江蘇省泰州市名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省泰州市名校2025屆高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.123．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A. B.C. D.4．曲線(xiàn)上存在兩點(diǎn)A，B到直線(xiàn)到距離等于到的距離，則（）A.12 B.13C.14 D.155．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.6．已知直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.7．已知A（3，2），點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上移動(dòng)，為使取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.8．函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.9．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.110．若數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A. B.C. D.11．函數(shù)在上的最小值為（）A. B.C.-1 D.12．設(shè)是雙曲線(xiàn)與圓在第一象限的交點(diǎn)，，分別是雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知、是空間內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，如果空間向量滿(mǎn)足，且，，則對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為_(kāi)_____14．已知函數(shù)，，則曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為_(kāi)__________.15．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是___________.16．已知，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，C上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，且直線(xiàn)的斜率之積等于（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交C于A，B兩點(diǎn)，若，其中，證明：18．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線(xiàn)與所成角的余弦值19．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，是1和的等差中項(xiàng)（1）求角；（2）若的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求的面積20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在第一象限且為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，向量的夾角為（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線(xiàn)l的方程22．（10分）已知，是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)A在橢圓C上，且的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P、Q，直線(xiàn)BP與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)BQ與x軸交于點(diǎn)N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對(duì)于命題，僅當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于命題，由且開(kāi)口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B2、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.3、C【解析】依題意有，解得，所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列的基本概念.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題時(shí)可以考慮化歸為和等基本量，通過(guò)建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè),即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問(wèn)題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運(yùn)用方程的思想解等差數(shù)列是常見(jiàn)題型，解決此類(lèi)問(wèn)題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過(guò)“設(shè)而不求，整體代入”來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算4、D【解析】由題可知A，B為半圓C與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，利用韋達(dá)定理及拋物線(xiàn)的定義即求.【詳解】由曲線(xiàn)，可得，即，為圓心為，半徑為7半圓，又直線(xiàn)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，依題意可知A，B為半圓C與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)，由，得，設(shè)，則，，∴.故選：D.5、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則焦距為，故選：B.6、A【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出圓O到直線(xiàn)l的距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m等于.故選：A7、B【解析】設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可知，即可根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為故選：B8、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求出【詳解】依題可知，在上恒成立，即在上恒成立，所以故選：A9、B【解析】先畫(huà)出可行域，由，作出直線(xiàn)向下平移過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取得最小值，然后求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中可求得答案【詳解】由題可得其可行域?yàn)槿鐖D，l：，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B10、C【解析】利用前項(xiàng)積與通項(xiàng)的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.11、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故.故選：D.12、B【解析】先由雙曲線(xiàn)定義與題中條件得到，，求出，，再由題意得到，即可根據(jù)勾股定理求出結(jié)果.【詳解】解：根據(jù)雙曲線(xiàn)定義：，，∴，∴，，，∴是圓的直徑，∴，中，，得故選【點(diǎn)睛】本題主要考查求雙曲線(xiàn)的離心率，熟記雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知可設(shè)，，，根據(jù)已知條件求出、、的值，將向量用坐標(biāo)加以表示，利用空間向量的模長(zhǎng)公式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)椤⑹强臻g內(nèi)兩個(gè)單位向量，且，所以，，因?yàn)?，則，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，解得，則，因?yàn)?，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、，的最小值為.故答案為：.14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.【詳解】由，求導(dǎo)，知，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.故答案為：15、【解析】先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出，進(jìn)而求出準(zhǔn)線(xiàn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)為，則，解得：，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：.故答案為：16、【解析】求導(dǎo)，得到，寫(xiě)出切線(xiàn)方程.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）由橢圓定義可得到，再利用斜率公式及直線(xiàn)的斜率之積等于，列出方程，化簡(jiǎn)對(duì)比系數(shù)可得；（2）分直線(xiàn)l的斜率為0和不為0兩種情況討論，利用可得到T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的中垂線(xiàn)即可得到證明.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)镃上的點(diǎn)M滿(mǎn)足，所以C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且，即，，所以，設(shè)，則，①所以直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，由已知得，即，②由①②得，所以C的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0時(shí)，A與重合，B與重合，，，成立.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l的方程為聯(lián)立方程組，消x整理得所以，解得或設(shè)，則，由，得，所以設(shè)，由，得，所以，所以，所以點(diǎn)T在直線(xiàn)上，且，所以是等腰三角形，且，所以，綜上，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題第二問(wèn)突破點(diǎn)是證明T在定直線(xiàn)上，且該直線(xiàn)是的垂直平分線(xiàn)，從而得到，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，轉(zhuǎn)化化歸思想.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成角的余弦值為19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項(xiàng)得到，再利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關(guān)系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)得到求解；（2）由和求得b，c的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，所以；?）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更適合，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線(xiàn)的定義求解；（2）聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，根據(jù)的夾角為，由求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意知：，由拋物線(xiàn)的定義知：，由，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由，得，則，，則，，因?yàn)橄蛄康膴A角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.21、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線(xiàn)l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問(wèn)1詳解】∵短軸長(zhǎng)為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∵當(dāng)直線(xiàn)l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線(xiàn)l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線(xiàn)l的方程為：或.22、（1）