2024-2025學(xué)年北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題（壓軸題）解析版

平行如邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時(shí)可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時(shí)可采

用間接證明。

分類討論思想：當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，我們就需要對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，然后對(duì)每

一類分別進(jìn)行研究，得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類的結(jié)果，得到整個(gè)問題的解答。分類討論的分類并

非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：

1.不重（互斥性）不漏（完備性）；

2.按同一標(biāo)準(zhǔn)劃分（同一性）；

3.逐級(jí)分類（逐級(jí)性）。

?典例分析

【典例1］在矩形4BCD中，AB=8,BC^16,E、尸是直線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從/、C兩點(diǎn)同時(shí)出

發(fā)相向而行，速度均為每秒2個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒，其中（0<t<10）.

圖1圖2

(1)如圖1,M、N分別是48、CD中點(diǎn)，當(dāng)四邊形EMFN是矩形時(shí)，求f的值.

(2)若G、，分別從點(diǎn)4、C沿折線8—C,C—￡>—4運(yùn)動(dòng)，與￡、尸相同的速度同時(shí)出發(fā).

①如圖2,若四邊形EGFH為菱形，求才的值;

②如圖3,作47的垂直平分線交4。、BC于點(diǎn)P、Q,當(dāng)四邊形PGQH的面積是矩形2BCD面積的貝”的

值是

③如圖4,在異于G、〃所在矩形邊上取尸、Q,使得PD=BQ,順次連接尸、G、。、H,請(qǐng)直接寫出四邊

形PGQH周長的最小值是.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)條件證明四邊形EMFN是平行四邊形，連接MN,求出/的值即可；

(2)①連接GH,CH,根據(jù)菱形的性質(zhì)和題中條件證出4"="C,從而得到4"2=64+(16—4/7)2即可求

解；

②連接4Q,根據(jù)題中條件和①中結(jié)論證明aAPG三△CQH(SAS),從而得到GQHP是平行四邊形，即可求

出答案；

③根據(jù)求最小路徑的方法作出點(diǎn)G關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)。，過點(diǎn)G，作GK1DC于K,連接G7f,QG',再根據(jù)"三

角形兩邊之和大于第三邊''即可求解.

【解題過程】

(1)解：?.?四邊形ABCO是矩形，

：.AB||CD,AB=CD

=乙NCF,

,：M、N分別是/B、CO中點(diǎn)，

：.AM=CN,

■:E、/是直線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從/、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒2個(gè)單位長度,

：.AE=CF=23

△AME=△CNF(SAS),

??.ME=NF,乙AEM=Z-CFN,

?,ZMEF=乙EFN,

.-.ME||FN,

.?.四邊形EMFN是平行四邊形，

如圖1,連接MN,

?.?四邊形4BCD是矩形，M、N分別是AB、CD中點(diǎn)，、，

.??四邊形MBCN是矩形，

■:AB=8,BC=16,

.-.MN=BC=16,AC=V82+162=8后

?.?四邊形EMFN是平行四邊形，

:.當(dāng)EF=MN=16時(shí)，四邊形EMFN是矩形,

■,-8V5-4t=16或4t—8V5=16,

解得t=2而-4或2通+4；

(2)解：①由(1)知：AF=CE,

.-.AF+EF=AE,CE+EF=CF,

：.AE=CF,

如圖2,連接GH,CH,

圖2

?.?四邊形EGFH菱形，

.-.AC1GH,0E=OF,

：.0A—OC,

.-.AH=HC,

-HC2=CD2+DH2,AB=8,BC=16,

：.AH2=64+(16-XH)2,

.-.AH=HC=10,

:.DH=6,

.-.CD+DH=6+8=14,

②如圖3,連接AQ,如圖所示,

APD

圖3

由①同理得：AQ=CQ=10,BQ=6,

由①知：AP=10,

.-.AP=CQ,

?；G、，分別從點(diǎn)/、C沿折線N-8-C,C-O-N運(yùn)動(dòng),

■,AG=CH,

又MGAP="CH=90°,

AAPG=ACQH(SAS),

：.GP=QH,

同理可證PH=GQ,

???四邊形GQHP是平行四邊形，

1c

???四邊形GQ”尸的面積是矩形ABC。面積的獲

c_15c

??白口GQHP—/矩形/BCO，

,?2SAPGQ—及'S矩形/Reo=訪x8x16=60,

:，S&PGQ=30,

=^X8X16-30=34,

11

xAGx10+-X6x(8-AG)=34,

：.AG—5,

??t—I；

故答案為：I；

③如圖4,作點(diǎn)G關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)過點(diǎn)G，作GK1DC于K,連接G77,QG',貝ijBG=&？=CK,QG=G'

Q，

.-.HK=CH+CK=AG+BG=8,

■：G'K=16,

:.G'H=V82+162=8V5,

由②知：四邊形PGQH是平行四邊形，

四邊形PGQH的周長=2QH+2GQ=2QH+2QG'>2G'H,

當(dāng)G，，Q,，三點(diǎn)共線時(shí)，四邊形PGQH周長有最小值，且最小值是2GH=16店.

故答案為：16店.

