新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)創(chuàng)新題型專題10 解析幾何專題（新定義）（解析版）

專題10解析幾何專題（新定義）一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）正視圖近似于伯努利雙紐線，定義在平面直角坐標(biāo)系xOy中（O為坐標(biāo)原點），把到定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0距離之積等于SKIPIF1<0的點的軌跡稱為雙紐線，記為Γ，已知SKIPIF1<0為雙紐線Γ上任意一點，有下列命題：①雙紐線Γ的方程為SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0面積最大值為SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．其中所有正確命題的序號是（

）A．①② B．①②③C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】由已知SKIPIF1<0，代入坐標(biāo)整理即可得出方程，判斷①；根據(jù)正弦定理，結(jié)合已知條件，即可判斷②；根據(jù)面積公式，結(jié)合②的結(jié)論，即可判斷③；根據(jù)余弦定理，以及向量可推得SKIPIF1<0，即可判斷④.【詳解】對于①，由定義SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以雙紐線Γ的方程為SKIPIF1<0，故①正確；對于②，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故②正確；對于③，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正確；對于④，SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故④正確.故選：D.2．（2023春·四川達(dá)州·高二四川省宣漢中學(xué)?？奸_學(xué)考試）定義：橢圓SKIPIF1<0中長度為整數(shù)的焦點弦(過焦點的弦)為“好弦”．則橢圓SKIPIF1<0中所有“好弦”的長度之和為（

）A．162 B．166 C．312 D．364【答案】B【分析】根據(jù)題意分類討論結(jié)合韋達(dá)定理求弦長的取值范圍，進(jìn)而判斷“好弦”的長度的取值可能，注意橢圓對稱性的應(yīng)用.【詳解】由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即橢圓SKIPIF1<0的右焦點坐標(biāo)為SKIPIF1<0，對于過右焦點的弦SKIPIF1<0，則有：當(dāng)弦SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸重合時，則弦長SKIPIF1<0，當(dāng)弦SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸重合時，設(shè)SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0，消去x得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，故弦長為整數(shù)有SKIPIF1<0，由橢圓的對稱性可得：“好弦”的長度和為SKIPIF1<0．故選：B．3．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）城市的許多街道是互相垂直或平行的，因此往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走.如果按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對兩點SKIPIF1<0，定義兩點間“距離”為SKIPIF1<0，則平面內(nèi)與SKIPIF1<0軸上兩個不同的定點SKIPIF1<0的“距離”之和等于定值（大于SKIPIF1<0）的點的軌跡可以是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分橫坐標(biāo)在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之外（內(nèi)）的區(qū)域兩種情況討論，結(jié)合所給距離公式判斷即可.【詳解】解：根據(jù)題意，橫坐標(biāo)在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之外的區(qū)域，不能出現(xiàn)與SKIPIF1<0軸垂直的線段，否則該線段上的點與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“距離”之和不會是定值；橫坐標(biāo)在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之內(nèi)的區(qū)域，則必須與SKIPIF1<0軸平行，否則該線段上的點與SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的“距離”之和不會是定值.故選：A.4．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓.我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點.離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為蒙日圓上一個動點，過點SKIPIF1<0作橢圓SKIPIF1<0的兩條切線，與蒙日圓分別交于P，Q兩點，若SKIPIF1<0面積的最大值為36，則橢圓SKIPIF1<0的長軸長為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用橢圓的離心率可得SKIPIF1<0，分析可知SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0的一條直徑，利用勾股定理得出SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求即解【詳解】因為橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為蒙日圓的直徑，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0面積的最大值為：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0面積的最大值為36，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)而有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0.故選：B5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）加斯帕爾·蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．則橢圓SKIPIF1<0的蒙日圓的半徑為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由蒙日圓的定義，確定出圓上的一點即可求出圓的半徑.【詳解】由蒙日圓的定義，可知橢圓SKIPIF1<0的兩條切線SKIPIF1<0的交點在圓上，所以SKIPIF1<0，故選：A6．（2021秋·四川成都·高二樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若將一個橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”.下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)給定定義可得橢圓的短半軸長與半焦距相等，再對各選項逐一計算判斷作答.【詳解】由“對偶橢圓”定義得：短半軸長b與半焦距c相等的橢圓是“對偶橢圓”，對于A，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A是“對偶橢圓”；對于B，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B不是“對偶橢圓”；對于C，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C不是“對偶橢圓”；對于D，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，D不是“對偶橢圓”.故選：A7．（2021春·上海閔行·高二閔行中學(xué)?？计谀┤羟€SKIPIF1<0上存在兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線的自公切線，下列方程的曲線有自公切線的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】通過圖象，觀察其圖象是否滿足在其圖象上存在兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線，進(jìn)而得到結(jié)論.【詳解】A：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是拋物線，沒有自公切線，故A錯誤；B：因為SKIPIF1<0，表示的是圖形中的實線部分，沒有自公切線，故B錯誤；C：因為SKIPIF1<0，表示的是圖形中的實線部分，由兩圓相交，可知公切線，故有自公切線，故C正確；D：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是雙勾函數(shù)，沒有自公切線，故D錯誤；故選：C.8．（2021·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，定義SKIPIF1<0稱為點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”，其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，對于下列結(jié)論：（1）“SKIPIF1<0和”為1的點SKIPIF1<0的軌跡圍成的圖形面積為2；（2）設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則點SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0和”的最小值為2；（3）設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上任意一點，則使得“SKIPIF1<0和”最小的點有無數(shù)個”的充要條件是SKIPIF1<0；（4）設(shè)SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上任意一點，則“SKIPIF1<0和”的最大值為SKIPIF1<0.其中正確的結(jié)論序號為（

