2022-2023學(xué)年高二物理舉一反三系列（人教版選擇性必修第二冊(cè)）專題1.5 帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（解析版）

專題1.5帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)【人教版】TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【題型1圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型2矩形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型3三角形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型4平行邊界磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型5半圓形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型6其他形狀的磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】 【題型1圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例1】如圖所示，水平虛線AA′和CC′間距為L(zhǎng)，中間存在著方向向右且與虛線平行的勻強(qiáng)電場(chǎng)，CC′的下側(cè)存在一半徑為R的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外(圖中未畫出)，圓形磁場(chǎng)與邊界CC′相切于點(diǎn)M。一質(zhì)量為m、帶電量為q(q>0)的粒子由電場(chǎng)上邊界AA′上的S點(diǎn)以初速度v0垂直射入電場(chǎng)，一段時(shí)間后從M點(diǎn)離開電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度大小為eq\r(2)v0，且其運(yùn)動(dòng)軌跡恰好過(guò)圓形磁場(chǎng)的圓心O。粒子所受重力忽略不計(jì)，求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；(2)圓形磁場(chǎng)區(qū)域磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。答案(1)eq\f(mveq\o\al(2,0),qL)(2)eq\f(2mv0,qR)解析(1)粒子在整個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所示。粒子在電場(chǎng)從S到M做類平拋運(yùn)動(dòng)，在垂直于電場(chǎng)方向t1＝eq\f(L,v0)粒子在M點(diǎn)沿著電場(chǎng)方向速度vx＝eq\r(（\r(2)v0）2－veq\o\al(2,0))＝v0所以粒子沿著電場(chǎng)方向的位移d＝eq\f(vx,2)×t1＝eq\f(L,2)粒子從S點(diǎn)到M點(diǎn)，由動(dòng)能定理qEd＝eq\f(1,2)m(eq\r(2)v0)2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得E＝eq\f(mveq\o\al(2,0),qL)(2)設(shè)粒子在M處的速度與電場(chǎng)方向夾角為θ，則sinθ＝eq\f(v0,\r(2)v0)解得θ＝45°所以三角形OO′M為等腰直角三角形，設(shè)帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。由幾何關(guān)系得r＝eq\f(\r(2),2)R由牛頓第二定律qB(eq\r(2)v0)＝meq\f(（\r(2)v0）2,r)解得B＝eq\f(2mv0,qR)【變式1-1】如圖，半徑為R的圓是一圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的橫截面(紙面)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向外。一電荷量為q(q＞0)、質(zhì)量為m的粒子沿平行于直徑ab的方向從c點(diǎn)射入磁場(chǎng)區(qū)域，射入點(diǎn)c與ab的距離為eq\f(\r(6)－\r(2),4)R，已知粒子射出磁場(chǎng)與射入磁場(chǎng)時(shí)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角為60°，則粒子的速率為（不計(jì)粒子重力，已知sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),4)）()A.eq\f(\r(2)qBR,2m) B.eq\f(\r(2)qBR,m)C.eq\f(\r(6)－\r(2)qBR,m) D.eq\f(2qBR,m)[解析]粒子帶正電，根據(jù)左手定則，判斷出粒子受到的洛倫茲力向右，軌跡如圖所示，由射入點(diǎn)c與ab的距離為eq\f(\r(6)－\r(2),4)R，可知∠cO1a＝15°，由速度的偏轉(zhuǎn)角為60°，可知∠cO2O1＝30°，在△cO2O1，由正弦定理得，軌跡半徑r＝eq\r(2)R，由Bqv＝eq\f(mv2,r)，解得v＝eq\f(\r(2)qBR,m)，B正確，A、C、D錯(cuò)誤。[答案]B【變式1-2】在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，存在一個(gè)半徑R＝0.2m的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝1.0T，方向垂直紙面向外，該磁場(chǎng)區(qū)域的右邊緣與y坐標(biāo)軸相切于原點(diǎn)O點(diǎn)。y軸右側(cè)存在一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿y軸正方向，電場(chǎng)區(qū)域?qū)挾萳＝0.1m?