九年級(jí)數(shù)學(xué)圓心角和圓周角培優(yōu)教程

九年級(jí)數(shù)學(xué)圓心角和圓周角培優(yōu)教程考點(diǎn)·方法·破譯1．理解掌握?qǐng)A心角、圓周角的概念，能依據(jù)定義進(jìn)行辨別；2．理解掌握?qǐng)A周角相關(guān)的定理和推論，并能根據(jù)己知條件添加所需要的輔助線；3．能靈活進(jìn)行圓內(nèi)角的代換、轉(zhuǎn)化和求值（角度）．經(jīng)典·考題·賞析【例1】（成都）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=BC，∠ABC＝120°，AD為⊙O的直徑，AD=6，那么BD=_________．【解法指導(dǎo)】連接OB．根據(jù)垂徑定理推論可得∠ABO=∠OBC=60°．∴∠BAC=60°．由AD為⊙O的直徑知∠ABD＝90°．∴AB=3，BD=3eq\r(,3)cm【變式題組】1．（河北）如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則∠APB等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．（蕪湖）如圖，已知點(diǎn)E是圓O上的點(diǎn)，B、C分別是劣弧AD的三等分點(diǎn)，∠BOC＝46°，則∠AED的度數(shù)為__________．3．如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是70°、40°，則∠1的度數(shù)為___________．【例2】（鹽城）如圖，A、B、C、D為⊙O的四等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從圓心O出發(fā)，沿O—C—D—O路線作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），∠APB＝y(tǒng)（°），則下列圖象中表示y與t之間函數(shù)關(guān)系最恰當(dāng)?shù)氖牵ǎ窘夥ㄖ笇?dǎo)】本題要從O—C、C—D、D—O三種情況進(jìn)行探究，其中從O—C，y從90逐漸減小到45；從C—D、∠APB＝45°，即y恒為45；從D—O，y從45逐漸增大到90．綜合知本題應(yīng)選C．【變式題組】4．如圖所示，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA=8，AB=12，∠A＝∠B=60°，則BC的長(zhǎng)為（）A．19 B．16 C．18 D．205．（威海）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，OD∥AC，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠BOD＝∠BAC B．∠BOD＝∠COD C．∠BAD＝∠CAD D．∠C＝∠D6．（青島）如圖，AB為⊙O的直徑，CD為⊙O的弦，∠ACD＝42°，則∠BAD=_______．【例3】（柳州）如圖，AB是⊙O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長(zhǎng)．【解法指導(dǎo)】證明：（1）連結(jié)AC，如圖，∵C是弧BD的中點(diǎn)，∴∠BDC＝∠DBC，又∠DBC＝∠BAC，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE＝∠BAC，∠BCE＝∠DBC，∴，因此，CF=BF；（2）作CG⊥AD于點(diǎn)G，∵C是弧BD的中點(diǎn)，∴∠CAG＝∠BAC，即AC是∠BAD的角平分線，∴CE=CG，AE=AG，在Rt△BCE與Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD，∴Rt△BCE≌Rt△DCG，∴BE=DG，∴AE=AB－BE=AG=AD+DG，即6－BE=2+DG，∴2BE=4，即BE=2，又△BCE∽△BAC，∴BC2=BE·AB=12，BC=±2EQ\eq\r(,3)（舍去負(fù)值），∴BC=2EQ\eq\r(,3)【變式題組】7．（廣州）如圖，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC=2EQ\eq\r(,3)cm．（1）求∠BAC的度數(shù)；（2）求⊙O的周長(zhǎng)．8．（沈陽）如圖所示，AB是⊙O的一條弦，OD⊥AB，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上．（1）若∠AOD＝52°，求∠DEB的度數(shù)；（2）若OC=3，OA=5，求AB的長(zhǎng)．【例4】如圖，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分線交BC于M，△ABC的外接圓的切線AN交BC的延長(zhǎng)線于N，則△ANM的最小角等于____________．【解法指導(dǎo)】解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM為∠CAB的平分線，∴∠CAM=∠MAB=eq\f(1,2)×（180°－36°－128°）=8°，∵∠AMC＝44°．又AN為切線，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°=92°，∴△ANM的最小角為44°．【變式題組】9．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．演練鞏固反饋提高1．（孝感）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠B＝60°，則∠CAO的度數(shù)是（）A．