）A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】根據(jù)新定義“SKIPIF1<0和”，通過數(shù)形結(jié)合判斷（1）正確，通過研究函數(shù)最值對選項（2）（3）（4）逐一判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0的軌跡如圖，其面積為2，正確；（2）SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時遞減，SKIPIF1<0時遞增，故SKIPIF1<0的最小值在SKIPIF1<0時取得，SKIPIF1<0，正確；（3）同（2），SKIPIF1<0，可知當(dāng)SKIPIF1<0時，都滿足，“SKIPIF1<0和”最小的點有無數(shù)個，故錯誤；（4）可設(shè)橢圓參數(shù)方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知其最大值為SKIPIF1<0，正確.故選：B.【點睛】本題的解題關(guān)鍵是認(rèn)真讀題，理解新定義“SKIPIF1<0和”，再通過數(shù)形結(jié)合和函數(shù)最值的研究逐一判斷即突破難點.9．（2022秋·四川成都·高二成都外國語學(xué)校?？计谥校┤魴E圓或雙曲線上存在點SKIPIF1<0，使得點SKIPIF1<0到兩個焦點SKIPIF1<0的距離之比為SKIPIF1<0，且存在SKIPIF1<0，則稱此橢圓或雙曲線存在“SKIPIF1<0點”，下列曲線中存在“SKIPIF1<0點”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出滿足條件SKIPIF1<0時的SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，驗證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能否是三角形的三邊長，即可得．【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若是橢圓，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若是雙曲線，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A中橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0；B中橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0C中雙曲線，SKIPIF1<0，雙曲線上點到到右焦點距離的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，構(gòu)成SKIPIF1<0，存在“SKIPIF1<0點”，D中雙曲線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不存在SKIPIF1<0故選：C．【點睛】本題考查新定義“SKIPIF1<0點”，解題方法是弱化條件，求出滿足部分條件的SKIPIF1<0點具有的性質(zhì)，驗證是否滿足另外的條件：構(gòu)成三角形．從而完成求解．10．（2022秋·廣西欽州·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在橢圓上，且滿足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點），則稱點SKIPIF1<0為“★”點.下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都是“★”點B．橢圓SKIPIF1<0上僅有有限個點是“★”點C．橢圓SKIPIF1<0上的所有點都不是“★”點D．橢圓SKIPIF1<0上有無窮多個點（但不是所有的點）是“★”點【答案】B【分析】設(shè)點SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得出關(guān)于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的等式，由SKIPIF1<0，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0上有且只有SKIPIF1<0個點是“★”點.故選：B.【點睛】本題考查橢圓中的新定義，考查橢圓方程的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.11．（2019秋·北京·高二北京市第十三中學(xué)校考期中）已知兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若直線上存在點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則該直線為“SKIPIF1<0型直線”，給出下列直線，其中是“SKIPIF1<0型直線”的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．①③ B．①② C．③④ D．①④【答案】D【分析】易得點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點的橢圓SKIPIF1<0上，“SKIPIF1<0型直線”和橢圓有公共點，逐個選項聯(lián)立方程由判別式驗證即可.【詳解】SKIPIF1<0兩定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點的橢圓上，且SKIPIF1<0，故橢圓的方程為SKIPIF1<0，滿足題意的“SKIPIF1<0型直線”和橢圓有公共點，聯(lián)立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線與橢圓有公共點，即為“SKIPIF1<0型直線”，聯(lián)立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，顯然無交點，故不是“SKIPIF1<0型直線”，聯(lián)立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故不是“SKIPIF1<0型直線”，聯(lián)立SKIPIF1<0和SKIPIF1<0消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線與橢圓有公共點，即為“SKIPIF1<0型直線”，故選：D【點睛】本題考查了橢圓的定義以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此題屬于圓錐曲線的新定義題目，同時考查了直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，屬于中等題.12．（2017春·吉林·高一統(tǒng)考期末）已知平面上一點M(5,0)，若直線上存在點P使|PM|≤4，則稱該直線為“切割型直線”,下列直線中是“切割型直線”的是(

