滬教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)上冊(cè)同步提升講義第16講十字相乘法(七大題型)(學(xué)生版+解析)

第16講十字相乘法（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握首項(xiàng)系數(shù)為1的形如型的二次三項(xiàng)式的因式分解；2、進(jìn)一步掌握首項(xiàng)系數(shù)非1的簡(jiǎn)單的整系數(shù)二次三項(xiàng)式的因式分解；3、會(huì)解十字相乘法的應(yīng)用．一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則【方法規(guī)律】（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.【方法規(guī)律】（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.【即學(xué)即練1】【即學(xué)即練2】【即學(xué)即練3】【即學(xué)即練4】分解因式(1)；(2)；(3)；(4)．【即學(xué)即練5】【即學(xué)即練6】分解因式：(1)(2)(3)(4)題型1：因式分解—二次項(xiàng)系數(shù)為1的十字相乘法【典例1】．代數(shù)式因式分解的結(jié)果的是（

）A． B． C． D．【典例2】．下列算式計(jì)算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【典例3】．分解因式：(1)；(2)．【典例4】．用十字相乘法解方程：(1)；(2)．題型2：因式分解—二次項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法【典例5】．整式分解因式得【典例6】．因式分解：．【典例7】．因式分解：．【典例8】．用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【典例9】．【典例10】．因式分解：題型3：因式分解—十字相乘法綜合【典例11】．運(yùn)用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【典例12】．用十字相乘法分解下列因式．（1）（2）（3）（4）（5）（6）題型4：利用十字相乘法因式分解的結(jié)果求參數(shù)【典例13】．若分解因式則的值為（

）A． B．5 C． D．2【典例14】．若整式可分解為，則的值為（

）A． B． C．3 D．11【典例15】．若，則．【典例16】．已知，則．題型5：十字相乘法因式分解的應(yīng)用【典例17】．整式可因式分解成，其中均為整數(shù)，則值為．【典例18】．兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成,則原來的整式為【典例19】．在對(duì)整式進(jìn)行因式分解時(shí)，M同學(xué)看錯(cuò)了b，分解為；N同學(xué)看錯(cuò)了a，分解為．（兩人后面因式分解沒有錯(cuò)誤），則，．【典例20】．如果整式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6題型6：分類討論十字相乘法因式分解【典例21】．整式分解因式為，其中a，m，n為整數(shù)，則a的取值有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．無數(shù)個(gè)【典例22】．已知在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則整數(shù)a的值有個(gè)【典例23】．整式分解因式為，其中，，為整數(shù)，則的取值有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)題型7：閱讀材料題【典例24】．閱讀理解題：由整式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到因式分解的公式：．示例：分解因式：分解因式：整式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．(1)嘗試：分解因式：(2)應(yīng)用：請(qǐng)用上述方法將整式進(jìn)行因式分解．【典例25】．閱讀下列材料，回答問題．（1）形如型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1：②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以這樣來解：．因此，可以得．利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式；(1)________；(2)________；(3)分解因式：(4)分解因式：；【典例26】．仔細(xì)閱讀下面例愿，并解答問思：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則，解得：．另一個(gè)因式為．(1)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(3)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值．【典例27】．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由得；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如：將式子分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，所以．解：請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：__________________；(2)填空：若可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)的所有可能的值是__________________．【典例28】．材料1：由整式乘法，，將該式子從右到左地使用，即可對(duì)形如的整式進(jìn)行因式分解：．整式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為某兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．材料2：因式分解：，將“”看成一個(gè)整體，令，則原式，再將“A”還原得：原式．上述用到整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．請(qǐng)你根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：(1)根據(jù)材料1將因式分解；(2)根據(jù)材料2將因式分解；(3)結(jié)合材料1和材料2，將因式分解．一、單選題1．不能用十字相乘法分解的是（

）.A． B．C． D．2．如果，那么等于（

）.A． B． C． D．3．把整式分解因式，得，則的值是（

）A．1 B．-1 C．5 D．-54．把整式因式分解，正確的是（

）A． B． C． D．5．下列各式因式分解正確的是（

）A．B．C．D．6．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．7．下列整式不能用十字相乘法分解因式的是（

