人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 數(shù)列 章末測試卷A（含答案）

第四章數(shù)列章末測試卷（A）【原卷版】

［時間：120分鐘滿分：150分］

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.等差數(shù)列｛?,｝：f，0,小，…的第15項(xiàng)為（）

A.11^2B.12^2

C.13^2D.14/

2.公比為2的等比數(shù)列｛詼｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且。361=16,則/=（）

A.1B.2

C.4D.8

3.等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若52=2,S4=10,則羽=()

A.12B.18

C.24D.42

4.若等差數(shù)列｛?！埃凉M足且03+04+45+06=8,則a2a7的最大值為（）

A.4B.6

C.8D.10

5.《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問

題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，

下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)、第3節(jié)、第

8節(jié)竹子的容積之和為（）

a-￥升7

B.2升

嚙升c109中

D后升

6.已知等比數(shù)列｛.”｝的前n項(xiàng)和為S”若S2n=4（ai+a3H---卜。2nT）‘的?口?俏=27,則

。6=（）

A.27B.81

C.243D.729

7.數(shù)列｛斯｝中,01=1,對所有“22,都有的“2俏…斯=〃2,則的+。5=（）

?61

A16B-V

C空

c16D-15

8.小李年初向銀行貸款加萬元用于購房，購房貸款的年利率為p,按復(fù)利計(jì)算，并從借款

后次年年初開始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，則每年應(yīng)還（）

A.■萬元Mp(1+p)i°

B.,萬元

(1+p)10-l

p（1+p）J_Mp（1+p）;_

C-10萬兀C（1+p）9_［萬兀

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）

9.下列命題不正確的是（）

A.若數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和為S"=/+2〃―1,則數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列

B.若等差數(shù)列｛斯｝的公差d>0,則｛詼｝是遞增數(shù)列

C.常數(shù)列｛期｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

D.若等比數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，則｛斯｝的公比q<l

10.將等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和記為S”若0>0,S1O=S2O，貝女）

A.d<0

B.?i6<0

C.S.WS15

D.當(dāng)且僅當(dāng)〃》32時，S?<0

11.設(shè)數(shù)列｛?！ǎ那啊?xiàng)和為已知a=2%—1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.S2=2

B.數(shù)列｛以｝為等比數(shù)列

C.斯=2〃

D.若g------\------,則數(shù)列｛父｝的前10項(xiàng)和為當(dāng)

10g2〃〃+110g2斯+211

12.設(shè)工是數(shù)列｛念｝的前〃項(xiàng)和，且〃1=—1,an+i=SnSn+^貝1J（）

A.(In一_1

-1,n=l,

B.an=\11、

---r-,n22,

[〃-1n

c.數(shù)列強(qiáng)為等差數(shù)列

Lx.0?O'1ct5050

31023100

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）

13.已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，若〃1+的=5,〃2+。4=10，則公比q=.

14.（2019?江蘇）已知數(shù)列｛〃〃｝（〃￡N*）是等差數(shù)列，是其前〃項(xiàng)和.若〃2。5+〃8=0,園=27,

則S8的值是.

15.已知數(shù)列｛跖｝,若點(diǎn)（〃，a“）（〃GN*）在直線y—3=灰無一6）上，則數(shù)列｛斯｝的前11項(xiàng)和S”

16.已知數(shù)列｛斯｝滿足勿=33,斯+i一斯=2小則岸的最小值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（10分）在等比數(shù)列｛%｝中，已知的=2,04=16.

（1）求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式；

（2）若。3,恁分別為等差數(shù)列｛兒｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和

Sn.

18.（12分）在新城大道一側(cè)A處，運(yùn)來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每

隔10m栽一棵樹苗，這名工人每次只能運(yùn)一棵.要栽完這20棵樹苗，并返回A處，植樹

工人共走了多少路程？

19.（12分）已知｛詼｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,滿足內(nèi)=12,.是

否存在正整數(shù)左，使得&>2020?若存在，求左的最小值；若不存在，說明理由.

從①4=2；②q=；；③q=一2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

20.（12分）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛詼｝的首項(xiàng)前w項(xiàng)和為S,，且2i°S30—（2i°+l）S2o+Sio=

0.

（1）求｛詼｝的通項(xiàng)公式；

⑵求｛“SJ的前”項(xiàng)和Tn.

21.（12分）已知數(shù)列｛詼｝的首項(xiàng)ai=|,且3斯+i=a〃+2,"GN*.

（1）求證：數(shù)歹也斯一1｝為等比數(shù)列；

（2）若2H-----^斯<100,求最大的正整數(shù)n.

22.（12分）由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列｛詼｝滿足〃3=5,41〃2=2。4.