，F(xiàn)從坐標(biāo)為(－0.2m，－0.2m)的P點(diǎn)發(fā)射出質(zhì)量m＝2.0×10－9kg、帶電荷量q＝5.0×10－5C的帶正電粒子，沿y軸正方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，速度大小v0＝5.0×103m/s(粒子重力不計(jì))。(1)帶電粒子從坐標(biāo)為(0.1m,0.05m)的點(diǎn)射出電場(chǎng)，求該電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；(2)為了使該帶電粒子能從坐標(biāo)為(0.1m，－0.05m)的點(diǎn)回到電場(chǎng)，可在緊鄰電場(chǎng)的右側(cè)區(qū)域內(nèi)加勻強(qiáng)磁場(chǎng)，試求所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向。[解析](1)帶正電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有：qv0B＝meq\f(v02,r)可得：r＝eq\f(mv0,qB)＝0.20m＝R根據(jù)幾何關(guān)系可以知道，帶電粒子恰從O點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入電場(chǎng)，帶電粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子到達(dá)電場(chǎng)邊緣時(shí)，豎直方向的位移為y根據(jù)類平拋規(guī)律可得：l＝v0t，y＝eq\f(1,2)at2根據(jù)牛頓第二定律可得：Eq＝ma聯(lián)立可得：E＝eq\f(2mv02y,ql2)＝1.0×104N/C。(2)粒子飛離電場(chǎng)時(shí)，沿電場(chǎng)方向速度：vy＝at＝eq\f(qE,m)·eq\f(l,v0)＝5.0×103m/s＝v0粒子射出電場(chǎng)時(shí)速度大小v＝eq\r(2)v0，方向與x軸正方向夾角為45°偏向右上方根據(jù)左手定則可知所加磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子在B′區(qū)域磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)半徑r′＝eq\r(2)y根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB′＝meq\f(v2,r′)聯(lián)立可得所加勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B′＝eq\f(mv,qr′)＝4T。[答案](1)1.0×104N/C(2)4T，方向垂直紙面向外【變式1-3】真空中有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)邊界為兩個(gè)半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場(chǎng)的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場(chǎng)。已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為()A.eq\f(3mv,2ae) B.eq\f(mv,ae)C.eq\f(3mv,4ae) D.eq\f(3mv,5ae)答案C解析為使電子的運(yùn)動(dòng)被限制在圖中實(shí)線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，電子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑最大時(shí)軌跡如圖所示，設(shè)其軌跡半徑為r，圓心為M，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為B，由幾何關(guān)系有eq\r(r2＋a2)＋r＝3a，解得r＝eq\f(4,3)a，電子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有evB＝meq\f(v2,r)，解得B＝eq\f(3mv,4ae)，選項(xiàng)C正確?！绢}型2矩形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例2】(多選)空間存在方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圖中的正方形為其邊界。一細(xì)束由兩種粒子組成的粒子流沿垂直于磁場(chǎng)的方向從O點(diǎn)入射。這兩種粒子帶同種電荷，它們的電荷量、質(zhì)量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子。不計(jì)重力。下列說(shuō)法正確的是()A.入射速度不同的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間一定不同B.入射速度相同的粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡一定相同C.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同的粒子，其運(yùn)動(dòng)軌跡一定相同D.在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)的粒子，其軌跡所對(duì)的圓心角一定越大解析由T＝eq\f(2πm,qB)可知，粒子的運(yùn)動(dòng)周期與粒子的速度無(wú)關(guān)，若入射速度不同的粒子從左邊界飛出，則粒子的偏轉(zhuǎn)角相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，A、C錯(cuò)誤；由r＝eq\f(mv,qB)可知，入射速度相同的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡相同，B正確；由粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝eq\f(θ,2π)·T可知，D正確。答案BD【變式2-1】如圖，邊長(zhǎng)為l的正方形abcd內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面(abcd所在平面)向外。