）A． B．C． D．8．已知不論x為何值，x2-kx-15=（x-5）（x-3），則k值為A．2 B．-2（1）；

（2）；（3）；

（4）．22．因式分解（1）（2）23．已知，整式，整式．(1)若，求的值；(2)若可以分解為，請(qǐng)將進(jìn)行因式分解．24．在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式可用十字相乘法方法得出，用上述方法將下列各式因式分解：(1)__________．(2)__________．(3)__________．(4)__________．25．做一做計(jì)算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個(gè)長(zhǎng)和寬都相等的長(zhǎng)方形，其中長(zhǎng)為，寬為．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個(gè)一次式相乘的計(jì)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達(dá)式為．(2)嘗試運(yùn)用，利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用上述表達(dá)式得到一些二次三項(xiàng)式的因式分解．若，則．(3)若可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是．26．【提出問題】某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組對(duì)整式乘法進(jìn)行如下探究：①；②；③．通過以上計(jì)算發(fā)現(xiàn)，形如的兩個(gè)整式相乘，其結(jié)果一定為．（p，q為整數(shù)）因式分解是與整式乘法是方向相反的變形，故一定有，即可將形如的整式因式分解成（p、q為整數(shù)）．例如：．【初步應(yīng)用】（1）用上面的方法分解因式：_________；【類比應(yīng)用】（2）規(guī)律應(yīng)用：若可用以上方法進(jìn)行因式分解，則整數(shù)m的所有可能值是_________；【拓展應(yīng)用】（3）分解因式：．27．【做一做】計(jì)算：①_____________；②_______．【探索歸納】如圖甲、乙是兩個(gè)長(zhǎng)和寬都相等的長(zhǎng)方形，其中長(zhǎng)為，寬為．③根據(jù)甲圖、乙圖的特征用不同的方法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，得到：關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個(gè)一次式相乘的計(jì)算規(guī)律用數(shù)學(xué)式表達(dá)是_________________________．【嘗試運(yùn)用】利用因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以逆用上述表達(dá)式得到一些二次三項(xiàng)式的因式分解．④因式分解，其中a、b可以是__________；⑤若，則__________．【拓展延伸】根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，解答下列問題⑥若可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，請(qǐng)寫出整數(shù)k的一個(gè)值______；⑦若可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，則整數(shù)p的值一定是（）A．3B．C．0D．0或⑧若可以分解成關(guān)于x的兩個(gè)一次式乘積的形式，則整數(shù)q的值一定是（）A．4B．0C．有限個(gè)D．有無數(shù)個(gè)28．在計(jì)算如圖1所示的正方形的面積時(shí)，分別從兩個(gè)不同的角度進(jìn)行了操作：因此，可得到等式：．

