2023-2024學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)：期末壓軸題分類1（必刷60題15種題型專項訓(xùn)練）解析版

期末壓軸專題分類01(必刷60題15種題型專項訓(xùn)練)

一.解一元二次方程-因式分解法(共1小題)

1.對于實數(shù)a,b,定義運算“*”：a"ab(a>b).例如4*2,因為4>2,所以4*2=4?-4X2

、ab-b2(a<b).

=8.若xi,X2是一元二次方程/-5x+6=0的兩個根，則xi*x2=3或-3.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：；xi,%2是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個根，

(x-3)(x-2)=0,

解得：x=3或2,

①當xi=3,尤2=2時，XI*X2=32-3X2=3；

②當xi=2,X2=3時，XI*X2=3X2-32=-3.

故答案為：3或-3.

二.根與系數(shù)的關(guān)系(共1小題)

2.設(shè)a,B是方程d+gx+ln。的兩根，則(a2+2009a+l)(p2+2009p+l)的值是()

A.0B.1C.2000D.4000000

【答案】D

【解答】解：：a,0是方程？+9x+l=0的兩個實數(shù)根，

；.a+B=-9,a?0=l.

(a2+2009a+l)(伊+20090+1)

=(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)

又0是方程/+9x+l=0的兩個實數(shù)根，

a2+9a+1=0,p2+9p+l=0.

(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)

=2000a-2000p

=2000X2000a。，

而a邛=1,

(a2+9a+l+2000a)(p2+9p+1+2000p)=4000000.

故選：D.

三.一元二次方程的應(yīng)用(共3小題)

3.如圖，A、B、C、。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點P、。分別從點A、C同時出發(fā),

點P以3cmk的速度向點B移動，一直到達B為止，點。以2cm/s的速度向D移動.

（1）尸、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形PBCQ的面積為33c??；

（2）P、Q兩點從出發(fā)開始到幾秒時，點尸和點。的距離是10C7W.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)P、。兩點從出發(fā)開始到x秒時四邊形PBC。的面積為33C77?,

則PB=（16-3x）cm,QC=2xcm,

根據(jù)梯形的面積公式得工（16-3x+2x）X6=33,

2

解之得x=5,

（2）設(shè)P,。兩點從出發(fā)經(jīng)過f秒時，點尸，。間的距離是10cm,

作垂足為E,

則。E=A￡>=6,PQ^10,

\'PA=3t,CQ=BE=2t,

：.PE=AB-AP-BE=\16-5?|,

由勾股定理,得（16-5/）2+62=102,

解得〃=4.8,Z2=1.6.

答：（1）尸、。兩點從出發(fā)開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cHi2；

（2）從出發(fā)到1.6秒或4.8秒時，點P和點。的距離是10a”.

B

2

4.閱讀下列材料：求函數(shù)y二,X+2x-的最大值.

x2+x+0.25

解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得(y-3)x2+(y-2)x4y二&

為實數(shù)，???△=(y-2)2-4(y-3)x]y=7+420，因此，y的最大值為4.

2

根據(jù)材料給你的啟示，求函數(shù)y=3：+x+2的最小值.

X2+2X+1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成x的一元二次方程，得(y-3)?+(2y-l)x+y-2=0,

為實數(shù)，

(2y-1)2-4(y-3)(y-2)=16y-23N0,

16

因此y的最小值為23.

16

5.某商場禮品柜臺元旦期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元.為了

盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商

場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價尤元，現(xiàn)在的利潤是(0.3-x)元，則商城多售出100x+01=100Qx張.

(0.3-%)(500+1000%)=120,

解得處=-0.3(降價不能為負數(shù)，不合題意，舍去)，%2=0.1.

答：每張賀年卡應(yīng)降價0」元.

