中考數(shù)學(xué)相似三角形必背知識(shí)手冊(cè)（公式、定理、結(jié)論圖表）

知識(shí)必備08相似三角形（公式、定理、結(jié)論圖表）

、思維導(dǎo)圖

|、知識(shí)梳理

考點(diǎn)一、比例線段

1.比例線段的相關(guān)概念

如果選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段a,b的長(zhǎng)度分別為m,n,那么就說(shuō)這兩條線段的

比是

am

或?qū)懗蒩：b=m：n.在兩條線段的比a：b中，a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).

bn

在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成

比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段.

若四條a,b,c,d滿足或a：b=c：d,那么a,b,c,d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a,d

叫做比例外項(xiàng)，線段b,c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

ah

如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段，即7=—或a：b=b：c,那么線段b叫做線段

bc

1

a,c的比例中項(xiàng).

2、比例的性質(zhì)

（1）基本性質(zhì)：①a：b=c：d=ad=be②a：b=b：cQb?=CIC.

（2）更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）

~（交換內(nèi)項(xiàng)）

ca

acWdc〃工、

—=—=>］（父換外項(xiàng)）

bdba

db

—二—（同時(shí)交換內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)）

ca

achd

（3）反比性質(zhì)（交換比的前項(xiàng)、后項(xiàng)）：-=-^-=-

baac

ca±bc±d

（4）合比性質(zhì)：-——--------..........

bdbd

/l、6-2Hlcem,「八、a+c+e+—卜ma

（5）等比性質(zhì)：一二一二一二…二一（Zb7+d+f+—F〃WO）=>-----------------二一

bdfnb+d+f+—I-nb

3、黃金分割

把線段AB分成兩條線段AC,BC（AOBC）,并且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段

AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，其中AC二-----ABBO.618AB.

2

典例1:（2023?金昌）若q=3,則尤=（）

2b

32

A.6B.-C.1D.-

23

【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案.

【解答】解：?.?@=3,

2b

ab=6.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵.

典例2：2.（2023?甘孜州）若±=2,則二工1.

yy

【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：?.?±=2,

y

2

x.y

——1=2—1=1

yy

故答案為：i.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì).

考點(diǎn)二、相似圖形

1.相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫做相似圖形.

也就是說(shuō)：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.(全等

是特殊的相似圖形).

2.相似多邊形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成的比相等.

相似多邊形的周長(zhǎng)的比等于相似比，相似多邊形的面積的比等于相似比的平方.

4.相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.

5.相似三角形的性質(zhì)：

(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線的比相等，對(duì)應(yīng)角的角平分線

的比相等，都等于相似比.

(3)相似三角形的周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.

【要點(diǎn)詮釋】

結(jié)合兩個(gè)圖形相似，得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，這樣可以由題中已知條件求得其它

角的度數(shù)和線段的長(zhǎng).對(duì)于復(fù)雜的圖形，采用將部分需要的圖形(或基本圖形)“抽”出來(lái)的

辦法處理.

6.相似三角形的判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形

相似；

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相

似.

(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和一條直角邊的比

對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.

典例3：(2023?泰州)兩個(gè)相似圖形的周長(zhǎng)比為3:2,則面積比為_9:4_.

【分析】由兩個(gè)相似圖形，其周長(zhǎng)之比為3:2,根據(jù)相似圖形的周長(zhǎng)的比等于相似比，即可

求得其相似比，又由相似圖形的面積的比等于相似比的平方，即可求得答案.

3

【解答】解：???兩個(gè)相似圖形，其周長(zhǎng)之比為3:2,

其相似比為3:2,

其面積比為9:4.

故答案為：9:4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似圖形的性質(zhì).此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記定理是關(guān)鍵.

典例4：（2023?威海）如圖，四邊形4BCD是一張矩形紙片.將其按如圖所示的方式折疊：

使D4邊落在。。邊上，點(diǎn)/落在點(diǎn)X處，折痕為DE；使C8邊落在8邊上，點(diǎn)2落在

點(diǎn)G處，折痕為CF.若矩形HE尸G與原矩形48C。相似，AD=1,則CD的長(zhǎng)為（）

【分析】設(shè)HG=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NN=//￡>〃=90。，AD=BC=\,再根據(jù)折疊的

性質(zhì)可得：N4=NAHE=90°,AD=DH=\,BC=CG=\,從而可得四邊形4D/花是正方

形，然后利用正方形的性質(zhì)可得==最后利用相似多邊形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可

解答.