?學(xué)霸必刷

1.（22-23九年級(jí)上?福建漳州?期中）如圖，在中，N8=90。，AC=40cm,44=60。，點(diǎn)。從

點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)沿ZB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)

8勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)。、￡運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是，秒（0<

t<10）.過點(diǎn)。作DF1BC于點(diǎn)尸，連接DE、EF,當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí)，/的值為（）

2020

A.5B.yC.5或8D.5或8或彳

【思路點(diǎn)撥】

利用已知條件證出四邊形AFED是平行四邊形，再對(duì)△DEF為直角三角形分三種情況進(jìn)行討論.

【解題過程】

解：由題意得4。9。=90。/。=30。,￡）。=43

DF—23

又48=90。,即OF||48,

???四邊形/FED是平行四邊形，

當(dāng)為直角三角形時(shí)，有三種情況如下：

①當(dāng)""=90。時(shí)，四邊形4FED是平行四邊形，

EF||AD,

???/.ADE=/-DEF=90°,

???=60°,

A.AED=30°,

???AD=^AE=t,

又vAD=40—4t,

???t=40—4t,

解得t=8；

②當(dāng)NEDF=90。時(shí)，四邊形E8FD是矩形，

Rt△力ED中，NA=60°,則乙4DE=30。,

???AD=2AE=43

即4t=40—43

解得t=5；

③若=90。,此種情況不存在

所以t=8或t=5

故選：C.

2.（2023?河北?二模）如圖，在四邊形4BCD中，N&=NB=90。，AD=8cm,BC=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，

以Icm/s的速度向點(diǎn)2運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí),

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）,下列結(jié)論正確的是（）

APD

BM

A.當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形4BMP為矩形B.當(dāng)t=4s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形

C.當(dāng)CD=PM時(shí)，t=3sD.當(dāng)CD=PM時(shí)，t=3s或5s

【思路點(diǎn)撥】

對(duì)于選項(xiàng)A、B,分別計(jì)算當(dāng)t=3s與t=4s時(shí)相應(yīng)線段的長度結(jié)合平行四邊形的判定方法判斷即可；對(duì)于

C、D選項(xiàng)，^CELAD,MFLAD,垂足分別為E、F,如圖，證明Rt△OCEwRt△PMF(HL),得出

PF=DE=2cm,進(jìn)而得出關(guān)于f的方程，解方程判定即可.

【解題過程】

解：當(dāng)t=3s時(shí)，PD=3cm,PA=8—3=5cm,BM=3cm,

：,APWBM,

???四邊形ZBMP不為矩形，故選項(xiàng)A結(jié)論錯(cuò)誤；

當(dāng)t=4s時(shí)，PD=4cm,BM=4cm,CM=6—4=2cm,

.?.DPWCM,

???四邊形CDPM不為平行四邊形，故選項(xiàng)B結(jié)論錯(cuò)誤；

當(dāng)CO=PM時(shí)，作CE1/D,MF14O,垂足分別為E、F,如圖，

：.AD||BC,

???四邊形都是矩形，

：.CE=FM=AB,BC=AE=6cm,

???當(dāng)CO=PM時(shí)，RtA△PMF(HL),DE=8-6=2cm,

：.PF=DE=2cm,

??,PF=\BM-AP\=|t-(8-t)|=|2t-8|,

—8|=2,

解得：t=5或t=3,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤、選項(xiàng)D正確；

故選：D.

3.（22-23八年級(jí)下?全國?期末）如圖，在正方形48C。中，點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)，沿邊BC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

DFL4E交融于點(diǎn)尸，以FD,FE為鄰邊構(gòu)造平行四邊形DFEP,連接CP,則N凡4E+NEPC的度數(shù)的變化情

B.一直減小后增大

C.一直不變D.先增大后減小

【思路點(diǎn)撥】

作PH1BC交的延長線于H,證明CP是NDCH的角平分線，由NF4E+乙EPC=乙PEH+/.EPC="CH即

可解決問題.

【解題過程】

解：作PH1BC交BC的延長線于”,

?.?四邊形ABC。是正方形,

:.AD=AB=BC,/.DAF=4ABE=4DCB=Z.DCH=90°,

■：DF1AE,

:.^BAE+^DAE=90°,/.ADF+/.DAE=90°,

.-.Z.BAE—A.ADF,

△4。尸三△BAE(ASA),

：.DF=AE,

?.?四邊形DFEP是平行四邊形，

：.DF=PE,DFWPE,乙DFE=LDPE,

：.AE1PE,AE=PE,

-^BAE+^AEB=90°,Z-AEB+乙PEH=90°,

：.LBAE=乙PEH,

-Z.ABE=AH=90°,AE=PE,

??.△ABE=△EHP(AAS)，

.-.PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：/PCH=45°,

?.ZDCH=90°,

"DCP=乙PCH,

???CP是WCH的角平分線，

???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是的角平分線，

-Z-BAE=乙PEH,

：.Z.FAE+乙EPC=乙PEH+乙EPC=乙PCH,

而NPCH=%DCH=45°,

:./.FAE+NEPC一直不變，

故選：C.