四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義(共1小題)

6.如圖，兩個反比例函數(shù)y=2和y=」在第一象限的圖象如圖所示，當P在y=2的圖象上，PCJ_x軸于

XXX

點C,交＞=上的圖象于點A,PDLy軸于點。，交的圖象于點3,則四邊形P4O2的面積為1.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：由于P點在y=2上，則SOPCOD=2,A、8兩點在>=工上,

XX

貝1sADBO=SAACO=工X1=.

22

?*.S四邊形R4OB=S口PC。。-S&DBO-S^ACO=1---A=l.

22

四邊形PAOB的面積為1.

故答案為：1.

五.反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征(共3小題)

7.如圖，△ABC的三個頂點分別為A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函數(shù)y=K在第一象限內(nèi)的圖象與

△ABC有交點，則上的取值范圍是(

C.2WkW6D.2WZ至

2

【答案】A

【解答】解：反比例函數(shù)和三角形有交點的第一個臨界點是交點為A,

.過點A(1,2)的反比例函數(shù)解析式為y=2,

.?.欄2.

隨著々值的增大，反比例函數(shù)的圖象必須和線段BC有交點才能滿足題意,

經(jīng)過2(2,5),C(6,1)的直線解析式為丫=-x+1,

y=-x+7

<k，得7-7x+左=0

y=—

X

根據(jù)△》（），得kW尊

4

綜上可知2WAW尊.

4

故選：A.

8.如圖，點Ai,上依次在y=9叵（x>0）的圖象上，點81,均依次在x軸的正半軸上.若△4081,△

X

A2B1B2均為等邊三角形，則點B2的坐標為—（6心0）.

【解答】解：作4CLOB1,垂足為C,

?.?△4081為等邊三角形，

Z.ZAiOBi=60°,

A.C/-

/.tan60°=—--=73,

0C

?,.A1C=?OC,

設(shè)4的坐標為(m,

?..點4在y=9巨(尤＞0)的圖象上，

X

Am*A/3IT=9A/3?解得根=3,

???OC=3,

.?.031=6,

作A2O_LS52,垂足為D

設(shè)B\D=a,

則OD=6+mA2D={Qa,

.*.A2(6+〃,

VA2(6+mMa)在反比例函數(shù)的圖象上,

代入產(chǎn)生巨，得（6+。）??。=9?,

X

化簡得cr+6a-9=0

解得：a=-3+3V2.

'：a>Q,

.'.a--3+3

.".B1B2=-6+6A/2>

.,.OB2=OBI+BIB2=6A/^,

所以點22的坐標為（6加,0）.

9.如圖，若雙曲線>=區(qū)（％>0）與邊長為3的等邊△A08（O為坐標原點）的邊OA、AB分別交于C、D

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過點C作CELx軸于點E,過點。作。軸于點尸,

設(shè)OC=2x,則2￡>=尤，

在RtZXOCE中，ZC0￡=60°,

則0￡=尤，CE=V3X,

則點C坐標為（x,

在RtZkBOF中，BD=x,ZDBF=60°,

則BF=L,DF=^-X,

22

則點。的坐標為（3-lx,叵），

22

將點c的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：k=aw,

將點D的坐標代入反比例函數(shù)解析式可得：上=旦返x-返丁,

24

則百/=主應(yīng)X-近?，

24

解得：x\——,無2=0（舍去），

5

故k=Ma=36愿.

25

故答案為：毀巨.