15° B．30° C．45° D．60°2．（泰安）如圖，⊙O的半徑為1，AB是⊙O的一條弦，且AB=eq\r(,3)，則弦AB所對(duì)圓周角的度數(shù)為（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°3．（紹興）如圖，⊙O是正三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在劣弧AB上，∠ABP＝22°，則∠BCP的度數(shù)為_____．4．（肇慶）如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點(diǎn)P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（泰州）如圖，⊙O的半徑為1cm，弦AB、CD的長(zhǎng)度分別為eq\r(,2)cm、1cm，則AC、BD所夾的銳角=_____．6．（安徽）△ABC中，AB=AC，∠A為銳角，CD為AB邊上的高，I為△ACD的內(nèi)切圓圓心，則∠AIB的度數(shù)是（）A．120° B125° C．135° D．150°7．（十堰）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連結(jié)OA、OB，若∠ABO＝25°，則∠C的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°8．（麗水）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，已知∠AOB＝98°，∠COB＝120°，則∠ABD的度數(shù)是___________．9．（云南）如圖，A、D是⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，BC是直徑，若∠D＝35°，則∠OAC的度數(shù)是（）A．35° B．55° C．65° D．70°10．（棗莊）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D為圓上兩點(diǎn)，∠AOC＝130°，則∠D等于（）A．25° B．30° C．35° D．50°11．（株洲）如圖，點(diǎn)A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，AB∥OC．（1）求證：AC平分∠OAB；（2）過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)P．若AB=2，∠AOE＝30°，求PE的長(zhǎng)．12．（荊門）如圖①，直線AM⊥AN，⊙O分別與AM、AN相切于B、C兩點(diǎn)，連絡(luò)OC、BC，則有∠ACB＝∠OCB；（請(qǐng)思考：為什么？）如果測(cè)得AB=a，則可知⊙O的半徑r=a．（請(qǐng)思考：為什么？）（1）將圖①中直線AN向右平移，與⊙O相交于C1、C2兩點(diǎn)，⊙O與AM的切點(diǎn)仍記為B，如圖②．請(qǐng)你寫出與平移前相應(yīng)的結(jié)論，井將圖②補(bǔ)充完整；判斷此結(jié)論是否成立，且說明理由．（2）在圖②中，若只測(cè)得AB=a，能否求出⊙O的半徑r？若能求出，請(qǐng)你用a表示r；若不能求出，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件（補(bǔ)充條件時(shí)不能添加輔助線．若補(bǔ)充線段請(qǐng)用b表示，若補(bǔ)充角請(qǐng)用表示），并用a和補(bǔ)充的條件表示r.培優(yōu)升級(jí)奧賽檢測(cè)1．（武漢）如圖，已知⊙O的半徑為1，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，則sin∠CBD的值等于（）A．OM的長(zhǎng) B．2OM的長(zhǎng) C．CD的長(zhǎng) D．2CD的長(zhǎng)2．（眉山）如圖，AB、CD是⊙O的兩條互相垂直的弦，圓心角∠AOC＝130°，AD、CB的延長(zhǎng)線相交于P．則∠P=_______度．3．（成都）如圖，A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，以BC為一邊，作∠CBD＝∠ABC，過BC上一點(diǎn)P，作PE∥AB交BD于點(diǎn)E．若∠AOC＝60°，BE=3，則點(diǎn)P到弦AB的距離為________．4．（鐵嶺）如圖所示，AB為⊙O的直徑，P點(diǎn)為其半圓上一點(diǎn)，∠POA＝40°，C為另一半圓上任意一點(diǎn)（不含A，B）．則∠PCB=_______度．5．（衢州）如圖，AD是⊙O的直徑．（1）如圖①，垂直于AD的兩條弦B1C1，B2C2把圓周4等分，則∠B1的度數(shù)是_______，∠B2度數(shù)是_______；（2）如圖②，垂直于AD的三條弦B1C1，B2C2，B3C3把圓周6等分，分別求∠B1，∠B2，∠B3的度數(shù)；（3）如圖③，垂直于AD的n條弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圓周2n等分，請(qǐng)你用含n的代數(shù)式表示∠Bn的度教（只需直接寫出答案）．6．（中山）如圖l，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=AC，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點(diǎn)F，OE⊥AC于點(diǎn)C．（1）求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC面積的eq\f(1,3)．（2）如