4.(2023?河北保定?一模)如圖，在菱形4BCD中，AB=6cm,zB=120°,P為對(duì)角線力C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

過點(diǎn)P作4C的垂線，交2D或CD于點(diǎn)E,交或BC于點(diǎn)尸，點(diǎn)P從點(diǎn)力出發(fā)以gcm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)

運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),以EF為折線將菱形ABC。向右折疊，若重合部分面積為4gcm2,求/的值，對(duì)于其答案,

甲答：t=2,乙答：t=3,丙答：t=4,則正確的是()

A.只有甲答的對(duì)B.甲、乙答案合在一起才完整

C.甲、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才充整

【思路點(diǎn)撥】

由菱形的性質(zhì)推出ND/C的度數(shù)，通過分類討論的方法得到含有特殊角的直角三角形4G。、APE.CPE以及

等邊三角形石凡4、EFC,利用面積公式進(jìn)而列出有關(guān)時(shí)間t的一元二次方程，通過解方程求出

【解題過程】

解：如圖，連接交ZC于點(diǎn)G

??.AD=CD=BC=AB=6cm

BD1AC,/.ADC=/-ABC=120°

1

/.DAC=-(180°-Z.ADC}=30°

在RtZXAGD中，DG=^AD=3cm

AG=V3DG=3V3cm

???DA=DC,BD1AC

AC=2AG=6V3cm

由題意可知，AP=(V3t)cm(0<t<6)

如圖所示，重合部分S△EFA=S△EFA'=4V3cm2

AP

???EP=——=tcm

V3

/.DAB=180°一4B=60°,EF1AC

??.△EF4為等邊三角形

EF=2EP=(2t)cm

???S△EFA=S△EFA'=|xEFxXP=1x2txV3t=4V3cm2(0<t<6)

???t=2

如圖所示，重合部分S△EFC=4V3cm2

BBf

在Rt^CPE中，EFLAC,^LDCA=30°

CP=AC-AP=(6V3-V3t)cm

CP

EP=—=(6—t)cm

vZ.DCB=180°=60°,EFLAC

??.△EFC為等邊三角形

???EF=2EP=(12-2t)cm

???s△EFC=|XFFxCP=|x(12-2t)X(6V3-V3t)=4V3cm2(0<t<6)

???t=4

."=4或1=2,即甲、丙答案合在一起才完整.

故答案選C.

5.（22-23八年級(jí)下?湖北武漢?期中）如圖，在四邊形/BCD中，AD\\BC,=90。，AB=8cm,

AD=24cm,BC=26cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)/出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s

的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)ts時(shí)PQ=CD,

則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值是!

【思路點(diǎn)撥】

分兩種情況：①PD=CQ時(shí)，則四邊形CDPQ為平行四邊形；②PDHCQ時(shí)，過點(diǎn)P作PS||CD交BC于S,

PM1BC于則四邊形PDCS為平行四邊形，四邊形力BMP為矩形；分別計(jì)算即可.

【解題過程】

解：由題意可知，AP=2t,DP=24-2t,CQ=3t,BQ=26-3t,

若PQ=CD,分兩種情況：

@PD=“時(shí)，

■：PD||CQ,

???四邊形CDPQ為平行四邊形，

：.PQ=CD,

.'.24—2t—3t,

解得：t=K

@PDH“時(shí)，

過點(diǎn)尸作PS||CD交BC于S,PMIBC于跖則四邊形PDCS為平行四邊形，四邊形/BMP為矩形;

：.PQ=PS,MS=CM-CS=26-2t-(24-2t)=2(cm),

??.QS=2Ms=4(cm),

.'.3t—4=24—2t,

解得：”等，

綜上所述，當(dāng)f的值為g或g時(shí)，PQ=CD.

故答案為：告或g

6.（22-23八年級(jí)下?河南鄭州?期末）如圖，在CM8CD中，對(duì)角線AC,B。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在4。上，

AE=5cm,BE=13cm,Z.EBD=Z.DBC,點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P以lcm/s的速度從點(diǎn)4出發(fā)，沿力。向點(diǎn)E

運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N同時(shí)以2cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N也同時(shí)停止運(yùn)

動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)s時(shí)，以點(diǎn)P,F,N,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.

【思路點(diǎn)撥】

要使點(diǎn)P、F、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則需PE=FN,據(jù)此先表示出PE、FN,結(jié)合題意可得

PE=5—t,FN=2t—CF或FN=CF—2t,據(jù)此可知需求得CF的長，由于F是BC的中點(diǎn)，可將答案.

【解題過程】

解：四邊形48CD是平行四邊形，

：.AD||BC,AD=BC,

Z-ADB=Z.CBD,

??,乙EBD=Z-DBC,

???Z.EBD=乙EDB,

EB=ED=13cm,

,:AE=5cm,

???AD=18cm,

???點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

?1?BC=AD=18(cm),CF=BF=2BC=9(cm),

???點(diǎn)P的速度為lcm/s,則點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)E的時(shí)間為5+1=5(s),

???點(diǎn)N移動(dòng)的距離為5x2=10(cm),

要使點(diǎn)P、F、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，貝UPE=NF即可，

設(shè)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，點(diǎn)P、F、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)尸的右邊，四邊形PENF是平行四邊形，如圖所示，

當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)F的左邊，四邊形PEFN是平行四邊形，如圖所示,

???當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)4秒或獲秒時(shí)，以P、F、N、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

故答案為：4或半

7.（22-23八年級(jí)下?河南鄭州?期末）如圖，等邊三角形ABC的邊長為lOczn,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)8出發(fā)，沿

的方向以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，沿Cf4TBic的方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)跖N

同時(shí)出發(fā)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).那么運(yùn)動(dòng)到第秒時(shí)，點(diǎn)/,M,N以及

△ABC的邊上一點(diǎn)。恰能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形.

A

【思路點(diǎn)撥】

分三種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可列方程，即可求解.