ab邊中點(diǎn)有一電子發(fā)射源O，可向磁場(chǎng)內(nèi)沿垂直于ab邊的方向發(fā)射電子。已知電子的比荷為k。則從a、d兩點(diǎn)射出的電子的速度大小分別為()A.eq\f(1,4)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl B.eq\f(1,4)kBl，eq\f(5,4)kBlC.eq\f(1,2)kBl，eq\f(\r(5),4)kBl D.eq\f(1,2)kBl，eq\f(5,4)kBl答案B解析若電子從a點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線①，ra＝eq\f(l,4)由qvaB＝meq\f(veq\o\al(2,a),ra)得va＝eq\f(qBra,m)＝eq\f(qBl,4m)＝eq\f(kBl,4)若電子從d點(diǎn)射出，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖線②，由幾何關(guān)系得req\o\al(2,d)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(rd－\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋l2，整理得rd＝eq\f(5,4)l由qvdB＝meq\f(veq\o\al(2,d),rd)得vd＝eq\f(qBrd,m)＝eq\f(5qBl,4m)＝eq\f(5kBl,4)，選項(xiàng)B正確?！咀兪?-2】如圖所示，ABCD為一正方形區(qū)域，一帶電粒子以速度v0從AB邊的中點(diǎn)O，沿紙面垂直于AB邊的方向射入。若該區(qū)域充滿平行于AB邊的勻強(qiáng)電場(chǎng)，該粒子經(jīng)時(shí)間t1以速度v1從C點(diǎn)射出；若該區(qū)域充滿垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該粒子經(jīng)時(shí)間t2以速度v2從D點(diǎn)射出，不計(jì)粒子重力，則()A．v1＞v2，t1＜t2 B．v1＞v2，t1＞t2C．v1＜v2，t1＜t2 D．v1＜v2，t1＞t2[解析]設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，當(dāng)區(qū)域內(nèi)為電場(chǎng)時(shí)，則粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行于AC方向?yàn)閯蛩僦本€運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1＝eq\f(L,v0)，垂直AC方向?yàn)閯蚣铀僦本€運(yùn)動(dòng)，有eq\f(1,2)vyt1＝eq\f(1,2)L，解得vy＝v0，所以v1＝eq\r(v02＋vy2)＝eq\r(2)v0，當(dāng)區(qū)域內(nèi)為磁場(chǎng)時(shí)，洛倫茲力不做功，則v2＝v0，設(shè)軌道半徑為r，則有r2＝L2＋解得r＝eq\f(5,4)L，根據(jù)qv0B＝eq\f(mv02,r)，解得B＝eq\f(4mv0,5qL)，所以軌道圓心角sinθ＝eq\f(L,\f(5,4)L)＝0.8，則θ＝53°，則t2＝eq\f(53°,360°)×eq\f(2πm,Bq)＝eq\f(53π,144)·eq\f(L,v0)，綜上v1＞v2，t1＜t2，A正確。[答案]A【變式2-3】如圖所示，垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在正方形abcd區(qū)域內(nèi)，O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)．一個(gè)帶正電的粒子僅在洛倫茲力的作用下，從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)．現(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形內(nèi)，那么下列說(shuō)法中正確的是()A．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(5,3)t0，則它一定從cd邊射出磁場(chǎng)B．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(2,3)t0，則它一定從ad邊射出磁場(chǎng)C．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是eq\f(5,4)t0，則它一定從bc邊射出磁場(chǎng)D．若該帶電粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)歷的時(shí)間是t0，則它一定從ab邊射出磁場(chǎng)答案AC解析如圖所示，作出剛好從ab邊射出的軌跡①、剛好從bc邊射出的軌跡②、從cd邊射出的軌跡③和剛好從ad邊射出的軌跡④.由從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t0后剛好從c點(diǎn)射出磁場(chǎng)可知，帶電粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期是2t0.可知，從ad邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定小于eq\f(1,3)t0；從ab邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于等于eq\f(1,3)t0，小于eq\f(5,6)t0；從bc邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定大于等于eq\f(5,6)t0，小于eq\f(4,3)t0；從cd邊射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間一定是eq\f(5,3)t0.