上海市南匯中學2025屆數學高一上期末質量檢測模擬試題含解析

上海市南匯中學2025屆數學高一上期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積是（）A.12512πC.1256π2．已知函數，對于任意，且，均存在唯一實數，使得，且，若關于的方程有4個不相等的實數根，則的取值范圍是A. B.C. D.3．函數f（x）=的定義域為A.[1，3）∪（3，+∞） B.（1，+∞）C.[1，2） D.[1，+∞）4．已知函數在區(qū)間上是單調增函數，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.5．是第四象限角，，則等于A. B.C. D.6．若三點在同一直線上，則實數等于A. B.11C. D.37．直線與函數的圖像恰有三個公共點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.8．函數的零點所在的區(qū)間為（）A.(，1) B.(1，2)C. D.9．定義在上的函數滿足，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.10．下列函數中，既是偶函數，又在區(qū)間上單調遞增的函數是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數f（x）＝，設a∈R，若關于x的不等式f(x)在R上恒成立，則a的取值范圍是__12．已知圓及直線，當直線被圓截得的弦長為時，的值等于________.13．設集合，,則_________14．下面四個命題：①定義域上單調遞增；②若銳角，滿足，則；③是定義在上的偶函數，且在上是增函數，若，則；④函數的一個對稱中心是；其中真命題的序號為______.15．設a>0且a≠1，函數fx16．在空間直角坐標系中，點和之間的距離為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點，研究表明：“活水圍網”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度（單位：尾/立方米）的函數.當不超過4尾/立方米時，的值為2千克/年：當時，是的一次函數，當達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，的值為0千克/年.（1）當時，求關于的函數解析式；（2）當養(yǎng)殖密度為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.18．已知函數，，.（1）若函數與的圖象的一個交點的橫坐標為2，求a；（2）若，求證：.19．已知函數，（其中，，），的相鄰兩條對稱軸間的距離為，且圖象上一個最高點的坐標為.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求的單調遞減區(qū)間；（Ⅲ）當時，求的值域.20．義域為的函數滿足：對任意實數x,y均有，且，又當時，.（1）求的值，并證明：當時，；（2）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.21．設兩個向量，，滿足，.（1）若，求、的夾角；（2）若、夾角為，向量與夾角為鈍角，求實數的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由矩形的對角線互相平分且相等即球心到四個頂點的距離相等推出球心為AC的中點，即可求出球的半徑，代入體積公式即可得解.【詳解】因為矩形對角線互相平分且相等，根據外接球性質易知外接球球心到四個頂點的距離相等，所以球心在對角線AC上，且球的半徑為AC長度的一半，即r=12AC=故選：C【點睛】本題考查球與幾何體的切、接問題，二面角的概念，屬于基礎題.2、A【解析】解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A點睛：本題中涉及根據函數零點求參數取值，是高考經常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數后轉化為函數的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數的圖象與參數的交點個數；（3）轉化為兩熟悉的函數圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.3、D【解析】由根式內部的代數式大于等于0，分式的分母不為0兩類不等式組求解【詳解】要使原函數有意義，需滿足，解得x≥1.∴函數f（x）=的定義域為[1，+∞）故選D.【點睛】本題考查函數的定義域及其求法，解題的關鍵是是根式內部的代數式大于等于0，分式的分母不為04、B【解析】根據二次函數的圖象與性質，可知區(qū)間在對稱軸的右面，即，即可求得答案.【詳解】函數為對稱軸開口向上的二次函數，在區(qū)間上是單調增函數，區(qū)間在對稱軸的右面，即，實數的取值范圍為.故選B.【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，明確二次函數的對稱軸、開口方向與函數的單調性的關系是解題關鍵.5、B【解析】由的值及α為第四象限角，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα的值，即可確定出的值【詳解】由題是第四象限角，則故選B【點睛】此題考查了同角三角函數間的基本關系，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵6、D【解析】由題意得：解得故選7、C【解析】解方程組，得，或由直線與函數的圖像恰有三個公共點，作出圖象，結合圖象，知∴實數的取值范圍是故選C【點睛】本題考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用8、D【解析】為定義域內的單調遞增函數，計算選項中各個變量的函數值，判斷在正負，即可求出零點所在區(qū)間.