離散數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

離散數(shù)學(xué)知識點總結(jié)一、各章復(fù)習(xí)要求與重點第一章集合[復(fù)習(xí)知識點]1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、冪集2、集合的交、并、差、補等運算及其運算律（交換律、結(jié)合律、分配律、吸收律、DeMorgan律等），文氏（Venn）圖3、序偶與迪卡爾積本章重點內(nèi)容：集合的概念、集合的運算性質(zhì)、集合恒等式的證明[復(fù)習(xí)要求]1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、冪集等基本概念。2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、補等基本運算。3、掌握集合運算基本規(guī)律，證明集合等式的方法。4、了解序偶與迪卡爾積的概念，掌握迪卡爾積的運算。[本章重點習(xí)題]P5~6，4、6；P14~15，3、6、7；P20，5、7。[疑難解析]1、集合的概念因為集合的概念學(xué)生在中學(xué)階段已經(jīng)學(xué)過，這里只多了一個冪集概念，重點對冪集加以掌握，一是掌握冪集的構(gòu)成，一是掌握冪集元數(shù)為2n。2、集合恒等式的證明通過對集合恒等式證明的練習(xí)，既可以加深對集合性質(zhì)的理解與掌握；又可以為第三章命題邏輯中公式的基本等價式的應(yīng)用打下良好的基礎(chǔ)。實際上，本章做題是一種基本功訓(xùn)練，尤其要求學(xué)生重視吸收律和重要等價式在證明中的特殊作用。[例題分析]例1設(shè)A，B是兩個集合，A={1，2，3}，B={1，2}，則。解于是例2設(shè)，試求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)。解(1)(2)(3)(4)(5)(6)例3試證明證明第二章二元關(guān)系[復(fù)習(xí)知識點]1、關(guān)系、關(guān)系矩陣與關(guān)系圖2、復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系3、關(guān)系的性質(zhì)（自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性）4、關(guān)系的閉包（自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包）5、等價關(guān)系與等價類6、偏序關(guān)系與哈斯圖（Hasse）、極大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界7、函數(shù)及其性質(zhì)（單射、滿射、雙射）8、復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)本章重點內(nèi)容：二元關(guān)系的概念、關(guān)系的性質(zhì)、關(guān)系的閉包、等價關(guān)系、半序關(guān)系、映射的概念[復(fù)習(xí)要求]1、理解關(guān)系的概念：二元關(guān)系、空關(guān)系、全關(guān)系、恒等關(guān)系；掌握關(guān)系的集合表示、關(guān)系矩陣和關(guān)系圖、關(guān)系的運算。2、掌握求復(fù)合關(guān)系與逆關(guān)系的方法。3、理解關(guān)系的性質(zhì)（自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性），掌握其判別方法（定義、矩陣、圖）。4、掌握求關(guān)系的閉包（自反閉包、對稱閉包、傳遞閉包）的方法。5、理解等價關(guān)系和偏序關(guān)系的概念，掌握等價類的求法和偏序關(guān)系做哈斯圖的方法，極大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。