（1）求數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛勿｝的通項(xiàng)公式為幻=2〃，將數(shù)列｛斯｝，｛為｝的所有項(xiàng)按照“當(dāng)〃為奇數(shù)時，仇放

在前面；當(dāng)〃為偶數(shù)時，〃〃放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個新數(shù)列｛品｝:bi，

a\,。2,bi,b3,俏，〃4,匕4,…,求數(shù)列｛金｝的前4〃+3項(xiàng)和A〃+3.

第四章數(shù)列章末測試卷(A)【解析版】

[時間：120分鐘滿分：150分]

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.等差數(shù)列｛斯｝:一叵0,嫄，…的第15項(xiàng)為()

A.11^2B.12^2

C.13^2D.14也

答案C

解析；ai=一也,d=y[2,

==

an-y[2~\-(n—l)y.y[2y[2n—2^/2.

.?.4/15=15^2-2^2=13^2.

2.公比為2的等比數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，且的411=16,則45=()

A.1B.2

C.4D.8

答案A

解析因?yàn)椤?ali=曲2=16,又?jǐn)?shù)列｛劣｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以解得。7=4,由47=45?2?=

4〃5,得“5=1.故選A.

3.等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為當(dāng),若S=2,54=10,則孔=()

A.12B.18

C.24D.42

答案C

12oi+d=2,13

解析方法一：設(shè)數(shù)列｛斯｝的公差為d,由題意得,一解得。尸.則S6=

[4〃i+6d=10,42

6〃i+15d=24.

方法二：$2,SLS?,S6—S4也成等差數(shù)列，則2(S4—32)=86—84+82,所以S6=3S4—3512=

24.故選C.

4.若等差數(shù)列｛斯｝滿足斯＞0,且+04+05+%=8,則〃2〃7的最大值為()

A.4B.6

C.8D.10

答案A

解析已知等差數(shù)列｛〃〃｝滿足斯＞0,且〃3+44+45+46=2(02+07)=8,所以。2+〃7=4.

又因?yàn)橛?a7227a2a7,所以“247^4,當(dāng)且僅當(dāng)〃2=。7=2時，等號成立.故選A.

5.《九章算術(shù)》是我國古代的一部數(shù)學(xué)專著，全書收集了246個問題及其解法，其中一個問

題為“現(xiàn)有一根九節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面四節(jié)容積之和為3升，

下面三節(jié)的容積之和為4升，求中間兩節(jié)的容積各為多少？”該問題中第2節(jié)、第3節(jié)、第

8節(jié)竹子的容積之和為()

177

A.不升B.1升

C?茄升升

答案A

々2+03+04=3,

解析設(shè)自上而下各節(jié)竹子的容積依次為〃2,…，。9,依題意有,,因

十〃8十。9=4,

、、3417、

為〃2+。3=〃1+。4,。7+。9=2。8,所以。2+〃3+〃8=]+^=石".故選人.

6.6知等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S2〃=4(〃I+。3T-----卜。2〃T)，s?口?的=27,則

。6=()

A.27B.81

C.243D.729

答案C

解析:?數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，.??〃1。2。3=〃23=27,.?.。2=3.

又?S2=4〃I,??。1+。2=4。1,??3。1=。2,=

即公比4=3,首項(xiàng)〃1=1,

ae=ai?夕6-1=1X35=35=243.故選C.

7.數(shù)列｛斯｝中,ai=l,對所有九22,都有…斯=/，則〃3+。5=()

61「25

AA-16BT

C竺D衛(wèi)

J6u，15

答案A

刀n29

解析…斯=〃2,則…%-1="23,?二斯=(〃_])2,，力二不

25.61,,、生

“5=諱，?.〃3+。5=布.故選A.

8.小李年初向銀行貸款M萬元用于購房，購房貸款的年利率為p,按復(fù)利計(jì)算，并從借款

后次年年初開始?xì)w還，分10次等額還清，每年1次，則每年應(yīng)還()

、Mp_?Mp(1+p)10^

A.記萬兀B.(]+p)io_]萬兀

p（1+p）1°__Mp（1+p）;_

C-10萬兀D.（］+p）9—i萬兀

答案B

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分）

9.下列命題不正確的是（）

A.若數(shù)列｛詼｝的前w項(xiàng)和為S“=/+2〃―1,則數(shù)列｛詼｝是等差數(shù)列

B.若等差數(shù)列｛斯｝的公差d>0,則｛詼｝是遞增數(shù)列

C.常數(shù)列｛詼｝既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列

D.若等比數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，則｛④｝的公比q<l

答案ACD

解析對于A,等差數(shù)列｛斯｝的前幾項(xiàng)和a=4〃2+8小故錯誤；對于B,若內(nèi)0,則引+1>斯，

故正確；對于C,當(dāng)詼=0時，該常數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；對于D,若等比數(shù)列｛斯｝

是遞增數(shù)列，則當(dāng)0>0時，q>l,故錯誤.故選ACD.