【解題過程】

解：①當(dāng)owtw3點(diǎn)以N、。的位置如圖所示:

A

BDc

???四邊形4VoM是平行四邊形，

；,DM=AN,DMWAN,DN\\AB,

?"MDB=ZC=60°,(NDC==60°,

???乙NDC=zC,

??.ND=NC,

DM+DN=AN+NC=AC=10,即：3t+2t=10,

解得：t=2,

②當(dāng)與<tW5時(shí)，點(diǎn)〃、N、。在同一直線上，不能構(gòu)成四邊形,

③當(dāng)5<tW與時(shí)，點(diǎn)M、N、。的位置如圖所示：

四邊形4VoM是平行四邊形，

；,DN=AM,AMWDN,

???乙NDB=(ACB=60°,

???△4BC為等腰三角形，

:?乙B=60°,

乙NDB—Z,B—60°,

???ND=NB,

NB+MC=AM+CM=10,即：3t-10+2t-10=10,

解得：t=6,

④當(dāng)?<t<10時(shí)，點(diǎn)M、N、D的位置如圖所示:

A

D

BM

則BN=20—2t,BM=30-3t,

由題意可知，ABNM為等邊三角形,

■■.BN=BM,即：20-2t=30-3t,

解得：t=10,

此時(shí)M、N重合，不能構(gòu)成四邊形，

綜上所述，f的值為2或6,

故答案為：2或6.

8.(23-24八年級(jí)下?重慶巴南?階段練習(xí))如圖1,在平行四邊形2BCD中，AD1CD,AB=8,AD=^,M

是一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)。出發(fā)，沿。一A—B—C運(yùn)動(dòng)，以4個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；N是從點(diǎn)C出發(fā)

的另一動(dòng)點(diǎn)，沿C—。運(yùn)動(dòng)，以2個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/

秒(M,N兩點(diǎn)中如有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，所有運(yùn)動(dòng)即終止).

(1)若M、N出發(fā)f秒后，四邊形MBCN為平行四邊形，求f；

(2)若△4MC的面積為8,請(qǐng)求出/的值；

(3)如圖2,點(diǎn)尸是線段4D中點(diǎn)，E是直線CD上另一動(dòng)點(diǎn)(位于N點(diǎn)右邊)，且線段NE在移動(dòng)過程中始

終保持長度為2不變，請(qǐng)?zhí)骄坎⒅苯訉懗鯢N+NE+BE的最小值.

【思路點(diǎn)撥】

本題考查矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)；

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得MBIICN,MB=CN,MN\\CB,MN=BC,得到M應(yīng)在線段4B上，N應(yīng)

在線段CD上，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度表示MB、CN,列方程求解即可；

(2)根據(jù)點(diǎn)M在不同邊上分類討論，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；

(3)將BE向左平移到BN,作尸N關(guān)于CD對(duì)稱的線段kN,FN+NE+BE=F，N+2+B，NNFE+2.當(dāng)三

點(diǎn)共線時(shí)有最小值.

【解題過程】

(1)???四邊形MBCN為平行四邊形，

:.MB\\CN,MB=CN,MN\\CB,MN=BC,

動(dòng)點(diǎn)M應(yīng)在線段48上，N應(yīng)在線段CD上，.

???在平行四邊形力BCD中，AB=8,AD=4,

.-.CD=AB=8,BC=AD=4.

由題意得t秒后，MB=8+4—4t=12—4t,CN=2t,0<t<4.

.'?12—4t=2t.

：.t=2.

(2)①當(dāng)點(diǎn)M在力D上時(shí)，OWt<l,AM=4-4t,

???△4MC的面積為8,SAAMC=\AM-CD,

.-.|(4-4t)-8=8.

??.t=I.

②當(dāng)點(diǎn)〃■在上時(shí)，1<t<3,AM=4t-4,

???△4MC的面積為8,SAAMC=-BC,

-4)-4=8.

???t=2.

③當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，3<t<4,MC=16-4t,

???△AMC的面積為8,SAAMC=|MC-AB,

-4t)-8=8.

7

t=5.

17

?,?綜上可知t==2或力=

(3)如圖將BE向左平移到BW,作/W關(guān)于CD對(duì)稱的線段FW,則FT)=FO=弓4。=2出歸=NE=2,

F'

圖2

；.FN+NE+BE=F'N+2+B'N>F'B'+2.,

.?.當(dāng)BQF\N三點(diǎn)共線時(shí)有最小值.

■：AB'=48—8B'=8—2=6,4F'=40+=4+2=6,

.-.F'B'=6V2

.-.FN+NE+BE=F'N+2+B'N>F'B'+2有最小值6五+2.

9.(23-24九年級(jí)上?陜西渭南?階段練習(xí))如圖，在直角梯形4BCD中，AD\\BC,ZC=90°,BC=14,

DC=8,AD=20.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線。力的方向以每秒2個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C

出發(fā)，在線段C8上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,。分別從點(diǎn)。，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)尸隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒).