)①SKIPIF1<0;②SKIPIF1<0;③SKIPIF1<0;④SKIPIF1<0.A．①③ B．①② C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)已知條件，利用點到直線的距離公式進(jìn)行計算.【詳解】對于①，點M到直線y=x+1的距離SKIPIF1<0，故不存在點P使|PM|≤4，故①不是；對于②，點M到直線y=2的距離d2=2＜4，故存在點P使|PM|≤4，故②是；對于③，直線方程為4x-3y=0，點M到直線4x-3y=0的距離SKIPIF1<0，故存在點P使|PM|≤4，故③是；對于④，點M到直線y=2x+1的距離SKIPIF1<0，故不存在點P使|PM|≤4，故④不是.綜上可知符合條件的有②③.故A，B，D錯誤.故選：C.二、多選題13．（2022秋·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo.設(shè)計師的靈感來源于曲線C：SKIPIF1<0.其中星形線E：SKIPIF1<0常用于超輕材料的設(shè)計.則下列關(guān)于星形線說法正確的是（

）A．E關(guān)于y軸對稱B．E上的點到x軸、y軸的距離之積不超過SKIPIF1<0C．E上的點到原點距離的最小值為SKIPIF1<0D．曲線E所圍成圖形的面積小于2【答案】ABD【分析】A由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均在曲線上即可判斷；B應(yīng)用基本不等式SKIPIF1<0即可判斷；C由SKIPIF1<0，結(jié)合立方和公式及B的結(jié)論即可判斷；D根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖形的位置關(guān)系判斷.【詳解】若SKIPIF1<0在星形線E上，則SKIPIF1<0也在E上，故E關(guān)于y軸對稱，A正確；由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，B正確；由SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立，故E上的點到原點距離的最小值為SKIPIF1<0，C錯誤；曲線E過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所圍成的區(qū)域內(nèi)部，而SKIPIF1<0所圍成的面積為2，故曲線E所圍成圖形的面積小于2，D正確.故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用基本不等式有SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及立方和公式求兩點距離，利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖形的位置判斷面積大小.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若對于任意的SKIPIF1<0，都存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，根據(jù)這一條件逐一判斷即可.【詳解】A：SKIPIF1<0的圖象既關(guān)于x軸對稱，也關(guān)于y軸對稱，且圖象是封閉圖形.所以對于任意的點SKIPIF1<0，存在著點Q（x2，y2）使得SKIPIF1<0，所以滿足；B：SKIPIF1<0的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1，所以漸近線將平面分為四個夾角為90°的區(qū)域，當(dāng)P，Q在雙曲線同一支上，此時SKIPIF1<0，當(dāng)P，Q不在雙曲線同一支上，此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不滿足；C：SKIPIF1<0的圖象是焦點在x軸上的拋物線，且關(guān)于x軸對稱，設(shè)P為拋物線上一點，過O點作OP的垂線，則垂線一定與拋物線交于Q點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0D：取P（0，1），若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0顯然不成立，所以此時SKIPIF1<0不成立，故選：AC【點睛】關(guān)鍵點睛：運用圓錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.15．（2021秋·河北保定·高二順平縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面內(nèi)，若曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，則稱曲線SKIPIF1<0為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】利用有用曲線的定義逐項判斷即可.【詳解】解：設(shè)點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0到點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為10，由橢圓的定義可得點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0，對A，由SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0滿足條件，所以SKIPIF1<0是“有用曲線”，故A正確；對B，因為曲線SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0的內(nèi)部，無交點，所以SKIPIF1<0不是“有用曲線”，故B錯誤；對C，曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有交點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“有用曲線”，故C正確；對D，曲線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0也有交點，所以SKIPIF1<0是“有用曲線"，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題利用所給曲線的定義進(jìn)行判斷，關(guān)鍵是由題意得出點SKIPIF1<0滿足的方程，所給選項中的曲線只要與點SKIPIF1<0滿足的方程有交點即符合題意.16．（2021秋·遼寧·高二遼寧實驗中學(xué)校考期中）雙紐線也稱伯努利雙紐線，是指定線段SKIPIF1<0長度為SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的軌跡稱為雙紐線.已知曲線SKIPIF1<0為雙紐線，下列選項判斷正確的是（