6、理解函數(shù)概念：函數(shù)、函數(shù)相等、復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)。7、理解單射、滿射、雙射等概念，掌握其判別方法。[本章重點習(xí)題]P25，1；P32~33，4，8，10；P43，2，3，5；P51~52，5，6；P59，1，2；P64，3；P74~75，2，4，6，7；P81，5，7；P86，1，2。[疑難解析]1、關(guān)系的概念關(guān)系的概念是第二章全章的基礎(chǔ)，又是第一章集合概念的應(yīng)用。因此，學(xué)生應(yīng)該真正理解并熟練掌握二元關(guān)系的概念及關(guān)系矩陣、關(guān)系圖表示。2、關(guān)系的性質(zhì)及其判定關(guān)系的性質(zhì)既是對關(guān)系概念的加深理解與掌握，又是關(guān)系的閉包、等價關(guān)系、半序關(guān)系的基礎(chǔ)。對于四種性質(zhì)的判定，可以依據(jù)教材中P49上總結(jié)的規(guī)律。這其中對傳遞性的判定，難度稍大一點，這里要提及兩點：一是不破壞傳遞性定義，可認(rèn)為具有傳遞性。如空關(guān)系具有傳遞性，同時空關(guān)系具有對稱性與反對稱性，但是不具有自反性。另一點是介紹一種判定傳遞性的“跟蹤法”，即若，則。如若，則有，且。３、關(guān)系的閉包在理解掌握關(guān)系閉包概念的基礎(chǔ)上，主要掌握閉包的求法。關(guān)鍵是熟記三個定理的結(jié)論：定理2，；定理3，；定理4，推論。４、半序關(guān)系及半序集中特殊元素的確定理解與掌握半序關(guān)系與半序集概念的關(guān)鍵是哈斯圖。哈斯圖畫法掌握了，對于確定任一子集的最大（?。┰?，極大（?。┰簿腿菀琢?。這里要注意，最大（小）元與極大（?。┰荒茉谧蛹瘍?nèi)確定，而上界與下界可在子集之外的全集中確定，最小上界為所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以與某一元素相等，最大下界也同樣。５、映射的概念與映射種類的判定映射的種類主要指單射、滿射、雙射與非單非滿射。判定的方法除定義外，可借助于關(guān)系圖，而實數(shù)集的子集上的映射也可以利用直角坐標(biāo)系表示進(jìn)行，尤其是對各種初等函數(shù)。[例題分析]例1設(shè)集合，判定下列關(guān)系，哪些是自反的，對稱的，反對稱的和傳遞的：解：均不是自反的；R4是對稱的；R1,R2,R3,R4,R5是反對稱的；R1,R2,R3,R4,R5是傳遞的。例2設(shè)集合，A上的二元關(guān)系R為（１）寫出R的關(guān)系矩陣，畫出R的關(guān)系圖；（２）證明R是A上的半序關(guān)系，畫出其哈斯圖；（３）若，且，求B的最大元，最小元，極大元，極小元，最小上界和最大下界。解（1）R的關(guān)系矩陣為R的關(guān)系圖略（2）因為R是自反的，反對稱的和傳遞的，所以R是A上的半序關(guān)系。(A,R)為半序集，(A,R)的哈斯圖如下。4。1。3。2。5(3)當(dāng)，B的極大元為2，4；極小元為2，5；B無最大元與最小元；B也無上界與下界，更無最小上界與最大下界。第三章命題邏輯[復(fù)習(xí)知識點]１、命題與聯(lián)結(jié)詞（否定、析取、合取、蘊涵、等價），復(fù)合命題２、命題公式與解釋，真值表，公式分類（恒真、恒假、可滿足），公式的等價３、析取范式、合取范式，極?。ù螅╉?，主析取范式、主合取范式４、公式類別的判別方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）５、公式的蘊涵與邏輯結(jié)果６、形式演繹本章重點內(nèi)容：命題與聯(lián)結(jié)詞、公式與解釋、析取范式與合取范式、公式恒真性的判定、形式演繹[復(fù)習(xí)要求]１、理解命題的概念；了解命題聯(lián)結(jié)詞的概念；理解用聯(lián)結(jié)詞產(chǎn)生復(fù)合命題的方法。