上海市松江某中學2024-2025學年高三年級上冊開學考試數(shù)學試卷

松江二中2025屆高三數(shù)學第一學期開學考數(shù)學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

1.已知集合4={—1,0,1,2},5={司0<%<3},則AB=.

2.在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是（1,2）,貝Ui-z=.

3.在（4-2了的展開式中，/的系數(shù)為.

丫2

4.雙曲線--V=i的兩條漸近線的夾角為.

3

3

5.已知向量〃=（一1,2）/=（f,2）,且cos〈a,b〉=丁則X=.

6.函數(shù)“X）在R上可導，若/'（2）=3,則螞"2+3Ax七/（2二用=.

'123、

7.已知隨機變量X的分布為111，且-=必+3,若石用=—2,則實數(shù)。=.

J36>

8.正方體ABC。-A4G2的棱長為2,尸為棱CG的中點，△§「2以呂口為軸旋轉(zhuǎn)一周，則得到的旋

轉(zhuǎn)體的表面積是.

9

9.已知集合A=---->l,xeR>,設函數(shù)y=log/+a,（xeA）的值域為8,若則實數(shù)a

x-2\j

的取值范圍為.

10.已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放

回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束，則恰好檢測四次停止的概率為.

22

11.如圖，已知耳,工分別是橢圓C:鼻+與=1（?！?>0）的左、右焦點，”,N為橢圓上兩點，滿足

ab

F】M〃F?N,且叵N|:困,：寓M|=l:2:3,則橢圓。的離心率為.

12.已知a、b、c、d都是平面向量，且問=2卜—川=|5a—c|=1,若〈a,d〉=（,則,—d|+|c—的

最小值為.

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

13.“。=2"是"直線y=—ax+2與直線y=?x—1垂直”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分也非必要條件

14.已知根,“是兩條不同直線，名尸是兩個不同平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若w平行于同一平面，則加與〃可能異面

B.若名萬不平行，則在a內(nèi)不存在與夕平行的直線

C.若機,〃不平行，則相與〃不可能垂直于同一平面

D.若a,尸垂直于同一平面，則a與P可能相交

15.在AWC中，l是邊上一定點，滿足兄8=：48,且對于邊上任一點P,恒有

PBPC>^BF^C,則75。為（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形

16.已知函數(shù)〃x）=臺，若函數(shù)g（x）=[/a）T+4（x）-e2-ae恰有5個不同的零點，則實數(shù)a的

取值范圍是（）

A.（-00,-2e）B.（-GO,-e）C.co,-2]D.co,_J

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須寫出必要的步驟。

17.（本小題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，24,平面ABC。，PA=AD=2,AB=1,以BD

的中點。為球心、為直徑的球面交PD于點M.

?D

18.（本題滿分14分，第1小題滿分2分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分）

黃山原名“夥山”，因峰巖青黑，遙望蒼黛而名，后因傳說軒轅黃帝曾在此煉丹，故改名為''黃山”.黃山

雄踞風景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一.明代旅行家、地理學家徐霞客兩游黃山，贊

嘆說：“登黃山天下無山，觀止矣！”又留“五岳歸來不看山，黃山歸來不看岳”的美譽，為更好地提升旅

游品質(zhì)，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)評分，制

成如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求X的值；

（2）估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的40%分位數(shù)（保留兩位小數(shù)）;

（3）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在［50,60）,［60,70）的兩組中共抽取6人，再從

這6人中隨機抽取2人進行個別交流。求選取的2人評分分別在［50,60）和［60,70）內(nèi)各1人的概率.

19.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

已知函數(shù)y=/（x）的表達式〃x）=x+生+2（機為實數(shù)）.

（1）函數(shù)y=/（x）在區(qū)間［2,+8）上是嚴格增函數(shù)，試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實數(shù)加的取值范圍；

（2）設加＜0,若不等式無）在xe上有解，求左的取值范圍.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

丫2

如圖，已知耳,心是橢圓「1+＞2=1的左右焦點，是其頂點，直線/:y=Ax+機（左＞0）與「相交

于A8兩點.