六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題（共3小題）

10.如圖，動點P在函數(shù)y」（x〉o）的圖象上運動，軸于M,PNLy軸于N,線段PM、PN分

2x

別與直線AB：y=-x+l交于點E、F,則A>8E的值是（）

A.4B.2C.1D.A

2

【答案】c

【解答】解：作尸G,無軸，

的坐標為（。，」-）,且「N_LOB,PM1,OA,

2a

的坐標為（0,-M點的坐標為（a,0）,

2a

：.BN=1-工，

2a

在直角三角形BNF中，ZNBF=45

，三角形OAB是等腰直角三角形,

：.OB=OA=1,

:.NF=BN=\--L,

2a

，產(chǎn)點的坐標為（1-工，工）,

2a2a

同理可得出E點的坐標為（〃，1-41）,

22222

：.AF=(1-1+-L)+(上)2=_^,BE2=(a)+(-a)=2af

11.如圖，反比例函數(shù)y=-的圖象與直線y=L+b（b>0）交于A,8兩點（點A在點5右側(cè)），過點

x2

A作x軸的垂線，垂足為點C,連接AO,BO,圖中陰影部分的面積為12,則6的值為二

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：過2作8C0E于。，過A作AHLy軸于〃，設(shè)AC交。8于G,如圖:

設(shè)M為A8的中點，A(xi,yi),B(12,>2),

12

y=------

X

由，得/+26x+24=0,

y得x+b

.*.xi+x2=-2b,

yi+y2=(Li+。)+(AX2+Z?)=」(xi+x2)+2b=b,

222

AM(-b,A),

2

而直線y=_Lx+b(6>0)交于坐標軸于E、F,

2

；.E(-2b,0),F(0,b),

的中點為(-6,2)，即EF的中點也為M,

2

：.EM=FM,BM=AM,

：.EB=FA,

又NFAH=/BED,ZAHF=ZEDB,

.?.△EDB四△AHF(AAS),

：.AH=ED=OC,

,**(SAAGO+SAGCO)+(S^GCO+S四邊形GCDB)=上因+上因=12,

22

且圖中陰影部分的面積為12,

:?SABDE=2SAGCO

???_LED?BD=2X」oc?GC,

22

:?BD=2GC,

：.OD=2OC,即X2=2XI

設(shè)xi=m,貝IjX2=2m,

/.A(m,--A?.),B(2m,-A),

mm

將A(m,-衛(wèi)?)，B(2m,-A)代入y=1+。得:

mm2

[121

——=ym+bv

4，解得根=2/§(舍去)或加=-2J§,

6,

—=m+b

m

：.b=-lx(-2A/3)=3?,

-2V32

故答案為：3y.

12.如圖，A(-4,A),8(-1,2)是一次函數(shù)yi=Qx+/?與反比例函數(shù)”=旦圖象的兩個交點，AC±x

2x

軸于點C,軸于點。.

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當x取何值時，yi-”>0?

(2)求一次函數(shù)解析式及根的值；

(3)P是線段AB上一點，連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等，求點P的坐標.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當yi-*>0,

即：yi>y2,

...一次函數(shù)yi=tu+b的圖象在反比例函數(shù)”=旦圖象的上面,

x

VA(-4,A),B(-1,2)

2

當-4VxV-1時，yi-y2>0；

(2)??》2=典圖象過3(-1,2),

x

：.m=-1X2=-2,

?.,yi=ox+b過A(-4,A),8(-1,2),

2

,]fa」

??.「4a+b=5,解得J?

-a+b=2b=^"

，一次函數(shù)解析式為；y=L+互，

22

（3）設(shè)尸（M7,L〃+S）,過產(chǎn)作PALLx軸于Af,PN_Ly軸于N,

22

：.PM=l.m+^-,PN=-m,

22

'：APCA和△PDB面積相等，

即;yXy（m+4）=yxix（2^-m-y）,

乙乙乙乙乙

解得m=-立，

2

：.p（-5,5）.

24

七.反比例函數(shù)綜合題（共8小題）

13.如圖，點A是反比例函數(shù)y=」_在第二象限內(nèi)圖象上一點，點2是反比例函數(shù)y.在第一象限內(nèi)圖象

XX

上一點，直線A8與y軸交于點C,且AC=8C,連接OA、OB,則AAOB的面積是（）

--------------------------?

A.2B.2.5C.3D.3.5

【答案】C

一

【解答】解：分別過A、3兩點作軸，3ER軸，垂足為。、E

VAC=CB,

：?OD=OE,

設(shè)A（-〃，—則B（〃，A）,

aa

故SMOB=S梯形AOEB-S^AOD-SABOE=—（—+A）X2a--aX---aX9=3.