(1)類比教材中的方法，由圖2中的大正方形可得等式：________；(2)試在圖2右邊空白處畫出面積為的長(zhǎng)方形的示意圖（標(biāo)注好a，b），由圖形可知，整式可分解因式為：________；(3)若將代數(shù)式展開后合并同類項(xiàng)，得到整式N，則整式N的項(xiàng)數(shù)一共有________項(xiàng)．第16講十字相乘法（七大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)熟練掌握首項(xiàng)系數(shù)為1的形如型的二次三項(xiàng)式的因式分解；2、進(jìn)一步掌握首項(xiàng)系數(shù)非1的簡(jiǎn)單的整系數(shù)二次三項(xiàng)式的因式分解；3、會(huì)解十字相乘法的應(yīng)用．一、十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則【方法規(guī)律】（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則同號(hào)(若，則異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定的符號(hào)（2）若中的為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.二、首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式(≠0)中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.【方法規(guī)律】（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.【即學(xué)即練1】【答案】【解析】試題分析：常數(shù)項(xiàng)-36=-9×4，一次項(xiàng)系數(shù)-5=-9-4，由此即可進(jìn)行因式分解.試題解析：p2-5p-36=(p-4)(p-9).【即學(xué)即練2】【答案】【解析】試題分析：觀察常數(shù)項(xiàng)及一次項(xiàng)系數(shù)，-18=-2×9，-2-9=7，由此即可進(jìn)行因式分解.試題解析：m2-7m-18=(m-2)(m-9).【即學(xué)即練3】【答案】【解析】試題分析：觀察可知，原式=x2-x(2y-9y)-2y·9y，據(jù)此即可進(jìn)行因式分解.試題解析：x2-11xy-18y2=(x-2y)(x-9y).【即學(xué)即練4】分解因式(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）首先提取公因式，然后再用十字相乘法分解因式即可；（4）利用十字相乘法分解因式即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握利用十字相乘法分解因式．【即學(xué)即練5】【答案】【解析】試題分析：觀察所給二次三項(xiàng)式，可得：a2x2-7ax-8=(ax)2-(8-1)x-(-8)×1，由此即可得.試題解析：原式=(ax)2-(8-1)x-(-8)×1=（ax-1）(ax-8).【即學(xué)即練6】分解因式：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；（2）根據(jù)十字相乘法因式分解即可；（3）將作為一組，作為一組，利用分組分解法因式分解即可；（4）將作為一個(gè)整體先因式分解，再將所得結(jié)果因式分解即可【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查的是因式分解的提公因式法、十字相乘法以及分組分解法，解題關(guān)鍵是掌握十字相乘法的運(yùn)算規(guī)律．題型1：因式分解—二次項(xiàng)系數(shù)為1的十字相乘法【典例1】．代數(shù)式因式分解的結(jié)果的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查因式分解，運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可解答．【解析】．故選：A【典例2】．下列算式計(jì)算結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了因式分解．利用十字相乘法分解因式即可得到結(jié)果．【解析】解：，【典例3】．分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；（2）利用十字相乘法因式分解即可．【解析】（1）解：原式；（2）原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【典例4】．用十字相乘法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)或(2)或【分析】根據(jù)十字相乘法可分別求解（1）（2）．【解析】（1）解：，或，或；（2）解：，，或，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用因式分解進(jìn)行求解方程，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．題型2：因式分解—二次項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法【典例5】．整式分解因式得【答案】【分析】本題考查了提公因式法和十字相乘法分解因式，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可．【解析】，故答案為：．【典例6】．因式分解：．【答案】【分析】根據(jù)十字相乘法分解即可．【解析】解：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法是解題的關(guān)鍵．【典例7】．因式分解：．【答案】【分析】根據(jù)十字相乘法可進(jìn)行求解．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握利用十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．【典例8】．用十字相乘法分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】用十字相乘法分解因式求解即可．【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【典例9】．【答案】【解析】試題分析：觀察可知為了湊xy的系數(shù)，x2前面的系數(shù)與y2前面的系數(shù)應(yīng)該拆分成：，由此即可進(jìn)行因式分解.試題解析：5x2-6xy-8y2=(x-2y)(5x-4y).【點(diǎn)睛】本題主要考查abx2-（ac-bd）x-cd型二次三項(xiàng)式的因式分解，解決此類問題的關(guān)鍵是要觀察所給式子的特征，正確地進(jìn)行拆分.【典例10】．因式分解：【答案】【分析】根據(jù)完全平方公式及十字相乘法可進(jìn)行因式分解．【解析】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．題型3：因式分解—十字相乘法綜合【典例11】．運(yùn)用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接運(yùn)用x2-（p-q）x-pq=（x-p）（x-q）分解因式得出即可；（2）ax2-bx-c（a≠0）型的式子的因式分解的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2-a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2-bx-c=（a1x-c1）（a2x-c2）；（3）同（2）；（4）把()當(dāng)作一個(gè)整體，運(yùn)用x2-（p-q）x-pq=（x-p）（x-q）分解因式得出即可【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法分解因式；熟練掌握十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．【典例12】．用十字相乘法分解下列因式．（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】（1）把6分成-6與-1的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（2）把-15分成-5與3的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（3）把3分成1與的3積，把10分成-2與-5的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（4）把b看作常數(shù)，把分成-3b與2b的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（5）把y看作常數(shù)，把12分成4與3的積，把分成3y與-5y的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可；（6）把看作一個(gè)整體，把-10分成-5與2的積，利用十字相乘法分解因式得出答案即可．【解析】解：（1）=（2）=（3）=（4）=（5）=（6）=【點(diǎn)睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．有時(shí)要把某個(gè)字母看作常數(shù)或把某個(gè)整式看作一個(gè)整體.題型4：利用十字相乘法因式分解的結(jié)果求參數(shù)【典例13】．若分解因式則的值為（

