2025年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（五大考點）

考點鞏固卷11復(fù)數(shù)(五大考點)

考點01：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系

考點02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

考點03:復(fù)數(shù)相等的充要條件

考點04:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算

考點05:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

原龍力技巧4濤點利稱

考點01:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系

按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個

點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

復(fù)數(shù)集c和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)z=a+加<二二型J復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)

這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一

對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù).

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z（“,力表示復(fù)數(shù)z=a+初（a,8eR）,向量/由點Z（a,6）唯一確定；反過來，點

Z（a,6）也可以由向量方唯一確定.

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量無所成的集合是一一對應(yīng)的，即

復(fù)數(shù)z=a+bi<一一對應(yīng)>平面向量QZ

1.當(dāng)1〈后<2時，復(fù)數(shù)M-2+i）+（4-i）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知復(fù)數(shù)罟的實部為a/?=i（2+i）的虛部為人則z=a+0+l）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知復(fù)數(shù)2滿足zG+ibS+i?。24,其中i為虛數(shù)單位，貝心的共輾復(fù)數(shù)N的虛部為（）

222i2

A.——iB.——C.—D.-

5555

4.虛數(shù)z滿足z?+（3—i）z+2—i=0,貝!Jz的虛部為（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2024-i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

,2025.「2025—2023-2023.

A.----------iB.----------C.--------D.i

2222

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=1-2]/2=-3+有對應(yīng)的向量為函,礪，其中。是原點，則下列說法正確的是（）

A.復(fù)數(shù)句的虛部為一2iB.復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點在第一象限

C.當(dāng)。=T時，復(fù)數(shù)a+zzi?為純虛數(shù)D.向量原對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-6i

7.若復(fù)數(shù)z滿足：（其中i是虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)Z的共輾復(fù)數(shù)為2,則下列說法正確的是（）

111.

A.z的虛部是一彳B.z=——i

222

C.|z|=—D.z-z=-

1122

8.已矢口復(fù)數(shù)z?黃足(l+2i)z=ll+2i,貝I()

A.z的虛部為-4B.z=-3+4i

C.z+3為純虛數(shù)D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

9.若zd+i%則()

A.|z|=2

B.z，的虛部為8

1l-8i

-1+z665

D.l—z6在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

z

10.復(fù)數(shù)z=3—4i,則=的虛部為____.

2+1

考點02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+初?一力7復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b)

復(fù)數(shù)z=a+Z?i<一一對應(yīng)>平面向量近

11.已知復(fù)數(shù)z=a(a+l)-ai(aGR),則下列選項正確的是().

A.若z為純虛數(shù)，貝!|a=0或-1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則。€(-1,0)

C.若a=2,貝ij|z|二2石

D.若"=-2,貝丘=2-2i

12.已知復(fù)數(shù)4=-2+〃i,Z2=〃-4i(〃￡R),則下列說法正確的是()

A.|21|<|Z2|B.存在實數(shù)。，使得早2為實數(shù)

22

C.若Z1+Z2為純虛數(shù)，貝lj〃=2D.+z2)=1^+z2|

13.已知Z1，Z2￡C,且復(fù)平面內(nèi)Z1對應(yīng)的點為Z,則下面說法正確的有()

44

A.

z?

B.若乎2=。，則Z],Z2中至少有1個是0

C.滿足|z「l+2i|<2的點Z形成的圖形的面積為2兀

D.若閔=1,則z；+：+3的最小值為1

14.已知復(fù)數(shù)z=Vl要，則（）

2-V2i

A.z的實部為變B.z的虛部為-,

C.目=當(dāng)D.5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

15.已知復(fù)數(shù)4/2,則下列命題中正確的是（）

A.若團二㈤，貝°z?=±Z[

B.Z]■z2=Z]?z?