【解答】解：設(shè)HG=x,

■.,四邊形48CD是矩形，

N4=NADH=90°,AD=BC=\,

由折疊得：Zyi=ZAHE=90°,AD=DH=\,BC=CG=\,

二四邊形NDLE1是矩形，

AD=DH,

.?.四邊形ADHE是正方形，

:.AD=HE=\,

?.?矩形HEFG與原矩形ABCD相似，

GHHE

"AD-Z）C'

X_1

一廠1+x+l'

解得：x=-1或x=--1,

經(jīng)檢驗(yàn)：X=后一1或工=一行一1者B是原方程的根,

?「GH>0,

4

：.GH=yJ2-l,

DC=2+x=y/2+1,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解一元二次方程-公式法，矩形的性質(zhì)，翻折變換

（折疊問題），正方形的判定與性質(zhì)熟練掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例5:（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1:4,則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（

）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，求解即可.

【解答】解：?.?兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1:4,

，這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比為1:4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例6:（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展

數(shù)學(xué)活動(dòng).有一張矩形紙片/BCD如圖所示，點(diǎn)N在邊/。上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為8N,

點(diǎn)/對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與ZWDM一定相似的三角形是

AMCB_.

A:__________________J

M

DMC

【分析】利用矩形的性質(zhì)得到ND=NC=90。,然后利用折疊的性質(zhì)推導(dǎo)出

NBMN=NA=90°,進(jìn)而得到ZDNM=NCMB,由此推斷出\NDM^\MCB.

【解答】解：???四邊形是矩形，

NA=ND=NC=90°,

ZDNM+ADMN=90°,由折疊的性質(zhì)可知，ZBMN=ZA=90°,

ZDMN+ACMB=90°,

ZDNM=ACMB,

:.ANDM^\MCB,

故答案為：AMCB.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定、矩形的性質(zhì)以及翻折變換（折疊問題），熟練

掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵：兩角法：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相

似.

典例7：（2023?雅安）如圖，在口48cA中，歹是/D上一點(diǎn)，CF交BD干■點(diǎn)、E,CF的延

5

長(zhǎng)線交84的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,EF=\,EC=3,則Gb的長(zhǎng)為（）

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出4D//5C,AB//CD,AD=BC,于是推出

ADEF^ABEC,ADFC^AAFG,先求出。方與5C的比值，繼而得出分與Zb的比值，

再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出GF的長(zhǎng).

【解答】解：???四邊形是平行四邊形，

/.AD//BC,AB//CD,AD=BC,

???AD/IBC,

NDEFsbBEC,

DF_EF

'：EF=\,EC=3,

DF_1

-----——,

BC3

即空」

AD3

DF_1

---—-一，

AF2

???AB//CD,

/.\DFC^\AFG,

DF_CF

一壽一赤’

?/EF=\,EC=3,

/.CF=4,

1_4

..二,

2GF

Gb=8,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些圖形的性

6

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

典例8：（2023?哈爾濱）如圖，AC,3。相交于點(diǎn)。，ABHDC,〃是N8的中點(diǎn),

MNI/AC,交AD于點(diǎn)N,若。。：OB=1:2,AC=12,則MN的長(zhǎng)為（）

A

A.2B.4C.6D.8

【分析】由NB//DC易得ACDOSA43O,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得生=,，于是

OA2

AC=OA+OC=OA+-OA=U,求出04=8,易得MN為A40B的中位線，則

2

MN=-OA.

2

【解答】解：45//DC,

/.ACDOS^BO,

OPPC

'~OB~~OA'

???。。：05=1:2,

OC

-----——f

OA2

二.OC=-OA,

2

-：AC=OA+OC=n,

:.OA^-OA=n,

2

/.OA=8f

\-MN//AC,M是48的中點(diǎn)，

:.MN為MOB的中位線，

MN=-0^=—x8=4.

22

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，熟記“8”字模型

相似三角形，以及三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、位似圖形

1.位似圖形的定義：

兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的對(duì)應(yīng)邊互相平行,

7

像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫位似中心.

2.位似圖形的分類：

(1)外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外.

(2)內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上.

3.位似圖形的性質(zhì)

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條直線上；