（1）求的面積尸;

（2）若/N,點A,M重合，求8點的坐標;

(3)設直線OA,OB的斜率分別為《此，記以OAOB為直徑的圓的面積分別為耳,邑,AOAB的面積為S,

若匕、k、魚恰好構成等比數(shù)列，求S($+S2)的最大值.

21.(本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分)

已知函數(shù)/'(x)=xe?-ax(a>0).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)若“X)的極大值為1-1,求a的值；

(3)當時，若對任意的為且1,+8),存在/C(YO,0］使得/(玉)+/(%2)=0，求a的取值范圍.

e

松江二中2025屆高三數(shù)學第一學期開學考數(shù)學試卷

一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1.【答案】{1,2}

【解析】易知AB={1,2}.

2.【答案】—2+i

【解析】z=l+2i,i-z=i(l+2i)=-2+i.

3.【答案】—10

【解析】4+1=G(石)4X(-2)1=-10%2.

4.【答案】60°

【解析】兩條漸近線分別為y=±gx,夾角為60°.

5.【答案】±1

【解析】a-b=|a|-|/?|-cos(a,b)-x2+4=x+4xx=±1.

6.【答案】12

［解析］lim〃2+3?)H2-Ax)=］im〃2+3Ax)H2)+A2)T(2-醺)

-oAx-。Ax

=11mA2+3Ax)T(2)+］jm”2)T(2…)=31皿八2+3班)-/(2)+］加/(2+')一⑵

-oAx-Ax■一03Ax-°Ax

=3八2)+八2)=12

7.【答案】—3

【解析】E[X]=lx-+2x-+3x-=~,E\Y]=E[aX+3]=aE[X]+3=-2^a=-3.

2363

8.【答案】2屈兀

【解析】由題意知，為等腰三角形，且BQ=26,PR=PB=后,所以△3/肛以BQ為軸旋

轉(zhuǎn)一周，得到的旋轉(zhuǎn)體是以BQ為中心軸，

PDX和依分別為母線且同底的兩個圓錐構成的幾何體,

可得圓錐的底面半徑為=所以S表=2兀〃=2&3兀.

9.【答案】(4,5]

即匕（4-x）（^-2）>0

【解析】—>1^-—>0,20nn2<x?4nA=（2,4]

x-2x-2x-2x-2x/2

因為xeA=（2,4],所以1081]€[-2,-1）/081工+0￡[-2+。,-1+。），所以3=[-2+a,—l+a）

22

—2+?！?

因為3uA,所以1,解得4<。<5,所以實數(shù)。的取值范圍為(4,5]

--l+a<4

3

10.【答案】一

5

尸2J

【解析】由題意可知，2次檢測結束的概率為「2=聲=而,

6+。；。燈_3

3次檢測結束的概率為P3=

W10

133

則恰好檢測四次停止的概率為P=1一72一夕3=1—而—記=1.

n.【答案】卓

【解析】設橢圓的半焦距為c(c>0),

如圖，延長M耳，與橢圓交于點L,連接工心，由KM〃工N,所以根據(jù)對稱性可知，寓4=

設比M=|耳4=f/>0,則同M=2/，|耳閭=3/，從而2a=|鳥M+I片M=5r,故|鳥4=4/,

在低中，優(yōu)4=書=|地|,所以cosNLM￡=2

\ML\~4

在中，4c2=9』+4/—2x3/x2/x；,即4c2=10巴

/10,-/n）

所以％=七x一c,所以2〃=Wc,所以離心率6=x2丁

12.【答案】---

2

【解析】如圖設04=見。〃=5凡06="0。=。,0。=1,

點8在以A為圓心，半徑為上的圓上，

2

7T

點C在以M為圓心，半徑為1的圓上，ZNOM=-,

.13

所以。在射線ON上，所以|b—d|+|e—町=|。8|+|。。閆。川——+\DM\-l=\DA\+\DM\--,

22

作的A關于射線ON的對稱點G,貝"。6卜|叫，且NGQA=|,

所以+21GMi—：=爪’—|=4—g，（當且僅當。、G、M共線時取等號）,

,—<7|+|c—c?|的最小值為J26-5.

二、選擇題(本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)

13.【答案】A

【解析】"直線y=—辦+2與直線y=—1垂直”等價于一ax@=—loa=±2,故選A.