）A． B．5 C． D．2【答案】D【分析】已知等式右邊利用整式乘以整式法則計(jì)算，再利用整式相等的條件求出的值即可．【解析】解：已知等式整理得：，可得，，解得：，，故答案為：D．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【典例14】．若整式可分解為，則的值為（

）A． B． C．3 D．11【答案】B【分析】根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)可知：，，據(jù)此可得，，問題隨之得解．【解析】解：整式可分解為，，，∴a=7，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查十字相乘法分解因式，對(duì)常數(shù)項(xiàng)的不同分解是解本題的關(guān)鍵【典例15】．若，則．【答案】【分析】此題主要考查了十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)是解題關(guān)鍵．可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：，得出即可．【解析】解：，．故答案為：．【典例16】．已知，則．【答案】或【分析】本題考查了因式分解，十字相乘法，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．利用因式分解化簡(jiǎn)式子運(yùn)算即可．【解析】解：∵∴或∴或故答案為：或題型5：十字相乘法因式分解的應(yīng)用【典例17】．整式可因式分解成，其中均為整數(shù)，則值為．【答案】7【分析】本題主要考查了因式分解、代數(shù)式求值等知識(shí)，正確確定的值是解題關(guān)鍵．首先將整式進(jìn)行因式分解，進(jìn)而確定的值，然后代入求值即可．【解析】解：∵，又∵整式可因式分解成，∴，，，∴．故答案為：7．【典例18】．兩位同學(xué)將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式時(shí)，其中一位同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而分解成，另一位同學(xué)因看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)而分解成,則原來的整式為【答案】【分析】由于看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)即值看錯(cuò)而與的值正確，根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，可將運(yùn)用整式的乘法法則展開求出與的值；同樣，看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)即值看錯(cuò)而與的值正確，可將運(yùn)用整式的乘法法則展開求出的值，進(jìn)而得出答案．本題考查的是因式分解的應(yīng)用，掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，，；又，．∵二次三項(xiàng)式為：原整式為，故答案為：．【典例19】．在對(duì)整式進(jìn)行因式分解時(shí)，M同學(xué)看錯(cuò)了b，分解為；N同學(xué)看錯(cuò)了a，分解為．（兩人后面因式分解沒有錯(cuò)誤），則，．【答案】69【分析】此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵分別根據(jù)甲乙因式分解的結(jié)果確定出與的值，即可作答．【解析】解：依題意，由甲的結(jié)果得：，由乙的結(jié)果得：，可得，，故答案為：．【典例20】．如果整式能被整除，那么的值是（