C.若Z2=[,則㈤=%|

D.若1+22|=匕一22],則g=。

16.已知2是復(fù)數(shù)，三是其共軌復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）

A.z2=|z|2

B.若z=（l-2i））則復(fù)平面內(nèi)I對應(yīng)的點位于第二象限

C.若|z|=l,貝中一l—i|的最大值為亞+1

D.若l-3i是關(guān)于x的方程/+加+4=0（0應(yīng)€1<）的一個根，貝lJq=10

17.若復(fù)數(shù)40是方程f-2x+5=0的兩根，則（）

A.z”Z2虛部不同B.z”Z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱

C.|Z1|=V5D.竽三在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限

18.已知復(fù)數(shù)4*2滿足歸―4i|=%—5i|,匡-l+2i|=2（i為虛數(shù)單位），g是方程2爐+3必+”?=。

（aeR）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（）

A.卜-引的最小值為:B.卜-'的最小值為4

c.當(dāng)。<a<i時，則H+岡=芷尹

D.當(dāng)一8<a<0時，則同+網(wǎng)=-a)

19.已知復(fù)數(shù)4=3-2i,(l+i)-z2=l-3i,則()

A.z2=—1—2iB.4-2zz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

C.\Z,+Z2\=2^D.az?為純虛數(shù)

20.設(shè)z，%為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是().

A.|z『=z；B.%均|=|。闖

C.若[=Z2，則㈤=3D.若Z|+Z?是實數(shù)，則Zi-z2為純虛數(shù)

考點03:復(fù)數(shù)相等的充要條件

復(fù)數(shù)相等的充要條件

兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等.即：

a=c

如果。，"gdwH,那么。+初=。+由01

b=d

特別地：a+bi=00a=b=O.

(1)一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.

根據(jù)復(fù)數(shù)。+質(zhì)與C+成相等的定義，可知在a=Gb=d兩式中，只要有一個不成立，那么就有

a+bi=Ac+di(a,b,c,de7?).

(2)一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小;

也只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小.

21.設(shè)2=。+歷，其中“,beR,若i(a+i)=b-2i,則彳=()

A.-l-2iB.-l+2iC.-2-iD.-2+i

22.設(shè)(a+2i)i=b—3i(a,bwR),其中i為虛數(shù)單位,則a+6=()

A.-5B.-1C.1D.5

23.已知復(fù)數(shù)Z],z?的模長為1,且Z]+Z2=Z]Z2，則Z1+Z2的值是()

A.1B.-1C.iD.-i

24.已知復(fù)數(shù)Z[=相+(4-療)i,z?=2cose+(2+3sine)i,(m,/l,eeR),且4=22，則彳的取值范圍是()

-21

A.B.

165_

9

C.---------,+00D.[1,7]

16

25.已知ZyZzcC,下列命題正確的是（）

A-lzi|2=(zi)2

B.4

42,

C.若z/Z2=。，則Z],Zz至少有1個為0

D.若4/2是兩個虛數(shù)，Z1+Z2WR,GR,則4*2為共軌復(fù)數(shù)

26.若z=/-2k+砥左eR）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若z為實數(shù)，貝U左=0

B.若zi=l+3i,貝！U=3

C.若z+5=—2,則|z|=0

D.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，則上＞3

27.已知i是虛數(shù)單位，則下列說法正確的有（）

A.a+i（〃￡R）是關(guān)于元的方程/_4%+5=o的一個根，貝1]々=3

B.“a=0”是“復(fù)數(shù)。+歷（〃力eR）是純虛數(shù)”的必要不充分條件

C.若復(fù)數(shù)z=a+i（aeR）,且目=2,則°=若

D.若復(fù)數(shù)2滿足2z+：=3-2i,則復(fù)數(shù)的虛部為-2

28.設(shè)根eR,i為虛數(shù)單位.若集合A={l,2m+("Ll)i},B={0,l,2},且A=則m=

2

29.已知a$R,且〃i+——=1,貝

a+i

30.已知復(fù)數(shù)Z],Z2滿足Zj+24=3-i,|z?-Z]|=1,則憶-2i|的最大值為.

考點04:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算

設(shè)Zi=a+Z?i,z2=c+di(a,b,c,d&R),我們規(guī)定:

Z1?z2=(a+bi)(c+成)=(ac—bd)+(be+ad)i

Z]_a+bi_(a+bi)(c-di)_ac+bd^bc-ad.

1222

z2c+di(c+成)(c一di)c+dc+d

(1)兩個復(fù)數(shù)相乘,類似兩個多項式相乘，在所得的結(jié)果中把產(chǎn)換成-1，并且把實部與虛部分別合并.兩

個復(fù)數(shù)的積仍然是一個復(fù)數(shù).