2aa2a2a

解法二：過A,8兩點作y軸的垂線，由AC=3C求兩個三角形全等，再求面積，

故選：C.

14.如圖，梯形A08C中，對角線交于點E,雙曲線（E>0）經(jīng)過A、E兩點，若AC：08=1：3,梯

形A08C面積為24,貝！H=()

:?CE：EO=1：3,AE：EB=1：3,

設(shè)△ACE的面積為S,則可得出△80E的面積為95,△AOE的面積為3S,△(?防的面積為3S,

又??,梯形AOBC面積為24,

???S+9s+3S+3S=24,

解得：s=l,

2

設(shè)△OAM的面積為a,則AOE尸的面積也為a,

故可得的面積=18-a,AEFB的面積=2工-a,

2

27__

從而可得S4BEF=(理)2,即上二=_t，

^AABM研I*?16

解得：a=^-,即SAAOM=S^OEF=^-,

77

故可得％=2X_§2=期.

77

故選：A.

15.如圖，反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,分別與A3、8c相交于點￡>、

E.若四邊形ODBE的面積為6,則k的值為2

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：設(shè)M點坐標為(a,b),則左=",即>=處，

x

點M為矩形OABC對角線的交點，

AA(2a,0),C(0,2b),B(2a,2b),

.,??D點的橫坐標為2a,E點的縱坐標為2b,

又?.?點。、點E在反比例函數(shù)y=3旦的圖象上，

X

?9?D點的縱坐標為E點的橫坐標為」〃，

22

,**S矩形OABC—SAOAD+SAOCE+S四邊形ODBE9

/.2。?2。=工?2。?2b?Atz+6，

2222

??〃Z?=2,

：.k=2.

故答案為2.

16.如圖，已知反比例函數(shù)(x<0)的圖象與直線尸反葉匕將于交于A(-1,6)、3(-6,M兩

x

點，直線AB交無軸于點點C是無軸正半軸上的一點，

(1)求反比例函數(shù)及直線AB的解析式；

(2)若S“BC=25,求點C的坐標；

(3)若點C的坐標為(1,0),點。為無軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點。和點

E,使得以點。、E、A、8為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請

說明理由.

y

【答案】⑴尸一2，產(chǎn)1+7；

x

(2)C(3,0)；

(3)存在.點E的坐標為(一生，7)或(-2,5)或(&，-5).

333

kk

【解答】解：(1)將A(-1,6)代入y=-L,得6=-1,

X-1

解得：ki=-6,

???反比例函數(shù)的解析式為：>=-2；

將5(-6,m)代入y=-―,

x

得m=l,

：.B(-6,1),

???直線丁=也什。經(jīng)過A(-1,6)>B(-6,1)兩點，

+

’6=-k2b

，

…l=-6k2+b

解得：『2=1,

lb=7

直線A8的解析式為：y=x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

:點C是無軸正半軸上的一點，

.?.設(shè)C(尤，0)(尤>0),

：.MC=x-(-7)=x+7,

?S/^ABC~S△AMC-S&BMC=25,

：.1MC<6-1)=25,即9(x+7)=25,

22

解得：尤=3；

.,.點C的坐標為（3,0）；

（3）若點C的坐標為（1,0）,點。為x軸上的一點，點E為直線AC上的一點，是否存在點。和點

E,使得以點。、E、A、8為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出E點的坐標；若不存在，請

說明理由.