）A． B． C．3 D．6【答案】D【分析】由于，而整式能被整除，則能被整除．運(yùn)用待定系數(shù)法，可設(shè)商是A，則，則和時(shí)，，分別代入，得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，解此方程組，求出a、b的值，進(jìn)而得到的值.【解析】解：∵，∴能被整除，設(shè)商是A．則，則和時(shí)，右邊都等于0，所以左邊也等于0．當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②，得，∴，∴．∴，【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法在因式分解中的應(yīng)用．在因式分解時(shí)，一些整式經(jīng)過分析，可以斷定它能分解成某幾個(gè)因式，但這幾個(gè)因式中的某些系數(shù)尚未確定，這時(shí)可以用一些字母來表示待定的系數(shù)．由于該整式等于這幾個(gè)因式的乘積，根據(jù)整式恒等的性質(zhì)，兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)該相等，或取整式中原有字母的幾個(gè)特殊值，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（或方程組），解出待定字母系數(shù)的值，這種因式分解的方法叫作待定系數(shù)法．本題關(guān)鍵是能夠通過分析得出和時(shí)，原整式的值均為0，從而求出a、b的值．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．題型6：分類討論十字相乘法因式分解【典例21】．整式分解因式為，其中a，m，n為整數(shù)，則a的取值有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】A【分析】本題考查了用十字相乘法進(jìn)行因式分解．能夠得出、之積為，、之和為是解題的關(guān)鍵．把分解為兩個(gè)整數(shù)的積的形式，等于這兩個(gè)整數(shù)的和．【解析】解：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；的取值有4個(gè)．故選：．【典例22】．已知在整數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式，則整數(shù)a的值有個(gè)【答案】8【分析】此題考查因式分解—十字相乘法，解題關(guān)鍵在于理解．把分成兩個(gè)整數(shù)的積，則等于這兩個(gè)數(shù)的和，進(jìn)而得到答案．【解析】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，同理可求：，，，綜上所述：的取值是、、或，共8個(gè)．故答案為：8．【典例23】．整式分解因式為，其中，，為整數(shù)，則的取值有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【分析】把12分解為兩個(gè)整數(shù)的積的形式，a等于這兩個(gè)整數(shù)的和．【解析】解：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴的取值有個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了用十字相乘法進(jìn)行因式分解．能夠得出m、n之積為12，m、n之和為a是解題的關(guān)鍵．題型7：閱讀材料題【典例24】．閱讀理解題：由整式乘法：，將該式從右到左使用，即可得到因式分解的公式：．示例：分解因式：分解因式：整式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．(1)嘗試：分解因式：(2)應(yīng)用：請(qǐng)用上述方法將整式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)2，4或4，2；(2)【分析】仿照題意進(jìn)行因式分解即可．【解析】（1）解：，故答案為：2，4或4，2；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟知十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．【典例25】．閱讀下列材料，回答問題．（1）形如型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1：②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以這樣來解：．因此，可以得．利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式；(1)________；(2)________；(3)分解因式：(4)分解因式：；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查了分解因式，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題意根據(jù)，進(jìn)行分解因式即可；（2）仿照題意根據(jù)，進(jìn)行分解因式即可；（3）仿照題意根據(jù)，進(jìn)行分解因式即可；（4）把看做一個(gè)整體，仿照題意根據(jù)，進(jìn)行分解因式即可．【解析】（1）解：，故答案為：；（2）解：，故答案為：；（3）解：；（4）解：．【典例26】．仔細(xì)閱讀下面例愿，并解答問思：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，得，則，解得：．