【題型3三角形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例3】如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形ABC內(nèi)、外分布著兩方向相反的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，三角形內(nèi)磁場(chǎng)方向垂直紙面向外，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。頂點(diǎn)A處有一粒子源，粒子源能沿∠BAC的角平分線發(fā)射不同速率的粒子，粒子質(zhì)量均為m、電荷量均為＋q，不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用力，則發(fā)射速度v0為哪一值時(shí)粒子能通過(guò)B點(diǎn)()A.eq\f(2qBL,m) B.eq\f(3qBL,2m)C.eq\f(2qBL,3m) D.eq\f(qBL,7m)答案D解析粒子帶正電，且經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，其可能的軌跡如圖所示。所有圓弧所對(duì)圓心角均為60°，所以粒子運(yùn)行半徑r＝eq\f(L,n)(n＝1，2，3，…)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\f(qBr,m)＝eq\f(qBL,nm)(n＝1，2，3，…)，由此可知，v＝eq\f(qBL,7m)的粒子能通過(guò)B點(diǎn)，故A、B、C不符合題意，D符合題意?！咀兪?-1】如圖所示，△ABC為與勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直的邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，比荷為eq\f(e,m)的電子以速度v0從A點(diǎn)沿AB邊入射，欲使電子經(jīng)過(guò)BC邊，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值為()A．B＞eq\f(2mv0,ae) B．B＜eq\f(2mv0,ae)C．B＞eq\f(\r(3)mv0,ae) D．B＜eq\f(\r(3)mv0,ae)[解析]由題意，如圖所示，電子正好經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R＝eq\f(\f(a,2),cos30°)＝eq\f(a,\r(3))，要想電子從BC邊經(jīng)過(guò)，電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑要大于eq\f(a,\r(3))，由帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的公式r＝eq\f(mv,qB)，可得eq\f(a,\r(3))＜eq\f(mv0,eB)，即B＜eq\f(\r(3)mv0,ae)，D正確。[答案]D【變式3-2】如圖所示，邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的等邊三角形區(qū)域ACD內(nèi)、外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B、方向分別垂直紙面向里、向外。三角形頂點(diǎn)A處有一質(zhì)子源，能沿∠A的角平分線發(fā)射速度大小不等、方向相同的質(zhì)子(質(zhì)子重力不計(jì)、質(zhì)子間的相互作用可忽略)，所有質(zhì)子均能通過(guò)D點(diǎn)，已知質(zhì)子的比荷eq\f(q,m)＝k，則質(zhì)子的速度不可能為()A．eq\f(BkL,2) B．BkLC．eq\f(3BkL,2) D．eq\f(BkL,8)解析：選C質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得2nRcos60°＝L(n＝1,2,3，…)，由洛倫茲力提供向心力，則有Bqv＝meq\f(v2,R)，聯(lián)立解得v＝eq\f(BqR,m)＝eq\f(BkL,n)，A、B、D正確，C錯(cuò)誤?！咀兪?-3】如圖所示，在一等腰直角三角形ACD區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子(重力不計(jì))以速度v從AC邊的中點(diǎn)O垂直AC邊射入磁場(chǎng)區(qū)域。若三角形的兩直角邊長(zhǎng)均為2L，要使粒子從CD邊射出，則v的取值范圍為()A.eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(2\r(2)qBL,m) B.eq\f(qBL,m)≤v≤eq\f(5qBL,m)C.eq\f(qBL,2m)≤v≤eq\f(（\r(2)＋1）qBL,m) D.eq\f(qBL,2m)≤v≤eq\f(5qBL,2m)答案C解析根據(jù)洛倫茲力提供向心力可知，v＝eq\f(qBr,m)，因此半徑越大，速度越大；根據(jù)幾何關(guān)系可知，使粒子軌跡與AD邊相切時(shí)速度最大，如圖，則有AO′·sin45°＝O′E，即(r1＋L)sin45°＝r1，解得最大半徑為r1＝(eq\r(2)＋1)L，故最大速度為v1＝eq\f(（\r(2)＋1）qBL,m)；當(dāng)粒子從C點(diǎn)出射時(shí)，半徑最小，為r2＝eq\f(L,2)，故最小速度為v2＝eq\f(qBL,2m)，則v的取值范圍為eq\f(qBL,2m)≤v≤eq\f(（\r(2)＋1）qBL,m)，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤?！绢}型4平行邊界磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例4】CT掃描是計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描技術(shù)的簡(jiǎn)稱，CT掃描機(jī)可用于對(duì)多種病情的探測(cè)。圖(a)是某種CT機(jī)主要部分的剖面圖，其中X射線產(chǎn)生部分的示意圖如圖(b)所示。