(2)在進行復(fù)數(shù)除法運算時，通常先把除式寫成分式的形式，再把分子與分母都乘以分母的共甄復(fù)數(shù)

(分母實數(shù)化)，化簡后寫成代數(shù)形式.

31.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=的實部與虛部相等，則實數(shù)。的值為()

A.13B.-1C.1D.3

“一tk2-mi.

32.已知=1,則二=()

1+nin

A。—B.--C.2D.-2

A22

33.已知i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)2=M(aeR)的實部是虛部的2倍，則〃=()

A.--B.-C.--D.4

3322

34.已知i是復(fù)數(shù)的虛數(shù)單位，且7歷(a⑦eR),則a+6的值為.

35.已知復(fù)數(shù)Z=2+ai(aeR),z?=3+i,如果自為純虛數(shù)，那么a=.

Z2

36.已知awR,復(fù)數(shù)z="|(i是虛數(shù)單位)，若ZER,則”_______,|z+i|=_________.

1-1

2

37.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，設(shè)z+—=Q(〃￡C).

Z

(1)若a=2,求z；

(2)若aeR,求忖.

38.解答下列各題：

(1)已知Z是復(fù)數(shù)，z-3i為實數(shù)，T為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，求復(fù)數(shù)z；

⑵已知復(fù)數(shù)Z=(l+i)%2-3而+2i-l,實數(shù)加為何值時，復(fù)數(shù)2表示的點位于第四象限.

39.已知復(fù)數(shù)z是方程Y+2x+2=0的解，

⑴求z；

(2)若Imz>0,且---z=b—i(a,6wR,i為虛數(shù)單位)，求|a+例.

Z

40.已知復(fù)數(shù)4=(a+i)2,z2=4-3i,其中。是正實數(shù).

(1)若Z|=%,求實數(shù)。的值;

(2)若五是純虛數(shù)，求。的值.

Z2

考點05:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程的一般思路是:依據(jù)題意設(shè)出方程的根,代入方程,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求解.對

于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)負數(shù)是能開方的，此外，根與系數(shù)的關(guān)

系也是成立的.注意求方程中參數(shù)的取值時，不能利用判別式求解.

注意：由于虛數(shù)單位i的特殊性，不能用判別式判斷復(fù)系數(shù)一元二次方程有無實數(shù)根.

41.關(guān)于x的方程/+x+l=O在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根是4,"則下列說法正確的是()

A.Z；=lB.Z；=Z2C.z；°24=Z]D.Z；=Z2

42.下列說法正確的是()

A.i2024=1

B.若㈤則Z]>Z2

C.z-z=|z|

D.若2+3i是關(guān)于龍的方程x2+px+q=0(p,qeR)的根，則p=-4

43.已知i是虛數(shù)單位，下列說法中正確的是()

A.若4，z?互為共朝復(fù)數(shù)，則邸="「=42

B.若復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=3,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在以點(1,0)為圓心，3為半徑的圓上

C.復(fù)數(shù)5+4i與-2+5i分別表示向量力與赤，則表示向量旗的復(fù)數(shù)為-7+i

D.若2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+g=0的一個根，其中乙4為實數(shù)，貝Up=12

44.已知x是方程尤2一2%+5=0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根，貝U|x|=.

45.若虛數(shù)i是方程f-px+q=0(p,qeR)的一個根，貝.

46.若關(guān)于龍的實系數(shù)方程》2_,2-3后卜+左=0有兩實部為1的共軟虛根，則上=—.

47.已知復(fù)數(shù)z”zz分另IJ為方程/一2》+6=0的兩根，則Z；+2Z2=.

48.設(shè)i是虛數(shù)單位，應(yīng)人是關(guān)于x的方程/一(2+加)*+左=0的兩根，且滿足同+期=3.

(1)若1=2+行，求加與上的值；

(2)若機=0,求k的值.

49.已知關(guān)于％的實系數(shù)一元二次方程f+2x+機=0的兩根為玉,馬.