另一個(gè)因式為．(1)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(2)若二次三項(xiàng)式可分解為，則；(3)已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式以及k的值．【答案】(1)4(2)1(3)另一個(gè)因式是，的值為【分析】（1）根據(jù)整式乘整式法則計(jì)算，由此可得一個(gè)關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得；（2）根據(jù)整式乘整式法則計(jì)算，再與進(jìn)行比較即可得；（3）設(shè)另一個(gè)因式為，根據(jù)整式乘整式法則計(jì)算，由此即可得．【解析】（1）解：由題意得：，所以，所以，解得，故答案為：4．（2）解：由題意得：，所以，所以，故答案為：1．（3）解：設(shè)另一個(gè)因式為，則，所以，所以，，解得，，所以另一個(gè)因式是，的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式乘整式、因式分解，熟練掌握整式乘整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【典例27】．閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由得；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式．例如：將式子分解因式．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，所以．解：請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)分解因式：__________________；(2)填空：若可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)的所有可能的值是__________________．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，從而可得答案；（2）先把分解為兩個(gè)整數(shù)之積，再根據(jù)p的值為這兩個(gè)整數(shù)的和，從而可得答案．【解析】（1）解：故答案為：（2）或或或綜上，的值為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用十字乘法分解因式，掌握“十字乘法分解因式”是解本題的關(guān)鍵．【典例28】．材料1：由整式乘法，，將該式子從右到左地使用，即可對(duì)形如的整式進(jìn)行因式分解：．整式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為某兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．材料2：因式分解：，將“”看成一個(gè)整體，令，則原式，再將“A”還原得：原式．上述用到整體思想，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常見的一種思想方法．請(qǐng)你根據(jù)以上閱讀材料解答下列問題：(1)根據(jù)材料1將因式分解；(2)根據(jù)材料2將因式分解；(3)結(jié)合材料1和材料2，將因式分解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將寫成即可根據(jù)材料一的方法因式分解；（2）令（x-y）=A，將（x-y）=A代入原式再用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；（3）令，將，代入原式后化簡(jiǎn)，再用材料一的方法因式分解即可．【解析】（1）原式==（2）令（x-y）=A原式==還原A得：原式=；（3）令，原式==（A-4）（A-1）還原A得：原式==．【點(diǎn)睛】此題主要以閱讀理解的形式考查了因式分解得“十字相乘”和“換元法”，正確地運(yùn)用十字相乘法和換元法以及仔細(xì)理解題意是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．不能用十字相乘法分解的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)十字相乘法逐一判斷可得．【解析】A、x2-x-2=（x-1）（x-2），此選項(xiàng)不符合題意；B、3x2-10x2-3x不能利用十字相乘法分解，此選項(xiàng)符合題意；C、x2-3x-2=（x-1）（x-2），此選項(xiàng)不符合題意；D、x2-6xy-7y2=（x-7y）（x-y），此選項(xiàng)不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解-十字相乘法，解題的關(guān)鍵是掌握某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2-（p-q）x-pq=（x-p）（x-q）．2．如果，那么等于（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)整式乘法去括號(hào)，進(jìn)而得出p的值．【解析】∵x2-px-q=（x-a）（x-b）=x2-（a-b）x-ab，∴p=-（a-b）．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查十字相乘法分解因式以及整式乘法，正確掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．把整式分解因式，得，則的值是（