【詳解】解：在上為單調遞增函數，又，所以的零點所在的區(qū)間為.故選：D.9、B【解析】對變形得到，構造新函數，得到在上單調遞減，再對變形為，結合，得到，根據的單調性，得到解集.【詳解】，不妨設，故，即，令，則，故在上單調遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據在上單調遞減，故，綜上：故選：B10、D【解析】根據常見函數的單調性和奇偶性可直接判斷出答案.【詳解】是奇函數，不滿足題意；的定義域為，是非奇非偶函數，不滿足題意；是非奇非偶函數，不滿足題意；是偶函數，且在區(qū)間上單調遞增，滿足題意；故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、﹣≤a≤2【解析】先求畫出函數的圖像，然后對的圖像進行分類討論，使得的圖像在函數的圖像下方，由此求得的取值范圍.【詳解】畫出函數的圖像如下圖所示，而，是兩條射線組成，且零點為.將向左平移，直到和函數圖像相切的位置，聯(lián)立方程消去并化簡得，令判別式，解得.將向右平移，直到和函數圖像相切的位置，聯(lián)立方程消去并化簡得，令判別式，解得.根據圖像可知【點睛】本小題主要考查分段函數的圖像與性質，其中包括二次函數的圖像、對勾函數的圖像，以及含有絕對值函數的圖像，考查恒成立問題的求解方法，考查數形結合的數學思想方法以及分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.形如函數的圖像，是引出的兩條射線.12、【解析】結合題意，得到圓心到直線的距離，結合點到直線距離公式，計算a，即可【詳解】結合題意可知圓心到直線的距離，所以結合點到直線距離公式可得，結合，所以【點睛】考查了直線與圓的位置關系，考查了點到直線距離公式，難度中等13、【解析】根據集合的交集的概念得到.故答案為14、②③④【解析】由正切函數的單調性，可以判斷①真假；根據正弦函數的單調性，結合誘導公式，可以判斷②的真假；根據函數奇偶性與單調性的綜合應用，可以判斷③的真假；根據正弦型函數的對稱性，我們可以判斷④的真假，進而得到答案【詳解】解：由正切函數的單調性可得①“在定義域上單調遞增”為假命題；若銳角、滿足，即，即，則，故②為真命題；若是定義在上的偶函數，且在上是增函數，則函數在上為減函數，若，則，則，故③為真命題；由函數則當時，故可得是函數的一個對稱中心，故④為真命題；故答案為：②③④【點睛】本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，函數單調性的性質，偶函數，正弦函數的對稱性，是對函數性質的綜合考查，熟練掌握基本初等函數的性質是解答本題的關鍵15、1,0【解析】令指數為0即可求得函數圖象所過的定點.【詳解】由題意，令x-1=0?x=1,y=1-1=0，則函數的圖象過定點（1,0）.故答案為：（1,0）.16、【解析】利用空間兩點間的距離公式求解.【詳解】由空間直角坐標系中兩點間距離公式可得.故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大為千克/立方米.【解析】（1）由題意：當時，．當時，設，在，是減函數，由已知得，能求出函數（2）依題意并由（1），，根據分段函數的性質求出各段的最大值，再取兩者中較大的即可，由此能求出結果【詳解】解：（1）由題意：當時，當時，設，顯然在，減函數，由已知得，解得，，故函數（2）依題意并由（1）得，當時，為增函數，且當時，，所以，當時，的最大值為12.5當養(yǎng)殖密度為10尾立方米時，魚年生長量可以達到最大，最大值約為12.5千克立方米【點睛】(1)很多實際問題中，變量間關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數模型.(2)求函數最值常利用基本不等式法、導數法、函數的單調性等方法．在求分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據題意，分析可得，變形解可得答案；（2）根據題意，設，結合二次函數的性質分析可得，當時，恒成立，即可得結論【小問1詳解】根據題意，若函數與的圖象的一個交點的橫坐標為2，則，變形可得或，解可得；無解；故；【小問2詳解】證明：設，當時，，其對稱軸為，又由，則其對稱軸，又由，在區(qū)間，上為增函數，則，當時，，開口向上，當時，，必有恒成立，綜合可得：當是，恒成立，即恒成立19、（1）（2）（3）【解析】（Ⅰ）由相鄰兩對稱軸間距離是半個周期可求得，再由最高點為可得A，；（Ⅱ）利用正弦函數的單調性，解不等式可得減區(qū)間；（Ⅲ）由已知求得，由正弦函數的性質可得值域試題解析：（Ⅰ）相鄰兩條對稱軸間距離為，，即，而由得，圖象上一個最高點坐標為，，，，，，.（Ⅱ）由，得，單調減區(qū)間為.（Ⅲ），，，的值域為.20、(1)答案見解析；(2)或.【解析】(1)利用賦值法計算可得，設，則，利用拆項：即可證得：當時，；(2)結合(1)的結論可證得是增函數，據此脫去f符號，原問題轉化為在上恒成立，分離參數有：恒成立，結合基本不等式的結論可得實數的取值范圍是或.試題解析：(1)令，得，令，得，令，得，設，則，因為,所以;(2)設，

,

因為所以，所以為增函數,所以,

即,上式等價于對任意恒成立，因為，所以上式等價于對任意恒成立，設，（時取等），所以，解得或