專題16 四邊形（5大考點）2022-2024中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國用）

第第頁試卷第=page2424頁，共=sectionpages2525頁專題16四邊形（3大考點）（解析版）【考點歸納】TOC\o"1-2"\h\z\u一、考點01多邊形及其內(nèi)角和 1二、考點02平行四邊形 6三、考點03矩形 20四、考點04菱形 32五、考點05正方形 46考點01多邊形及其內(nèi)角和一、考點01多邊形及其內(nèi)角和1．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個外角為，∴的值為；故選A2．（2024·湖南·中考真題）下列命題中，正確的是（

）A．兩點之間，線段最短 B．菱形的對角線相等C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對稱圖形的特點，解題的關(guān)鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識點．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，選項錯誤，是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假命題，不符合題意；故選：A．3．（2024·吉林長春·中考真題）在剪紙活動中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和公式和鄰補角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，故選：D．4．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點M，N，如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個內(nèi)角，鄰補角，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．先求出正六邊形的每個內(nèi)角為，再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和為即可求解的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的意義即可求解．【詳解】解：正六邊形每個內(nèi)角為：，而六邊形的內(nèi)角和也為，∴，∴，∵，∴，故選：B．5．（2023·北京·中考真題）正十二邊形的外角和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查多邊形的外角和問題，多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和都等于．【詳解】解：因為多邊形的外角和為，所以正十二邊形的外角和為．故選：C．6．（2024·云南·中考真題）一個七邊形的內(nèi)角和等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為求解，即可解題．【詳解】解：一個七邊形的內(nèi)角和等于，故選：B．7．（2024·四川德陽·中考真題）已知，正六邊形的面積為，則正六邊形的邊長為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】本題考查正六邊形的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，設(shè)出邊長去表示正三角形面積和正六邊形面積即可．【詳解】解：如圖：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理可求出正六邊形的一個內(nèi)角為，故正六邊形是由6個正三角形構(gòu)成的，過點作垂足是，設(shè)正六邊形的邊長為，即在正三角形中，∵，∴，在中，一個正三角形的面積為：，正六邊形的面積為：，∴，解得：，故選：C．8．（2023·云南·中考真題）一個五邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為．【答案】540【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為計算即可．【詳解】解：五邊形的內(nèi)角和為．故答案為：5409．（2024·江蘇宿遷·中考真題）如圖，已知正六邊形的邊長為2，以點E為圓心，長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的的長為．【答案】【分析】本題主要考查了正多形的內(nèi)角和和內(nèi)角以及弧長公式，根據(jù)六邊形是正六邊形，根據(jù)正多邊內(nèi)角和等于，求出內(nèi)角，再根據(jù)弧長公式即可得出答案．【詳解】解：∵六邊形是正六邊形，∴，∴，故答案為：．10．（2024·山東煙臺·中考真題）如圖，在邊長為6的正六邊形中，以點F為圓心，以的長為半徑作，剪下圖中陰影部分做一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐的底面半徑為．【答案】【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，求圓錐的底面半徑，先求出正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，進而求出扇形的圓心角的度數(shù)，過點作，求出的長，再利用圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，進行求解即可．【詳解】解：∵正六邊形，∴，，∴，，∴，過點作于點，則：，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，則：，∴；故答案為：．11．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）正十邊形一個外角的度數(shù)是．【答案】/36度【分析】本題考查正多邊形的外角．根據(jù)正n多邊形的外角公式求解即可．【詳解】解：正十邊形的一個外角的大小是，故答案為：．二、考點02平行四邊形12．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對角線，相交于點，，，若，，則四邊形的周長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由四邊形是平行四邊形得到，，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解周長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴周長為：，故選：C．13．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對角線與BD相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，故選B．14．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．15．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故選：．16．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線的實際應(yīng)用，由題意，易得為的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點D，E，分別為的中點，∴為的中位線，∴；故選：C．17．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，在中，點是的中點，過點，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對邊平行，對角線互相平分，對角相等等性質(zhì)進行判斷即可【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，故①③正確，，，點是的中點，，又，，，，，，故②不正確，，，，即，故④正確，綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)為3個，故選：C．18．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點為圓心，以適當(dāng)長為半徑作弧，分別交，于點，；②分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點；③作射線，交于點，交延長線于點．若，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯誤；∵，∴，故C正確，故選：D．19．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為；（2）若為的中點，則線段的長為．【答案】2/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關(guān)鍵；（1）運用正方形性質(zhì)對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可．【詳解】（1）四邊形是正方形，，在中，，，，；（2）延長到點，使，連接由點向作垂線，垂足為∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，在中，，，在中，，為的中位線，；故答案為：2；.20．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，點在的延長線上，，若平分，則．【答案】5【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．由平行四邊形的性質(zhì)可知，，，進而得出，再由等角對等邊的性質(zhì)，得到，即可求出的長．【詳解】解：在中，，，，，平分，，，，，故答案為：5．21．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，點D，E分別是的中點，連接DE．若，則AB的長為．【答案】24【分析】本題主要考查三角形中位線定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵D，E分別是，的中點，∴DE是的中點，∴，故答案為：．22．（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．【答案】(1)證明見詳解(2)四邊形為正方形【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，即可得出四邊形為正方形．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，由∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是正方形．過點B作于點G，∴，∵四邊形是平行四邊形．∴，，∴，，∴，，由（1），∴，∵，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．23．（2024·吉林長春·中考真題）如圖，在四邊形中，，是邊的中點，．求證：四邊形是矩形．【答案】證明見解析．【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及矩形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．利用可證明，得出，根據(jù)得出，即可證明四邊形是平行四邊形，進而根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形即可證明四邊形是矩形．【詳解】證明：∵是邊的中點，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．24．（2024·北京·中考真題）如圖，在四邊形中，是的中點，DB，交于點，，.

