2024年中考數(shù)學試題分類訓練：等腰三角形與直角三角形

專題19等腰三角形與直角三角形（28題）

一、單選題

1.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，在“WC中，ZA=90°,AB=AC=6,。為邊3c的中點，點E,

b分別在邊AB,AC上，AE=CF,則四邊形AED廠的面積為（）

A.18B.9A/2C.9D.6航

【答案】C

【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是

解題關(guān)鍵.連接AD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及AE=CF得出VADE咨VCDF,將四邊形AED廠的

面積轉(zhuǎn)化為三角形ADC的面積再進行求解.

【解析】連接AD,如圖：

VZBAC=9Q°,AB=AC=6,點。是3。中點，AE=CF：.ZBAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC：.

NADE^/CDF,S四邊形=$△的+=S^CFD+S^ADF=S^ADC=-S^ABC又：5AAsc=6x6x5=18

S四邊形AEDF=5'.c=9故選，C

2.(2024.青海?中考真題)如圖，在RtzXABC中，。是AC的中點，NBDC=60。,AC=6,則BC的長是

()

B.6C.73D.3A/3

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到△血）C等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【解析】：在RtZXABC中，NABC=90。，。是AC的中點，，BD=gAC=C￡）,：/5￡>。=60。，ABDC

等邊三角形，ABC=Cr>=iAC=|x6=3.故選，A.

3.（2024.四川廣元?中考真題）如圖，將AABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到VADE,點8,C的對應點分別

為點、D,E,連接CE,點。恰好落在線段CE上，若8=3,BC=1,則AD的長為（）

【答案】A

【分析】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，由旋轉(zhuǎn)得AC=AE,NCAE=90。,

DE=BC=l,推出"CE是等腰直角三角形，CE=4,過點A作于點X,得到HD=1,利用勾

股定理求出AO的長.

【解析】由旋轉(zhuǎn)得△ABC/△ADE,ZCAE=90°,：.AC=AE,ZCAE=90°,DE=BC=1,AACE1是

等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,過點A作AHLCE于點H,AX=gcE=CH=HE=2,

HD=HE—DE=2—l=l,：.AD=VAH2+HD2=A/22+12=，故選，A.

4.（2024.內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在扇形中，ZAOB=80°,半徑。4=3,C是上一點，連

接OC,。是OC上一點，且8=￡>C,連接3Z>.若BDLOC,則AC的長為（）

C

OlB

,兀

A.—7D.兀

6

【答案】B

【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)；連接3C,根據(jù)8=OC，

BDA.OC,易證△O8C是等腰三角形，再根據(jù)O8=OC,推出△O3C是等邊三角形，得到NBOC=60。,

即可求出NAOC=20。，再根據(jù)弧長公式計算即可.

【解析】連接3C,OD=DC,BD±OC,:.OB=BC,，△O8C是等腰三角形，/OB=OC,

OB=OC=BC,△OBC是等邊三角形，二N30c=60。，；ZAOB=80°,---ZAOC=ZAOB-ZBOC=20°,

5.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）小明同學手中有一張矩形紙片AB8,A￡>=12cm,CD=10cm,他進

行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對折，使與8c重合，得到折痕肱V,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把△"雙沿AN折疊得到△ADW,交折痕于點E,則線段

EN的長為（）

24248

【答案】B

【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)推出=進而得出E4=4V,設(shè)E4=AN=xcm,貝!!

￡M=（12-x）cm,根據(jù)勾股定理可得：AM2+ME2=AE^列出方程求解即可.

【解析】??,四邊形ABCD是矩形，.;AB=CD=10cm,由折疊可得：AMAB=5cm,AD=AD,=12cm,

MN_LAB,ZZM7V=ZD'A7V,四邊形TW?是矩形，AD,MN=AD=\2cm,：.ZDAN=ZANM,

:.ZANM=NDAN,：.EA=EN,設(shè)E4=E7V=xcm,貝I」=(12-x)cm,在Rt/XAME中，根據(jù)勾股定

169169

理可得：AM-+ME2=AE2,即52+(127)0-=/，解得：x=詈，即硒=詈而，故選，B.