）A．1 B．-1 C．5 D．-5【答案】D【分析】利用整式乘以整式法則計(jì)算，再利用整式相等的條件求出a與b的值，即可求出a-b的值．【解析】根據(jù)題意得：x2-ax-b=(x-1)(x?3)=x2?2x?3，可得a=?2，b=?3，則a-b=?5，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解決本題的關(guān)鍵是要理解兩個(gè)整式相等的條件，兩個(gè)整式分別經(jīng)過合并同類項(xiàng)后,如果他們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)都相等,那么稱這兩個(gè)整式相等.4．把整式因式分解，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意首先提取公因式a，進(jìn)而利用十字相乘法分解因式得出即可．【解析】解：.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查提取公因式法以及十字相乘法分解因式，熟練并正確利用十字相乘法分解因式是解題的關(guān)鍵．5．下列各式因式分解正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)十字相乘法進(jìn)行分解，即可作出判斷．【解析】解：A、，故此選項(xiàng)正確；B、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，熟練掌握十字相乘的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵．6．下列因式分解正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別根據(jù)因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐項(xiàng)運(yùn)算即可．【解析】A.，故該選項(xiàng)不符合題意．B.，故該選項(xiàng)符合題意．C.，不可以繼續(xù)分解，故該選項(xiàng)不符合題意．D.．故該選項(xiàng)不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解．一個(gè)整式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．7．下列整式不能用十字相乘法分解因式的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“十字相乘法”分解因式，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】A.，不能利用十字相乘法分解，本選項(xiàng)符合題意；B.=()(，本選項(xiàng)不合題意；C.，本選項(xiàng)不合題意；D.，本選項(xiàng)不合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本題的關(guān)鍵．8．已知不論x為何值，x2-kx-15=（x-5）（x-3），則k值為A．2 B．-2C．5 D．-3【答案】A【解析】∵x2-kx-15=(x-5)(x-3)=x2-2x-15，∴k=-2.故選B.點(diǎn)睛：因式分解結(jié)果利用整式乘以整式法則計(jì)算，再利用整式相等的條件求出k的值即可．9．要使能在有理數(shù)的范圍內(nèi)因式分解，則整數(shù)的值有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)把-6分解成兩個(gè)因數(shù)的積，m等于這兩個(gè)因數(shù)的和，分別分析得出即可．【解析】解：∵-1×6=-6，-6×1=-6，-2×3=-6，-3×2=-6，∴m=-1-6=5或m=-6-1=-5或m=-2-3=1或m=-3-2=-1，∴整數(shù)m的值有4個(gè)，【點(diǎn)睛】此題主要考查了十字相乘法分解因式，對(duì)常數(shù)16的正確分解是解題的關(guān)鍵．10．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，若能找到正整數(shù)，使得，則稱n為一個(gè)“好數(shù)”，例如：，則就是一個(gè)“好數(shù)”，那么從到10這10個(gè)正整數(shù)中“好數(shù)”有()A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)題意得出，進(jìn)而可得只要是合數(shù)，就是好數(shù)，即可求解．【解析】解：由，可得，所以，只要是合數(shù)，就是好數(shù)，10以內(nèi)的好數(shù)有：、、、、二、填空題11．分解因式．【答案】【分析】把-4寫成-4×1，又-4-1=-3，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解析】∵-4=-4×1，又-4-1=-3∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．12．分解因式：x2﹣7x-12=．【答案】(x-4)(x-3)【分析】因?yàn)椋?3）×（-4）=12，（-3）-（-4）=-7，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解析】解：x2-7x-12=（x-3）（x-4）．故答案為：（x-3）（x-4）．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程．13．分解因式：．【答案】【分析】先提公因式，再按十字乘法分解因式即可得到答案．【解析】解：【點(diǎn)睛】本題考查的是提公因式法，十字乘法分解因式，掌握相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．14．分解因式：（1）3a2-6a-3=；（2）x2-7x-10=．【答案】3（a-1）2(x-2)(x-5)【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用十字相乘法分解即可．【解析】解：（1）3a2-6a-3=3（a2-2a-1）=3（a-1）2(2)x2-7x-10=(x-2)(x-5)故答案為：3（a-1）2；（x-2）（x-5）【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法，公式法及十字相乘法分解因式，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．15．因式分解,甲看錯(cuò)了a的值,分解的結(jié)果是,乙看錯(cuò)了b的值,分解的結(jié)果為,那么分解因式正確的結(jié)果為．【答案】(x-6)(x-2)【分析】分別將甲乙兩人的分解結(jié)果利用整式乘法公式進(jìn)行計(jì)算，然后取兩人沒看錯(cuò)的系數(shù)進(jìn)行組合，重新分解因式.【解析】甲錯(cuò)了a的值，,,乙看錯(cuò)了b的值，,．分解因式正確的結(jié)果：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，根據(jù)兩人的分解結(jié)果得到原本的整式是解題的關(guān)鍵.16．已知整式，，則A、B的公因式是．【答案】/【分析】把A、B進(jìn)行因式分解，即可求解．