(1)當(dāng)t=2時(shí)，求△BPQ的面積；

(2)當(dāng)f為何值時(shí)，以4,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

(3)(2)中的平行四邊形會(huì)不會(huì)是菱形？若能，請(qǐng)說明理由，若不能，當(dāng)0速度不變，求出P點(diǎn)速度？

【思路點(diǎn)撥】

(1)若過點(diǎn)于M,則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=8,由QB=14-t,由三角形面

積公式得出△BPQ的面積=#MxQB=56-4t；

(2)由題意得出4P=BQ,分兩種情況，由題意得出方程，解方程即可得出答案;

(3)作BN14。于，則四邊形BCDN是矩形，得出CN=BC=14,BN=DC=8,由勾股定理得出2B=10,

由力p=4B=10,貝i]20—2t=10,t=5；由BQ=4B=10,貝也4一t=10,t=4；得出(2)中的平行四邊

形不會(huì)是菱形；當(dāng)Q速度不變，設(shè)P點(diǎn)速度為每秒支個(gè)單位長，則力P=20—4久=10,解得％=|即可.

【解題過程】

(1)解：過點(diǎn)P作PM1BC于M,如圖1所示：則四邊形PDCM為矩形.

.-.PM=DC=8,

■.■QB=BC-CQ=14-t,

△BPQ的面積=|QB?PM=|(14-t)X8=56-4t(0<t<10).

把t=2代入得：aBP。的面積=56-8=48；

(2)-AOWBC,

當(dāng)2P=BQ時(shí)，以4B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在4點(diǎn)右側(cè)時(shí),

解得：t=6,

當(dāng)點(diǎn)P在4點(diǎn)左側(cè)時(shí)，AP'=2t-20,

?'?21—20=14—t,

解得：t=學(xué)

綜上所述，當(dāng)t=6秒或半秒時(shí)，以4B,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形；

(3)(2)中的平行四邊形不會(huì)是菱形；

理由如下：

作BN1AD于N,如圖2所示：

圖2

則四邊形BCDN是矩形，

?-,DN=BC=14,BN=DC=8,

???AN=AD-DN=6,

AB=J4N2+BN2=〃2+82=10,

當(dāng)月P=BQ=AB=10時(shí)，(2)中的平行四邊形是菱形，

由4P=AB=10,貝i」20-2t=10,t=5；

由BQ=4B=10,貝i|14—t=10,t=4；

(2)中的平行四邊形不會(huì)是菱形；

當(dāng)Q速度不變，設(shè)P點(diǎn)速度為每秒x個(gè)單位長，

則力P=20-4%=10,

解得：x=|，

即當(dāng)Q速度不變，P點(diǎn)速度為每秒/單位長時(shí)，(2)中的平行四邊形是菱形.

10.(22-23八年級(jí)下?四川宜賓?期末)已知，如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形CMBC為矩形，4(10,0),C(0,

4),點(diǎn)。是02的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段BC上以每秒2個(gè)單位長的速度由點(diǎn)C向8運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為/秒.

斗

「EB

-----------?------------->

ODAX

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PODB是平行四邊形？

(2)在直線CB上是否存在一點(diǎn)0,使得。、D、0、尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求f的值，并

求出。點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)BP=BC-PC=10-2t,四邊形PODB是平行四邊形時(shí)PB=OD=5,列一元一次方程即可求解；

(2)分0點(diǎn)在P的右邊，0點(diǎn)在尸的左邊且在BC線段上，0點(diǎn)在P的左邊且在BC的延長線上三種情況,

根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理分別求解即可.

【解題過程】

(1)解：???四邊形tMBC為矩形，4(10,0),C(0,4)，

,.BC=0A=10,AB=0C=4,

???點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

：,0D==5,

由運(yùn)動(dòng)知，PC=2t,

；,BP=BC-PC=10-2t,

???四邊形PODB是平行四邊形，

：.PB=0。=5,

.?.10—2t=5,

=2.5；

圖1

???四邊形。DQP為菱形，

??.。0=op=PQ=5,

???在Rt^OPC中，由勾股定理得：PC=7OP2-OC2=5/52-42=3,

：.2t—3,

=1.5,

???CQ=PC+PQ=3+5=8,OC=4,

???Q(8,4)；

②當(dāng)0點(diǎn)在尸的左邊且在BC線段上時(shí)，如圖2,

圖2

?.?四邊形。DPQ為菱形，

：.0D=0Q=PQ=5,

.?.在RtZkOQC中，由勾股定理得：CQ="Q2_0C2=片_42=3,

.?■<2(3,4),

■：CP=CQ+PQ=3+5=8,

：.2t=8,

1?t=4；

③當(dāng)。點(diǎn)在P的左邊且在8c的延長線上時(shí)，如圖3,

?.?四邊形。DPQ為菱形，

：.0D=0Q=PQ=5,

.?.在RtaOQC中，由勾股定理得：CQ="Q2_0C2=近2_42=3,

.?■(2(-3,4),

■：CP=PQ—CQ=5—3=2,

：.2t=2,

.?.t=1；

綜上可知，。、D、。、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，有三種情況：t=1.5,Q(8,4)；t=4,(2(3,4);

t=l,Q(-3,4).

11.(23-24九年級(jí)上?廣東茂名?期中)如圖所示，在菱形2BCD中，NB=60。，△4EF是等邊三角形.

(1)如圖1,點(diǎn)￡、F分別在菱形的邊8C、CD上滑動(dòng)，且E、尸不與B、C、。重合.求證：BE=CF；

(2)如圖2,點(diǎn)E是CB延長線上一點(diǎn)，連BF.