6.(2024?福建?中考真題)小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案.如圖，其中AW

與AODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線/對稱，點E,b分別是底邊A3,8的中點，OEVOF.下

列推斷錯誤的是()

A.OBVODB.Z.BOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=180°

【答案】B

【分析】本題考查了對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等；

A.由對稱的性質(zhì)得NAO3=NDOC,由等腰三角形的性質(zhì)得NBOE=；NAOB,ZDOF=^ZDOC,即可

判斷;

B.N30c不一定等于NAO3,即可判斷；

C.由對稱的性質(zhì)得^OAB^ODC,由全等三角形的性質(zhì)即可判斷；

D.過。作GA7_L,可得NGOD=ZBOH,由對稱性質(zhì)得NBOH=NCOH同理可證ZAOM=ZBOH,

即可判斷；

掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解析】A.；OE_LO尸，.?.NBOE+NBO=90。，由對稱得NAO3=NDOC,1?點E,P分別是底邊A3,

8的中點，與AODC都是等腰三角形，.?./反出=工/4。8,ZDOF=-ZDOC,

22

.-.ZBOF+ZDOF=90°,:.OB±OD,結(jié)論正確，故不符合題意；B.N8OC不一定等于NAQB,結(jié)論錯

誤，故符合題意；C.由對稱得組AODC,：點E,尸分別是底邊AB,CD的中點，二OE=O尸，結(jié)

論正確，故不符合題意；過。作GAf_LOH,ZGOD+ZDOH=90°,ZBOH+ZDOH=90°,

Z.GOD=Z.BOH,由對稱得NBOH=NCOH,/./GOD=Z.COH,同理可證ZAOM=Z.BOH,

^AOD+^BOC=ZAOD+ZAOM+Z.DOG=180°,結(jié)論正確，故不符合題意；故選，B.

7.（2024.內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）等腰三角形的兩邊長分別是方程9_10芯+21=0的兩個根，則這個三角形

的周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得%=3,

%=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三角形的周長，掌

握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【解析】由方程爐-10欠+21=0得，占=3,%=7,?；3+3<7,...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,故選，C.

8.（2024.內(nèi)蒙古呼倫貝爾.中考真題）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,以點A為圓心，適當長為

半徑畫弧分別交AB,AC于點M和點N,再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交

于點P,連接”并延長交5c于點￡>.若AACD的面積為8,則的面積是（）

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，由作圖知AD平

分/BAD,則可求Na4Z>=NZMB=3O。，利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得出CD=gAO,利用等角對

等邊得出A￡>=9,進而得出8=38。，然后利用面積公式即可求解.

【解析】VZC=90°,ZB=30°,：.ZCAB=60°,由作圖知：AD平分々AD,NOW=NZMB=30。，

.]S5CD,ACCD]

?*.CD=-AD,ZB=ZBAD,：.AD=BD,：.CD=-BD,=[-------=一=一,

BD

22乂.LBD.AC2

2

又AACD的面積為8,...△ABD的面積是2x8=16,故選B.

9.（2024?安徽?中考真題）如圖，在RtZXABC中，AC=3C=2,點。在AB的延長線上，且CD=AB,

則的長是（）

C.20-2D.2V2-V6

【答案】B

【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，勾股定理，過點。作上LCB的延長

線于點E,則N8￡E>=90。，由NACB=90。，AC=BC=2,可得45=20，ZA=ZABC=45°,進而得

到CD=2及，ZDBE=45°,即得為等腰直角三角形，得到=設(shè)DE=BE=x,由勾股定理

得（2+X『+X2=（2&『，求出X即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【解析】過點。作DE_LC8的延長線于點E,則NBED=9O。，VZACB=90°,AC=BC=2,：.

AB2+展=20，ZA=ZABC=45°,:.CD=2五,"BE=45。,ZkBDE為等腰直角三角形，

DE=BE,^DE=BE=x,貝?。軨E=2+x,在Rt^CDE中，CE2+DE2=CD',，（2+xp+Y=（20『，解

得玉=石-1,x2=-43-1（舍去），DE=BE=S\,：.80=若-=瓜_五,故選，B.

