yàn)?，所以，即四棱錐的體積為.考法四截面、截線【例4-1】（2023春·河北邯鄲）（多選）用一個(gè)平面截正方體，則截面的形狀不可能是（）A．銳角三角形 B．直角梯形C．正五邊形 D．六邊形【答案】BC【解析】對(duì)于A：截面圖形如果是三角形，只能是銳角三角形，不可能是直角三角形和鈍角三角形.

如圖所示的截面三角形.設(shè)，所以，，.所以由余弦定理得：所以為銳角.同理可求：為銳角，為銳角.所以為銳角三角形.故A正確.對(duì)于B：截面圖形如果是四邊形，可能是正方形，可能是矩形，可能是菱形，可能是一般梯形，也可能是等腰梯形，不可能是直角梯形.

B選對(duì)于C：當(dāng)截面為五邊形時(shí)，不可能出現(xiàn)正五邊形.對(duì)于D，當(dāng)截面過(guò)棱的中點(diǎn)時(shí)，如圖，即截面為正六邊形.

故選：BC.【例4-2】（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，E是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)交于，連接，由正四棱錐的性質(zhì)可得，平面，因?yàn)槠矫妫?又，，平面，故平面.由題意，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為過(guò)E且垂直的平面與正四棱錐的交線，即如圖，則平面.由線面垂直的性質(zhì)可得平面平面，又由面面平行的性質(zhì)可得，，，又E是邊的中點(diǎn)，故分別為的中位線.由題意，故.即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.

故選：A【例4-3】（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預(yù)測(cè)）直三棱柱中，，P為BC中點(diǎn)，，Q為上一點(diǎn)，，則經(jīng)過(guò)A，P，Q三點(diǎn)的平面截此三棱柱所成截面的面積是（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】如圖，在上取點(diǎn)M，使得，取的中點(diǎn)N，連接，則，又，所以，得A、P、M、Q四點(diǎn)共面，又，為BC的中點(diǎn)，所以，由，得，又平面，所以平面，由平面，得，所以截面為直角梯形APQM，且，得，所以，作于D，則，所以.故選：C．【一隅三反】1．（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若點(diǎn)P在正方形內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，則，則點(diǎn)的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點(diǎn)P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段，因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選：A2（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，SC的中點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)E做與SC垂直的平面，則平面截正四棱錐所得的截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，由題意可得：，即為等邊三角形，且E為SC的中點(diǎn)，可得，故平面，連接，設(shè)，連接，可得平面，且平面，則，，平面，所以平面，平面，則，在直線取一點(diǎn)，連接，使得，在中，，因?yàn)?，可得，故，同理在棱取一點(diǎn)，使得，連接，則，故平面截正四棱錐所得的截面面為四邊形，因?yàn)椋瑒t//，由，可得，所以四邊形的面積.故選：A.3．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則平面截該正方體所得截面的面積為（

）A． B． C．10 D．12【答案】B【解析】如圖所示，分別是中點(diǎn)，則，作，交于，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則為過(guò)三點(diǎn)的截面.由面面平行的性質(zhì)定理得，從而有，，則，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，，所以，又因?yàn)?，所以，同理，梯形是等腰梯形，且梯形與梯形全等，高為，截面面積.故選：B.考法五空間幾何題中的最值【例5-1】（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐各頂點(diǎn)均在以為直徑的球面上，，是以為斜邊的直角三角形，則當(dāng)面積最大時(shí)，該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)為的外心，則為的中點(diǎn)，又設(shè)，中邊上的高為.

由已知，，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，即當(dāng)時(shí)，面積取得最大值4.此時(shí)，.顯然，的最大值等于，故，即三棱錐體積的最大值為.故選：A【例5-2】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若矩形的周長(zhǎng)為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，求圓柱側(cè)面積的最大值為_(kāi)___．【答案】【解析】如圖所示，不妨設(shè)矩形的長(zhǎng)與寬分別為，，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)，則，即，，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積，旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積的最大值為．故答案為：．【一隅三反】1．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知長(zhǎng)方體的外接球的表面積為，，點(diǎn)P在四邊形內(nèi)，且直線BP與平面所成角為，則長(zhǎng)方體的體積最大時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球的表面積為，設(shè)外接球的半徑為，所以，解得或（舍去），即外接球的直徑為，設(shè)，，則，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．如圖，設(shè)，相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，平面，所以平面，直線與平面所成角為，所以，故，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的半圓弧，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為．故選：C2．（2023·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┮阎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)是1，將沿對(duì)角線AC折到的位置，使（折疊后）A、、C、D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】在翻折過(guò)程中，三棱錐的底面始終是，故當(dāng)二面角為時(shí)，三棱錐的體積最大，如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由題意可知，，，則，且，所以，所以和是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，,和是等腰直角三角形，所以三棱錐的表面積為.

故答案為：3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知球O的半徑為，正三棱錐O－ABC的底面的各個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，當(dāng)正三棱錐O－ABC的體積取得最大值時(shí)，其側(cè)面積為_(kāi)_____【答案】【解析】如圖，因?yàn)檎忮F的底面的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的球面上，所以球心在底面上的投影為底面三角形的中心，設(shè)邊長(zhǎng)為，外接圓半徑為，因?yàn)闉檎切危砸字?，所以，?易知，所，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的最大值為，故當(dāng)正三棱錐O－ABC的體積取得最大值時(shí)，邊長(zhǎng)為4，又，故側(cè)面均為直角三角形，所以正三棱錐O－ABC的側(cè)面積為，故答案為：12.考法六基本事實(shí)及應(yīng)用【例6-1】（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，且，則B．若A，B，C是平面內(nèi)不共線三點(diǎn)，，，則C．若且，則直線D．若直線，直線，則a與b為異面直線【