２、理解公式與解釋的概念；掌握求給定公式真值表的方法，用基本等價式化簡其他公式，公式在解釋下的真值。３、了解析?。ê先。┓妒降母拍?；理解極大（?。╉椀母拍詈椭魑鋈。ê先。┓妒降母拍?；掌握用基本等價式或真值表將公式化為主析?。ê先。┓妒降姆椒?。４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判別公式類型和公式等價的方法。５、理解公式蘊涵與邏輯結(jié)果的概念，掌握基本蘊涵式。6、掌握形式演繹的證明方法。[本章重點習(xí)題]P93，1；P98，2，3；P104，2，3；P107，1，3；P112，5；P115，1，2，3。[疑難解析]1、公式恒真性的判定判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。具體方法有兩種，一是真值表法，對于任給一個公式，主要列出該公式的真值表，觀察真值表的最后一列是否全為1（或全為0），就可以判定該公式是否恒真（或恒假），若不全為0，則為可滿足的。二是推導(dǎo)法，即利用基本等價式推導(dǎo)出結(jié)果為1，或者利用恒真（恒假）判定定理：公式G是恒真的（恒假的）當(dāng)且僅當(dāng)?shù)葍r于它的合取范式（析取范式）中，每個子句（短語）均至少包含一個原子及其否定。這里要求的析取范式中所含有的每個短語不是極小項，一定要與求主析取范式相區(qū)別，對于合取范式也同樣。2、范式求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。關(guān)鍵有兩點：一是準(zhǔn)確理解掌握定義；另一是巧妙使用基本等價式中的分配律、同一律和互補律，結(jié)果的前一步適當(dāng)使用等冪律，使相同的短語（或子句）只保留一個。另外，由已經(jīng)得到的主析取（合?。┓妒?，根據(jù)原理，參閱《離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書》P71例15，可以求得主合取（析?。┓妒健?、形式演繹法掌握形式演繹進(jìn)行邏輯推理時，一是要理解并掌握14個基本蘊涵式，二是會使用三個規(guī)則：規(guī)則P、規(guī)則Q和規(guī)則D，需要進(jìn)行一定的練習(xí)。[例題分析]例1求的主析取范式與主合取范式。解（1）求主析取范式，方法1：利用真值表求解G000001010011100101110111000000111010101101011111因此方法2：推導(dǎo)法（2）求主合取范式方法1：利用上面的真值表為0的有兩行，它們對應(yīng)的極大項分別為因此，方法2：利用已求出的主析取范式求主合取范式已用去6個極小項，尚有2個極小項，即與于是例2試證明公式為恒真公式。證法一：見〈離散數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)書〉P60例6（4）的解答。（真值表法）證法二：G=（（PQ）（QR））（PR）=（PQ）（QR）PR=（（（PQ）（PR）（QQ）（QR））P）R=（（PQP）（PRP）（QRP））R=（1（QRP））R=QRPR=1故G為恒真公式。例3利用形式演繹法證明{P（QR），SP，Q}蘊涵SR。證明：（1）SP規(guī)則P（2）S規(guī)則D（3）P規(guī)則Q，根據(jù)（1），（2）（4）P（QR）規(guī)則P（5）QR規(guī)則Q，根據(jù)（3），（4）（6）Q規(guī)則P（7）R規(guī)則 Q，根據(jù)（5），（6）（8）SR規(guī)則D，根據(jù)（2），（7）第四章謂詞邏輯[復(fù)習(xí)知識點]1、謂詞、量詞、個體詞、個體域、變元（約束變元與自由變元）2、謂詞公式與解釋，謂詞公式的類型（恒真、恒假、可滿足）3、謂詞公式的等價和蘊涵4、前束范式本章重點內(nèi)容：謂詞與量詞、公式與解釋、前束范式[復(fù)習(xí)要求]1、理解謂詞、量詞、個體詞、個體域、變元的概念；理解用謂詞、量詞、邏輯聯(lián)結(jié)詞描述一個簡單命題；了解命題符號化。2、理解公式與解釋的概念；掌握在有限個體域下消去公式量詞，求公式在給定解釋下真值的方法；了解謂詞公式的類型。