2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角函數(shù)與解三角形 專項訓(xùn)練

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-2.3三角函數(shù)與解三角形-專項訓(xùn)練

一、基本技能練

1.已知sina+2cosa=0,則sin2a=()

-I

B-5

2

C-4D.1

、I毋2cos10°-sin20°“/口心/工m、,

2.計算cos20。所得的結(jié)果為()

A.lB市

C.小D.2

3.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知。=小5,A—3節(jié)則角

c=()

.兀c兀

A-12B6

一兀

琮D.§

4.若3sin2a—2sin2a=0,且sinaWO,貝！Jco（s2la+號等于（）

772

A.B.

102

加也

C.D.

10■2

5.“欲窮千里目，更上一層樓”出自唐朝詩人王之渙的《登鸛雀樓》，鸛雀樓位于

今山西永濟市，該樓有三層，前對中條山，下臨黃河，傳說常有鸛雀在此停留,

故有此名.下面是復(fù)建的鸛雀樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面點?？?/p>

樓頂點A的仰角為30°,沿直線前進(jìn)79m到達(dá)點E,此時看點C的仰角為45°,

若3C=2AC,則樓高A3約為（）

A.65mB.74m

C.83mD.92m

6.(多選)已知在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且A=60。，b

=2,c=V3+L則下列說法正確的是()

A.C=75?；駽=105°

B.B=45°

C.a=\[6

D.該三角形的面積為4歲

7.已知sin(a+1)=坐，則cos停一2，=..

8.若3sina—sin￡=V^，a+/3=^,貝！Jsina=,cos2^=.

9.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知人一c=；a,2sinB

=3sinC,△ABC的面積為宮野，則a=.

10.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且下=版+廬一訪，sin

A+sinB=2V6sinAsinB,若c=3,則a+少的值為.

1L在△ABC中,sin2C=小sinC.

⑴求NC;

(2)若6=6,且△ABC的面積為64，求△ABC的周長.

12.如圖，在平面四邊形ABCD中，ZBAD=60°,BD=^7,cosZABD=^~.

D

(1)求A3的長；

(2)若NB4D+NBCD=180。，BC=1,求四邊形ABC。的面積.

二'創(chuàng)新拓展練

13.(多選)在△ABC中，下列說法正確的是()

A.若A>B,則sinA>sinB

B.存在aABC滿足cosA+cosBWO

C.在△ABC中，若acosA=0cos3,則△ABC必是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若3=60。，b2=ac,則△ABC必是等邊三角形

14.(多選)若AABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足b~2a+

4asin/^g=0,則下列結(jié)論正確的是()

A.角C一定為銳角B./+2/一片=。

C.3tanA+tanC=0D.tanB的最小值為

15.某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎杯，獎

杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形。43的半徑為10,ZPBA=ZQAB=6Q°,AQ

=QP=PB,若按此方案設(shè)計，工藝制造廠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時，該獎杯比較美觀，

止匕時ZAOB=.

⑹在①成皿4+0二/^^,一1；②l+2cosCeosB=cos(C—B)—cos(C+B)；

c2tanBb

tanA+tanBc

這三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上并作答.

問題：在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且＞+c=24，a=\[6,

(1)求角A的大?。?/p>

(2)求AABC的面積.

參考答案與解析

一、基本技能練

1.答案A

解析Vsin。+2cosa=0,

即sina=—2cosa,

??tana=-2,

2sinacosa2tana2X(—2)4

則sin2a=2sinacosa亍故選A.

sin2a+cos2atan2a+1-4+1

2.答案C

2cos10°—sin20°

解析一五市一

2cos(30°-20°)-sin20°

V3C0S20°_r-

cos20°—W

3.答案B

jr

解析因為在△ABC中，A—3=],

所以A=3+9，

所以sinA=sin(B=cosB,

因為a=y/3b,

所以由正弦定理得sinA=^/3sinB,

所以cos3=M§sinB,

所以tanBu等,

7T

因為B?(0,7i),所以3=4，

所以0=兀一］+9一.=不，故選B.

4.答案A

..3

解析由題意可得/sin2a—sin2a=0,

所以3sinacosa—sin2a=0,

艮口sin?(3cosa—sina)=0,

又sinaWO,所以tana=3,

所以cos(2a+^=^

(cos2a—sin2a)

a—sin2a—2sinacosa

sin2ot+cos2a

也］—tan2a—2tana17也

211+tan2?J10，

5.答案B

解析設(shè)AC=x(x>0)，則由已知可得AB=3%,BE=BC=2x,

BD="/二門口=3y13x,

tanZADBv

所以DE=BD—BE=34x—2x=79,

79

解得尸而

所以樓高43^3X24.7=74.1^74(111).

6.答案BC

解析由余弦定理得a2=02+c2—2AcosA

=4+4+2V3-2X2X(V3+1)X|=6,

所以a=乖.

.2X亞廠

由正弦定理，得sinB=姆髻=--=*,

ay162

由于0。<8<120。,所以3=45°.

所以C=180。一3—A=75。.

△ABC的面積為TocsinA=；X2X(4+1)X坐=上^^.

7.答案

解析

一cos^+2ctj=一cos2(6+ot.

=2sin2^+aj—l=2x1-1=—y

8.答案噂!

解析因為a+夕三，所以川專一a,

所以3sina—sin^=3sina—sin^—a^=3sina—cosa=\[10sm(a—(p)=y[10,其中

.VTo3V10

sin(p一]0，coscp一J。.