，.44

14.【答案】B

【解析】在a內(nèi)與a和4的交線平行的直線與夕平行，故B錯誤.

15.【答案】B

【解析】取8C的中點的中點E,連接幾(如圖所示)，貝I

P0B-P0C=^P0D+DB)-^P0D+DC)=(凡D+DB)-^P0D-DB)=PQI)-DB2,

...2.2

同理PBPC=PD-DB~,

_22.2.2

因為PBPCiRBRC,所以PD-DB>PQD-DB',

即？02之4。2,所以對于邊AB上任意一點P都有2,4，因此與D_LAB,

2

又《8=348,。為3c中點，E為0c中點，

pBBD2

所以」」=—=—,所以1D〃AE,即NSAE=90°,所以〃4c>90°,即△ABC為針角三角形.

ABBE3°

16.【答案】A

X

【解析】函數(shù)=n的定義域為{x|xwo},

p%=(x—l)e%

若%>o時，由〃x)=^求導得，/v)2>

故當Ovxvl時，/'(X)<0,當%>1時，

所以/(x)=4在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且/(X)極小值=/(l)=e,

當X—。+時，/(x)^+oo,當X—+X)時，+CO;

若xvo時，由/(%)=—J求導得，―4，

xx

因工<0,故恒有尸(￡)>0,即〃無)=-《在(ro,0)上單調(diào)遞增,

且當JWD時，〃%).()+,當1.0一時，f+00,即xvO時，恒有/(尤)>0.

作出函數(shù)“X)=%的大致圖像如圖所示.

又由^(%)=[/(%)]'+(x)-e2-ae=[/(%)-e][/(%)+e+a]=0可得/(x)=e或

/(x)=-e-a,由圖知/(x)=e有兩個根，此時g(無)有2個零點；

要使函數(shù)g(x)="(x)]2+4(x)—e?—ae恰有5個不同的零點，

需使/'(x)=-e-a有3個零點，由圖知，需使/(無)>e,即一e-a>e,解得a<-2e.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(-8,-2e).

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須寫出必要的步驟.

17.【答案】(1)證明見解析；(2)120°

【解析】(1)因為24_L平面ABCD,ABu平面ABCD,ADu平面ABCD,

所以PALAD,

又AB，AD,ADQA=AADu平面MD,QAu平面ELD,

所以平面R4D,又？Du平面R4D,所以腦上如，

有題意可知又AB5M=5,ABu平面ABM,平面ABM,

所以？D_L平面A5M.

(2)分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

因。。_L平面ABM,AMu平面ABM,所以PDLAM,

因為A4=AD=2,所以“為？。中點，

故尸（0,0,2）,。（0,2,0）,陽（0,1,1）,3（1,0,0）,C（l,2,0）,

平面A5M的一個法向量為4=?！?gt;=（0,2,-2）,

BM=（-1,1,1）,BC=（0,2,0）,

設平面5cM的法向量為%=（x,y,z）,

由得4"，令龍=-2得y=0,z=-2,

n2BC=012y=0

則電=（-2,0,-2）'所以COM%〉=汽=1'

因為二面角A—BM—C是鈍二面角，所以二面角A—BM—C的大小為120。.

18?【答案】

8

（1）x=0.03；⑵83.33；（3）——

15

【解析】(1)由圖知：10x(0.005+0.01+0.015+x+0.04)=l,可得x=0.03.

⑵由10x(0.005+0.01+0.015)=0.3<0.4<10x(0.005+0.01+0.015+0.03)=0.6,所以40%分位

數(shù)在區(qū)間［80,90)內(nèi)，令其為小,

則0.3+0.03x（m—80）=0.4,解得加=80+1a83.33.所以滿意度評分的40%分位數(shù)為83.33.

（3）因為評分在［50,60）,［60,70）的頻率分別為0.05,0.1,

0.05

貝U在［50,60）中抽取x6=2人,設為

0.05+0.1

在「60,70)中抽取———x6=4人,設為C,D,E,F；

L70.05+0.1

從這6人中隨機抽取2人,則有：{a,。},{a,C},{a,￡)},{4,￡},{a,尸卜{。,。卜{。,。},{0,尸卜

{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共有15個基本事件，

設選取的2人評分分別在[50,60)和[60,70)內(nèi)各1人為事件A,

Q

則有{0,。},{兄￡＞},{名石},{必尸},也,。},{仇0},也,號,{上尸},共有8個基本事件，所以P(A)=—.