3、理解用解釋的方法證明等價式和蘊涵式。4、掌握求公式前束范式的方法。[本章重點習(xí)題]P120，1，2；P125~126，1，3；P137，1。[疑難解析]1、謂詞與量詞反復(fù)理解謂詞與量詞引入的意義，概念的含義及在謂詞與量詞作用下變量的自由性、約束性與改名規(guī)則。2、公式與解釋能將一階邏輯公式表達(dá)式中的量詞消除，寫成與之等價的公式，然后將解釋I中的數(shù)值代入公式，求出真值。3、前束范式在充分理解掌握前束范式概念的基礎(chǔ)上，利用改名規(guī)則、基本等價式與蘊涵式（一階邏輯中），將給定公式中量詞提到母式之前稱為首標(biāo)。[典型例題]例1設(shè)I是如下一個解釋：F(2)F(3)P(2)P(3)Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)Q(3,3)32011101求的真值。解例2試將一階邏輯公式化成前束范式。解第五章圖論[復(fù)習(xí)知識點]1、圖、完全圖、子圖、母圖、支撐子圖、圖的同構(gòu)2、關(guān)聯(lián)矩陣、相鄰矩陣3、權(quán)圖、路、最短路徑，迪克斯特拉算法（Dijkstra）4、樹、支撐樹、二叉樹5、權(quán)圖中的最小樹，克魯斯卡爾算法（Kruskal）6、有向圖、有向樹本章重點內(nèi)容：權(quán)圖的最短路、二叉樹的遍歷、權(quán)圖中的最優(yōu)支撐樹[復(fù)習(xí)要求]1、理解圖的有關(guān)概念：圖、完全圖、子圖、母圖、支撐子圖、圖的同構(gòu)。2、掌握圖的矩陣表示（關(guān)聯(lián)矩陣、相鄰矩陣）。3、理解權(quán)圖、路的概念，掌握用Dijkstra算法求權(quán)圖中最短路的方法。4、理解樹、二叉樹與支撐樹的有關(guān)概念；掌握二叉樹的三種遍歷方法，用Kruskal算法求權(quán)圖中最小樹的方法。5、理解有向圖與有向樹的概念。[本章重點習(xí)題]P221，2；P225，1；P231，2，3；P239，5；P242，1，2。[疑難解析]1.本章的概念較多，學(xué)習(xí)時需要認(rèn)真比較各概念的含義，如：圖、子圖、有向圖、權(quán)圖；樹、支撐樹、二叉樹、有向樹；路、簡單路、回路等，這些都是圖的基本概念，今后將在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)庫、計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)等課程中用到。2、權(quán)圖中的最短路嚴(yán)格執(zhí)行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步驟，從起點起，到每一點求出最短路，然后進(jìn)行仔細(xì)比較，最后到達(dá)終點，算出最小權(quán)和。3、權(quán)圖中的最優(yōu)支撐樹權(quán)圖中的最優(yōu)支撐樹是圖中所帶權(quán)和最小的支撐樹，使用克魯斯卡爾（Kruskal）算法。[典型例題]在具有n個頂點的完全圖Kn中刪去多少條邊才能得到樹？解：n個頂點的完全圖Kn中共有n（n-1）/2條邊，n個頂點的樹應(yīng)有n-1條邊，于是，刪去的邊有：n（n-1）/2-（n-1）=（n-1）（n-2）/2求下面有限圖中點u到各點間的最短路。（圖上數(shù)字見教材P231，第3題。）解uu1，d(u,u1)=1,路(u,u1)uu2,d(u,u2)=9,路(u,u4,u3,u7,u2)uu3,d(u,u3)=5,路(u,u4,u3,)uu4,d(u,u4)=3,路(u,u4)uu5,d(u,u5)=11,路(u,u1,u5)或路(u,u4,u3,u7,u2,u5)uu6,d(u,u6)=13,路(u,u1,u5,u6)uu7,d(u,u7)=8,路(u,u4,u3,u7)uu8,d(u,u8)=11,路(u,u4,u8)uv,d(u,v)=15,路(u,u1,u5,u6,v)或路(u,u4,u3,u7,u6,v)二、考核說明本課程的考核實行形成性考核和終結(jié)性考核的形式。