重慶市萬州沙河中學(xué)高2025屆高三上學(xué)期數(shù)學(xué)練習(xí)題（三）

萬州沙河中學(xué)高2025屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題（三）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1．已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（

）A．16 B．8 C．4 D．22．設(shè)，則“”是“為第二象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知角α，β都是銳角，且，是方程的兩個不等實(shí)根則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．5．若，，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)，的圖象大致為（

）A．B．C． D．7．如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．8．若，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．C．若，，，則D．函數(shù)有唯一零點(diǎn)10．若，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2B．的最小值為C．D．若實(shí)數(shù)，則的最小值為811．已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的一個周期是C．的最大值為 D．是區(qū)間上的增函數(shù)三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知函數(shù)，角為在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則．13．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，，且為奇函數(shù)，．14．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求an(2)設(shè)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，求.16．四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時，求平面與平面所成銳二面角的大小.17．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；(2)現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82818．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)（），其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若恰好有一個零點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若有兩個零點(diǎn)，（），求證：.萬州沙河中學(xué)高2025屆高三數(shù)學(xué)練習(xí)題（三）參考答案一、單選題1．已知集合，，則集合的子集個數(shù)為（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】化簡集合,再由集合交集運(yùn)算即可求解.【詳解】所以所以集合的子集個數(shù)為8故選：B2．設(shè)，則“”是“為第二象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及必要不充分條件定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋钥梢允堑诙笙藿腔虻谌笙藿?，所以“”是“為第二象限角”的必要不充分條件.故選：B.3．已知角α，β都是銳角，且，是方程的兩個不等實(shí)根則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的關(guān)系可求的正余弦值，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式可求的值.【詳解】由，可得或，又，是方程的兩個不等實(shí)根，不妨設(shè)，，又都是銳角，所以由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，，.故選：A.4．已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式，結(jié)合對數(shù)和指數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以?故選：D.5．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角公式可得，整理可得，然后根據(jù)角的范圍得出的值，即可得出答案.【詳解】由已知可得，所以有，整理可得，，所以.因?yàn)?，所以，所以?故選：C.6．函數(shù)，的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件，得到為奇函數(shù)，從而可排除選項(xiàng)A和B，再結(jié)合與在上的正負(fù)值，即可求解.【詳解】因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A和B錯誤，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時，又易知當(dāng)時，，所以時，，結(jié)合圖象可知選項(xiàng)C錯誤，選項(xiàng)D正確，故選：D.7．如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，計算，則陰影部分的面積為.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.8．若，，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別構(gòu)造函數(shù)和，求導(dǎo)即可得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求解.【詳解】設(shè),則當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，所以，故,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，故，故，即，設(shè)，則，故當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，因此，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，即，故，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．二、多選題9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．C．若，，，則D．函數(shù)有唯一零點(diǎn)【答案】AC【分析】對于，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷單調(diào)性；對于B，證明，再賦值，結(jié)合對數(shù)性質(zhì)即可計算；對于C，變形，由，的范圍即可證.對于D，由的單調(diào)性大概得到函數(shù)圖像趨勢，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可判斷.【詳解】的定義域?yàn)?，在定義域上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故正確；當(dāng)趨近于0時，趨于，當(dāng)趨近于1，且在1的左側(cè)時，趨于.當(dāng)趨近于1，且在1的右側(cè)時，趨于,當(dāng)趨近于，趨于.故在和都有1個零點(diǎn)，共2個零點(diǎn)，故D錯誤.，所以，又，所以，故B錯誤；，因?yàn)?，所以，又，所以，即，故C正確.故選：AC.10．若，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為2B．的最小值為C．D．若實(shí)數(shù)，則的最小值為8【答案】AD【分析】根據(jù)題意，利用題設(shè)條件，結(jié)合基本不等式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為2，故A正確；對于B，由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為4，所以B錯誤；對于C，因?yàn)?，，且，所以，又，所以，故C錯誤；對于D，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為8，故D正確.故選：AD.11．已知函數(shù)，下列關(guān)于該函數(shù)結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．的一個周期是C．的最大值為 D．是區(qū)間上的增函數(shù)【答案】ABD【分析】利用誘導(dǎo)公式證明，結(jié)合對稱性的定義可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷C；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】對于A，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B，，所以的一個周期是，故B正確；對于C，，所以的最大值為，當(dāng)時，，取得最大值，所以的最大值為，故C錯誤；對于D，在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性易知，在上單調(diào)遞增，所以是區(qū)間上的增函數(shù)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)對稱性及周期性的判定及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).