）A．曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0B．曲線SKIPIF1<0上的點的縱坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0C．曲線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱D．SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的動點，SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】將點SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0方程可知A正確；利用SKIPIF1<0、SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0的范圍，知B正確；設(shè)曲線SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸的對稱點SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0方程可知C正確；由SKIPIF1<0知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積最大，驗證可知曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，D錯誤.【詳解】對于A，將SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0方程，知方程成立，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，A正確；對于B，SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號），SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號），SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即曲線SKIPIF1<0上的點的縱坐標(biāo)的取值范圍是SKIPIF1<0，B正確；對于C，設(shè)曲線SKIPIF1<0上任一點為SKIPIF1<0，則其關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱的點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0也在曲線SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，C正確；對于D，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即曲線SKIPIF1<0上存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D錯誤.故選：ABC.17．（2021秋·江蘇南通·高二江蘇省包場高級中學(xué)?？计谥校S金分割比例SKIPIF1<0具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊含著豐富的美學(xué)價值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．我們把離心率SKIPIF1<0的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（

）A．橢圓SKIPIF1<0是“黃金橢圓”B．若橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，上頂點為B，右頂點為A，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設(shè)橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別是A，B，左、右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則該橢圓為“黃金橢圓”【答案】ABC【分析】定義離心率SKIPIF1<0的橢圓稱為“黃金橢圓”，根據(jù)各命題中的橢圓方程，由題設(shè)及SKIPIF1<0、SKIPIF1<0列方程求橢圓離心率即可確定是否為“黃金橢圓”【詳解】對于A：由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0是“黃金橢圓”，故A正確；對于B：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”，故B正確；對于C：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化簡可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”，故C正確；對于D：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），故該橢圓不是“黃金橢圓”，故D錯誤．故選：ABC三、填空題18．（2023春·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）卵圓是常見的一類曲線，已知一個卵圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為卵圓上任意一點，則下列說法中正確的是________.①卵圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱②卵圓上不存在兩點關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱③線段SKIPIF1<0長度的取值范圍是SKIPIF1<0④SKIPIF1<0的面積最大值為SKIPIF1<0【答案】①③④【分析】利用點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均滿足方程，即可判斷①；設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都在卵圓SKIPIF1<0上，再解SKIPIF1<0即可判斷②；利用兩點間的距離公式表示SKIPIF1<0，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷③；利用三角形的面積公式表示出SKIPIF1<0，然后利用導(dǎo)數(shù)研究其最值，即可判斷④.