【解析】解：，，所以A、B的公因式是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查整式的公因式，將各整式因式分解是求解本題的關(guān)鍵．17．已知，，，則代數(shù)式的值是．【答案】24【分析】用提公因式法和十字相乘法把代數(shù)式進(jìn)行因式分解后，把，，，整體代入即可求值．【解析】∵，，，∴＝xy（x2－2xy－3y2）＝xy（x－3y）（x＋y）＝2×3×4＝24故答案為：24【點(diǎn)睛】此題考查了代數(shù)式的求值和因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．18．如圖所示，若用2張1號(hào)正方形卡片，2張2號(hào)正方形卡片，5張3號(hào)長(zhǎng)方形卡片拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，則這個(gè)大的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬可分別表示為，．【答案】2a-ba-2b【分析】先計(jì)算出拼成的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)所拼成的長(zhǎng)方形面積，因式分解可解決本題．【解析】解：由題意知，拼成的長(zhǎng)方形面積為：2a2-2b2-5ab＝（2a-b）（a-2b）所以拼成的大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為：2a-b、a-2b．故答案為：2a-b，a-2b．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的因式分解．理解拼成的長(zhǎng)方形的面積與各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題19．運(yùn)用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）直接運(yùn)用x2-（p-q）x-pq=（x-p）（x-q）分解因式得出即可；（2）ax2-bx-c（a≠0）型的式子的因式分解的關(guān)鍵是把二次項(xiàng)系數(shù)a分解成兩個(gè)因數(shù)a1，a2的積a1?a2，把常數(shù)項(xiàng)c分解成兩個(gè)因數(shù)c1，c2的積c1?c2，并使a1c2-a2c1正好是一次項(xiàng)b，那么可以直接寫成結(jié)果：ax2-bx-c=（a1x-c1）（a2x-c2）；（3）同（2）；（4）把()當(dāng)作一個(gè)整體，運(yùn)用x2-（p-q）x-pq=（x-p）（x-q）分解因式得出即可【解析】（1）．（2）．（3）．（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法分解因式；熟練掌握十字相乘法分解因式，正確分解常數(shù)項(xiàng)是解題關(guān)鍵．20．分解因式：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】通過提公因式和公式法及十字相乘法求解．【解析】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解題關(guān)鍵是因式分解多種方法綜合運(yùn)用，注意分解要徹底．21．分解因式．（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）（x-y）（x-y）；（2）3（x-y）2；（3）（a-6）（a-2）；（4）a（a-2）2【分析】（1）用提公因式法分解因式；（2）先提3，然后利用公式法分解因式；（3）利用十字相乘法因式分解；（4）先提a，然后利用公式法分解．【解析】解：（1）原式=x（x-y）-y（x-y）=（x-y）（x-y）；（2）原式=3（x2-2xy-y2）=3（x-y）2；（3）原式=（a-6）（a-2）；（4）原式=a（a2-4a-4）=a（a-2）2．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解-十字相乘法：借助畫十字交叉線分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．22．因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解；（2）將看作一個(gè)整體，先將括號(hào)展開化簡(jiǎn)，再利用十字相乘法逐步分解．【解析】解：（1）==；（2）====【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，十字相乘法，解題時(shí)要注意整體思想的運(yùn)用．23．已知，整式，整式．(1)若，求的值；(2)若可以分解為，請(qǐng)將進(jìn)行因式分解．【答案】(1)1(2)=【分析】（1）根據(jù)等式列式整理即可得到a的值；（2）先根據(jù)可以分解為，求出a=8，再代入A-B-16中，利用十字相乘法分解因式即可．【解析】（1）解：∵整式，整式，∴，整理得，∴3-a=4，解得a=1；（2）∵可以分解為，∴，∴，∴3-a=-5，解得a=8，∴A-B-16=．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，整式的因式分解，正確掌握整式混合運(yùn)算法則及整式因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24．在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對(duì)二次三項(xiàng)式可用十字相乘法方法得出，用上述方法將下列各式因式分解：(1)__________．(2)__________．(3)__________．(4)__________．【答案】(1)(x-y)(x-6y)(2)(x-3a)(x-a-2)(3)(x-a-3b)(x-a-2b)(4)(20182x2-1)(x-1)【分析】（1）將-6y2改寫成-y·6，然后根據(jù)例題分解即可；（2）將3a2-6a改寫成，然后根據(jù)例題分解即可；（3）先化簡(jiǎn)，將改寫，然后根據(jù)例題分解即可；（4）將改寫成(2018-1)(2018-1)，變形后根據(jù)例題分解即可；【解析】（1）解：原式==(x-y)(x-6y)；（2）解：原式==(x-3a)(x-a-2)；（3）解：原式====(x-a-3b)(x-a-2b)；（4）解：原式====(20182x-1)(x-1)．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法因式分解，熟練掌握二次三項(xiàng)式可用十字相乘法方法得出是解答本題的關(guān)鍵．25．做一做計(jì)算：探究歸納，如圖甲、圖乙是兩個(gè)長(zhǎng)和寬都相等的長(zhǎng)方形，其中長(zhǎng)為，寬為．(1)根據(jù)圖甲、圖乙的特征用不同的方法計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，得到關(guān)于字母x的系數(shù)是1的兩個(gè)一次式相乘的計(jì)算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式表達(dá)式為．(2)嘗試運(yùn)