（3）存在.點E的坐標為（一生，7）或（一2,5）或（2,-5）

333

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

則件-a+c,

[0=a+c

解得：卜=-3,

1c=3

直線AC的解析式為：y=-3x+3；

設(shè)。(t,0)、E(?,-3〃+3),

又A(-1,6)、2(-6,1),

當A3、DE為平行四邊形的對角線時，AB,的中點重合,

?f-l-6=t+n

16+l=-3n+3+0

f17

t=~

解得：，

4

n=T

,,E（-y.7）；

當A。、BE為平行四邊形的對角線時，AD.BE的中點重合,

.（t-l=n-6

16+0=-3n+3+l

f17

t=r

解得《：

,2

.下

E（?5）；

當AE、8。為平行四邊形的對角線時，AE.的中點重合,

n-l=t-6

0+l=-3n+3+6

23

t=T

解得：

嗔■

E(y，-5〉

綜上所述，點E的坐標為(-魚，7)或(-2,5)或(&，-5)-

333

17.己知：一次函數(shù)y=-2x+10的圖象與反比例函數(shù)y=K(4>0)的圖象相交于A,B兩點(A在2的右

x

側(cè)).

(1)當A(4,2)時，求反比例函數(shù)的解析式及2點的坐標；

(2)在(1)的條件下，反比例函數(shù)圖象的另一支上是否存在一點尸，使△叢8是以A8為直角邊的直角

三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)當4(a,-2A+10),B(6,-26+10)時，直線。4與此反比例函數(shù)圖象的另一支交于另一點C,

【解答】解：(1)把A(4,2)代入y=K,得24X2=8.

X

...反比例函數(shù)的解析式為>=&.

X

y=-2x+10

解方程組|8，得

y-

X

；.點,B的坐標為(1,8)；

(2)①若NBAP=90。，

過點A作AHLOE于X,設(shè)A尸與x軸的交點為M,如圖1,

對于y=-2x+10,

當y=0時，-2x+10=0,解得尤=5,

.,.點E（5,0）,OE=5.

'：A（4,2）,：.OH=4,AH=2,

,,.HE=5-4=1.

?：AH.LOE,；.NAHM=NAHE=90°.

又,

ZAME+ZAEM=90°,ZAME+ZMAH=90°,

：.ZMAH=ZAEM,

：.XAHMsMEHA,

?AH=MH

"EHAH'

?2=MH

*'T_2-，

：.M（0,0）,

可設(shè)直線AP的解析式為y=mx

則有4機=2,解得%="1,

2

...直線AP的解析式為

2

f_1

y節(jié)x

解方程組，c，得

8

y=-x

卜=4或卜“4,

1y=21y=-2

點P的坐標為（-4,-2）.

②若N4?P=90。，

同理可得：點尸的坐標為（-16,-A）.

2

綜上所述：符合條件的點尸的坐標為（-4,-2）、（-16,-1）；

2

（3）過點2作2sLy軸于S,過點C作CTUy軸于T,連接。2,如圖2,

則有BS〃CT,

：.4CTDs叢BSD,

???CD=CT?

BDBS

??-?-B-C—-，5

BD2

?CT=CD=3

BSBD2

VA(a,-2a+10),B("-26+10),

'.C(-a,2a-10),CT=a,BS=b,

.,.旦=3,BPb—^-a.

b23

「A(a,-2a+10),B<ib,-2b+10)都在反比例函數(shù)y=區(qū)的圖象上,

X

：.a(-2。+10)=b(-20+10),

.,.a(-2a+10)=—?(-2X^?+10).

33

,.”0,

-2a+10=Z(-2xZa+10),

33

解得：a=3.

AA(3,4),B(2,6),C(-3,-4).

設(shè)直線BC的解析式為y=px+q,

則有欠+口=6,

I_3p+q=_4

解得：］P=2,

|q=2

直線BC的解析式為y=2x+2.

當x=0時，y=2,則點Z)(0,2),OD=2,

S^COB=S^ODC+S^ODB

='OD?CT+LOD，BS

22

=AX2X3+AX2X2=5.

22

"：OA=OC,

SAAOB=S^COB,

S^ABC=2S/^COB=10.