【詳解】對于①，設(shè)SKIPIF1<0是卵圓SKIPIF1<0上的任意一個點，因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0也在卵圓SKIPIF1<0上，又點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，所以卵圓SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，故①正確；對于②，設(shè)SKIPIF1<0在卵圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱的點SKIPIF1<0也在卵圓SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以卵圓上存在SKIPIF1<0兩點關(guān)于直線SKIPIF1<0對稱，故②錯誤；對于③，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故③正確；對于④，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0的面積取得最大值SKIPIF1<0，故④正確.故答案為：①③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了圓錐曲線的新定義問題，解決此類問題的關(guān)鍵在于理解新定義的本質(zhì)，把新情境下的概念、法則、運算化歸到常規(guī)的數(shù)學(xué)背景中，運用相關(guān)的數(shù)學(xué)公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行解答.19．（2023·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為______．（填序號）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0．【答案】①④⑤【分析】根據(jù)曲線上存在“鈍點”的定義，依次判斷各曲線是否存在“鈍點”即可.【詳解】設(shè)點SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，若∠APB為鈍角，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不共線，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，反之若SKIPIF1<0，則∠APB為鈍角，對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，若曲線上的點SKIPIF1<0為“鈍點”，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲線SKIPIF1<0不是有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，若曲線上點SKIPIF1<0為“鈍點”，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，矛盾所以曲線SKIPIF1<0不是有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線；對于曲線SKIPIF1<0，取曲線上的點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為鈍角，故曲線SKIPIF1<0為有“鈍點”的曲線.所以曲線①④⑤為有“鈍點”的曲線.故答案為：①④⑤.20．（2023秋·廣東茂名·高二統(tǒng)考期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日SKIPIF1<0發(fā)現(xiàn)：雙曲線SKIPIF1<0的兩條互相垂直切線的交點SKIPIF1<0的軌跡方程為：SKIPIF1<0，這個圓被稱為蒙日圓.若某雙曲線SKIPIF1<0對應(yīng)的蒙日圓方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】2【分析】根據(jù)題意寫出雙曲線SKIPIF1<0對應(yīng)的蒙日圓方程，可得出關(guān)于SKIPIF1<0的等式，即可求得正數(shù)SKIPIF1<0的值.【詳解】由雙曲線SKIPIF1<0的方程可得SKIPIF1<0，由蒙日圓的定義可得雙曲線SKIPIF1<0對應(yīng)的蒙日圓方程SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案為：2.21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）一條拋物線把平面劃分為二個區(qū)域，如果一個平面圖形完全落在拋物線含有焦點的區(qū)域內(nèi)，我們就稱此平面圖形被該拋物線覆蓋.那么下列命題中，正確的是___________.(填寫序號)（1）任意一個多邊形所圍區(qū)域總能被某一條拋物線覆蓋；（2）與拋物線對稱軸不平行?不共線的射線不能被該拋物線覆蓋；（3）射線繞其端點轉(zhuǎn)動一個銳角所掃過的角形區(qū)域可以被某二條拋物線覆蓋；（4）任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面.【答案】（1）（2）（4）【分析】由平面圖形被該拋物線覆蓋的定義逐項分析判斷即可【詳解】解：由拋物線的圖像和性質(zhì)可知，由于任意一個多邊形所圍區(qū)域沿著拋物線頂點出發(fā)向拋物線對稱軸所在直線平移，總能把有限的區(qū)域放入拋物線內(nèi)部，所以（1）正確；由于過拋物線內(nèi)部一點的直線（不平行于軸）與拋物線都有兩個交點，故拋物線無法覆蓋一條直線，也不能覆蓋與軸不平行、不共線的射線，所以（2）正確；由于銳角是由兩條不平行的射線組成，故拋物線不能覆蓋任何一個銳角，所以（3）錯誤；取一條直線，使它不平行于任一拋物線的對稱軸，根據(jù)拋物線的圖像和性質(zhì)可知直線上的點不能被完全覆蓋，如圖，因為一條直線若被拋物線覆蓋，它必須是拋物線的對稱軸，所以任意有限多條拋物線都不能覆蓋整個平面，所以（4）正確故答案為：（1）（2）（4）【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查新定義，考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對新定義的正確理解，屬于中檔題22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0外的一點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的兩個動點，則SKIPIF1<0取最大值時，SKIPIF1<0叫點SKIPIF1<0對曲線SKIPIF1<0的張角.已知點SKIPIF1<0為拋物線SKIPIF1<0上的動點，設(shè)SKIPIF1<0對圓SKIPIF1<0的張角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先根據(jù)新定義，利用二倍角公式判斷SKIPIF1<0最小時SKIPIF1<0最小，再設(shè)SKIPIF1<0，利用距離公式，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法求得SKIPIF1<0最小值，即得結(jié)果.