①求證：BF=AB+BE；

②若4。=6,BE=2,求的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)證明△ABC、△ACD為等邊三角形，得出乙4CF=60。，AC=AB,可證明△ABE三△ACF(ASA),即

可求得BE=CF；

(2)①連接力C,證明△B4F三△CAE(SAS),由全等三角形的性質(zhì)可得出BF=CE,則可得出結(jié)論；②過

點(diǎn)4作4G1BC于點(diǎn)G,由勾股定理可得出答案.

【解題過程】

:./.D=NB=60°,AB=BC=CD=AD,

：.△力DC和△力BC為等邊三角形，

：./.ACF=NB=^BAC=60°,AC^AB,

???△ZEF是等邊三角形，

-.AEAF=60°,

.?Z1+Z-EAC=60°,Z2+乙EAC=60°,

/.z.1=z2,

(zl=z2

在△Z8E和△/CF中，｛AB=AC,

V^LABE=AACF

??.△ABE=△ZCF(ASA),

；,BE=CF；

(2)①證明：如圖，連接4C,

由(1)和已知可得：△4BC和△4EF為等邊三角形,

：.AE=AF,4C=4B=BC,Z.EAF=Z.BAC=60°,

：.Z-CAE=Z.BAF,

(AF=AE

在△84F和△C/E中，］/-BAF=L.CAE,

IAB=AC

ABAF=ACAE(SAS),

；.BF=CE,

；.BF=CE=CBBE=AB+BE,

即B尸=+

②解：過點(diǎn)a作4GLBC于點(diǎn)G,

由前面結(jié)論可知：AC=AB=BC=AD,

又:AO=6,BE=2,

-，BG=|/1B=|x6=3,

■■■AG=7AB2—BG2=V62-32=3療

EG=BG+8E=3+2=5,

■■AE=7AG2+EG2=V27+25=2V13,

???△4EF為等邊三角形，

■■.EF=AE=2V13.

12.(23-24九年級(jí)上?山東青島?階段練習(xí))如圖，在菱形2BCD中，AB=4cm,N4DC=120。，點(diǎn)E.F同

時(shí)從力、C兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿4B、CB方向向點(diǎn)B勻速移動(dòng)(到點(diǎn)B停止)，點(diǎn)E的速度為lcm/s,點(diǎn)F的速度

為2cm/s.

4D

BF-C

(1)經(jīng)過多少秒△DEF為等邊三角形？

(2)經(jīng)過多少秒四邊形BEDF的面積為3g.

【思路點(diǎn)撥】

(1)設(shè)經(jīng)過f秒△DEF為等邊三角形，延長4B至點(diǎn)M,使BM=AE,連接FM,易得=EM,

AADE=Z.MEF,通過證明△4DE三△MEF(SAS),推出力E=MF=BM,則△BFM為等邊三角形，進(jìn)而得

出力E=BF,列出方程求解即可；

(2)設(shè)經(jīng)過f秒四邊形BEDF的面積為38，過點(diǎn)。作DG1BC于點(diǎn)G,作于點(diǎn)X,易得

DH=DG=2V^cm,求出S菱形/BCD=8V3cm2,^AADE=V^t，^/\DCF=2V^t,根據(jù)四邊形BEDF的面積為

3V3,得出S菱形《BCD—S^ADE—S^DCF=列出方程求解即可.

【解題過程】

(1)解：設(shè)經(jīng)過/秒△DEF為等邊三角形,

延長2B至點(diǎn)使=連接FM,

,;BM-AE,

.-.BE+AE=BE+BM,即4B=EM,

???四邊形力BCD為菱形,

：.AB=AD,

：.AD—EM,

-Z.ADC=120°,

.?.乙4=60°,

???△O￡T為等邊三角形，

"DEF=60°,DE=EF,

MDEM=4/+Z.ADE=(DEF+乙MEF,

：.Z-ADE=Z-MEF,

(DE=EF

在△40E和△MEF中，｛Z-ADE=乙MEF,

IAD=EM

△ADE=△MEF(SAS),

：.AE=MF=BM,

,%=60°,

??/FBM=60°,

??.△BFM為等邊三角形，

.?.BF=BM,

：,AE=BF,

,：AE=tcm,CF=2tcm,AB=4cm,

；.BC=AB—4cm,則BF=(4—2t)cm,

?'?t—4—21,

解得：t=*

4

??.經(jīng)過E秒△DEF為等邊三角形.

(2)解：設(shè)經(jīng)過f秒四邊形BEDF的面積為3遍,

過點(diǎn)。作DG1BC于點(diǎn)G,作DH14B于點(diǎn)77,

AD

???四邊形ZBCD為菱形，AB=4cm,乙40c=120°,

.,.AD=AB=BC=4cm,Z,A=Z,C=60°,

：,Z.ADH=30°,

.'.AH==2cm,

根據(jù)勾股定理可得：DH=yjAB2—AH2=2V3(cm)

同理可得：DG=2V3cm,

??.S菱形/Be。=BCDG=4x2V3=8V3(cm2),

'：AE=tcm,CF=2tcm,

???S"OE=^AE-DH=V3t,S^DCF=*F-DG=2^3,

???四邊形加的面積為3四，

??,S菱形-S&WE—S^DCF=3小,

即8遮-V3t-2V3t=3V3,

解得：t=*

經(jīng)過I秒四邊形BEDF的面積為3遍.

13.(2023?陜西西安?一模)如圖，平行四邊形4BCD中，AB=6cm,BC=8cm,NB=60。，G是CD的中點(diǎn),

E是邊4。上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長線與BC的延長線交于點(diǎn)F,連接CE,DF.