形成性考核占總成績的20%，以課程作業(yè)的形式進(jìn)行（共三次，由中央電大統(tǒng)一布置）；終結(jié)性考核即期末考試，占總成績的80%?？偝煽?yōu)?00分，60分及格。期末考試實行全國統(tǒng)一閉卷考核，試卷滿分為100。由中央電大統(tǒng)一命題，統(tǒng)一評分標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)一考試時間（考試時間為120分鐘）。1、試題類型試題類型有填空題（分?jǐn)?shù)約占20%）、單項選擇題（分?jǐn)?shù)約占14%）、計算題（分?jǐn)?shù)約占50%）和證明題（分?jǐn)?shù)約占16%）。填空題和單項選擇題主要涉及基本概念、基本理論，重要性質(zhì)和結(jié)論、公式及其簡單計算。計算題主要考核學(xué)生的基本運算技能，要求書寫計算、推論過程或理由。證明題主要考查應(yīng)用概念、性質(zhì)、定理及主要結(jié)論進(jìn)行邏輯推理的能力，要求寫出推理過程。2、考核試卷題量分配試卷題量在各部分的分配是：集合論約占40%，數(shù)理邏輯約占40%，圖論約占20%。具體課程考核情況見課程考核說明。附錄：試題類型及規(guī)范解答舉例[填空題]設(shè)R 是集合A上的二元關(guān)系，如果關(guān)系R同時具有性、對稱性和性，則稱R是等價關(guān)系。命題公式G=（PQ）R，則G共有個不同的解釋；把G在其所有解釋下所取真值列成一個表，稱為G的；解釋（P，Q，R）或（0，1，0）使G的真值為。設(shè)G=（P，L）是圖，如果G是連通的，并且，則G是樹。如果根樹T的每個點v最多有兩棵子樹，則稱T為。[單項選擇題]（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）由集合運算定義，下列各式正確的有（）。XXYB.XXYC.XXYD.YXY設(shè)R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的兩個關(guān)系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，則R2是R1的（）閉包。A．自反B．對稱C．傳遞D．以上都不是設(shè)G是由5個頂點組成的完全圖，則從G中刪去（）條邊可以得到樹。A．4B．5C．6D．10[計算題]化簡下式：（ABC）（（AB）C）（ABC）（ABC）通過求主析取范式判斷下列命題公式是否等值。（1）（PQ）（PQR）；（2）（P（QR））（Q（PR））；求圖中A到其余各頂點的最短路徑，并寫出它們的權(quán)。B7C12A253D6E1F[證明題]利用基本等價式證明下面命題公式為恒真公式。（（PQ）（QR））（PR）用形式演繹法證明：{PQ，RS，PR}蘊涵QS。試題答案及評分標(biāo)準(zhǔn)[填空題]自反；傳遞8；真值表；1無回路；二叉樹[單項選擇題]（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）1、A2、B3、C[計算題]解：（ABC）（（AB）C）（ABC）（ABC）=（A~B~C）（A~BC）（AB~C）（ABC）=（（A~B）（~CC））（（AB）（~CC））=（（A~B）E）（（AB）E）E為全集=（A~B）（AB）=A（~BB）=AE=A解：（PQ）（PQR）（PQ（RR））（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）m6m7m3m3m6m7（P（QR））（Q（PR））（PQ）（QR）（PPR）（PQR）（分配律）（PQ（RR））（（PP）QR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）（PQR）m6m7m3m7m3m3m6m7由此可見（PQ）（PQR）（P（QR））（Q（PR））解：A到B的最短路徑為AB，權(quán)為1；A到E的最短路徑為ABE，權(quán)為3；A到F的最短路徑為ABEF，權(quán)為4；A到C的最短路徑為ABEFC，權(quán)為7；A到D的最短路徑為ABEFCD，權(quán)為9。