2025屆北京市西城35中數(shù)學高一上期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆北京市西城35中數(shù)學高一上期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，分別是的中點，則直線與平面所成角的余弦值為A. B.C. D.2．△ABC的內角、、的對邊分別為、、,若,,,則（）A. B.C. D.3．已知角的終邊在射線上，則的值為（）A. B.C. D.4．如圖，四面體中，，且，分別是的中點，則與所成的角為A. B.C. D.5．已知，，，則a、b、c的大小順序為（）A. B.C. D.6．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間0,+∞A.y=-x2C.y=x37．已知集合，則集合中元素的個數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.48．在空間直角坐標系中，點關于平面的對稱點是A. B.C. D.9．計算(16A.-1 B.1C.-3 D.310．已知直線：和直線：互相垂直，則實數(shù)的值為（）A.－1 B.1C.0 D.2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)在內恰有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍為______12．已知任何一個正實數(shù)都可以表示成，則的取值范圍是________________；的位數(shù)是________________．（參考數(shù)據(jù)）13．已知定義域為R的偶函數(shù)滿足，當時，，則方程在區(qū)間上所有的解的和為___________.14．集合，用列舉法可以表示為_________15．已知一組樣本數(shù)據(jù)5、6、a、6、8的極差為5，若，則其方差為________.16．已知，，則的值為三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱柱中，平面，，在線段上，，.（1）求證：；（2）試探究：在上是否存在點，滿足平面，若存在，請指出點的位置，并給出證明；若不存在，說明理由.18．已知集合，，（1）求；（2）若，求m的取值范圍19．已知，（1）求，的值；（2）求的值20．榴彈炮是一種身管較短，彈道比較彎曲，適合于打擊隱蔽目標和地面目標的野戰(zhàn)炮，是地面炮兵的主要炮種之一．為中國共產(chǎn)黨建黨100周年獻禮，某軍工研究所對某類型榴彈炮進行了改良．如圖所示，建立平面直角坐標系，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為．改良后的榴彈炮位于坐標原點．已知該炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標（1）求該類型榴彈炮的最大射程；（2）證明：該類型榴彈炮發(fā)射的高度不會超過21．某單位安裝1個自動污水凈化設備，安裝這種凈水設備的成本費（單位：萬元）與管線、主體裝置的占地面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.1，為了保證正常用水，安裝后采用凈水裝置凈水和自來水公司供水互補的用水模式．假設在此模式下，安裝后該單位每年向自來水公司繳納水費為，記y為該單位安裝這種凈水設備費用與安裝設備后每年向自來水公司繳水費之和（1）寫出y關于x的函數(shù)表達式；（2）求x為多少時，y有最小值，并求出y的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】設正方體的棱長為，如圖，連接，它們交于，連接，則平面，而，故就是直線與平面所成的余角，又為直角三角形且，所以，，設直線與平面所成的角為，則，選C.點睛：線面角的計算往往需要先構造面的垂線，必要時還需將已知的面的垂線適當平移才能構造線面角，最后把該角放置在容易計算的三角形中計算其大小.2、C【解析】由已知利用余弦定理可求的值,利用等腰三角形的性質可求的值.【詳解】解：∵,,,∴由余弦定理可得,求得：c＝1.∴∴.故選：C.【點睛】本題主要考查了余弦定理在解三角形中應用,屬于基礎題.3、A【解析】求三角函數(shù)值不妨作圖說明，直截了當.【詳解】依題意，作圖如下：假設直線的傾斜角為，則角的終邊為射線OA，在第四象限，，，，用同角關系：，得；∴；故選：A.4、B【解析】設為中點，由中位線可知，所以就是所求兩條之間所成的角，且三角形為等腰直角三角形你給，所以.考點：空間兩條直線所成的角.【思路點晴】求異面直線所成的角常采用“平移線段法”，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移.計算異面直線所成的角通常放在三角形中進行.