10.將等差數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和記為S”若。1>0,S1O=S2O，貝1（）

A.d<0

B.。16<0

C.S〃WSi5

D.當(dāng)且僅當(dāng)〃232時，Sn<0

答案ABC

解析由題意得，Sio=S2o,則au-\-an~\----H〃2o=O,即〃i5+"i6=0,也即2〃i+29d=0（d

為公差），因?yàn)榈?gt;0,所以d<0,所以。i6<0,&WS15.所以A、B、C正確.由于512〃=〃（斯+

斯+1）,&n-l=（2n—l）?n,故S30=15（〃15+〃16）=0,S31=31?16<0,所以D不正確.

11.設(shè)數(shù)列｛為｝的前幾項(xiàng)和為S〃，已知&=2斯一1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.S2=2

B.數(shù)列｛“〃｝為等比數(shù)列

n

C.an=2

D.若b”=;-------------,則數(shù)列｛b｝的前10項(xiàng)和為當(dāng)

10g2斯+110g2斯+211

答案BD

解析因?yàn)楣?2為一1,①

所以當(dāng)〃=1時，。1=51=2的一1,得〃1=1；

當(dāng)時，S〃T=2念-1—1,②

=

①②兩式相減得an2an~2an-if

a

所以，n=2(G2),

a八一i

所以數(shù)列｛斯｝是以?i=l為首項(xiàng)，q=2為公比的等比數(shù)歹I.

所以a“=aig"-i=lX2"-i=2"-i,。2=2,

所以必=3,所以A、C錯誤，B正確；

因?yàn)閘og2a,i+ilog2a?+2〃(〃+1)n〃+]'

設(shè)乙為｛兒｝的前〃項(xiàng)和，則Tio=0—0+(1—3)"^故D正確.故選BD.

12.設(shè)工是數(shù)列｛詼｝的前幾項(xiàng)和，且的=-1,an+i=SnSn+i,貝U（）

_1

A.斯一_2?-1

—1,〃=1,

B.言V，心2,〃GN*

數(shù)列強(qiáng)為等差數(shù)列

C.

5050

答案BCD

解析由S,是數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和，且。i=-1,a"+i=SS+i,

得S,+i—S"=S〃S”+i,又ai=-1,，Si=ai=-4,從而出一Si=SiS2,即S?+l=—S,得

S2=一；.S1S2WO,從而S”S“+1￥O,s〃=i,整理得?——9=—1（常數(shù)），所以數(shù)

列［5,是以上=—i為首項(xiàng)，―1為公差的等差數(shù)列，故C正確;

所以8=T—d)=f所以1(1+2+3+…+1。0)=—5050,故D

正確；由==—"得&=-5所以當(dāng)時，斯=%—出—尸言—首項(xiàng)不符合此式），故

—1,n=l,

斯=111j、遙故B正確，A錯誤.故選BCD.

［二廠］G2,,

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上）

13.已知數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，若〃1+俏=5,42+。4=10，則公比9=.

答案2

解析因?yàn)閿?shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，且。1+。3=5,42+。4=10,所以由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可

得。2+〃4=（。1+〃3）q,即10=5q,??q=2.

14.（2019?江蘇）已知數(shù)列｛斯｝（〃￡N*）是等差數(shù)列，S〃是其前〃項(xiàng)和.若〃2〃5+〃8=0,S9=27,

則S8的值是.

答案16

解析方法一：設(shè)等差數(shù)列｛。八｝的公差為d,則〃2。5+〃8=(。1+⑨(〃1+46/)+〃1+7"=〃12+4法

+5〃M+QI+7d=0,59=941+361=27,將以上兩式聯(lián)立，解得。i=—5,d=2,則S8=8〃I

+28d=—40+56=16.

方法二：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d.由S9=^2—~—=9(15=27,得。5=3,又。2。5+〃8=

0,貝|3(3—3<i)+3+3d=0,得d=2,a^—1,貝ISs=~=4(〃4+〃5)=4X(l+3)=

16.

15.已知數(shù)列｛斯｝,若點(diǎn)(九，Q“)(〃￡N*)在直線y—3=4]—6)上，則數(shù)列｛斯｝的前11項(xiàng)和Su

答案33

解析,??點(diǎn)(〃，念)在直線y—3=k(x—6)上，an=3-\-k(n—6).

.??〃〃+〃12-〃=[3+%(h-6)]+[3+女(6—〃)]=6,n—1,2,3,…，6,

Su=〃i+〃2+…=5(〃1+〃11)+。6=5X6+3=33.