[證明題]證明：（（PQ）（QR））（PR）（（PQ）（QR））（PR）（（PQ）（QR））（PR）（PQ）（QR）PR（（PQ）P）（（QR）R）（1（QP））（（QR）1）QPQR（QQ）PR1PR1證明：PR規(guī)則PRP規(guī)則Q，根據(jù)（1）PQ規(guī)則PRQ規(guī)則Q，根據(jù)（2）（3）QR規(guī)則Q，根據(jù)（4）RS規(guī)則PQS規(guī)則Q，根據(jù)（5）（6）QS規(guī)則Q，根據(jù)（7）三、綜合練習(xí)及解答（一）填空題1、集合的表示方法有兩種：法和法。請把“大于3而小于或等于7的整數(shù)集合”用任一種集合的表示方法表示出來A={}。A，B是兩個集合，A={1，2，3，4}，B={2，3，5}，則B-A=，（B）（A）=，（B）的元素個數(shù)為。設(shè)，則從A到B的所有映射是。設(shè)命題公式，則使公式G為假的解釋是、和。5、設(shè)G是完全二叉樹，G有15個點，其中8個葉結(jié)點，則G的總度數(shù)為，分枝點數(shù)為。6、全集E={1，2，3，4，5}，A={1，5}，B={1，2，3，4}，C={2，5}，求AB=，（A）（C）=，C=。7、設(shè)A和B是任意兩個集合，若序偶的第一個元素是A的一個元素，第二個元素是B的一個元素，則所有這樣的序偶集合稱為集合A和B的，記作AB，即AB=。AB的子集R稱為A，B上的。8、將幾個命題聯(lián)結(jié)起來，形成一個復(fù)合命題的邏輯聯(lián)結(jié)詞主要有否定、、、和等值。9、表達(dá)式xyL（x，y）中謂詞的定義域是{a，b，c}，將其中的量詞消除，寫成與之等價的命題公式為。10、一個無向圖表示為G=（P，L），其中P是的集合，L是的集合，并且要求。（二）單項選擇題（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）設(shè)命題公式，則G是（）。A.恒真的B.恒假的C.可滿足的D.析取范式2、設(shè)集合，A上的關(guān)系，則=（）。3、一個公式在等價意義下，下面哪個寫法是唯一的（）。A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不對4、設(shè)命題公式G=（PQ），H=P（QP），則G與H的關(guān)系是（）。A．GHB．HGC．G=HD．以上都不是5、已知圖G的相鄰矩陣為，則G有（）。A.5點，8邊B.6點，7邊C.5點，7邊D.6點，8邊6、下列命題正確的是（）。A．{}=B．{}=C．{a}{a，b，c}D．{a，b，c}7、設(shè)集合A={a，b，c}，A上的關(guān)系R={（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c）}，則R具有關(guān)系的（）性質(zhì)。A．自反B．對稱C．傳遞D．反對稱8、設(shè)R為實數(shù)集，映射=RR，（x）=-x2+2x-1，則是（）。A．單射而非滿射B．滿射而非單射C．雙射D．既不是單射，也不是滿射9、下列語句中，（）是命題。A．下午有會嗎？B．這朵花多好看呀！C．2是常數(shù)。D．請把門關(guān)上。10、下面給出的一階邏輯等價式中，（）是錯的。x（A（x）B（x））=xA（x）xB（x）AxB（x）=x（AB（x））x（A（x）B（x））=xA（x）xB（x）xA（x）=x（A（x））（三）計算題1、設(shè)R和S是集合上的關(guān)系，其中，試求：（1）寫出R和S的關(guān)系矩陣；（2）計算。設(shè)A={a，b，c，d}，R1，R2是A上的關(guān)系，其中R1={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d）}，R2={（a，b），（b，a），（a，c），（c，a），（b，c），（c，b），（a，a），（b，b），（c，c）}。畫出R1和R2的關(guān)系圖；判斷它們是否為等價關(guān)系，是等價關(guān)系的求A中各元素的等價類。用真值表判斷下列公式是恒真？