10.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，等邊AA5c鋼架的立柱CDLAB于點。，A3長12m.現(xiàn)將鋼架立

柱縮短成DE,NBED=60°.則新鋼架減少用鋼（）

A.（24-125/3）mB.（24-8括）mC.（24-6^）mD.（24-4^）m

【答案】D

【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形的應用.利用三角函數(shù)的定義分別求得DE=2石,

BE==AE,CD=6^3,利用新鋼架減少用鋼=AC+3C+GD-AE-3E-DE,代入數(shù)據(jù)計算即可求

解.

【解析】?.,等邊AABC,CD_LAB于點。，A3長12m,/.AD=BD=-AB=6m,,：ZBED=60°,：.

—2

tan60°==邪>>??DE=26,??BE=y]DE2+BD~=4-\/3=AE，,NCBD=60°,..

ZJzi

CD=BD-tanNCBD=?D=6如m,BC=AC=AB=11m,.?.新鋼架減少用鋼

=AC+fiC+CD-AE-=24+6A/3-8A/3-2A/3=（24-4>/3）m,故選，D.

11.（2024.天津中考真題）如圖，"C中，ZB=30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△￡>￡C,點A,3

的對應點分別為。,E,延長剛交DE于點尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關(guān)性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得NBCE=NACD=60。，結(jié)合/B=30°，即可得證3CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析AC〃DE不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算

得出A和C選項是錯誤的.

【解析】記即與CE相交于一點氏如圖所示。：AABC中，將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到△￡>￡右，

NBCE=ZACD=60°:ZB=30°在ABHC中，ZBHC=180O-ZBCE-AB=90°；.BFLCE故D選項

是正確的，符合題意；設(shè)ZACH=X。；.ZACB=60°-x。,：NB=30°

ZEDC=ABAC=180°-30°-（60°-X°）=90°+X°：.ZEDC+ZACD=90°+x°+60°=150°+x°?/X。不一定等

于30。；.NEDC+NACr（不一定等于180。；.AC〃DE'不一定成立，故B選項不正確，不符合題意；：

ZAC5=60°ZACD=60°,X。不一定等于0。；.NACB=NACD不一定成立，故A選項不正確，不符合

題意；：將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到ADEC,：.AB=ED=EF+FD：.BA>EF&C選項不正確，

不符合題意；故選，D

E、

二、填空題

12.（2024?浙江?中考真題）如圖，D,E分別是AABC邊A3,AC的中點，連接BE,DE.若

ZAED=ZBEC,DE=2,則BE的長為

【答案】4

【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出/C=NAED=NBEC,得出BE=3C=4

【解析】E分別是“8C邊A3,AC的中點，...OE是44BC的中位線，.?.DE〃3C,3c=2。石=4,

NAED=ZC,?/ZAED=ZBEC,：.ZC=ZBEC,：.BE=BC=4,故答案為：4

13.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在平面直角坐標系X0Y中，已知A（3,0）,B（0,2）,過點3作V軸

的垂線/,尸為直線/上一動點，連接尸。，PA,則尸。+”的最小值為.

【分析】本題考查軸對稱一最短問題以及勾股定理和軸對稱圖形的性質(zhì).先取點A關(guān)于直線I的對稱點A,

連4。交直線/于點C,連AC,得到AC=4C,A'Arl,再由軸對稱圖形的性質(zhì)和兩點之間線段最短,

得到當O,P,A'三點共線時，PO+PA的最小值為40,再利用勾股定理求4。即可.

【解析】取點A關(guān)于直線/的對稱點A,連4。交直線/于點C,連AC,則可知AC=AC,AA^l,：.

PO+PA=PO+PA:>AO,即當。,P,A'三點共線時，尸0+24的最小值為HO,：直線/垂直于y軸，，

軸，VA（3,0）,B（0,2）,AO=3,A4'=4,.?.在RtAAN。中，=y/o^+AA'-=732+42=5-

故答案為：5

14.(2024?天津?中考真題)如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,F,G均在格點上.