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求的長.【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，而，即可求證；（2）解求得，由三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)得到，最后對運用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：∵，∴，在中，，，∴，∵是的中點，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴在中，由勾股定理得．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，解直角三角形，勾股定理，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．25．（2024·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求線段的長．【答案】(1)①或②，證明見解析；(2)6【分析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：選擇①，證明：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；選擇②，證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：由（1）得，∵，，∴．26．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到，，利用矩形的性質(zhì)得到，即可證明四邊形是菱形；（2）利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到，利用lx面積公式得到，再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進行變形求解即可得到．【詳解】（1）解：連接，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；（2）解：四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，，，矩形的周長為22，，四邊形是菱形，即，四邊形的面積為10，，即，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線上的點，且．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，則，再證明，即可證明．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴．三、考點03矩形28．（2024·甘肅·中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點O，，，則的長為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，結(jié)合，得到是等邊三角形，結(jié)合，得到，解得即可．本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得，∵，∴是等邊三角形，∵，∴，解得．故選C．29．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點在上，當(dāng)是等邊三角形時，為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形得到，繼而得到，而是等邊三角形，因此得到．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選：C．30．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為0,2．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標(biāo)為，點C的坐標(biāo)為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標(biāo)為，故選：C．31．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，點，，將線段平移得到線段，若，，則點的坐標(biāo)是．【答案】【分析】由平移性質(zhì)可知，，則四邊形是平行四邊形，又，則有四邊形是矩形，根據(jù)同角的余角相等可得，從而證明，由性質(zhì)得，設(shè)，則，，則，解得：，故有，，得出即可求解．【詳解】如圖，過作軸于點，則，由平移性質(zhì)可知：，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，∴，，∴，∵點在第四象限，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)、平移的性質(zhì)，同角的余角相等等知識點，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．32．（2024·江蘇蘇州·中考真題）如圖，矩形中，，，動點E，F(xiàn)分別從點A，C同時出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F(xiàn)作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（

）

A． B． C．2 D．1【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動點軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵．連接，交于點，取中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：

∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓?。嗟淖畲笾禐榈拈L，即．故選：D．33．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（

）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】A【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．34．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在矩形中，對角線與相交于點，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，則，∴選項A中不一定正確，故不符合題意；選項B中不一定正確，故不符合題意；選項C中一定正確，故符合題意；選項D中不一定正確，故不符合題意，故選：C．35．（2023·上?！ぶ锌颊骖}）在四邊形中，．下列說法能使四邊形為矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定逐一分析即可．【詳解】A：，為平行四邊形而非矩形故A不符合題意B：，為平行四邊形而非矩形故B不符合題意C：∴AB∥CD四邊形為矩形故C符合題意D：不是平行四邊形也不是矩形故D不符合題意故選：C．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)及矩形的判定等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．36．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在中，，D是的中點，，，．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了矩形的判定以及性質(zhì)，三腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，有平行線的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出，即可證明四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．由矩形的性質(zhì)得出，，，由已知條件可得出，由勾股定理求出，最后根據(jù)等面積法可得出，即可求出．【詳解】（1）證明：∵，D是BC的中點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．（2）由（1）可知四邊形是矩形．∴，，，∵D是的中點，∴，在中，，∴，∵，∴即，∴．37．（2024·陜西·中考真題）如圖，四邊形是矩形，點E和點F在邊上，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，再推出，利用證明，即可得到．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，即，∴，∴．38．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）如圖所示，在矩形中，為邊上一點，且．(1)求證：；(2)為線段延長線上一點，且滿足，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由矩形性質(zhì)得到，，，由角的互余得到，從而確定，利用相似三角形性質(zhì)得到；（2）由矩形性質(zhì)，結(jié)合題中條件，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，，，進而由三角形全等的判定與性質(zhì)即可得到．【詳解】（1）證明：在矩形中，，，，，，，，，，，即，，；（2）證明：連接交于點，如圖所示：在矩形中，，則，，，，，，在矩形中，，，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查矩形綜合，涉及矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)與判定是解決問題第的關(guān)鍵．39．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，．(1)求證：；(2)點E在邊上，滿足．若，，求的長及的值．【答案】(1)見解析(2)，【分析】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)矩形的判定證明即可；（2）先利用勾股定理結(jié)合矩形的性質(zhì)求得，．進而可得，再根據(jù)等腰三角形的判定得到，過點O作于點F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理分別求得，，，然后利用正切定義求解即可．【詳解】（1）證明：因為四邊形是平行四邊形，且，所以四邊形是矩形．所以；（2）解：在中，，，所以，因為四邊形是矩形，所以，．因為，所以．過點O作于點F，則，所以，在中，，所以．四、考點04菱形40．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，在菱形中，，是的中點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形四邊都相等，以及正確畫出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，設(shè)，易得，則，進而得出，再得出，最后根據(jù)，即可解答．【詳解】解：延長，過點E作延長線的垂線，垂足為點H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，設(shè)，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．41．（2024·湖北武漢·中考真題）小美同學(xué)按如下步驟作四邊形：①畫；②以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交，于點，；③分別以點，為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；④連接，，．若，則的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：作圖可得∴四邊形是菱形，∴∵，∴，∴，故選：C．42．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，在正方形中，點分別是上的動點，且，垂足為G，將沿翻折，得到交于點P，對角線交于點H，連接，下列結(jié)論正確的是：①；②；③若，則四邊形是菱形；④當(dāng)點E運動到的中點，；⑤．（

）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而證明，即可判斷①；由折疊的性質(zhì)可得，再由平行線的判定即可判斷②；由可得在同一直線上，從而可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，再根據(jù)菱形的判定即可判斷③；設(shè)正方形的邊長為，則，利用勾股定理求得，證明，可得，從而證得，可得，，即可判斷④；證明，可得，從而證明，可得，再證明，可得，進而可得，即可判斷⑤．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，∵將沿翻折，得到，，∵，，故②正確，當(dāng)時，，，，即在同一直線上，，，通過翻折的性質(zhì)可得，，∴，，，∴四邊形是平行四邊形，，∴平行四邊形是菱形，故③正確，當(dāng)點E運動到的中點，如圖，