圖(b)中M、N之間有一電子束的加速電場(chǎng)，虛線框內(nèi)有勻強(qiáng)偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)；經(jīng)調(diào)節(jié)后電子束從靜止開始沿帶箭頭的實(shí)線所示的方向前進(jìn)，打到靶上，產(chǎn)生X射線(如圖中帶箭頭的虛線所示)；將電子束打到靶上的點(diǎn)記為P點(diǎn)。則()A.M處的電勢(shì)高于N處的電勢(shì)B.增大M、N之間的加速電壓可使P點(diǎn)左移C.偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向外D.增大偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小可使P點(diǎn)左移答案D解析電子帶負(fù)電，故必須滿足N處的電勢(shì)高于M處的電勢(shì)才能使電子加速，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由左手定則可判定磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直紙面向里，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)加速過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理有eU＝eq\f(1,2)mv2，設(shè)電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為r，由洛倫茲力提供向心力有evB＝meq\f(v2,r)，則r＝eq\f(mv,Be)，電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知，電子從磁場(chǎng)射出的速度方向與水平方向的夾角θ滿足sinθ＝eq\f(d,r)(其中d為磁場(chǎng)寬度)，聯(lián)立可得sinθ＝dBeq\r(\f(e,2mU))，可見(jiàn)增大U會(huì)使θ減小，電子在靶上的落點(diǎn)P右移，增大B可使θ增大，電子在靶上的落點(diǎn)P左移，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，D正確?！咀兪?-1】矩形區(qū)域abcd(包括邊界)充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)?，F(xiàn)從ad邊中點(diǎn)O處，以垂直磁場(chǎng)且跟ad邊成30°角的速度射入一帶電粒子。已知粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，ad邊長(zhǎng)為L(zhǎng)，不計(jì)粒子重力。(1)若要粒子從ab邊上射出，則入射速度v0的大小范圍是多少？(ab邊足夠長(zhǎng))(2)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間是多少？解析(1)若粒子速度為v0，由qv0B＝meq\f(veq\o\al(2,0),R)得R＝eq\f(mv0,qB)若軌跡與ab邊相切，如圖所示，設(shè)此時(shí)相應(yīng)速度為v01，則R1＋R1sinθ＝eq\f(L,2)將R1＝eq\f(mv01,qB)代入上式可得v01＝eq\f(qBL,3m)若軌跡與cd邊相切，如圖所示，設(shè)此時(shí)粒子速度為v02，則R2－R2sinθ＝eq\f(L,2)將R2＝eq\f(mv02,qB)代入上式可得v02＝eq\f(qBL,m)所以粒子能從ab邊上射出磁場(chǎng)的入射速度v0的大小應(yīng)滿足eq\f(qBL,3m)<v0≤eq\f(qBL,m)。(2)設(shè)粒子入射速度為v，在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)的弧所對(duì)的圓心角為α，則t＝eq\f(αR,v)＝eq\f(αm,qB)，則α越大，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間也越長(zhǎng)，由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r≤R1時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，弧所對(duì)的圓心角為(2π－2θ)。所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為t＝eq\f(（2π－2θ）m,qB)＝eq\f(5πm,3qB)。答案(1)eq\f(qBL,3m)<v0≤eq\f(qBL,m)(2)eq\f(5πm,3qB)【變式4-2】如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，邊界為CD和EF。一電子從CD邊界外側(cè)以速率v0垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，入射方向與CD邊界間夾角為θ。已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，求：(1)電子的速率v0至少多大？(2)若θ角可取任意值，v0的最小值是多少？解析本題考查圓周運(yùn)動(dòng)的邊界問(wèn)題的求解方法。(1)當(dāng)入射速率v0很小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出，速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道的邊界與EF相切時(shí)，電子恰好不能從EF射出，如圖所示，電子恰好射出時(shí)，由幾何知識(shí)可得：r＋rcosθ＝d①又r＝eq\f(mv0,Be)②由①②得v0＝eq\f(Bed,m（1＋cosθ）)③故電子要射出磁場(chǎng)，速率至少應(yīng)為eq\f(Bed,m（1＋cosθ）)。(2)由③式可知，θ＝0°時(shí)，v0＝eq\f(Bed,2m)最小，由②式知此時(shí)半徑最小，rmin＝eq\f(d,2)，也可由軌跡分析得出上述結(jié)論。答案(1)eq\f(Bed,m（1＋cosθ）)(2)eq\f(Bed,2m)【變式4-3】如圖所示，一個(gè)理想邊界為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)寬度為d，方向垂直紙面向里。