18.如圖，直線y=3x與雙曲線y=K（左W0）交于A,8兩點，點A的坐標為（加，-3）,點C是雙曲線

2x

第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點。，且3c=2CD

（1）求左的值并直接寫出點B的坐標；

（2）點G是y軸上的動點，連接GB,GC,求GB+GC的最小值；

（3）尸是坐標軸上的點，。是平面內(nèi)一點，是否存在點P,Q,使得四邊形A5尸。是矩形？若存在，請

求出所有符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）將點A的坐標為（相，-3）代入直線y=3x中,

2

得-3=—m,

2

解得：m--2,

??A(-2,-3),

：.k=-2X(-3)=6,

反比例函數(shù)解析式為y=2,

.,.點8的坐標為(2,3)；

(2)如圖1,作BE,無軸于點￡,CFLx軸于點E

J.BE//CF,

:ADCFsADBE,

?DC=CF

"DBBE'

'：BC=2CD,BE=3,

-CD=2

"DB￥

.CF=1

"T5’

：.CF^1,

：.C(6,1),

作點8關(guān)于y軸的對稱點"，連接8'C交y軸于點G,

貝IJB'C即為BG+GC的最小值，

?:B'(-2,3),C(6,1),

2

:,B'C=yj(_2-6)+(3-i)2=2^17)

：.BG+GC=B'C=2A/17；

(3)存在.理由如下：

①當點尸在x軸上時，如圖2,設(shè)點P1的坐標為(a,0),

過點B作軸于點E,

,：ZOEB=ZOBPi=90a,ZBOE=ZP\OB,

.AOBEs^OPiB,

.OB=0E

"OP7OB"

'：B（2,3）,

JOB-J+32=V13，

.\<132

?------=-,

aV13

???〃Cl=加,

2

.?.點，的坐標為（堂，0）；

2

②當點尸在y軸上時，過點8作軸于點N,如圖2,

設(shè)點P2的坐標為（0,b）,

VZONB=ZP2BO=90°,ZBON=ZP2OB,

；.ABONS/\P2OB,

；OB=0N；BpV13=3

（

0P2OB,bV13

“區(qū)，

3

.,.點P2的坐標為（0,旦）；

3

綜上所述，點P的坐標為（區(qū)，0）或（0,11）.

19.如圖1,平面直角坐標系xOy中，A（4,3）,反比例函數(shù)y=K（左＞0）的圖象分別交矩形A30C的兩

X

邊AC,A3于E、F兩點（E、/不與A重合），沿著即將矩形ABOC折疊使A、。兩點重合.

（1）AE=4-（用含有人的代數(shù)式表示）；

3-

（2）如圖2,當點。恰好落在矩形A80C的對角線BC上時，求CE的長度；

3

（2）CE=2；

（3）所求。點坐標為（23,3）或（旦，3）.

8255

【解答】解：（1）四邊形A20C是矩形，且A（4,3）,

：.AC=4,OC=3,

?點E在反比例函數(shù)y=上上,

X

：.E（上，3）,

3

；.CE=區(qū)，

3

：.AE=4-K；

3

故答案為：4-K；

3

(2)如圖2,VA(4,3),

/.AC=4,A8=3,

???—AC=—4,

AB3

.,.點/在y=K上，

x

：.F(4,K),

4

.AE4~3-4

:.NAEM=/DEM,AE=DE,

：.NFED=ZCDE=NAEF=ZACB,

/.CE^DE=AE=1AC=2；

2

（3）過。點作OV_LAB,

①當BD=A￡）時，如圖3,有N4VD=90。，AN=BN=LB=3,

22

:./DAN+/ADN=90°,

VZDAN+ZAFM=90°,

ZADN=ZAFM,

：.tanNA￡W=tanZAFM^9=A,

AF3

?AN4

?二一■，

DN3

,:AN=3,

2

:.DN=2

8

：.D（4-2,2）,即。（23,A）；

8282

②當A3=A￡>=3時，如圖4,

在Rt^ADN中，tan/ADN=tan/AEW=3^=A,

AF3

?AN4

AD5

：.AN=^AD=^-x3=—.