(1)線段AG的長為；

(2)點E在水平網(wǎng)格線上，過點A,E,尸作圓，經(jīng)過圓與水平網(wǎng)格線的交點作切線，分別與AE,AF

的延長線相交于點3,C,AABC中，點〃在邊3c上，點N在邊A3上，點P在邊AC上.請用無刻度

的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點〃，N,尸，使△A/A下的周長最短，并簡要說明點N,P的

位置是如何找到的(不要求證明).

【答案】72圖見解析，說明見解析

【分析】此題考查了勾股定理、切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確作圖是解題的關(guān)鍵.

(1)利用勾股定理即可求解；

(2)作點M關(guān)于A3、AC的對稱點M2,連接“%、MXM2,分別與A3、AC相交于點E、P,

△AEVP的周長等于的長，等腰三角形的腰長為AM，當AM的值最小時，的值最小，

此時M是切點，由此作圖即可.

【解析】(1)由勾股定理可知，AG=VFTF=e，故答案為：也(2)如圖，根據(jù)題意，切點為

連接ME并延長，與網(wǎng)格線相交于點取圓與網(wǎng)格線的交點。和格點連接QH并延長，與網(wǎng)格線相

交于點22；連接Mi"?，分別與A3,AC相交于點N,P,則點N,尸即為所求.

15.（2024.甘肅臨夏.中考真題）如圖，等腰AABC中，AB=AC=2,ABAC=120°,將AABC沿其底邊中

線AD向下平移，使A的對應點A滿足則平移前后兩三角形重疊部分的面積是.

【分析】本題考查平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三線合一,根據(jù)平移的性質(zhì)，推出AA'EFS狀B'C,

根據(jù)對應邊上的中線比等于相似比，求出E尸的長，三線合一求出的長，利用面積公式進行求解即可.

【解析】?.,等腰AABC中，AB=AC=2,ZBAC=120°,：.ZABC=3O°,：AD為中線，AAD±BC,

BD=CD,AD=^AB=1,BD=^AD=M,：.BC=^,,將AABC沿其底邊中線AD向下平移，

EFA!DI

rrf

ABC//BC,BC=BC=273,AG=AD=19：.------=——,VAA=-AD,

BCAG3

門4，_2._22.EF_A'D_22”4也.

DA=3AD=3AG=3,?■^C=^=3,"EF^3BC^~r，

S陰.二工=逑x2二生8；故答案為：述.

陰影223399

16.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）矩形AB8的面積是90,對角線AC,交于點。，點E是5c邊的

三等分點，連接OE,點尸是DE的中點，OP=3,連接CP,則尸C+尸石的值為.

【答案】13或血位

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理.當CE＞彼時，利用三角形中位線定理

求得CE=12,再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得OE的長，再根據(jù)斜邊中線的性質(zhì)即可求解；當

CEcBE時，同理求解即可.

【解析】當CE>3E時，如圖,

?.,矩形ABCD,.?.點。是的中點，：點P是DE的中點，，3E=2OP=6,CP=PE=PD,，：點、E是

3c邊的三等分點，；.CE=2BE=12,BC=3BE=18,:矩形的面積是90,/.BCxCD=90,：.

CD=5,DE=6+122=13,:.PC+PE=DE=13；當時，如圖，

?.,矩形ABCD,.?.點。是BD的中點，：點P是DE的中點，，BE=2OP=6,CP=PE=PD,二?點E是

3c邊的三等分點，ACE=-BE=3,8c=3+6=9,?矩形ABCD的面積是90,；.BCxCD=90,：.

2

CD=1O,：.DE=y/32+102=V109?PC+PE=DE=y/109；故答案為：13或TH后.

17.（2024.山東.中考真題）如圖，已知上A￡4N,以點A為圓心，以適當長為半徑作弧，分別與4欣、AN

相交于點3,C；分別以3,C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在4S4N內(nèi)部相交于點尸，

作射線AP.分別以A,3為圓心，以大于343的長為半徑作弧，兩弧相交于點。，E,作直線OE分別

與AB,AP相交于點/，Q.若AB=4,/PQE=67.5。，則歹到4V的距離為.

