滬科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊專題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明全章專項復(fù)習(xí)【2大考點10種題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明全章專項復(fù)習(xí)【2大考點10種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1與三角形有關(guān)的線段】 1【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 2【題型2與等腰三角形的邊長的有關(guān)的問題】 3【題型3三角形的高的有關(guān)的問題】 3【題型4利用中線解決三角形的面積問題】 4【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】 5【考點2與三角形有關(guān)的角】 6【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】 7【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】 8【題型8三角形外角的應(yīng)用】 9【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】 11【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問題】 12【考點1與三角形有關(guān)的線段】【知識點1三角形三邊的關(guān)系】定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識點2三角形的分類】【知識點3三角形的重要線段】（1）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．【要點】三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，【要點】一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點】一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.【知識點4三角形的穩(wěn)定性】

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例1】（23-24八年級·河北石家莊·期末）一款可折疊晾衣架的示意圖如圖所示，支架OP=OQ=30cm（連接處的長度忽略計），則點P，Q之間的距離可以是（

）A．50cm B．65cm C．70cm【變式1-1】（23-24八年級·四川眉山·期中）若a，b，c是△ABC的三邊，試化簡：a?b?c+a+b?c【變式1-2】（23-24八年級·湖北黃岡·階段練習(xí)）長為9、6、4、3的四根木條，選其中三根組成三角形，共有（）種選法．A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【變式1-3】（23-24八年級·福建泉州·期末）如圖，用AB、BC、CD、AD四條鋼條固定成一個鐵框，相鄰兩鋼條的夾角均可調(diào)整，不計螺絲大小，重疊部分．若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，則所固定成的鐵框中，兩個頂點的距離最大值是（

）A．14 B．16 C．13 D．11【題型2與等腰三角形的邊長的有關(guān)的問題】【例2】（23-24八年級·江西吉安·期末）用12根等長的火柴棒拼成一個等腰三角形，火柴棒不允許剩余、重疊、折斷，則能擺出不同的等腰三角形的個數(shù)為個．【變式2-1】（23-24八年級·遼寧丹東·期末）等腰三角形周長為17，其中兩條邊長分別為x和2x+1，則這個等腰三角形的腰長為（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【變式2-2】（23-24八年級·浙江衢州·階段練習(xí)）周長為12，各邊長均為整數(shù)的等腰三角形的三邊長分別為．【變式2-3】（23-24八年級·全國·單元測試）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為．【題型3三角形的高的有關(guān)的問題】【例3】（24-25八年級·重慶銅梁·開學(xué)考試）如圖，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，點D在BC上移動，則AD的最小值是．【變式3-1】（23-24八年級·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，CE⊥AE，AD=4，則CE的長為．【變式3-2】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE相交于點O，連接BO并延長交AC于點F.若AB=5，BC=4，AC=6，則CE：AD：BF的值為?【變式3-3】（2024八年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點E是BC的中點，動點P從A點出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿A→C運動，然后以1cm/s的速度沿C→B運動．若設(shè)點P運動的時間是t秒，那么當(dāng)【題型4利用中線解決三角形的面積問題】【例4】（23-24八年級·四川資陽·期末）如圖，已知△ABC的面積為12，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，AE、BF、CD交于點G，AG:GE=2:1，則圖中陰影部分的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【變式4-1】（23-24八年級·江蘇常州·期末）如圖，AD是△ABC的中線，AE=13AD,F是EC的中點．若S△BEF【變式4-2】（23-24八年級·四川巴中·期末）如圖，已知A1，A2，A3?分別是AC，A1C，A2C?的中點，B1，B2，B3?分別是【變式4-3】（23-24八年級·山東青島·期末）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是AB上的一點，且AE=4BE，BD與CE相交于點F，若△CDF的面積為4，則△ABC的面積為．【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】【例5】（23-24八年級·安徽安慶·期中）已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【變式5-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點D是△ABC內(nèi)一點，連接BD并延長交AC于點E，求證：AB+AC>DB+DC．

【變式5-2】（23-24八年級·山東青島·單元測試）如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且PC=BC，求證：AB>AP．

【變式5-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，且AC，BD相交于點O．求證：(1)AB+CD<AC+BD；(2)AC+BD>1【考點2與三角形有關(guān)的角】【知識點1三角形的內(nèi)角】三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形【知識點2三角形的外角】三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】【例6】（23-24八年級·廣西柳州·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1=42°,∠2=46°【變式6-1】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平使A與A'重合，若∠A=35°，則∠1+∠2的度數(shù)為（

A．70° B．105° C．140° D．35°【變式6-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）如圖，點M，N分別在AB，AC上，MN∥BC，將△ABC沿MN折疊后，使點A落在點A'處．若∠A'=30°，

