九年級數學相似三角形的判定培優(yōu)教程

九年級數學相似三角形的判定培優(yōu)教程考點·方法·破譯1.理解掌握三角形相似的三個判定定理，能根據已知條件選擇合適的定理證明三角形相似;2.能靈活根據需要找相似三角形，并能熟練進行比例變換、等積變換;3.會進行數形轉化，將等積問題、比例問題、求邊長及證角相等等問題轉化為證相似求解.經典·考題·賞析【例1】(新疆)如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是()【解法指導】本題主要用SAS和SSS進行判定，若能運用排除法就更便捷，方法是根據△ABC的最大角等于135°,而B、C、D的鈍角均小于135°，且A中三角形夾鈍角兩邊之比為1:2，與△ABC夾鈍角兩邊之比相等，由SAS可判定它們相似.本題應選A.【變式題組】1.(沈陽)如圖，AC是矩形ABCD的對角線,E是邊BC延長線上一點，AE與CD交于點F，則圖中相似三角形共有()對ABC第4題圖DABCDO第3題圖ADBC第2題圖A.2對 ABC第4題圖DABCDO第3題圖ADBC第2題圖AADF第1題圖第1題圖BCE12122.(濱州)如圖所示，給出下列條件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD·AB。其中單獨能夠判定△ABC∽△ACD的個數為()A.1 B.2 C.3 D.43.(山西)如圖，AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的切線，點C在⊙O上，BC//OD,AB=2,OD=3，則BC的長為()A. B. C. D.4.(牡丹江)如圖,△ABC中，CD⊥AB于D，一定能確定△ABC為直角三角形的條件的個數是()①∠1=∠A，②，③∠B+∠2=90°,④BC：AC：AB=3：4：5，⑤AC·BD=AC·CDA．1 B.2 C.3 D.4【例2】(濰坊)如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA、PB是圓O的切線，A、B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連結AB、BC.(1)求證△ABC∽△ADB;(2)若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長.【解法指導】(1)證明:∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°，又∵AD⊥BP，∴∠ADB=90°，∴∠ABC=∠ADB,又∵PB是圓的切線，∴∠ABD=∠ACBABCDPO在△ABC和△ADB中:ABCDPO連結OP，在Rt△AOP中，AP=12厘米，OA=5厘米，根據勾股定理求得OP=13厘米，又由已知可證得△ABC∽△PAO，∴【變式題組】ABCPO5.(清遠)如圖，已知AB是⊙O的直徑，過點O作弦BC的平行線，交過點A的切線AP于點ABCPO(1)求證:△ABC∽△POA；(2)若OB=2，OP=.求BC線段的長.6.(梅州)如圖所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F.（1）△ADE∽△BEF；（2）設正方形的邊長為4,AE=x，BF=y.當x取什么值時，y有最大值?并求出這個最大值.AABCDEF【例3】(懷化)如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG、AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N，求證:(1)AE=CG;(2)AN·ND=CN·MN.ABCDEFGNM【解法指導】證明:（1）∵四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形∴AD=CD，DE=DG,∠ADC=∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDGABCDEFGNM（2）由(1)得△ADE≌△CDG,∴∠DAE=∠DCG，又∠ANM=∠CND,∴，即AN·DN=CN·MN∴△AMN∽△CDN【變式題組】ABCDEFG7.(泰安)如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,E是AC的中點，ED的延長線與CB的延長線交于點F.(1)求證：FD2=FB?FC；(2)若G是BC的中點，連接ABCDEFG【例4】(安徽)如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C,∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F,ME交BC于G.(1)寫出圖中兩對相似三角形，并證明其中的一對；(2)請連接FG.如果α=45°，AB=，AC=3，求FG長?！窘夥ㄖ笇А拷?(1)△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM(寫出兩對即可)以下證明△AMF∽△BGM.∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG，∠A=∠B∴△AMF∽△BGM.（2）解:當α=45°時，可得AC⊥BC且AC=BC,∵M為AB的中點，∴AM=BM=又∵△AMF∽△BGM，∴∴又AC=BC=cos45°=4，∴CG=4-=，CF=4-3=1∴FG=【變式題組】ABCDMN(中山)正方形ABED邊長為4,M,N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直，(1)證明:Rt△ABM∽Rt△MCN;(2)設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式;當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN面積最大，并求出最大面積;(3)當M點運動到什么位置時Rt△ABCDMN【例5】(全國競賽)如圖，已知四邊形ABCD的內接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E,AE=EC，AB=AE，且BD=,求四邊形ABCD的面積.【解法指導】本題要根據等積式化成比例式，再利用兩邊對應成比例,夾角相等判定△ABE∽△ACB，推出∠ABE=∠ACB.(要注意逆向思維的應用)解：由題設得AB2=2AE2=AE·AC,∵AB：AC=AE：AB，又∠EAB=∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE=∠ACB，從而AB=AD。連結AO，交BD于H,則BH=HD=.∴OH=，AH=OA-OH=2-1=1.∴，∵E是AC的中點，∴S△ABE=S△BCE，S△ADE=S△CDE，∴S△ABD=S△BCD，S四邊形ABCD=2S△ABD=?！咀兪筋}組】9.(全國聯賽)在銳角△ABC中，AD⊥BC,D為垂足，DE⊥AC,E為垂足，DF⊥AB,F為垂足.O為△ABC的外心.求證:(1)△AEF∽△ABC；(2)AO⊥EF.演練鞏固反饋提高(南昌)下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（）(恩施)如圖，在△ABC中，∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一點,DE⊥AB于E，且CD=2,DE=1，則BC的長為()A.2 B. C. D.(梧州)如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于（）A. B. C. D.4.(山西)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延長線于點E，則CE的長為()A. B. C. D.5.(撫順)如圖，已知點E、F分別是△ABC中AC、AB邊的中點，BE、CF相交于點G,FG=2，則CF的長為()A.4 B.4.5 C.5 D.66.(煙臺)如圖，△ABC與△AEF中，AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.給出下列結論:①∠AFC=∠C；②DF=CF；③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF.其中正確的結論是________(填寫所有正確結論的序號).ABCDE7.(肇慶)如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE.(1)求證:∠CBE=36°；(2)求證：AE2=ABCDEABCDEO8.(懷化)如圖，直線DE經過⊙O上的點C，并且OE=OD,EC=DC,⊙O交直線OD于A、B兩點，連接BC、AC,OC.求證:(1)OC⊥DE；(2)ABCDEO培優(yōu)升級奧賽檢測1.(吉林)如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中點E，連接AD并延長至點F，使DF=AD，連接BC、BF.(1)求證:△CBE∽△AFB；(2)當時，求的值FFBACDEO2.(恩施)如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFC擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合，點E不與點C重合)，設BE=m,CD=n.(1)請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.(2)求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍.(3)以△ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖2)在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD2+CE2=DE2.A(4)在旋轉過程中，(3)中的等量關系BD2+CE2=DE2是否始終成立，若成立，請證明;若不成立,請說明理由.AAAAABCDEGFCEODBGCEODBG圖2圖2圖1F圖1F3.(荊門)如圖，半徑為的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點.(1)求證：