【答案】6

【分析】如圖，過尸作尸H-LAC于證明NBAP=NCAP,DEJ.AB,AF=BF=^AB=2,再證明

ZFAH=45°,再結(jié)合勾股定理可得答案.

【解析】如圖，過歹作”_LAC于H,由作圖可得：ZBAP=ZCAP,DEJ.AB,AF=BF=\AB=2,

2

,/ZPQE=67.5°,/.ZAQF=67.5°,Z.BAP=Z.CAP=90°-67.5°=22.5°,AZFAH=45°,：.

AH=F〃=^AF=&,.,.尸到AN的距離為也；故答案為：也

2

18.（2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題）已知矩形紙片ABC。，AB=5,18c=4,點尸在邊3c上，連接AP,

將AAB尸沿AP所在的直線折疊，點B的對應點為B',把紙片展平，連接8?,CB',當V3C方為直角三角

形時，線段CP的長為.

3

【答案】!■或2

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況進

行討論：當NBCB，=90。時，當NBB'C=90。,分別畫出圖形，求出結(jié)果即可.

【解析廠??四邊形AB8為矩形，NBCD=4DC=NABC=NR4r>=90。，AB=CD=5,AD=BC=4,

當NBCB，=90。時，如圖所示：

,/ZBCD=90。，...點B'在8上，根據(jù)折疊可知：AB'=AB=5,3尸=UP,設(shè)CP=x，則8P=37=4—x,

?*-DB'-y/AB'2-AD2=752-42=3-CB'=DC-DB'=5-3=2,在RbCBP中，根據(jù)勾股定理得：

B'P2=B'C2+CP2,BP（4-X）2=22+X2,解得：x=j,BPCP=|；

當NBBC=90。，如圖所示：

根據(jù)折疊可知：BP=B'P,：.ZPBB'=ZPB'B,XPBB'+ZBCB'=90°,XPB'B+ZPB'C=90°,：.

3

NBCB，=NCB，P,:.PC=PB,：.PC=PB,?；BC=BP+PC=4,：.CP=2；綜上分析可知：CP.

3

或2.故答案為：1^2,

19.（2024?四川內(nèi)江?中考真題）如圖，在44BC中，ZABC=60°,BC=8,E是5c邊上一點，且3E=2,

點/是AA5C的內(nèi)心，口的延長線交AC于點。，尸是3。上一動點，連接PE、PC,則PE+PC的最小

值為.

【答案】2A

【分析】在A3取點R使斯=3E=2,連接尸尸，CF,過點尸作ML8c于X,利用三角形內(nèi)心的

定義可得出NA8r>=NCBZ）,利用SAS證明A&7NAB￡P(guān),得出PF=PE,則尸E+PC=PF+PCNC尸，當

C、P、尸三點共線時，尸E+尸C最小，最小值為C/，利用含30。的直角三角形的性質(zhì)求出神，利用勾

股定理求出FH,。產(chǎn)即可.

【解析】在A3取點E使BF=BE=2,連接P/，CF,過點/作加1_3C于X,是AABC的內(nèi)心，

BI平分^ABC,：.ZABD=NCBD,又BP=BP,/.ABFP^ABEP（SAS）,/.PF=PE,：.

尸E+PC=P尸+尸CWCF,當C、P、歹三點共線時，尸E+產(chǎn)C最小，最小值為。尸，：FH±BC,ZABC=6O°,

：.ZBFH=30°,：.BH=^BF=1,；-FH=《BF?-BH?=也，CH=BC-BH=1,：.CF=^CH2+FH2=2713-

PE+PC的最小值為2jB.故答案為：2岳.

20.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，在AABC中，AB=5,tanNC=2,則AC+的最大值為

5

c

【答案】572

【分析】過點3作8D_LAC,垂足為。，如圖所示，利用三角函數(shù)定義得到AC+或BC=AC+DC,延

5

長。。到E,使￡C=CD=尤，連接跖，如圖所示，從而確定AC+占BC=AC+Z)C=AC+CEuAE,

5

ZE=45°,再由輔助圓-定弦定角模型得到點E在。。上運動，AE是。。的弦，求AC+好3c的最大值就

5

是求弦AE的最大值，即AE是直徑時，取到最大值，由圓周角定理及勾股定理求解即可得到答案.