【變式6-3】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF折疊，使點A落在點D處，(1)若DE∥AC，試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度數(shù)．【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】【例7】（23-24八年級·遼寧盤錦·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AC上一點，過點A作AE⊥BD于點E．(1)當(dāng)BD平分∠ABC，且∠ABC=60°時，求∠BAE的度數(shù)；(2)當(dāng)點D是AC中點，DB=3，且△BCD的面積為94，求AE【變式7-1】（23-24八年級·貴州貴陽·期末）如圖，直線a∥b，CD⊥AB于點D，若∠1=130°，則∠2等于（A．60° B．50° C．40° D．30°【變式7-2】（23-24八年級·浙江溫州·期末）圖1的指甲剪利用杠桿原理操作，圖2是使用指甲剪的側(cè)面示意圖，∠CEO=90°，杠桿BC與上臂OC重合；使用時，B剛好至B'點，當(dāng)A'B'∥OE時，恰好CB''平分∠OCE【變式7-3】（23-24八年級·遼寧盤錦·期末）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點D．在圖1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度數(shù)；(2)【遷移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點D．如圖2，在AD上任取點F，作FE⊥BC，垂足為點E，直接寫出∠DFE的度數(shù)；(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，點F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC于E，求出∠DFE與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系．【題型8三角形外角的應(yīng)用】【例8】（23-24八年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于點G，交BC于點①∠DBE=∠EFH；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③2∠EFH=∠BAC?∠C，④∠BGH=∠ABE+∠C；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-1】（23-24八年級·甘肅酒泉·期末）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與(1)試確定∠A與∠A(2)若∠A2=16°【變式8-2】（23-24八年級·福建廈門·期末）如圖，AD∥BC，∠D=∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH=110°，則∠BEG的度數(shù)為【變式8-3】（23-24八年級·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，若∠CBF=32°，∠AFB=72°．(1)求∠DAE(2)若點G為線段BC上任意一點，當(dāng)△GFC為直角三角形時，求∠BFG【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】【例9】（23-24八年級·福建福州·期中）已知在△ABC中，點D在AB上，且∠ACD=∠B．(1)如圖1，若CD⊥AB，求證：∠ACB=90°；(2)如圖2，AE平分∠BAC交CD于點F，交CB于點E．①求證：∠CFE=∠CEF；②△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M，若∠M=33°，求∠CFE的度數(shù)．【變式9-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點D，∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，則∠DFB的度數(shù)為（）A．40° B．44° C．50° D．54°【變式9-2】（23-24八年級·天津東麗·期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長線交AB于點F，設(shè)∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關(guān)系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a【變式9-3】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）已知：如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分線，點E、F分別在邊AC、BC上，∠CEF=45°,CF<CD，將△CEF繞點C以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t．當(dāng)EF所在直線與線段AD，AB有交點時，交點分別為點M、點N．(1)當(dāng)t=15時，如圖②，此時直線EF與AD的位置關(guān)系是，∠ANM=°；(2)是否存在某個時刻t，使得EF∥AD？若存在，求出(3)試探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時，△AMN中有兩個角相等，請直接寫出t的值．【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問題】【例10】（23-24八年級·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，△ABC中，BP1、BP2是∠ABC的三等分線，CP1、CP【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，△ABC中，BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線，CP1、CP【拓展與探究】（4）如圖4，△ABC中，BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線，CP1、CP2、……、CP【探究與應(yīng)用】（5）△ABC中，BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線，CP1、CP2、……、CP2023是【變式10-1】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）如圖將△ABC沿線段BC翻折至△FBC處，延長AC、BD（點F在∠EAD內(nèi)部）．請嘗試探究：(1)請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．點F在∠A內(nèi)部（如圖②），證明：CG∥(3)若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），即∠GCF=1n∠ECF，∠HBF=1n∠DBF，射線CG和射線BH相交于點【變式10-2】（23-24八年級·陜西西安·期中）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．(1)如圖1，試說明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系；(3)如圖3，點E為CD延長線上一點，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長線與DP交于點P，請?zhí)剿鳌咀兪?0-3】（23-24八年級·江蘇南京·階段練習(xí)）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動．