22

19.【答案】(1)(-oo,4]；(2)當相(一馬時，kG[4m+5,+oo)；當一耳＜用＜0時，G[m+3,+oo).

【解析】(1)由題意，任?。?、X2G[2,+OO),且王＜%2，

(、

_x

貝I/(^2)/(i)-x2+—+2-Xj+—+2=(x2-——＞0,

X2(再JX1X2

因為犬2—%＞0,王九2＞0，所以犬1犬2一加＞0，即用＜七％2，

由％2＞芯22,得%入2＞4,所以租44,所以，加的取值范圍是(一00,4].

mI7m2y

(2)由ffx)<kxf得----F2<fcv,因為—,1所以女>^-H----\~1,

x2XX

令/=工，則fe[l,2]，所以左之加產(chǎn)+2/+1,令g(r)=wtf2+2r+l,rG[1,2],

X

于是，要使原不等式在XC1,1有解，當且僅當左2gQ)mm，

因為加＜0,所以g(f)="/f+L]+1—1圖象開口向下，對稱軸為直線/=—!＞0,

\m)mm

1+?3

因為.w[l,2],設：％為區(qū)間[1,2]的中點值，%=虧=1

132

故當即0＜—＜-,即根W——時，g(r)=g(2)=4根+5；

m23

132

當務＜%,即---＞彳，即一不＜加＜°時，g?)=g(l)=加+3?

m23

22

綜上，當機(一耳時，Z:e[4m+5,+oo)；當一耳＜用＜0時，e[m+3,+oo).

224

20.【答案】（1）1H—A/3；（2）B（3）S（，+S2）的最大值不存在

213，13

【解析】（1）容易求得片卜石,0）,工（石,0）,M（—2,0）,N（0,l）

所以，P=^\MF2\xb=l+^y/3.

（2）易求女尸2N=—7^，所以左=

X

代入直線方程得/:y=G（x+2）,設A（-2,0）,B（2,y2）,

由＜:能2得,+48X+44=。，

,4422「A=42

由韋達定理得：—2工2=—，解得％=—=

2131313

所以，川一石，百

（3）設4（再,％）,5（尤2，%），

\::相彳°得（1+4產(chǎn)）/+8fonr+4（m2_1）

由＜=0,

4（m2T

8km

由韋達定理有：%+無2=—

l+4k2

且A=16（l+4左2—加2）＞0

_%%_（如+加）（包+加）

/V一仆鼠？一一,即初2（玉+者）+7篦2=0?

七工2X/2

,11

由韋達定理得H=—,即左=—

42

由A=16(1+4%2—加2)>o得相金,

si+S2=：(x；+y；+后+yl)=~^~xi+

S1+S2=卷(X]+與『—2X/2=7(定值)

S=g|AB|d=gJl+公|X]-%2|--J=L,

22

S=|m|12-加之—lm^2—m^<1,

當且僅當/=2-m2,即帆=1時等號成立.

此時，直線方程為y=gx+l,該直線過M,N,即匕中有一個不存在，

所以，S(S1+S2)的最大值不存在.

21.【答案】(1)y=(1—a^x；(2)a=2；(3),e---

【解析】(1)/,(%)=ex^x+\)-ax-a,則左=/'(0)=1—々，

因為/(O)=O,所以切點(OJ(O))即(0,0),

所以切線為y=(l—

(2)廣⑴=1(%+1)-依-〃=(%+1乂1，

因為〃>0,令/<x)=0,解得x=-1或x=lna,

①當Inav—1時，即0<〃〈!時，/(X)在(YO,Ina)上單調(diào)遞增，在(lna,-l)上單調(diào)遞減，在(-l,+oo)上

e

單調(diào)遞增，

所以/(x)的極大值為/'(lna)=alna-ga(lna)2-alna=—ga(lna)2<0,不符合題意；

②當lna=—1時，即。=工時，/'(x)20,/'a)在R上單調(diào)遞增，無極大值；