【詳解】解：如圖，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0最大，即需SKIPIF1<0最小.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于理解新定義，將SKIPIF1<0的最小值問題轉(zhuǎn)化為線段SKIPIF1<0最小問題，結(jié)合二次函數(shù)求最值即突破難點.23．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與SKIPIF1<0的交點N為點M的“中心投影點”，曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線長度是_______【答案】SKIPIF1<0【解析】可作出對應(yīng)曲線的圖象，結(jié)合圖形，求出題中“中心投影點”構(gòu)成的曲線長度對應(yīng)圓中的圓心角，從而求出其“中心投影點”構(gòu)成的曲線的長度.【詳解】曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為：SKIPIF1<0，設(shè)漸近線與圓SKIPIF1<0的交點分別為SKIPIF1<0,如下圖則曲線SKIPIF1<0上所有點的“中心投影點”構(gòu)成的曲線為圓弧SKIPIF1<0由題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<024．（2020·浙江·高二期末）把橢圓SKIPIF1<0的短軸和焦點連線段中較長者?較短者分別作為橢圓SKIPIF1<0的長軸?短軸，使橢圓SKIPIF1<0變換成橢圓SKIPIF1<0，稱之為橢圓的一次“壓縮”.按上述定義把橢圓SKIPIF1<0“壓縮”成橢圓SKIPIF1<0，得到一系列橢圓SKIPIF1<0，…當(dāng)短軸長與焦距相等時終止“壓縮”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，某個橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0次“壓縮”后能終止，則橢圓SKIPIF1<0的離心率可能是①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④SKIPIF1<0中的______.（填寫所有正確結(jié)論的序號）【答案】①②【解析】分類討論，確定壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸、半短軸、半焦距，利用離心率公式，即可求得結(jié)論.【詳解】解：依題意，若原橢圓，短軸＞焦距，則壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0所以壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0；壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0∵壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0同理，若原橢圓，短軸＜焦距，則壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0所以壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0；壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，半長軸為SKIPIF1<0，半短軸為SKIPIF1<0，半焦距為SKIPIF1<0，∵壓縮數(shù)為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0.故答案為：①②.【點睛】本題考查新定義，考查學(xué)生的計算能力，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.25．（2018·北京·高二統(tǒng)考期末）已知兩定點SKIPIF1<0,若直線上存在點SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,則該直線為“SKIPIF1<0型直線”.給出下列直線,其中是“SKIPIF1<0型直線”的是___________.①SKIPIF1<0

②SKIPIF1<0

③SKIPIF1<0

④SKIPIF1<0【答案】①③【分析】根據(jù)橢圓的定義將“SKIPIF1<0型直線”的判定問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓是否有公共點的問題.【詳解】由橢圓的定義可知，點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為焦點的橢圓，其方程為SKIPIF1<0，對于①中，直線SKIPIF1<0代入橢圓的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0型直線”；對于②中，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時無解，所以SKIPIF1<0不是“SKIPIF1<0型直線”；對于③中，把直線SKIPIF1<0代入橢圓的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0型直線”；對于④中，把直線SKIPIF1<0代入橢圓的方程SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是“SKIPIF1<0型直線”，故答案為：①③.26．（2017·河南漯河·漯河高中?？既＃┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若曲線SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則稱曲線SKIPIF1<0為“合作曲線”，有下列曲線①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0，其中“合作曲線”是__________．（填寫所有滿足條件的序號）【答案】①③④【分析】設(shè)點SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0為“合作曲線”SKIPIF1<0存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0．解出即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使SK