(1)如圖1，已知AE、BE分別是∠BAO和∠ABO角的平分線，點A、B在運動的過程中，∠AEB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值；(2)如圖2，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線及其延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，試求∠ABO的度數(shù)．(3)如圖3，延長BA至G，已知∠BAO、∠OAG的n等分線（n∠OAE=∠BAO、n∠FAO=∠OAG）與∠BOQ的n等分線（n∠EOQ=∠BOQ）及其延長線相交于E、F，在△AEF中，如果有一個角是另一個角的3倍，直接寫出∠ABO的度數(shù)．（結(jié)果可用含n的代數(shù)式表示）專題13.8三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明全章專項復(fù)習(xí)【2大考點10種題型】【滬科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1與三角形有關(guān)的線段】 2【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】 2【題型2與等腰三角形的邊長的有關(guān)的問題】 4【題型3三角形的高的有關(guān)的問題】 6【題型4利用中線解決三角形的面積問題】 10【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】 13【考點2與三角形有關(guān)的角】 17【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】 17【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】 20【題型8三角形外角的應(yīng)用】 25【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】 30【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問題】 38【考點1與三角形有關(guān)的線段】【知識點1三角形三邊的關(guān)系】定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.【知識點2三角形的分類】【知識點3三角形的重要線段】（1）三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．【要點】三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線：三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線，【要點】一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線：三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.【要點】一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.【知識點4三角形的穩(wěn)定性】

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【題型1三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用】【例1】（23-24八年級·河北石家莊·期末）一款可折疊晾衣架的示意圖如圖所示，支架OP=OQ=30cm（連接處的長度忽略計），則點P，Q之間的距離可以是（

A．50cm B．65cm C．70cm【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形任意一邊小于其它兩邊之和是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定線段PQ的取值范圍，進而完成解答．【詳解】解：∵OP=OQ=30cm∴30?30<PQ<30+30，即0<PQ<60，∴A選項符合題意．故選：A．【變式1-1】（23-24八年級·四川眉山·期中）若a，b，c是△ABC的三邊，試化簡：a?b?c+a+b?c【答案】2b【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，絕對值的代數(shù)意義，不等式的性質(zhì)．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到a<b+c，a+b>c，然后再根據(jù)絕對值的代數(shù)意義進行化簡即可．解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的任意兩邊之和大于第三邊．【詳解】解：∵a，b，c是△ABC的三邊，∴a<b+c，a+b>c，∴a?b?c<0，a+b?c>0，∴a?b?c=?=?a+b+c+a+b?c=2b．故答案為：2b．【變式1-2】（23-24八年級·湖北黃岡·階段練習(xí)）長為9、6、4、3的四根木條，選其中三根組成三角形，共有（）種選法．A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【答案】B【分析】根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊判斷能否構(gòu)成三角形．【詳解】選其中3根組成一個三角形，不同的選法有9、6、4；9、6、3；9、4、3；6、4、3；能夠組成三角形的只有：9、6、4；6、4、3；共2種．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．當(dāng)題目指代不明時，一定要分情況討論，把符合條件的保留下來，不符合的舍去．【變式1-3】（23-24八年級·福建泉州·期末）如圖，用AB、BC、CD、AD四條鋼條固定成一個鐵框，相鄰兩鋼條的夾角均可調(diào)整，不計螺絲大小，重疊部分．若AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，則所固定成的鐵框中，兩個頂點的距離最大值是（

）A．14 B．16 C．13 D．11【答案】C【分析】本題實際考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形鐵框的組合方法是解答的關(guān)鍵．若兩個頂點的距離最大，則此時這個鐵框的形狀變化為三角形，可根據(jù)三條鋼條的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】解：已知AB=5、BC=9、CD=7、AD=6，選AB+BC、CD、AD作為三角形，則三邊長為14、7、6，14>7+6，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選AB+AD、BC、CD作為三角形，則三邊長為11、9、7，9?7<11<9+7，能構(gòu)成三角形，此時兩個頂點的距離最大為11；選AB、BC+CD、AD作為三角形，則三邊長為5、16、6，5+6<16，不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；選AB、BC、CD+AD作為三角形，則三邊長為5、9、13，9?5<13<9+5，構(gòu)成三角形，此時兩個頂點的距離最大為13；故選：C．【題型2與等腰三角形的邊長的有關(guān)的問題】【例2】（23-24八年級·江西吉安·期末）用12根等長的火柴棒拼成一個等腰三角形，火柴棒不允許剩余、重疊、折斷，則能擺出不同的等腰三角形的個數(shù)為個．【答案】2【分析】本題根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理，得到不等式組，從而求出三邊滿足的條件，再根據(jù)三邊長是整數(shù)，進而求解．【詳解】設(shè)擺出的三角形中相等的兩邊是x根，則第三邊是（12?2x）根，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到：x+x>12?2x12?2x+x>x則x>3，x<6，又因為x是整數(shù)，∴x可以取4或5，因而三邊的值可能是：4，4，4或5，5，2；共二種情況，則能擺出不同的等腰三角形的個數(shù)為2．故答案為：2．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系：在組合三角形的時候，注意較小的兩邊之和應(yīng)大于最大的邊，三角形三邊之和等于12．【變式2-1】（23-24八年級·遼寧丹東·期末）等腰三角形周長為17，其中兩條邊長分別為x和2x+1，則這個等腰三角形的腰長為（