(1)求證：四邊形CED尸是平行四邊形；

(2)?AE=時(shí)，四邊形CEDF是矩形;

@AE=時(shí)，四邊形CEDF是菱形.

【思路點(diǎn)撥】

(1)^ACFG=^EDG,推出FG=EG,根據(jù)平行四邊形的判定推出即可；

(2)①求出△MBAw/kEDC,推出NCED=N4MB=90。，再根據(jù)矩形的判定推出即可;

②證△CDE是等邊三角形，推出CE=DE,再根據(jù)菱形的判定推出即可.

【解題過程】

(1),?,四邊形4BCD是平行四邊形，

.-.BCWAD,

???Z-FCG=Z.EDG,

???G是CD的中點(diǎn)，

???CG—DG,

(Z.FCG=乙EDG

在△CFG和△OEG中，］CG=DG,

JCGF=乙DGE

.*.△CFG=△DEG(ASA),

???FG=EG,

又?.?CG=DG,

四邊形CEDF是平行四邊形.

(2)①當(dāng)4E=5cm時(shí)，平行四邊形CEDF是矩形，理由如下：

如圖，過4作于M,

Z-B=60°,AB=6,

??.BM=^AB=3,

-AE=5,

^DE=AD-AE=3=BM,

(BM=DE

在△MBA和△EOC中，=2LCDA,

IAB=CD

.-.△M^=AEDC（SAS）,

???（CED=Z.AMB=90°,

???四邊形CEOF是平行四邊形，

???平行四邊形CEDF是矩形，

故答案為：5.

②當(dāng)4E=2sn時(shí)，四邊形CEDF是菱形，理由如下：

???四邊形A8C0是平行四邊形，

AD=8,CD=AB=6,乙CDE==60°,

???AE=2f

??.DE=AD-AE=6,

DE=CD,

??.△CDE是等邊三角形，

???CE—DE,

???四邊形CEDF是平行四邊形，

??.平行四邊形CEDF是菱形，

故答案為：2.

14.（23-24八年級(jí)上?山東濰坊?期末）如圖，在四邊形力BCD中，AB\\CD,AADC=90°,AB=18cm,

BC=13cm,CD=23cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以lcm/s的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s

的速度沿折線B—C向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為t秒.

（1）用含t的式子表示PB；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把四邊形4BCD分成兩個(gè)部分，且其中的一部分是平行四邊形？

（3）只改變點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度，使運(yùn)動(dòng)過程中某一時(shí)刻四邊形PBCQ為菱形，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度應(yīng)為多少？

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了四邊形的綜合題，涉及到菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì).

(1)根據(jù)尸點(diǎn)的速度以及時(shí)間結(jié)合力B的長表示即可；

(2)只有。點(diǎn)在CD上時(shí)，方能滿足條件，分兩種情況：①四邊形PQCB是平行四邊形，②四邊形4DQP是

平行四邊形，進(jìn)行解答即可；

(3)設(shè)。的速度為xcm/s,Q在CD邊上，此時(shí)PBCQ可為菱形，滿足PB=BC=CQ,建立方程解決即可.

【解題過程】

(1),尸從/點(diǎn)以lcm/s向8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

???ts時(shí)，AP=tx1=t(cm)

1?■AB=18cm

?1?BP=AB—AP=(18—t)cm；

(2)BC—13cm

Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為13+2=6.5(s)

BC+CD=23+13=36(cm)

???Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長為36+2=18(s)

二6.5sWtW18s時(shí)，Q在CD邊上

此時(shí)，直線PQ把四邊形4BCD分成兩個(gè)部分，且其中的一部分是平行四邊形，分兩種情況：

①四邊形PQC8是平行四邊形，如圖所示：

-：AB||CD^PB||CQ

二只需PB=CQ即可，由(1)知：PB=(18—t)cm

???Q以2cm/s的速度沿折線B—C—D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，

???運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，CQ=2t-BC=(2t-13)cm

***18—t—2t—13

解得：”看

②四邊形ADQP是平行四邊形，如圖所示:

???只需AP=DQ,四邊形40QP是平行四邊形

由（1）知，AP-tcm

則0Q=CD+CB-2t=（36-2t）cm

.-,36—2t=t

解得：t=12

綜上所述：當(dāng)t=苧s或12s時(shí)，直線PQ把四邊形ABC。分成兩個(gè)部分，且其中的一部分是平行四邊形；

（3）設(shè)0的速度為xcm/s,由（2）可知，0在CD邊上，此時(shí)四邊形PBCQ可為菱形

???PB||CQ

■■只需滿足P8=8C=CQ即可

由（1）知：PB=（18-t）cm

由（2）知：CQ=（xt-13）cm,BC=1cm

???18—t=13,xt—13=13

解得：t=5s,x=5.2cm/s

當(dāng)。點(diǎn)的速度為5.2cm/s時(shí)，四邊形PBCQ為菱形.

15.（22-23八年級(jí)下?廣東珠海?期中）如圖，在四邊形力BCD中，AD\\BC,Z.B=90°,AB=8cm,

AD=24cm,BC=30cm,點(diǎn)P從點(diǎn)/出發(fā)，以Icm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以3cm/s

的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒.

（1）當(dāng)t=6s時(shí)，請(qǐng)判定四邊形PQCD的形狀_（直接填空）

（2）當(dāng)PQ=CD時(shí)，求才的值.