平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決5、D【解析】由對數(shù)的運算性質可判斷出，而由已知可得，從而可判斷出，進而可比較大小詳解】由，故，因為，所以，因為，所以，所以，即故選：D6、A【解析】根據(jù)基本函數(shù)的性質和偶函數(shù)的定義分析判斷即可【詳解】對于A，因為f(x)=-(-x)2=-x2=f(x)，所以y=-x2是偶函數(shù)，對于B，y=2x是非奇非偶函數(shù)，所以對于C，因為f(-x)=(-x)3=-x3對于D，y=lnx=lnx,x>0故選：A7、D【解析】由題意，集合是由點作為元素構成的一個點集，根據(jù)，即可得到集合的元素.【詳解】由題意，集合B中元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，共4個．故選D【點睛】與集合元素有關問題的思路：（1）確定集合的元素是什么，即確定這個集合是數(shù)集還是點集（2）看這些元素滿足什么限制條件（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性8、C【解析】關于平面對稱的點坐標相反，另兩個坐標相同，因此結論為9、B【解析】原式=故選B10、B【解析】利用兩直線垂直的充要條件即得.【詳解】∵直線：和直線：互相垂直，∴，即.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)實數(shù)a的正負性結合零點存在原理分類討論即可.【詳解】當時，，符合題意，當時，二次函數(shù)的對稱軸為：，因為函數(shù)在內恰有一個零點，所以有：，或，即或，解得：，或，綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：12、①.②.【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性及對數(shù)運算、對數(shù)式指數(shù)式的轉化即可求解.【詳解】因為，所以，由，故知，共有31位.故答案為：；3113、【解析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)，函數(shù)的性質，再在同一坐標系內作出兩個函數(shù)圖象，結合圖象計算作答.【詳解】當時，，則函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)值從減到0，而是R上的偶函數(shù)，則函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)值從0增到，因，有，則函數(shù)的周期是2，且有，即圖象關于直線對稱，令，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，值域為，且圖象關于直線對稱，在同一坐標系內作出函數(shù)和的圖象，如圖，觀察圖象得，函數(shù)和在上的圖象有8個交點，且兩兩關于直線對稱，所以方程在區(qū)間上所有解的和為.故答案為：【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).14、##【解析】根據(jù)集合元素屬性特征進行求解即可.【詳解】因為，所以，可得，因為，所以，集合故答案為：15、2【解析】根據(jù)極差的定義可求得a的值，再根據(jù)方差公式可求得結果.【詳解】因為該組數(shù)據(jù)的極差為5，，所以，解得.因為，所以該組數(shù)據(jù)的方差為故答案為：.16、3【解析】，故答案為3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）因為面，所以，結合就有面，從而.（2）取，在平面內過作交于，連結.可以證明四邊形為平行四邊形，從而，也就是平面.我們還可以在平面內過作，交于，連結.通過證明平面平面得到平面.【詳解】解析：（1）∵面，面，∴.又∵，，面，，∴面，又面，∴.（2）（法一）當時，平面.理由如下：在平面內過作交于，連結.∵，∴，又，且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴，又面，面，∴平面.（法二）當時，平面.理由如下：在平面內過作，交于，連結.∵，面，面，∴平面，∵，∴，∴，又面，面，∴平面.又面，面，，∴平面平面.∵面，∴平面.點睛：證明線面平行，我們既可以在已知平面中找出與已知直線平行的直線，通過線面平行的判定定理去考慮，也可以利用構造過已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.18、（1）（2）【解析】（1）先求得集合A，再由集合的補集運算和交集運算可求得答案；（2）根據(jù)條件建立不等式組，可求得所求范圍.【小問1詳解】因為，，所以，【小問2詳解】因為，所以解得．故m的取值范圍是19、（1），（2）【解析】（1）首先利用誘導公式得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系計算可得；（2）利用誘導公式化簡，再將弦化切，最后代入求值即可；【小問1詳解】解：因為，，所以，又解得或，因為，所以【小問2詳解】解：20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）解一元二次方程即可求得該類型榴彈炮的最大射程；（2）以二次函數(shù)在給定區(qū)間求值域的方法去解決即可.【小問1詳解】令，得，由實際意義和題設條