【解析】過點3作3D，AC,垂足為￡),如圖所示:

tanZC=2,?一.在RtA^CD中，設(shè)OC=x,則BD=2x,由勾股定理可得BC=6r，，生=；=g,

BCy/5x5

即好8C=￡)C,---AC+—BC=AC+DC,延長。。到E,使EC=CD=x,連接班，如圖所示:

55

---AC+—BC=AC+DC=AC+CE=AE,--BD±DE,DE=2x=BD,.?.△友宏是等腰直角三角形,

5一

則NE=45。，在AABE中，AB=5,NE=45°,由輔助圓-定弦定角模型，作AABE的外接圓，如圖所示:

二由圓周角定理可知，點E1在＜3。上運動，AE是。。的弦，求AC+好BC的最大值就是求弦AE的最大

5

值，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，當弦AE過圓心。，即AE是直徑時，弦最大，如圖所示：

//7\

//\\

\0/\\

1/1/

八"一JB

?.?AE是。。的直徑，---ZABE=90°,-.-ZE=45°,二△ABE是等腰直角三角形，；AB=5,:.BE=AB=5,

則由勾股定理可得AE=FFT^F=5直，即AC+^BC的最大值為5&，故答案為：5叵.

三、解答題

21.（2024?陜西?中考真題）如圖，已知直線/和/外一點A,請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角AABC,

使得頂點B和頂點C都在直線/上.（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作

法）

A

*

【分析】本題考查了等腰直角三角形的定義，尺規(guī)作圖.過點A作相，/,垂足為3,再在直線/上截取

點C,使3C=AB,連接AC,則AABC是所求作的等腰直角三角形.

解：等腰直角如圖所示：

22.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）數(shù)學老師在課堂上給出了一個問題，讓同學們探究.在中,

ZACB=90°,ABAC=30。，點。在直線3c上，將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,過點E

作E尸〃3C,交直線AB于點尸.

（1）當點。在線段3。上時，如圖①，求證：BD+EF=AB；

分析問題：某同學在思考這道題時，想利用構(gòu)造全等三角形，便嘗試著在A3上截取AM=EF,

連接DM,通過證明兩個三角形全等，最終證出結(jié)論：

推理證明：寫出圖①的證明過程：

探究問題:

（2）當點。在線段3c的延長線上時，如圖②：當點。在線段CB的延長線上時，如圖③，請判斷并直接

寫出線段3。，EF,A3之間的數(shù)量關(guān)系;

拓展思考：

(3)在(1)(2)的條件下，若AC=66,CD=2BD,則EF=

【分析】（1）在A3邊上截取AM=EF,連接ZW,根據(jù)題意證明出△ZMMZAAE*SAS）,得到AF=DM,

然后證明出是等邊三角形，得到==進而求解即可；

⑵圖②:在3D上取點H,使BH=AB,連接AH并延長到點G使AG=AF,連接DG,首先證明出AABH

是等邊三角形，得到44H=60。，然后求出NR4H=ND4E,然后證明出AE4￡2AG4D（SAS）,得到

EF=DG,ZAFE=NG,然后證明出△OHG是等邊三角形，得到DH=OG=EF,進而求解即可；

圖③：在E尸上取點H使AH=AF,同理證明出△E4H0A4DB（AAS）,得到3￡>=A”，AB=EH,進而

求解即可；

（3）根據(jù)勾股定理和含30。角直角三角形的性質(zhì)求出3c=6,AB=12,然后結(jié)合8=2皿，分別（1）

（2）的條件下求出3D的長度，進而求解即可.

解：（1）證明：在邊上截取=連接DM.

在Rt^ABC中，ZB=90°-ZBAC=90°-30°=60°.

EF||BC,

NEFB=NB=60°.

又；NEAD=60°,

:.NEFB=NEAD.

y.\ZBAD=ZEAD-ZEAF,ZAEF=ZEFB-ZEAF,

:.ZBAD=ZAEF.

又AD=A瓦AM二麻，

/.△ZMM^AAEF(SAS).

.\AF=DM.