(1)若4聲為虛數(shù)，Im玉＞0,且曷=2,求4和加的值；

⑵若|巧-引=3,求加的值.

50.(1)已知復(fù)數(shù)z=3+歷(其中i為虛數(shù)單位)滿足|z-2i|=5,求實數(shù)b的值；

(2)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，解方程：5X2-2X+1=0.

參考答案與試題解析

考點鞏固卷11復(fù)數(shù)(五大考點)

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考點01：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系

考點02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

考點03:復(fù)數(shù)相等的充要條件

考點04:復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算

考點05:在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程

原名屈技巧及考克制焦

考點01:復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系

按照復(fù)數(shù)的幾何表示法，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個

點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即

復(fù)數(shù)z=a+6＜一一對應(yīng)＞復(fù)平面內(nèi)的點的a,b）

這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義.

復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一

對應(yīng)的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù).

設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,8）表示復(fù)數(shù)z=a+4（a,6eR）,向量無由點Z（a,6）唯一確定；反過來，點

Z（a,b）也可以由向量打唯一確定.

復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)的向量無所成的集合是一一對應(yīng)的，即

復(fù)數(shù)z=a+加〈］二對、平面向量方

1.當(dāng)1＜后＜2時，復(fù)數(shù)M-2+i）+（4-i）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)參數(shù)范圍分別判斷實部和虛部范圍進而判斷點的象限即可.

【詳角單】因為k（一2+i）+（4—i）=—2左+4+（%—l）i，且1＜左＜2,

所以-2次+4＞0,左一1＞0,

則復(fù)數(shù)%（-2+i）+（4-i）在復(fù)平面上對應(yīng)的點（-2左+4,左-1）位于第一象限.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)4=罟的實部為a,Z2=i（2+i）的虛部為人貝iJz=a+0+l）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】由復(fù)數(shù)的除法得到4,從而得到實部。的值，由復(fù)數(shù)的乘法得到Z2,從而得到虛部b的值，從而得

到z,得到對應(yīng)的點，得到所在象限.

【詳解】=棄=l+2i,z,=i（2+i）=-l+2i,所以。=1力=2,所以z=l+3i,

1-11-11+1

其在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為（1,3）,位于第一象限.

故選：A.

3.已知復(fù)數(shù)z滿足z（3+i）=3+i2°24,其中i為虛數(shù)單位，則Z的共輾復(fù)數(shù)乞的虛部為（）

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算法則化簡求出Z,再由共軌復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的概念，即可得到所求.

【詳解】z（3+i）=3+i2024,i2020=（i2）1012=（-1）1012=1,

44（3-i）2.

:.z（3+i）=4,3+i-（3+i）（3-i）-5-51

的共輾復(fù)數(shù)彳的虛部為：2,

故選：D.

4.虛數(shù)z滿足z?+（3-i）z+2-i=0,貝ijz的虛部為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得（。+2乂。+1）=6。-1）①，b（2a+3）=a+l②，即可將選項中的值代入驗證.或者

利用因式分解求解。

【詳解】解法一：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷,（a,beR）,

貝?。荩╫+歷J+（3-i）（o+6i）+2-i=0,化簡得（片-廳+3a+6+2）+（2a6+36-<7-l）i=0,

cr-+3a+6+2=0

,即（a+2）（a+1）=1）①，Z?（2a+3）=a+1②

lab+3b—a—1=0

此時，對于選項中的值，代入：

若6=1,則〃=-2,符合要求，

4

若b=-l,由②得〃=-§,但不符合①，故舍去，

若6=2,由②得a=-g,但不符合①，故舍去，

若6=-2,由②得。=-],但不符合①，故舍去，

綜上可得b=l

故選：A

解法二：由z?+(3—i)z+2—i=0可得z?+3z+2=i(z+l),

故(z+l)(z+2)=i(z+l)n(z+l)(z+2-i)=0,故z=—l或z=-2+i,

由于z為虛數(shù)，故z=—2+i,

故虛部為1,

故選：A

5.復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2024-i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的虛部為()

2025.「2025—2023-2023.

A.--------1B.---------C.------D.------1

2222

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)除法運算法則求出復(fù)數(shù)z即可得復(fù)數(shù)z的虛部.