（3）連接DQ,是否存在為等腰三角形？若存在請(qǐng)直接寫出f值，若不存在，說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)題意有：AP=t,QC=3t,進(jìn)而有PD=4D—4P=24—t,BQ=BC-QC=30-3t,當(dāng)

t=6s時(shí)，可得PD=QC,結(jié)合PDIIQC,即可作答；

(2)分四邊形PQCD是平行四邊形和四邊形PQCD是等腰梯形兩種情況，結(jié)合題意計(jì)算，得到答案；

(3)分三種情況討論：當(dāng)△QDC為等腰三角形，且QD=DC時(shí)，過D點(diǎn)DH，BC于H；當(dāng)△QDC為等腰三

角形，且QC=OC時(shí)；當(dāng)△QDC為等腰三角形，且QD=QC時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理列出

關(guān)于f的方程，解方程即可求解.

【解題過程】

(1)根據(jù)題意有：AP=t,QC=3t,

■,■AB=8,AD=24,

.-.PD=4。-AP=24-t,BQ=BC-QC=30-3t,

當(dāng)t=6s時(shí)，PD=24-t=18,QC=3t=18,

.-.PD=QC,

-：AD||BC,

■-PD||QC,

.??四邊形PQC。是平行四邊形；

(2)當(dāng)PQ=CD,四邊形PQCD是平行四邊形時(shí)，

即有：PD=QC,

貝i]24—t=3t,

解得，t=6(s)；

當(dāng)PQ=CD時(shí)，四邊形PQC。是等腰梯形時(shí)，

過尸點(diǎn)作于過。點(diǎn)DN1BC于N,如圖，

根據(jù)力DIIBC,NB=90。，DN1BC,可得四邊形力DNB是矩形,

則BN=4。=24,AB=DN=8,

即NC=BC—BN=30—24=6,DC=yjDN2+NC2=10,

?.?梯形PQCD為等腰梯形，PM1BC^M,

??.NC=QM=6,PD=MN,

根據(jù)（1）有4P=t,QC=3t,PD=24-t,BQ=30-3t,

-MN=CQ-QM-NC=3t-12,

.'?3t—12=24—tf

解得t=9（s）,

綜上所述：1=6$或1=95時(shí)，PQ=CD.

（3）存在，理由如下：

根據(jù)（1）有4P=t,QC=3t,PD=24-t,BQ=30-3t,

根據(jù)（2）有DC=10,

當(dāng)△QDC為等腰三角形，且QD=DC時(shí)，

過。點(diǎn)。于〃，如圖，

根據(jù)（2）可知：HC=6時(shí)，

△QDC為等腰三角形，

.-.QC=2HC=12,

.?-12=33解得t=4,

即此時(shí)t=4；

當(dāng)△QDC為等腰三角形，且QC=DC時(shí)，如圖,

即此時(shí)t=y;

當(dāng)△QDC為等腰三角形，且QD=QC時(shí)，

過。點(diǎn)DP1BC于P,過0點(diǎn)QG1DC于G,如圖,

根據(jù)（2）同理可知四邊形2DPB四邊形是矩形,

：.AB=DP=8,

?'△DQC=；xDCxQG=gxQCxDP,DC=10,QC=3t,

八「QCxDP3tx812t

-^G=^^=-=—

???QD=QC,QG1.DC,

???GC=5,

???在RtZ\QGC中，QC2=QG2+CG2,

.-.9t2=（技）2+52,

解得：”得，

綜上所述：當(dāng)t為4或者與或者得時(shí)，△QDC為等腰三角形.

16.（23-24八年級(jí)上?吉林長春?期中）如圖，在口/lBCD中，力B=10,BC=40,BC邊上的高為8.點(diǎn)P從點(diǎn)4

出發(fā)，沿4。以每秒5個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-8以每秒8個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng).

P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）（t力。）,

連結(jié)PQ.

（1）直接寫出點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)t的值.

（2）當(dāng)點(diǎn)Q沿B—C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求QC的長（用含珀勺代數(shù)式表示）.

（3）當(dāng)PQ1BC時(shí)，求t的值.

（4）當(dāng)PQ=10時(shí)，直接寫出t的值.

【思路點(diǎn)撥】

（1）由題意可得8t=40,即可；

（2）根據(jù)題意可得BQ=83從而得到QC=BC—BQ=40—8如即可;

(3)分兩種情況，點(diǎn)0沿B—C運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)/作力M1BC于點(diǎn)則四邊形4MQP是矩形；點(diǎn)。

沿C—B運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)C作CNL4D于點(diǎn)N,則四邊形CNPQ是矩形，即可解決問題；

(4)分兩種情況，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)分別求出/的值即可.

【解題過程】

(1)解：點(diǎn)0與點(diǎn)C重合時(shí)，

由題意得：8t=40,

解得：t=5,

即點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)，f的值為5；

(2)解：當(dāng)點(diǎn)。沿B—C運(yùn)動(dòng)時(shí)，

由題意得：BQ=8t,

：.QC=BC—BQ=40-8t,

即QC的長為40—8t；

(3)解：①???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD=BC=40,CD=AB=10,4B||CD,AD||BC,

分兩種情況：

點(diǎn)。沿B—C運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)N作4M1BC于點(diǎn)河，則四邊形2MQP是矩形，

APD

BMQ