/.ZAMD=ZEFA=180。—ZEFB=180。-60°=120°.

/.ZBMD=180°-ZAMD=180°-120°=60°.

vZB=60°,

:.ZBMD=ZB=ZBDM.

:.^BMD是等邊三角形.

:.BD=BM=DM,

AB=EF+BD；

(2)圖②：當點。在線段6C的延長線上時，AB=BD-EF,證明如下：

如圖所示，在6。上取點H,使BH=AB,連接AH并延長到點G使AG=AF,連接。G,

*.?ZABC=60°,

**?^ABH是等邊三角形，

ZBAH=60°,

??,線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE,

AZDAE=60°,AE=AD,

；?ZBAH=ZDAE,

AZBAH-ZEAH=ZDAE-ZEAH,ZBAE=ZHAD,

又「AG=AF,

：.AE4E^AG4D(SAS),

:.EF=DG,ZAFE=ZG,

,:BD〃EF,

ZABC=ZF=ZG=60°,

丁ZDHG=ZAHB=60°,

???△OHG是等邊三角形，

:.DH=DG=EF,

：.AB=BH=BD-DH=BD-EF；

圖③：當點。在線段C3的延長線上時，AB=EF-BD,證明如下：

如圖所示，在石尸上取點〃使AH=AF,

?:EF//BC,

：./F=ZABC=60。,

'：AH=AF,

八47m是等邊三角形，

ZAHF=ZHAF=60°,

ZAHE=120°,

??,將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,

AAD=AE,ZDAE=60°,

：.ADAB+AEAH=180°-AEAD-AHAF=60°,

Z￡>+/DAB=ZABC=60°,

:.ZD;NEAH,

*：ZDBA=180?！猌ABC=120°=ZEHA,

又???=

???△E4H^AADB（AAS）,

:?BD=AH,AB=EH,

?：AH=FH,

：.BD=HF,

:.AB=EH=EF-FH=EF-BD；

（3）如圖所示，

A

E

F/

M//

B^DC

圖①

ZBAC=30°,ZC=90°,

；?AB=2BC,AB2=BC2+AC2,

A（2BC）2=BC2+（6A/3）2,

BC=6,

：.AB=2BC=12,

CD=2BD,BC=BD+CD,

：.CD=-BC=2,

3

由（1）可知，BD+EF=AB,

：.EF=AB-BD=12-2=10；

如圖所示，當點。在線段6c的延長線上時,

VCD<BD,與CD=26￡>矛盾，

1?不符合題意；

如圖所示，當點。在線段C5的延長線上時,

?:CD=2BD=BD+BC,BC=6,

：.BD=BC=6,

由（2）可知，AB=EF-BD,

;AB=2BC=12,

EF=AB+B￡>=12+6=18.

綜上所述，￡F=10或18.

23.(2024?江西?中考真題)追本溯源：

題(1)來自于課本中的習題，請你完成解答，提煉方法并完成題(2).

(1)如圖1,在AABC中，3。平分/ABC,交AC于點，過點。作3c的平行線，交于點E,請

判斷△8DE的形狀，并說明理由.

方法應用：

(2)如圖2,在YABCD中，BE平分NABC,交邊AD于點E,過點A作交。。的延長線于點尸，

交3c于點G.

①圖中一定是等腰三角形的有()

A.3個B.4個C.5個D.6個

②已知AB=3,BC=5,求CF的長.

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和

等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵；

(1)利用角平分線的定義得到NAB￡>=NCB￡>,禾I」用平行線的性質(zhì)得到N3￡>E=NCB￡>,推出

ZBDE=ZABD,再等角對等邊即可證明ABOE是等腰三角形；

(2)①同(1)利用等腰三角形的判定和性質(zhì)可以得到四個等腰三角形；

②由①得〃4=小，利用平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

解：(1)ABDE是等腰三角形；理由如下：

,/RD平分/ABC,

ZABD=ZCBD,

,/DE//BC,

：.ZBDE=ZCBD,

ZBDE=ZABD,

：.EB=ED,

/.ABDE是等腰三角形；

(2)①：YABCD中，

AE//BC,AB//CD,

AED

F

同⑴ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

,：AFY.BE,

/.NBAF=NEAF,

'：AE//BC,AB//CD,

：.NBGA=NEAF,ZBAF=AF,

,：NBGA=NCGF,

：.ZBGA=ABAG,NDAF=NF,4CGF=NF,

：.AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即AME、AABG、AADF,△CGE是等腰三角形；共有四個，故選，B.