2024-i(2024-i)(l-i)2023-2025i20232025.

【詳解】由題Z=----------------=-----------------1

1+i(l+i)(l-i)222

2025

故復(fù)數(shù)z的虛部為-

故選:B.

6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)4=1-2]/2=-3+有對應(yīng)的向量為函,礪，其中。是原點，則下列說法正確的是()

A.復(fù)數(shù)句的虛部為一2iB.復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點在第一象限

C.當(dāng)。=T時，復(fù)數(shù)a+zzi?為純虛數(shù)D.向量原對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4-6i

【答案】BC

【分析】選項A,利用復(fù)數(shù)的定義可知選項A錯誤；利用復(fù)數(shù)的幾何意義，即可判斷出選項B和D的正誤;

選項C,利用復(fù)數(shù)的運算，即可判斷出選項C的正誤.

【詳解】對于選項A,因為q=l-2i,所以復(fù)數(shù)4的虛部為—2,故選項A錯誤,

對于選項B,因為zj=l-2i,所以I=l+2i,故復(fù)數(shù)I對應(yīng)的點為(1,2),在第一象限，所以選項B正確，

對于選項C,因為Zz=-3+4i,又。=T,所以a+Zzi3=-4+(-3+4i)i3=-4+3i-4i2=3i,故選項C正確,

對于選項D,因為函=(1,-2),礪=(-3,4),所以羽=礪-礪=(-4,6),

得到向量在對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-4+6i,所以選項D錯誤,

故選：BC.

7.若復(fù)數(shù)z滿足：z(l-i)=i2025(其中i是虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為N,則下列說法正確的是()

,11.

A.z的虛部是-B.Z=-----F—1

222

,1

C.D.z?z=一

2

【答案】CD

【分析】利用復(fù)數(shù)的運算性質(zhì),即可作出判斷.

i迫+i)-1+i11.

【詳解】由Z(l_i)=i2°25=j得:z----------------=------1—1,

1-i(l-i)(l+i)222

所以Z的虛部是故A是錯誤的;

-11

由2=故B是錯誤的；

由忖=-工+匕=1=1,故C是正確的;

1122V442

由zN=|z『=(,故D是正確的；

故選：CD.

8.已矢口復(fù)數(shù)2y菌足(l+2i)z=ll+2i,貝I()

A.z的虛部為TB.z=-3+4i

C.z+3為純虛數(shù)D.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡復(fù)數(shù)為z=3-4i,結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.

,、ll+2i(ll+2i)(l-2i)

【詳解】由復(fù)數(shù)(l+2i)z=ll+2i,可得z=^J。+2n=3-不，

對于A中，由2=3-4i的虛部為-4,所以A正確；

對于B中，由z=3-4i,可得z=3+4i，所以B不正確；

對于C中，由z=3-4i,可得z+3=6-4i不是純虛數(shù)，所以C錯誤；

對于D中，由z=3-4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z(3,T)位于第四象限，所以D正確.

故選：AD.

9.若2才+泮,則()

A.忖=2

B.的虛部為8

1l-8i

,1+z665

D.l-z6在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限

【答案】BC

【分析】根據(jù)化簡復(fù)數(shù)得z=l-i,即可由模長公式求解A,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方可得z6=8i,根據(jù)虛部的概念

即可求解B,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可求解C,根據(jù)復(fù)數(shù)l—z6=l-8i對應(yīng)的點為(1,-8)即可求解D.

【詳解】z"+46=7+04)4=1,故忖=夜，A錯誤.

6633

z=(i-i)=(-2i)=-8i=8i,B正確.

1l-8il-8i

1+z6-(l+8i)(l-8i)--65-,。正確，

1-z6=1-8i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(1,-8)位于第四象限，D錯誤.

故選：BC

z

10.復(fù)數(shù)z=3—4i,則=的虛部為.

【答案】-，/22

【分析】由復(fù)數(shù)的除法化簡，再由復(fù)數(shù)虛部的定義得解.

z3-4i(3—4i)(2—i)211.11

【詳解】復(fù)數(shù)z=3-4i,則7~一丁一二一小，此復(fù)數(shù)的虛部為

2r+12+1(2+i)(2-i.)、555

故答案為：--

考點02:復(fù)數(shù)模及幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+加<]座—復(fù)平面內(nèi)的點zg,b）

復(fù)數(shù)z=a+切（一:對應(yīng)—>平面向量方

11.已知復(fù)數(shù)2=。（4+1）-0（4€11）,則下列選項正確的是（）.