555

:.BN=3-AN=3-

55

,:DN=3AN=3~x—=—>

4455

：.D(4-9,3),BPD(11,3)；

5555

③當AB=2r>時，

：.DF=AF,

：.DF+BF=AF+BF,即DF+BF=AB,

；.DF+BF=BD,

此時O、F、B三點共線且F點與B點重合，不符合題意舍去，

：.AB^BD,

綜上所述，所求。點坐標為(23,3)或(旦，1).

8255

20.在如圖平面直角坐標系中，矩形0ABe的頂點8的坐標為(4,2),04、0c分別落在無軸和y軸上,

。3是矩形的對角線.將△048繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在y軸上，得到△。?！?。。與CB相交于

點F反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象經(jīng)過點F,交A8于點G.

x

(1)求上的值和點G的坐標；

(2)連接尸G,則圖中是否存在與48尸G相似的三角形？若存在，請把它們一一找出來，并選其中一種

進行證明；若不存在，請說明理由；

(3)在線段上存在這樣的點P,使得△PPG是等腰三角形.請直接寫出點P的坐標.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1).??四邊形0ABe為矩形，點2的坐標為(4,2),

ZOCB=ZOAB=ZABC=90°,OC=AB=2,0A=BC=4,

：△OOE是△043旋轉(zhuǎn)得到的，即：AODE^AOAB,

ZCOF=ZAOB,：.△COps△AOB,

?,?CF一=OC,?,?—CF=2―,?,?r[J.,

ABOA24

點尸的坐標為（1,2）,

?.,y=K（尤＞0）的圖象經(jīng)過點凡

X

；.2=區(qū)，得k=2,

1

二?點G在A3上，

???點G的橫坐標為4,

對于y=2，當x=4,得y=-L,

x2

.?.點G的坐標為（4,1）；

2

（2）ACOFs△BFG；/\AOB^/\BFG；△ODEs^BFG；叢CBOS叢BFG.

下面對△OABS/^BFG進行證明：

,點G的坐標為（4,1）,：.AG=1,

22

'：BC=OA=4,CF=1,AB=2,

:.BF=BC-CF=3,

BG=AB-AG=W.

2

???A-O~--4,_膽__―--4?

BF3BG3_3

2

?AOAB

，，BF"BG，

VZOAB=ZFBG=90°,

：./\OAB^/\FBG.

（3）設(shè)點尸（m,0）,而點尸（1,2）、點G（4,1）,

2

貝ljFG2=9+9=至，PF2=Cm-1）?+4,PG2=（m-4）2+A,

444

當G/=P/時，即至=（m-1）2+4,解得：2±V29（舍去負值）；

42

當尸尸=PG時，同理可得：加=生;

當G尸=PG時，同理可得：m=4-VT1；

綜上，點尸的坐標為（4-JTL0）或（生，0）或（空叵，0）.

八.菱形的性質(zhì)（共3小題）

21.如圖，在菱形ABC。和菱形BE/G中，點A、B、E在同一直線上，P是線段。尸的中點，連接PG,

PC.若，則里=（）

返近

A.V2B.V3C.D.

【答案】B

【解答】解：如圖，

延長GP交DC于點H,

?..尸是線段。尸的中點，

：.FP=DP,

由題意可知DC//GF,

：.ZGFP=ZHDP,

'：ZGPF=ZHPD,

：./\GFP^/\HDP,

：.GP=HP,GF=HD,

???四邊形A8CO是菱形，

:.CD=CB,

：.CG=CH,

.?.△CHG是等腰三角形，

：.PGLPC,（三線合一）

又：/ABC=NBEF=60°,

...NGCP=60°,

22.如圖，已知邊長為4的菱形ABC。中，AC=BC,E,b分別為AB,A0邊上的動點，滿足連

接跖交AC于點G,CE、C尸分別交友）與點M,N,給出下列結(jié)論：?ZAFC=ZAGE；②AECF面

積的最小值為3?；③若A尸=2,則5M=MN=￡W；④若A尸=1,則E尸=3尸G；其中所有正確結(jié)論的

【解答】解：①:四邊形A3C0為菱形.