71

所以a—9=1+2攵兀，

71

所以a=1+9+2E,k^Zj,

所以sina=sin，+e+2E)=cosT=4g°,左￡Z.

因為sin￡=3sina-y[10=一

i4

所以cos2￡=1—2sin2^=1一三=弓

9.答案4

解析V2sinB=3sinC,由正弦定理可知2b=3c,

113

得

可T

平

2c-于P-

1

-

2c4

S/\ABC=^bcsinA=^X^aX^aX^--=^--^-9解得〃=4.

10.答案3^2

解析因為c2=a2+b2—ab,

次+/一理]

故cosC=一赤一=T

7T

因為CG(0,71),所以C=y

由正弦定理可得三角形外接圓的半徑R滿足2尺=方=2小，

2

又sinA+sinB=2%sinAsinB,

所以2，5sinA+Z^/SsinB

=A/2X2^/3sinAX2*\/3sinB,

即a+b=y[2ab.

因為。=3,所以由余弦定理得

9=a2~\~b2—Q6=(Q+Z?)2—3ab=(a-\~b)2—b),

解得a+b=3yfl或a-\-b——■(舍去).

H.解⑴因為sin2C=V3sinC,

所以2sinCeosC=V3sinC.

因為Ce(0,兀)，所以sinCWO,

所以COSC=哮,C=7.

2o

(2)因為AABC的面積S=gabsinC=1,XaX6x1-=6-\/3,所以a=4小.

由余弦定理可得c2=a2+/_2a6cosC=48+36-72=12,所以c=2小,

所以△ABC的周長為a+Z?+c=4小+6+2小=6(小+1).

、歷

12.解⑴在△A3。中，由COSNA3D=T-,

得NA3D=45°.

又NR4D=60°,所以NAD3=75°,

所以sinZADB=sm75°=sin(45o+30°)

=sin45°cos30°+cos45°sin30°

\[2+y[6

=~~4-，

由正弦定理得一sinZ藝ADnB6=s一m%ABAnD,

BDsinZADB^42+3^/14

得A3=

sin/BAD—6

（2）由/朋。+/3。。=180。，可知NBCD=120。，

設(shè)CD=x,

在△BCD中，由余弦定理得

BD1=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD,

則7=1+%2-2X-COS120°,

化簡，得d+x—6=0,

解得x=2或x=—3（舍）.

11、行、行

所以S^BCD=^BCCDsm120°=]X1X2X^=',

S^ABD=^AB-BDsinNABD

」也+3/由迫_7小+21

-2X6X77X2—12-

所以S四邊形A3CO=S&43O+SABCZ）

_773+21A/3_13^3+21

-12+2-12—'

二、創(chuàng)新拓展練

13.答案AD

解析對于A,若A>&則a>0,

則27?sinA>27?sinB,

即sinA>sinB,故A正確.

對于B,由A+5〈兀，

得Av兀一5,于是cosA>—cosB,

即cosA+cosAO,故B錯誤.

對于C在△A5C中，由6/cosA=Z;cosB,利用正弦定理可得：sinAcosA=sinBcos

B,

/.sin2A=sin2B,VA,B^（0,兀），

.\2A=2B或2A=兀-25,

jr

.\A=B或A+B=29

???△A5C是等腰三角形或直角三角形，C錯誤；

2222

對于D,由于5=60。，b=ac,由余弦定理可得：b=ac=a+c—ac9

可得(a—c)2=0,

解得〃=c,可得A=C=B=60。，故D正確.故選AD.

14.答案BC

OA+_B

角翠析b~2a+4<7sin2-^-=0,

b~2a+4asin?住一?=0,

C

/.b—2a~\~^cos2y=0,

?1+cosC

.>?b-2a~\~4a?=0,

.\b+2acosC=0,

???cosC<0,???角C一定為鈍角，A錯誤；

4+〃一/

?222正確；

Z?+2acosC=0=>Z?+2a2ab=0=>a+2b—c=0,B

6+2acosC=0nsinB+2sinAcosC=0n3sinAcosC+cosAsinC=0=>3tanA+tan

C=0,C正確；

tanA+tanC—2tanA27

tan5tan(AC)tanAtanCT-3tan2A—1—,1

3tan"嬴I

經(jīng)檢驗“=”取得到，D錯誤，綜上選BC.

15.答案I

解析由題意可知，四邊形ABPQ為等腰梯形.

如圖，連接。P,過點。作。MLQP,垂足為點交A3于點C,

O

QMP

則。平分NAOB,M為線段PQ的中點.

設(shè)NAOC=e,

則AB=20sin6,OC=lOcos6,

設(shè)AQ=QP=BP=X,

過點。作QELAB,垂足為點E,

過點尸作PfUAB,垂足為點死

因為/PBA=ZQAB=60°,

1、月

所以AE=3R=1x,CM=PF=x>

EF=QP=x,

所以AB=2x,

所以AB=20sin9=2x,

即x=lOsin0,

所以0A/=OC+CA/=10cos8+坐x=10cos6+5小sin0,

所以O(shè)P2=OM2+MP2

=(10cos0+5-\/3sin0)2+(5sin3)2

=lOOcos26>+75sin20+10(h/3sin(9cos0+25sin20=100+5(A/3sin20,

因為sin26G[—1,1],

所以當(dāng)sin2(9=1,

即時，。尸最大，也就是OP最長，

jr

此時

16.解(1)選①，由正弦定理得

sinAsin5=sinBcosA—7L

因為0<B