一電子從O點(diǎn)沿紙面垂直PQ以速度v0進(jìn)入磁場(chǎng)。若電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為2d。O′在MN上，且OO′與MN垂直。下列判斷正確的是()A．電子將向右偏轉(zhuǎn)B．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為dC．電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為eq\r(3)dD．電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為eq\f(πd,3v0)解析：選D電子帶負(fù)電，進(jìn)入磁場(chǎng)后，根據(jù)左手定則判斷可知，所受的洛倫茲力方向向左，電子將向左偏轉(zhuǎn)，如圖所示，A錯(cuò)誤；設(shè)電子打在MN上的點(diǎn)與O′點(diǎn)的距離為x，則由幾何知識(shí)得：x＝r－eq\r(r2－d2)＝2d－eq\r(2d2－d2)＝(2－eq\r(3))d，故B、C錯(cuò)誤；設(shè)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，由幾何知識(shí)得：sinθ＝eq\f(d,2d)＝0.5，得θ＝eq\f(π,6)，則電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t＝eq\f(θr,v0)＝eq\f(πd,3v0)，故D正確?！绢}型5半圓形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例5】如圖所示，長(zhǎng)方形abcd長(zhǎng)ad＝0.6m，寬ab＝0.3m，O、e分別是ad、bc的中點(diǎn)，以ad為直徑的半圓內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)(邊界上無(wú)磁場(chǎng))，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＝0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m＝3×10－7kg、電荷量q＝＋2×10－3C的帶電粒子以速度v＝5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，則()A．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C．從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在Oa邊和ab邊D．從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和bc邊[解析]由r＝eq\f(mv,qB)得帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑r＝0.3m，從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab和be邊；從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊和be邊；選項(xiàng)D正確。[答案]D【變式5-1】如圖所示，在xOy平面內(nèi)，有一以O(shè)為圓心、R為半徑的半圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。位于O點(diǎn)的粒子源向第二象限內(nèi)的各個(gè)方向連續(xù)發(fā)射大量同種帶電粒子，粒子均不會(huì)從磁場(chǎng)的圓弧邊界射出。粒子的速率相等，質(zhì)量為m、電荷量大小為q，粒子重力及粒子間的相互作用均不計(jì)。(1)若粒子帶負(fù)電，求粒子的速率v應(yīng)滿足的條件及粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t；(2)若粒子帶正電，求粒子在磁場(chǎng)中能夠經(jīng)過(guò)區(qū)域的最大面積。解析：(1)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則：qvB＝meq\f(v2,r)由幾何關(guān)系有：r≤eq\f(R,2)聯(lián)立得：v≤eq\f(qBR,2m)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T＝eq\f(2πm,qB)由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡可得，沿y軸正向射入磁場(chǎng)中的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，則：t＝eq\f(T,2)聯(lián)立可得：t＝eq\f(πm,qB)。(2)分析可得，粒子在磁場(chǎng)中能經(jīng)過(guò)的區(qū)域?yàn)榘雸A，如圖中陰影部分，有幾何關(guān)系可得該半圓的半徑：r′＝eq\f(1,2)R面積：S＝eq\f(1,2)πr′2聯(lián)立可得：S＝eq\f(1,8)πR2。答案：(1)v≤eq\f(qBR,2m)eq\f(πm,qB)(2)eq\f(1,8)πR2【變式5-2】如圖所示，在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)方向相反且都垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在以直徑A2A4為邊界的兩個(gè)半圓形區(qū)域Ⅰ、Ⅱ中，A2A4與A1A3的夾角為60°.一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子以某一速度從Ⅰ區(qū)的邊緣點(diǎn)A1處沿與A1A3成30°角的方向射入磁場(chǎng)，隨后該粒子沿垂直于A2A4的方向經(jīng)過(guò)圓心O進(jìn)入Ⅱ區(qū)，最后再?gòu)腁4處射出磁場(chǎng)．