中職教育-數(shù)學(基礎(chǔ)模塊)下冊課件：第七章-平面向量.課件

數(shù)學（基礎(chǔ)模塊）下冊第七章平面向量平面向量是一種既有大小、又有方向的量，它的應用非常廣泛．例如，汽車從A點出發(fā)向東行駛3km到達B點，再向南行駛4km到達C點，如圖所示．此時若要描述汽車與A點的位置關(guān)系，不僅需要給出汽車與A點之間的距離，還需要指明汽車相對A點的方向．這就需要大家了解平面向量的知識．7.1平面向量的概念7.2平面向量的線性運算7.3平面向量的坐標表示7.4平面向量的內(nèi)積7.1平面向量的概念標量是指只有大小、沒有方向的量，如長度、質(zhì)量、溫度、面積等；向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．規(guī)定：模為0的向量稱為零向量，記作0，零向量的方向是任意的．模為1的向量稱為單位向量．如圖所示，規(guī)定了起點和終點的線段稱為有向線段，記作，其箭頭由A指向B，A稱為起點，B稱為終點．向量的大小稱為向量的模，記作．例題解析例1

一輛汽車從A處向正北方向行駛100m，另一輛汽車從A處向正東方向行駛100m，請問兩輛汽車的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩輛汽車的位移．解

位移是向量，它包括大小和方向兩個要素．本題中，雖然這兩個向量的模相等，但它們的方向不同，所以，兩輛汽車的位移不相同．如圖所示為用有向線段表示兩輛汽車的位移．規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．方向相同或相反的兩個非零向量稱為平行向量．向量a與b平行記作．如圖所示，向量平行，任意作一條與向量a所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，則可在l上分別作出，．也就是說，任意一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此，平行向量又稱為共線向量．規(guī)定：零向量的負向量仍為零向量．例題解析例2

在圖所示向量中，找出：（1）平行向量；

（2）模相等的向量；（3）相等向量；

（4）互為負向量的向量．解

（1）平行向量為

．（2）模相等的向量為

．（3）相等向量為

．（4）互為負向量的向量為

．7.2平面向量的線性運算7.2.1平面向量的加法如右圖所示，一人從A點出發(fā)，走到B點，又從B點走到C點，則他的最終位移可以看作是位移與的和．如右圖所示，已知向量a與b，在平面內(nèi)任取一點O，作，

，則向量稱為向量a與b的和，記作，即根據(jù)三角形法則進行向量a與b的加法運算，其結(jié)果仍然是向量，稱為a與b的和向量．和向量的起點是向量a的起點，終點是向量b的終點．求向量和的運算稱為向量的加法．上述求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則．例題解析例1如圖所示，已知向量，分別作出向量．（a）

（b）

（c）解

在平面內(nèi)任取一點O，作，，則，如圖所示．（a）

（b）

（c）如圖所示，ABCD為平行四邊形，由于，則根據(jù)三角形法則可得可以看出，在平行四邊形ABCD中，所表示的向量即為與的和．這種求和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則．平行四邊形法則不適用于共線向量．向量的加法具有以下性質(zhì)：例題解析例2一艘船以4km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，已知河水的水流速度為3km/h，求該船的實際航行速度．解

如圖所示，設(shè)表示船向垂直于對岸方向行駛的速度，表示水流的速度．由向量加法的平行四邊形法則可知，就是船的實際航行速度．根據(jù)題意可得因為所以故船的實際航行速度大小為5km/h，方向與水流方向的夾角約為53°．7.2.2平面向量的減法向量a加上向量b的負向量稱為向量a與b的差，記作，即求向量差的運算稱為向量的減法．如圖所示，已知向量a與b，在平面內(nèi)任取一點O，作，則向量即為向量a與b的差，即起點相同的兩個向量a與b，其差仍然是一個向量，稱為a與b的差向量．差向量的起點是向量b的終點，終點是向量a的終點．例題解析例3如圖（a）所示，已知向量c與d，求作差向量．（a）

（b）解

如圖（b）所示，在平面內(nèi)任取一點O，作，則例4

如圖所示，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD交于點O，且，試用a和b表示向量．解

7.2.3平面向量的數(shù)乘運算如圖所示，已知非零向量a，和，可以看出，向量a與向量，共線，且．一般地，實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的模為當時，λa的方向與a的方向相同；當時，λa的方向與a的方向相反；當時，．數(shù)與向量相乘的運算稱為向量的數(shù)乘運算．可以驗證，對于任意向量及任意實數(shù)，向量的數(shù)乘運算滿足如下法則：例題解析例5如圖所示，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線交于點O，若，試用a和b表示向量．解

因為所以因為所以例6計算下列各式．（1）

；（2）

；（3）

．解（1）

．（2）

．（3）我們將稱為的一個線性組合（均為系數(shù)）．如果

，則稱l可以用線性表示．向量的加法、減法、數(shù)乘運算都稱為向量的線性運算．例5中，等都稱為向量線性組合，或者說，等可以用向量線性表示．7.3平面向量的坐標表示7.3.1平面向量的直角坐標在平面直角坐標系中，每一個平面向量也都可以用一對實數(shù)來表示．例題解析解

它們的坐標分別為因為所以它的坐標為解7.3.2向量線性運算的坐標表示所以類似可得例題解析解即于是消去λ，得所以，7.3.3共線向量的坐標表