恒假？可滿足？（1）（PP）Q（2）（PQ）Q（3）（（PQ）（QR））（PR）設(shè)解釋I為：定義域D={-2，3，6}；F（x）：x3；G（x）：x5。在解釋I下求公式x（F（x）G（x））的真值。求下圖所示權(quán)圖中從u到v的最短路，畫出最短路并計算它們的權(quán)值。V17V32U253V6V21V4化簡下式：（（ABC）（AB））（（A（BC））A）已知A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R是A到B的二元關(guān)系，并且R={（x，y）|xA且yB且2x+y4}，畫出R的關(guān)系圖，并寫出關(guān)系矩陣。畫出下面偏序集（A，）的哈斯圖，并指出集合A的最小元、最大元、極大元和極小元。其中A={a，b，c，d，e}，={（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，e），（c，e），（d，e）}IA。求命題公式（PQ）（PQ）的析取范式與合取范式。10、給定解釋I如下：定義域D={2，3}；f（2）f（3）F（2，2）F（2，3）F（3，2）F（3，3）320011求xy（F（x，y）F（f（x），f（y）））。11、設(shè)有5個城市v1，v2，v3，v4，v5，任意兩城市之間鐵路造價如下：（以百萬元為單位）w（v1，v2）=4，w（v1，v3）=7，w（v1，v4）=16，w（v1，v5）=10，w（v2，v3）=13，w（v2，v4）=8，w（v2，v5）=17，w（v3，v4）=3，w（v3，v5，）=10，w（v4，v5）=12試求出連接5個城市的且造價最低的鐵路網(wǎng)。（四）證明題1、證明等價式。利用形式演繹法證明：蘊涵Q。A，B，C為任意的集合，證明：（AB）C=A（BC）利用一階邏輯的基本等價式，證明：xy（F（x）G（y））=xF（x）yG（y）練習(xí)解答（一）填空題1、列舉；描述；A={4，5，6，7}或A={x|3x7}2、{5}；{{5}，{2，5}，{3，5}，{2，3，5}}；83、1={（a，1），（b，1）}；2={（a，2），（b，2）}；3={（a，1），（b，2）}；4={（a，2），（b，1）}4、（1，0，1）；（1，1，1）；（1，0，0）28；76、{5}；{，{5}}；{1，3，4}7、笛卡爾積（或直乘積）；{（x，y）|xA且yB}；二元關(guān)系8、并且（或合取）；或者（或析?。?；蘊涵9、（L（a，a）L（a，b）L（a，c））（L（b，a）L（b，b）L（b，c））（L（c，a）L（c，b）L（c，c））10、點；連接某些不同點對的邊；一對不同點之間最多有一條邊（二）單項選擇題（選擇一個正確答案的代號，填入括號中）1、C2、A3、C4、A5、C6、A7、B8、D9、C10、A（三）計算題1、解：（1）（2）={（1，2），（3，4）}={（1，1），（1，2），（1，3），（2，3），（2，4），（3，4），（4，4）}={（1，1），（3，1），（3，2），（4，3）}={（2，1），（4，3）}2、解：R1和R2的關(guān)系圖略。由關(guān)系圖可知，R1是等價關(guān)系。R1不同的等價類有兩個，即{a，b}和{c，d}。由于R2不是自反的，所以R2不是等價關(guān)系。3、解：真值表PQPPP（PP）Q00101011001000111000因此公式（1）為可滿足。真值表PQPQ（PQ）（PQ）Q00100011001001011100因此公式（2）為恒假。真值表PQRPQQRPR（（PQ）（QR））（PR）00011110011111010101101111111000101101011111010011111111因此公式（3）為恒真。解：x（F（x）G（x））（F（-2）G（-2））（F（3）G（3））（F（6）G（6））（10）（10）（01）1解：V1V32①②④⑤U23VV2③1V4從U到V的最短路為UV1V32①②④⑤U23VV2③1V4圖中圓圈中的數(shù)字為使用迪克斯特拉算法添加邊的次序。6、解：（（ABC）（AB））（（A（BC））A）=（AB）A（利用兩次吸收律）=（AB