：.AB^BC=CD=AD.

9：AC=BC.

：.AC=BC=AC.

???△ABC為等邊三角形.

/.ZABC=ZBAC=ZACB=60°.

ZCAD=ZACD=ZADC=60°.

:?/ABD=NCBD=/ADB=/CDB=30°.

9

：AC=BCf/CAD=/CBA,AF=BE.

：.AACF^ABCE(SAS)

：.FC=EC,ZFCA=ZECB.

：.NFCE+/ACE=ZECB+ZACE.

：.ZFCE=ZACB=60°.

???△EC/為等邊三角形.

：.ZCEF=60°.

：.ZBEC+ZAEG=120°.

JZAGE=NBEC.

9：AACF^ABCE.

ZAFC=ZBEC.

：.ZAFC=AAGE.

故①正確.

②由①知，尸是等邊三角形.

???當CE最小時，△ECF的面積最小.

當CELLA3時，CE=4X近二2?.

2

...△C所面積的最小值為3?,

故②正確.

@'：AB=AD=4,當AF=BE=2時，

CF1AD,CELAB,DF=2.

VZABD^ZADB^30°,DF=BE=2.

3

VAB=AD=4,ZBAD=120°.

：.BD=4y[3.

:.MN=BD-DN-BM=^3-.

3

:.BM=MN=DN=.

3

故③正確.

@VZBAC=ZEFC=60°.

ZEGA=ZCGF.

：.4AEGs^FCG.

.GE=GC

"AE而，

同理：AACF?FCG.

?FC_AF

"CG"GF'

.GF_AF

'GF'AE'

：AF^1.

,.BE=1.

\AE=3.

AF1

AE3"

GF1

GE3"

\GE=3GF.

EF=GE+GF=4GF.

故④錯誤.

故答案為①②③.

23.二次函數(shù)＞=?7的圖象如圖，點。為坐標原點，點A在y軸的正半軸上，點8、C在二次函數(shù)y=

盜f的圖象上，四邊形OR4c為菱形，且NO8A=120°,則菱形08AC的面積為，近

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接8c交。4于。，如圖,

?..四邊形OBAC為菱形，

J.BCVOA,

"：ZOBA=120°,

：.ZOBD=60°,

:.OD=MBD,

設(shè)則

:,B（/,

把5（￡,V3r）代入丁=百一得?金=?人解得九=0（舍去），也=1,

：.BD=lfOD=M，

：.BC=2BD=2,OA=2OD=243>

，菱形OBAC的面積=」義2義2如=2?.

2

故答案為2?.

九.矩形的性質(zhì)（共3小題）

24.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AO=4,點尸在AO上，PELACE,PF_LBD于尸,則PE+尸產(chǎn)等

A.1B.12c.IlD.U

5555

【答案】B

【解答】解：連接OP,過。作DMLAC于M,

???四邊形ABC。是矩形，

:.AO=OC^1AC,OD=OB=LBD,AC=BD,ZADC=90°

22

：.OA=OD,

22=5)

由勾股定理得：AC=^3+4

V5AADC=AX3X4=AX5X￡)M,

22

R

S^AOD=S^APO+S/^DPO，

（AOXDM）=』（.AOXPE）+A（DO義PF）,

222

即PE+PF=DM=H,

5

故選：B.

25.如圖，一張矩形紙片沿A8對折，以A8中點。為頂點將平角五等分，并沿五等分的折線折疊，再沿C。

剪開，使展開后為正五角星（正五邊形對角線所構(gòu)成的圖形），則NOC。等于（）

+……MT小―仁

A.108°B.114°C.126°D.129°

【答案】