16.已知數(shù)列｛詼｝滿足勿=33,?！?1—斯=2小則岸的最小值為.

答案f21

解析在詼+1—中，令〃=1,得〃2—。1=2；令〃=2,得俏一42=4,an~an-\

=2(〃—1).

把上面n~1個式子相加，得斯-QI=2+4+6H---卜2("―1)=(2+2〃__?_9!_12-=/

—〃，???斯=/—〃+33.，也—'+3'=。+衛(wèi)一122^/5§-1,當(dāng)且僅當(dāng)〃=衛(wèi)，即〃=^55

時取等號，而〃￡N*,"取不到.*.,5<^33<6,「?當(dāng)〃=5時，牛=5—1+苧=?，

業(yè)(R?！?_i_336321..5321.斯協(xié)曰爪估曰21

當(dāng)九=6時，丁=6—I+W=W=E，,行">5~，??]■的取小值是爹.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(10分)在等比數(shù)列｛斯｝中，已知。1=2,4/4=16.

(1)求數(shù)列｛念｝的通項(xiàng)公式；

(2)若。3,。5分別為等差數(shù)列｛瓦｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和

Sn.

解析(1)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的公比為必由已知得16=27,

解得9=2,所以詼=2*2『1=2〃，幾￡N*.

(2)由(1)得的=8,。5=32,

則%=8,65=32.

設(shè)數(shù)列｛為｝的公差為義

加+2d=8,

則有,

61+44=32,

|Z?i=-16,

解得]d=12,

所以6"=-16+12(〃-1)=12"—28,“GN*.

所以數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和

n(-16+12M-28)

Sn=Q—6n2—22n,wGN*.

18.(12分)在新城大道一側(cè)A處，運(yùn)來20棵新樹苗.一名工人從A處起沿大道一側(cè)路邊每

隔10m栽一棵樹苗，這名工人每次只能運(yùn)一棵.要栽完這20棵樹苗，并返回A處，植樹

工人共走了多少路程？

解析植樹工人每種一棵樹并返回A處所要走的路程(單位：m)組成了一個數(shù)列0,20,40,

60,…，380,

這是首項(xiàng)ai=0,公差d=20,項(xiàng)數(shù)〃=20的等差數(shù)列，其和S2o=2Oai+”上粵二

,20X(20-1)

0+---------z--------X20=3800(m).

因此，植樹工人共走了3800m的路程.

19.(12分)已知｛Z｝是公比為q的無窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn,滿足的=12,.是

否存在正整數(shù)匕使得&>2020?若存在，求上的最小值；若不存在，說明理由.

從①q=2；②③q=—2這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在上面問題中并作答.

注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答評分.解析若選①,

因?yàn)锽=12,4=2,所以ai=3.

”,3(1-2")

所以S“=———=3(2"—1).

1—2

SP2020,即3(2人-1)>2020,即2*>2詈.

當(dāng)上=9時，29=512<￡2y023^,當(dāng)％=10時，21°=1024>匕20=23」,

所以存在正整數(shù)鼠使得品>2020,%的最小值為10.

若選②，

因?yàn)榍?12,所以四=48.

因?yàn)镾?<96<2020,

所以不存在滿足條件的正整數(shù)發(fā).

若選③，

因?yàn)榈?12,q——2,所以的=3.

匕“，3X[1-(-2)”]

所以Sn=一；_(_。)_i=l-(-2)".

&>2020,即1一(一2)冬2020,整理得(-2)%-2019.

當(dāng)女為偶數(shù)時，原不等式無解；

當(dāng)人為奇數(shù)時，原不等式等價于2%2019,

當(dāng)％=9時，29=512<2019,當(dāng)笈=9時,2n=2048>2019,

所以存在正整數(shù)左，使得S*>2020,上的最小值為11.

20.(12分)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)3=當(dāng)前w項(xiàng)和為S”且21%—(2i°+l)S2o+Sio

0.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛“SJ的前”項(xiàng)和T?.

1O1O

解析(1)設(shè)數(shù)列｛?,｝的公比為/由2S3O-(2+1)S2O+SIO=O,得2i°(S3o—S2o)=S2o—SIO.

VSio,S20—Sio,S30—S20成等比數(shù)列，

.包二包=小=田

**520—S10①.

?。八>0,??夕=],??〃〃=4iq"1=2〃(九tN*).

⑵：｛詼｝是首項(xiàng)為=/公比q=3的等比數(shù)列，

??Sn一]一1--2〃'TI2〃.

1-2

則數(shù)列｛“S"｝的前“項(xiàng)和為

G=(1+2H------^青,①

則與=/l+2HM—修+養(yǎng)J+消7)，②

①一②，得

y=1(l+