A.若z為純虛數(shù)，貝!|a=0或-1

B.若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則。€（-1,0）

C.若a=2,貝咽=26

D.若a=-2,則彳=2-2i

【答案】BD

【分析】根據(jù)純虛數(shù)特征求參判斷A選項；根據(jù)復(fù)數(shù)的象限判斷實部虛部范圍解不等式判斷B選項，應(yīng)用

模長公式計算判斷C選項，應(yīng)用共輾復(fù)數(shù)判斷D選項.

【詳解】若z為純虛數(shù)，貝!JI八）,所以〃=-1,故A不正確；

wO

若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，則+所以a?T,0）,故B正確；

[-a>0

若。=2,則z=6—2i,所以目=，6?+（-2）2=2廂,故C不正確；

若”=一2,則z=2+2i,所以2=2-2i,故D正確.

故選：BD.

12.已知復(fù)數(shù)Z|=-2+ai,z2=?-4i（aeR）,則下列說法正確的是（）

A.|zi|<|z2|B.存在實數(shù)。，使得z"為實數(shù)

C.若4+z?為純虛數(shù)，貝!|a=2D.（Z]+Z2『=匕+z?『

【答案】AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長計算判斷A選項，應(yīng)用實數(shù)和純虛數(shù)定義判斷B,C選項，根據(jù)模長及乘方運算判

斷D選項.

【詳解】因為|z/=J（-2『+/=，/+4,忤|=/（-4）2+/=右2+16,所以團<目,A正確；

因為ZjZ?=(-2+ai)(a-4i)=-2a+8i+a2i_4ai2=2a+(a2+8)i,a2=_8無實數(shù)解，B選項錯誤;

因為Z1+Z2=〃一2+(々—4)i為純虛數(shù),貝唯，即a=2,C選項正確;

當(dāng)a=0時，Z]=-262=—4i,Z]+z2=—2—4i,

則(Z|+Z2『=4+I6i-16=-12+I6i,|z]+Z2「=1(-2)。+(-4)2=20,D選項錯誤.

故選：AC.

13.已知4，Z2eC,且復(fù)平面內(nèi)4對應(yīng)的點為Z,則下面說法正確的有()

4=

A.

Z2z?

B.若z/2=0,則Z],Z2中至少有1個是0

C.滿足|z「1+方區(qū)2的點Z形成的圖形的面積為2無

若閡=1,則z；+二+3的最小值為1

D.

Z1

【答案】ABD

【分析】設(shè)復(fù)數(shù)4=。+歷/2=c+di,(a,b,c,deR),對于A,分別計算二-，五即可；對于B,根據(jù)2危=0可

ac—bd=0cc

得,,c即可判斷；對于C,由|z「l+2i|<2可得(°-1)2+(6+2)2W4即可判斷；對于D,由|z"=l得

aa+be=\)

/+/=1,并計算Z；+4+3=—4/+5即可計算最小值.

4

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)4=。+歷/2=c+di,(a,6,c,dwR),

a-bi_(a-bi)(c-di)_ac-bd-{ad+bc)i

對于A,4=a-bi,則會

c+di(c+di)(c-di)c2+d2

所以Zi_kac-bd>\~~(-ad-bc^_yj(ac-bd)+(ad+bc)_Ja?+/

22+222222

Z2vU+^Jlc+dJc+dy/c+d

22

?Zilyja+b%,,.A

而一i=/i；=一，故A正確；

Z2止+/z?