已知該粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的時(shí)間為t，求：(1)畫出粒子在磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2)粒子在磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ中的軌跡半徑R1和R2的比值；(3)Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小(忽略粒子重力)．答案見(jiàn)解析解析(1)畫出粒子在磁場(chǎng)Ⅰ和Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．(2)設(shè)粒子的入射速度為v，已知粒子帶正電，故它在磁場(chǎng)中先順時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，再逆時(shí)針做圓周運(yùn)動(dòng)，最后從A4點(diǎn)射出，用B1、B2，R1、R2，T1、T2分別表示在磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度、軌跡半徑和周期．設(shè)圓形區(qū)域的半徑為r，已知帶電粒子過(guò)圓心且垂直A2A4進(jìn)入Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)，連接A1A2，△A1OA2為等邊三角形，A2為帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，其半徑R1＝A1A2＝OA2＝r粒子在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑R2＝eq\f(r,2)即eq\f(R1,R2)＝2∶1(3)qvB1＝meq\f(v2,R1)qvB2＝meq\f(v2,R2)T1＝eq\f(2πR1,v)＝eq\f(2πm,qB1)T2＝eq\f(2πR2,v)＝eq\f(2πm,qB2)圓心角∠A1A2O＝60°，帶電粒子在Ⅰ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t1＝eq\f(1,6)T1在Ⅱ區(qū)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t2＝eq\f(1,2)T2帶電粒子從射入到射出磁場(chǎng)所用的總時(shí)間t＝t1＋t2由以上各式可得B1＝eq\f(5πm,6qt)B2＝eq\f(5πm,3qt)【變式5-3】勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域由一個(gè)半徑為R的半圓和一個(gè)長(zhǎng)為2R、寬為eq\f(R,2)的矩形組成，磁場(chǎng)的方向如圖所示．一束質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子(粒子間的相互作用和重力均不計(jì))以速度v從邊界AN的中點(diǎn)P垂直于AN和磁場(chǎng)方向射入磁場(chǎng)中．問(wèn)：(1)當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為多大時(shí)，粒子恰好從A點(diǎn)射出？(2)對(duì)應(yīng)于粒子可能射出的各段磁場(chǎng)邊界，磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)滿足什么條件？答案(1)eq\f(2mv,qR)(2)見(jiàn)解析解析(1)由左手定則判定，粒子向左偏轉(zhuǎn)，只能從PA、AC和CD三段邊界射出，如圖所示．當(dāng)粒子從A點(diǎn)射出時(shí)，運(yùn)動(dòng)半徑r1＝eq\f(R,2)由qB1v＝eq\f(mv2,r1)得B1＝eq\f(2mv,qR)(2)當(dāng)粒子從C點(diǎn)射出時(shí)，由勾股定理得：(R－r2)2＋(eq\f(R,2))2＝req\o\al(2,2)，解得r2＝eq\f(5,8)R由qB2v＝eq\f(mv2,r2)，得B2＝eq\f(8mv,5qR)據(jù)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑隨磁場(chǎng)減弱而增大，可以判斷當(dāng)B>eq\f(2mv,qR)時(shí)，粒子從PA段射出；當(dāng)eq\f(2mv,qR)>B>eq\f(8mv,5qR)時(shí)，粒子從AC段射出；當(dāng)B<eq\f(8mv,5qR)時(shí)，粒子從CD段射出．【題型6其他形狀的磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題】【例6】(多選)如圖所示，在Oxy平面的第一象限內(nèi)存在方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶電粒子從y軸上的M點(diǎn)射入磁場(chǎng)，速度方向與y軸正方向的夾角θ＝45°。粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)(圖中未畫出)垂直穿過(guò)x軸。已知OM＝a，粒子電荷量為q，質(zhì)量為m，重力不計(jì)。則()A.粒子帶負(fù)電荷B.粒子速度大小為eq\f(qBa,m)C.粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為aD.N與O點(diǎn)相距(eq\r(2)＋1)a答案AD解析由左手定則可知，帶電粒子帶負(fù)電荷，A正確；做出粒子的軌跡示意圖如圖所示，假設(shè)軌跡的圓心為O′，則由幾何關(guān)系得粒子的軌道半徑為R＝eq\r(2)a，則由qvB＝meq\f(v2,R)得v＝eq\f(qBR,m)＝eq\f(\r(2)qBa,m)，B、C錯(cuò)誤；由以上分析可知，ON＝R＋a＝(eq\r(2)＋1)a，D正確。【變式6-1】如圖所示，正六邊形abcdef區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電的粒子從f點(diǎn)沿fd方向射入磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)速度大小為vb時(shí)，