設(shè)正方形的邊長為，則，在中，，，，，，，，，，，，，，在中，，故④錯誤，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切的概念，熟練按照要求做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關(guān)鍵．43．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．【詳解】解：連接，∵菱形的面積為24，點E是的中點，的面積為4，∴，，設(shè)菱形中邊上的高為h，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．44．（2024·貴州·中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，連接，．若，，則AB的長為．【答案】/【分析】延長，交于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)和中點性質(zhì)證明，，過E點作交N點，根據(jù)三角函數(shù)求出，，，，在中利用勾股定理求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】延長，交于點M，在菱形中，點E，F(xiàn)分別是，的中點，，，，，在和中，，，在和中，，，，，，過E點作于N點，，，，，，，在中，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，運用三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理等，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵．45．（2024·上?！ぶ锌颊骖}）在菱形中，，則．【答案】/57度【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，利用菱形性質(zhì)得出，利用等邊對等角得出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∴，故答案為：．46．（2023·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，在四邊形中，，于點．請?zhí)砑右粋€條件：，使四邊形成為菱形．

【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意，先證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)，可得四邊形成為菱形．【詳解】解：添加條件∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件∵，∴∵，，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．添加條件在與中，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形成為菱形．故答案為：（或或等）．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定，熟練掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．47．（2022·遼寧·中考真題）如圖，CD是△ABC的角平分線，過點D分別作AC，BC的平行線，交BC于點E，交AC于點F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長是．【答案】16【分析】連接EF交CD于O，先證明四邊形CFDE為菱形，從而求出CO的長度，然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．【詳解】解：連接EF交CD于O，如圖：∵DEAC，DFBC，∴四邊形CEDF是平行四邊形，∵CD是△ABC的角平分線，∴∠FCD＝∠ECD，∵DEAC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四邊形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四邊形CEDF的周長是4CE＝4×4＝16，故答案為：16．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，余弦的定義等知識，解題的關(guān)鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．48．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，在菱形中，，垂足為，垂足為．求證：．【答案】證明見解析．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出，用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，由線段的和差關(guān)系即可得出．【詳解】證明：四邊形是菱形49．（2024·江西·中考真題）如圖，為菱形的對角線，請僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）(1)如圖，過點作的垂線；(2)如圖，點為線段的中點，過點作的平行線．【答案】(1)作圖見解析；(2)作圖見解析．【分析】（）作直線，由菱形的性質(zhì)可得，即為的垂線；（）連接并延長，與的延長線相交于點，作直線，因為點為線段的中點，所以，因為，所以，，故可得，得到，所以四邊形為平行四邊形，即；本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求．50．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形中，點分別在邊上，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．51．（2023·甘肅蘭州·中考真題）如圖，矩形的對角線與相交于點O，，直線是線段的垂直平分線，分別交于點F，G，連接．

(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)當(dāng)時，求的長．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)．【分析】（1）證明和是等邊三角形，即可推出四邊形是菱形；（2）利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得和的長，利用菱形的性質(zhì)得到，在中，解直角三角形求得的長，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是菱形，理由如下，∵矩形的對角線與相交于點O，∴，∵直線是線段的垂直平分線，∴，，∴，即是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：∵直線是線段的垂直平分線，且，∴，，由（1）得四邊形是菱形，∴，在中，，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．五、考點05正方形52．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：B．53．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進一步證明得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．54．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的對角線相交于原點O．若點A的坐標(biāo)是2,1，則點C的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，根據(jù)正方形的對角線互相垂直平分，得到關(guān)于原點對稱，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵正方形的對角線相交于原點O，∴，∴關(guān)于原點對稱，∵點A的坐標(biāo)是，∴點C的坐標(biāo)是；故答案為：．55．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進而可證明