②：YABCD中，AB=3,BC=5,

：.AB=CD=3,BC=AD=5,

由①得ZM=Z)F,

CF=DF-CD=5-3=2.

24.(2024?山東威海?中考真題)感悟

如圖1,在AABE中，點C,。在邊跖上，AB=AE,BC=DE.求證：ZBAC=AEAD.

圖1

應用

（1）如圖2,用直尺和圓規(guī)在直線3C上取點。，點E（點。在點E的左側(cè)），使得NEAD=NA4C,且

DE=BC（不寫作法，保留作圖痕跡）;

A

圖2

(2)如圖3,用直尺和圓規(guī)在直線AC上取一點。，在直線3c上取一點E,使得NCE>E=NBAC,且

DE=AB(不寫作法，保留作圖痕跡).

圖3

【分析】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)、尺規(guī)作圖：

證明,即可求得ABAC=Z.EAD；

應用(1)：以點A為圓心，以A3長度為半徑作弧，交直線3c于一點，該點即為點E,以點A為圓心，

以AC長度為半徑作弧，交直線3C于一點，該點即為點。，連接AD,AE；

應用(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點。，以點C為圓心，

以3C長為半徑作弧，交直線3c于一點，該點即為點E,連接DE.

解：感悟：

,/AB=AE,

：.ZB=ZE.

在AABC和△AED中

AB=AE

<NB=NE

BC=DE

：.Z^ABC^/\AED.

：.ZBAC=ZEAD.

應用：

(D：以點A為圓心，以A3長度為半徑作弧，交直線3c于一點，該點即為點E,以點A為圓心，以AC

長度為半徑作弧，交直線于一點，該點即為點O,連接A￡>,AE,圖形如圖所示.

A

BCD7E

(2)：以點C為圓心，以AC長為半徑作弧，交AC的延長線于一點，該點即為點D,以點C為圓心，以5c

長為半徑作弧，交直線3。于一點，該點即為點E,連接DE,圖形如圖所示.

根據(jù)作圖可得：CD=AC,CE=BC,

又ZACB=NDCE,

^ACB=^DCE,

:?NCDE=ZBAC,DE=AB.

25.(2024.黑龍江大興安嶺地?中考真題)已知AABC是等腰三角形，AB=AC,ZMAN=^ZBAC,/MAN

在NA4C的內(nèi)部，點M、N在3C上，點M在點N的左側(cè)，探究線段初/、NC、之間的數(shù)量關(guān)系.

由ZBAC=90。，AB=AC可知，將AAC2V繞點4順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到^ABP，則CW=3尸且NPBM=90°,

連接尸易證△AMP烏△4WN,可得VP=V7V,在RtAP3M中，BM?+BP?=M產(chǎn),則有

BM2+NC2^MN2.

(2)當ZBAC=60。時，如圖②：當NBAC=120。時，如圖③，分別寫出線段8"、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)

系，并選擇圖②或圖③進行證明.

【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30度角所對的直角邊等于斜邊的一

半，勾股定理等知識，選②，以點B為頂點在AABC外作NABK=60。，在BK上截取BQ=CN,連接QAQM,

過點。作。HLBC,垂足為X,構(gòu)造全等三角形，得出AN=AQ,/CAN=NQAB,再證明

/\AQM^AANM,得到肱V=QM；在RtZ\QHM中由勾股定理得QH2+HA"=,即

、22

BQ+\BM+^BQ\=QM\整理可得結(jié)論；選③方法同②

7

解：圖②的結(jié)論是：BM2+NC2+BM-NC=MN2

證明：AB=AC,ZBAC=60°,

「?ziASC是等邊二角形,

ZABC=ZACB=60°,

以點8為頂點在AABC外作NABK=60。，在