對于B,若Z[Z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+Z?c)i=0,

ac—bd=0ac=bd

則,即貝!Ia2cd=-b1cd或abc1=-abd2,

ad+be=0ad=-be

貝Ua=Z?=O或。=d=0,則Zi,Z2中至少有1個是0,故B正確；

對于c,|Z|-l+2i|=|a-l+S+2）i|=J（a-1>+（6+2）242,

所以（“-1）2+3+2）244,所以點z形成的圖形面積為4兀，故C錯誤;

對于D,因為|Z]|=1,所以/+/=],

且z；=(Q+bi)2-a1-b2+2abi,

所以4+/+3=片"+2防+八，2西+3

a2-b1-2abi

=a-b2+2abi++3

(a2-b2+2abi)(a2-b2-2abi)

a2-b1-2abi

-b2+2abi++3=2(4—〃)+3

(a2-b2)2+4a2b2

=—4/+5,_ao<z?<i

所以—4/+521,

21。

所以4+二+3最小值為1,故D正確.

故選：ABD.

14.已知復(fù)數(shù)2=巫詈，則（）

2-V2i

A.z的實部為YZ2

B.z的虛部為—§

6

C.|z|=—D.2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

112

【答案】AC

【分析】復(fù)數(shù)除法化簡的Z,再根據(jù)復(fù)數(shù)Z的實部、虛部、模和共輾復(fù)數(shù)的幾何意義判斷各個選項;

（0+i）（2+商F）?

【詳解】由題意得2=7~點一=+所以z的實部為叱，虛部為彳，故A正確B錯誤;

（2-V2i）（2+V2i）6363

,彳在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故C正確D錯誤;

15.已知復(fù)數(shù)4/2,則下列命題中正確的是（）

A.若團=閭,則Zz=±Z]

B.z、.z?=z、.z?

c.若Z2=z「則㈤=|zj

D.若|Z1+Z2|=|Z「Z2|,則乎2=。

【答案】BC

【分析】舉反例排除AD,設(shè)z=a+歷,Z2=c+%(a,b,c,deR),根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)和求模長的公式判斷

BC,從而得解.

【詳解】A選項，令z=I,Z2=i,則閔=|z4=l,但不滿足Z2=±z，A錯誤;

B選項，=a+bi,z2=c+(A^a,b,c,dGR),則4?z2=(ac-")+(ad+bc)i,

Z1-z2=^ac—bd^—(<ad+bc^i,zi-z2=^a—bi)(c—di)=(ac—bd^—^ad+bc^i,:.zx-z2=zx-z2,B正確；

C選項，設(shè)4=。+歷(a,beR),則Zz=a-6i,則㈤=同=Ja2+戶團=㈤，C正確;

D選項,令Z]=l,Z2=i,則/+爸|=|4一馬|=應(yīng),但不滿足z/2=0,D錯誤.

故選：BC.

16.已知z是復(fù)數(shù)，1是其共軌復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是()

A.z2=|2|2

B.若z=(l-2i『，則復(fù)平面內(nèi)[對應(yīng)的點位于第二象限

C.若|z|=l,則|z-l-i|的最大值為0+1

D.若l-3i是關(guān)于x的方程/+/+4=0(，〃1i)的一個根，則q=10

【答案】BCD

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式計算判斷A；利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B；求出復(fù)數(shù)三判斷C；利用復(fù)數(shù)相等

求出《判斷D.

【詳解】對于A,設(shè)z=a+6i(a/eR),則|z『=a?=(“+歷丫=°?一廿十？“歷，z'M，A錯誤；

對于B,z=(l-2i)2=-3-4i,z=—3+4i,則復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點位于第二象限，B正確；

對于C,由目=1知，在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z的點在以原點為圓心的單位圓上，可看作該單位圓上的

點到點。,1)的距離，則距離最大值為亞+1，C正確;

對于D,依題意，(l—3i)2+p(l-3i)+q=0,整理得(0+4-8)+(-3p-6)i=O,

[p+q-8=0

而p,qeR,因此｛,解得p=-2,q=10,D正確.

[-3p-6=0

故選：BCD

17.若復(fù)數(shù)40是方程Y-2x+5=0的兩根，則()

A.z”Z2虛部不同B.z”Z2在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱

C.|Z1|=A/5D.芻產(chǎn)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于第三象限

2—i

【答案】ABC

【分析】利用一元二次方程的虛根是共軌，并加以計算，就可以判斷各選項.

