數(shù)學(xué)備課資料7點(diǎn)到直線的距離公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精備課資料一、利用向量解決幾何問(wèn)題的進(jìn)一步探討用平面向量的幾何運(yùn)算處理平面幾何問(wèn)題有其獨(dú)到之處，特別是處理線段相等,線線平行,垂直，點(diǎn)共線,線共點(diǎn)等問(wèn)題,往往簡(jiǎn)單明了，少走彎路，同時(shí)避免了復(fù)雜,煩瑣的運(yùn)算和推理，可以收到事半功倍的效果?，F(xiàn)舉幾例以供教師、學(xué)生進(jìn)一步探究使用。1。簡(jiǎn)化向量運(yùn)算例1如圖12所示，O為△ABC的外心,H為垂心,求證:=++。圖12證明：如圖12,作直徑BD,連接DA，DC，有=—,且DA⊥AB，DC⊥BC，AH⊥BC，CH⊥AB，故CH∥DA,AH∥DC，得四邊形AHCD是平行四邊形.從而=。又=-=+，得=+=+，即=++。2。證明線線平行例2如圖13，在梯形ABCD中，E,F分別為腰AB,CD的中點(diǎn)。求證:EF∥BC，且｜|=（|｜+｜｜）.圖13證明：連接ED，EC，∵AD∥BC,可設(shè)=λ(λ＞0）,又E,F是中點(diǎn)，∴+=0，且=(+).而+=+++=+=(1+λ),∴=.EF與BC無(wú)公共點(diǎn),∴EF∥BC。又λ＞0,∴｜|=（|｜+｜λ｜）=(||+｜｜）。3.證明線線垂直例3如圖14，在△ABC中,由A與B分別向?qū)匓C與CA作垂線AD與BE，且AD與BE交于H，連接CH，求證：CH⊥AB。圖14證明：由已知AH⊥BC，BH⊥AC,有·=0，·=0。又=+,=+，故有(+)·=0,且(+）·=0，兩式相減，得·(—)=0，即·=0,∴⊥。4。證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線例4求證：三角形三中線共點(diǎn)，且該點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于各該中線長(zhǎng)的。圖15解：已知:△ABC的三邊中點(diǎn)分別為D，E,F（如圖15）。求證:AE,BF，CD共點(diǎn),且=.證明:設(shè)AE,BF相交于點(diǎn)G,=λ1，由定比分點(diǎn)的向量式有=+，又F是AC的中點(diǎn),=(+），設(shè)=λ2,則+=+,∴∴又=,∴C,G，D共線，且。二、備用習(xí)題1。有一邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD,設(shè)=a,=b，=c,則|a—b+c|=___________.2。已知｜a｜=2,|b|=,a與b的夾角為45°,則使λb—a與a垂直的λ=____________.3.在等邊△ABC中，=a,=b,=c,且｜a|=1,則a·b+b·c+c·a=__________.4。已知三個(gè)向量=（k,12），=(4，5）,=(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線,則k=__________。5。如圖16所示,已知矩形ABCD，AC是對(duì)角線，E是AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作MN交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N,試運(yùn)用向量知識(shí)證明AM=CN.圖166.已知四邊形ABCD滿(mǎn)足｜｜2+｜｜2=｜｜2+|｜2,M為對(duì)角線AC的中點(diǎn)。求證:|｜=｜｜。7.求證:如果一個(gè)角的兩邊平行于另一個(gè)角的兩邊,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。參考答案:1。22.23.—4?！?或115.證明：建立如圖17所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)BC=a，BA=b,則C（a，0）,A(0，b),E（）。圖17又設(shè)M（x2，b），N(x1，0）,則=(x2,0),=（x1—a,0)?！摺?=（—x2,—）,=(x1-,—）,∴（—x2)×（-)—(x1—)×（—）=0.∴x2=a-x1.∴||==|x2｜=|a-x1｜=｜x1-a|.而｜｜==|x1-a|,∴｜｜=||,即AM=CN.6.證明：設(shè)=a，=b，=c,=d，∵a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d)。∴a2+b2+2a·b=c2+d2+2c·∵|｜2+|｜2=||2+｜|2,∴a2+b2=（-d）2+(—c)2=c2+d2。②由①②，得a·b=c·d.圖18∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，如圖18所示，則=（d—c），=（b-a）。∴|｜2=2=(b2+a2—2a·b）,｜｜2=2=(d2+c2—2c·d）.∴｜｜2=|｜2。∴||=｜｜.7。解:已知OA∥O′A′,OB∥O′B′.求證：∠AOB=∠A′O′B′或∠AOB+∠A′O′B′=π。證明:∵OA∥O′A′,OB∥O′B′,∴=λ(λ∈R，λ≠0)，=μ(μ∈R,μ≠0）?！郼os∠AOB=，cos∠A′O′B′=當(dāng)與，與均同向或反向時(shí),取正號(hào),即cos∠AOB=cos∠A′O′B′?！摺螦OB,∠A′O′B′∈(0,π）,∴∠AOB=∠A′O′B′.當(dāng)與，與只有一個(gè)反向時(shí)，取負(fù)號(hào)，即cos∠AOB=