三、填空題12．已知函數(shù)，角為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的傾斜角，則．【答案】4【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，再利用齊次式法計算即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，所以.故答案為：413．函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，，且為奇函數(shù)，．【答案】【分析】求導(dǎo)得，進(jìn)一步得，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得，進(jìn)而聯(lián)合可得，可得為等差數(shù)列，即可根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】對求導(dǎo)可得，故，則，又為奇函數(shù)，所以，因此，故，故，因此可得，故為等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為，，故答案為：14．已知函數(shù)，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)的大致圖象，令gx=0可得，或，由條件結(jié)合圖象可得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與一次函數(shù)相比，函數(shù)增長速度更快，從而，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，f'x>0，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，f'x<0，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，與對數(shù)函數(shù)相比，一次函數(shù)增長速度更快，從而，當(dāng)，且時，，根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)的大致圖象如下：函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)與方程的解的個數(shù)一致，方程，可化為，所以或，由圖象可得沒有解，所以方程的解的個數(shù)與方程解的個數(shù)相等，而方程的解的個數(shù)與函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)由圖可知：當(dāng)時，函數(shù)y=fx的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題15．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為，已知.(1)求an(2)設(shè)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法可求.【詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，即，而，故，，所以an是首項(xiàng)為1，公比為2所以滿足通項(xiàng)，所以.（2）當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，.16．四棱錐中，平面，底面是正方形，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)當(dāng)為中點(diǎn)時，求平面與平面所成銳二面角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直性質(zhì)以及正方形性質(zhì)，利用面面垂直判定定理即可得出證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得兩平面法向量即可求得結(jié)果.【詳解】（1）底面是正方形，，平面，平面，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面.（2）平面，AB，平面，所以，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，所在直線分別為，，建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則A0,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，故平面的一個法向量為n=0,1,-1設(shè)平面的法向量為，則,解得，令，得，故平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，所以平面與平面所成銳二面角的大小為.17．某工廠生產(chǎn)某款電池，在滿電狀態(tài)下能夠持續(xù)放電時間不低于10小時的為合格品，工程師選擇某臺生產(chǎn)電池的機(jī)器進(jìn)行參數(shù)調(diào)試，在調(diào)試前后，分別在其產(chǎn)品中隨機(jī)抽取樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，制作了如下的列聯(lián)表：產(chǎn)品合格不合格合計調(diào)試前451560調(diào)試后35540合計8020100(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量有關(guān)聯(lián)；(2)現(xiàn)從調(diào)試前的樣本中按合格和不合格，用分層隨機(jī)抽樣法抽取8件產(chǎn)品重新做參數(shù)調(diào)試，再從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做對比分析，記抽取的3件中合格的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，若現(xiàn)在隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品1000件，記其中合格的件數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的取值.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)875【分析】（1）計算的值，將其與對應(yīng)的小概率值比較即得；（2）先算出抽取的8件產(chǎn)品中的合格品與不合格品的數(shù)目，再從中抽取3件，根據(jù)合格品件數(shù)的可能值運(yùn)用超幾何分布概率計算出概率，列出分布列計算數(shù)學(xué)期望即得；（3）分析得出，利用二項(xiàng)分布概率公式得出再利用作商法分析得時，事件“”的概率最大.【詳解】（1）零假設(shè)為：假設(shè)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；則，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)說明零假設(shè)不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為參數(shù)調(diào)試與產(chǎn)品質(zhì)量無關(guān)聯(lián)；（2）依題意，用分層隨機(jī)抽樣法抽取的8件產(chǎn)品中，合格產(chǎn)品有件，不合格產(chǎn)品有2件，而從這8件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，其中的合格品件數(shù)的可能值有.則.故的分布列為：123則；（3）依題意，因隨機(jī)抽取調(diào)試后的產(chǎn)品的合格率為，故，則由，故由可解得，因，故當(dāng)時，單調(diào)遞增；由可解得，即當(dāng)時，單調(diào)遞減.故當(dāng)事件“”的概率最大時，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）計算卡方值，并與小概率值比較得出結(jié)論；（2）求隨機(jī)變量的分布列關(guān)鍵在于判斷滿足的概率模型；（3）對于二項(xiàng)分布中概率最大值問題，一般考慮作商后分析判斷商與1的大小即得.18．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)和(2)【分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形結(jié)合周期可求出，再由結(jié)合可求得結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，則方程轉(zhuǎn)化為，令，則，再變形后，利用換元法可求出答案.【詳解】（1），因?yàn)樽钚≌芷跒?，所以，得，所以，由，得，因?yàn)?，所以?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為和；（2）將的圖象先向右平移個單位長度，得到，再將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得，所以，方程，即為方程，令，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以原方程化為，所以，令，則，，因?yàn)樵谏线f減，在上遞增，所以當(dāng)時，，則，因?yàn)楫?dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)