2+4i

【詳解】由方程d-2x+5=0的求根公式可得：z^—=l+2i,z2=l-2i,

故A正確；

由句,句在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為。,2),(1,-2),顯然關(guān)于實軸對稱，故B正確；

由區(qū)|=|1+或=石，故C正確；

由十上二F二它對應(yīng)的點位于第一象限，故D錯誤；

2-12-1(2-i)(2+i)555

故選：ABC.

18.已知復(fù)數(shù)4,Z2滿足歸-倒斗0-5i|,|z2-l+2i|=2(i為虛數(shù)單位)，和馬是方程2^+3依+/_q=o

(aeR)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是()

A.卜-引的最小值為！B.卜-引的最小值為4

C.當(dāng)。<”1時，則同+岡=包羅D.當(dāng)一8<a<0時，則㈤+同=j2(/_q)

【答案】AD

【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，在復(fù)平面內(nèi)畫出點4,4的軌跡方程，可判斷AB選項；復(fù)數(shù)范圍解一元

二次方程，討論判別式△>(),△<()分別求解，用根與系數(shù)的關(guān)系化簡求值，在去掉絕對值號時又需進一步

對a的取值進行分類討論，進而可判斷CD選項.

【詳解】設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點分別為4(孑,%)4(%,%),

由?歸—倒?=上?—5i?|得％=93,所以4在直線y9上.

由,一1+2胃=2得（々-1）2+小+2）2=4,所以心在圓尸：。-1）2+（了+2）2=4上.

如圖所示：

對于A：邑-即表示復(fù)平面內(nèi)圓尸上的點Z2到直線y=-|上點兀的距離，

所以卜-刁的最小值為-4-13=g,故A正確；

對于B：卜-卻表示復(fù)平面內(nèi)圓尸上的點Z?到直線y=|上點4的距離，

Q9

所以艮-旬的最小值為：-0=3故B錯誤；

對于CD：因為外,尤2是方程2f+3依+〃2-〃=0（。wR）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根,

匚3cia-a

助*以石+/=---，^.%2=---?

若A=9〃-8/+8。20,即。20或。4一8,此時王，無

M+民I=加|+艮［=舊+*+2㈤同=,(1+%)2-24%+21引=^a2-(a2-a)+\a2-a

由得心1或。40,

當(dāng)04°<1時，崗+民|=J、。?-a)=J；/+2a,故C錯誤；

若A=9/_8/+8q<0,即—8<a<0,此時，玉,馬為一對共軌虛根，

㈤+同=2年|==2&&=2dxix2=2=不2(/_,故D正確.

故選：AD.

19.已知復(fù)數(shù)4=3-2i,(l+i)-z2=l-3i,則()

A.z2=-l-2iB.z「2zz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限

C.[Z]+Z?|=2|Z2|D.4?為純虛數(shù)

【答案】ABC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算可得Z2=-l-2i,即可判斷A,根據(jù)復(fù)數(shù)的減法運算以及幾何意義可判斷B,根

據(jù)模長公式可判斷C,根據(jù)乘法運算，結(jié)合純虛數(shù)定義可判斷D.

[詳解](l+i)-Z2=l_3inz2=*^_^=_=故A正確，

4—2z2=3—2i—2(-1—2i)=5+2i,對應(yīng)的點為(5,2),故B正確，

2222

%+z2=2-4i,.-.|Z1+zj=^2+(-4)=275,21z21=2^(-1)+(-2)=2下,故卜+z?|=2|z2|,C正確，

z「Z2=(3—2i)(-l—2i)=-3-6i+2i+4i2=-7-4i,不為純虛數(shù)，故D錯誤，

故選：ABC

20.設(shè)4，z?為復(fù)數(shù)，下列說法正確的是().

A.%「=z；B.上兇引馬閆

C.若I=Z2,則㈤=團D.若4+Z?是實數(shù)，貝。z—z?為純虛數(shù)

【答案】BC

【分析】對于AD：舉反例說明即可；對于B：根據(jù)乘法運算結(jié)合模長公式分析判斷；對于C：根據(jù)共輾復(fù)

數(shù)的定義結(jié)合模長公式分析判斷.

【詳解】設(shè)4=〃+歷，z2=c+di,a,b,c,dGR,

對于選項A：例如4=-i,貝兩者不相