）A．4或7 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查了三角形的三條邊的關(guān)系和一元一次方程的應(yīng)用的問題．根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，可得判斷出底邊是x，腰長是2x+1，根據(jù)題意列出方程求解即可．【詳解】解：若x是腰，則底邊長是2x+1，應(yīng)該滿足兩腰之和大于底，但是2x<2x+1，所以只能x是底邊，則腰長是2x+1，由題意得x+22x+1解得x=3，∴2x+1=7，故答案為：D．【變式2-2】（23-24八年級·浙江衢州·階段練習(xí)）周長為12，各邊長均為整數(shù)的等腰三角形的三邊長分別為．【答案】2、5、5或4、4、4.【分析】已知等腰三角形的周長，求三邊，則需要列出所有的組合形式，然后根據(jù)三角形的構(gòu)造條件判斷哪些符合．【詳解】等腰三角形的三邊均為整數(shù)且它的周長為12cm，那三邊的組合方式有以下幾種：①1，1，10；②2，2，8；③3，3，6；④4，4，4；⑤5，5，2；又因為三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，則④⑤符合．它的三邊長為或4，4，4，或2，5，5．故答案為2，5，5或4，4，4．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵；其中三邊為整數(shù)也是非常重要的條件．【變式2-3】（23-24八年級·全國·單元測試）在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中線BD將三角形周長分為15和21兩部分，則這個三角形的底邊長為．【答案】16或8【分析】本題由題意可知有兩種情況，AB+AD=15或AB+AD=21．從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系可求出底邊為8或16．【詳解】解：∵BD是等腰△ABC的中線，可設(shè)AD=CD=x，則AB=AC=2x又知BD將三角形周長分為15和21兩部分∴可知分為兩種情況①AB+AD=15，即3x=15，解得x=5，此時BC=21﹣x=21﹣5=16②AB+AD=21，即3x=21，解得x=7；此時等腰△ABC的三邊分別為14，14，8經(jīng)驗證，這兩種情況都是成立的∴這個三角形的底邊長為8或16故答案為：16或8【點睛】本題主要考查來了等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系（兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊），注意求出的結(jié)果燕驗證三角形的三邊關(guān)系，掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【題型3三角形的高的有關(guān)的問題】【例3】（24-25八年級·重慶銅梁·開學(xué)考試）如圖，△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，點D在BC上移動，則AD的最小值是．【答案】27【分析】本題考查了與三角形高有關(guān)的計算，垂線段最短，根據(jù)題意，當(dāng)AD⊥BC時，AD有最小值，利用12【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)AD⊥BC時，AD有最小值，∵△ABC中，AB=18,BC=16，CE⊥AB于E，CE=12，∴12∴1∴AD=27故答案為：272【變式3-1】（23-24八年級·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，AB=5，BC=4，AD⊥CD，CE⊥AE，AD=4，則CE的長為．【答案】16【分析】本題考查了三角形的面積，直接根據(jù)等面積法求解即可．【詳解】解：∵AD⊥CD，∴AD、CE都是∴S△ABC∴CE=BC?AD故答案為：16【變式3-2】（23-24八年級·山東德州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD與CE相交于點O，連接BO并延長交AC于點F.若AB=5，BC=4，AC=6，則CE：AD：BF的值為?【答案】12:15:10【分析】本題主要考查三角形的高，由題意得：BF⊥AC，再根據(jù)三角形的面積公式，可得S△ABC【詳解】解：∵在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為點D和點E，AD與CE交于點O，∴BF⊥AC，∵AB=5，BC=4，AC=6，∴S△ABC∴S△ABC∴CE：AD：BF=12:15:10，故答案是：12:15:10．【變式3-3】（2024八年級·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點E是BC的中點，動點P從A點出發(fā)，先以每秒2cm的速度沿A→C運動，然后以1cm/s的速度沿C→B運動．若設(shè)點P運動的時間是t秒，那么當(dāng)【答案】52或113【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答時靈活運用三角形的面積公式求解是關(guān)鍵．分為兩種情況討論：當(dāng)點P在AC上時：當(dāng)點P在BC上時，根據(jù)三角形的面積公式建立方程求出其解即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)點P在AC上，∵△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點E是BC∴CE=4，AP=2t．∵△APE的面積等于10，∴S∴AP=5，即AP=2t=5，∴t=5如圖2，當(dāng)點P在BC上，∵E是BC的中點，∴BE=CE=4．∵S=1∴EP=10當(dāng)點Ｐ在點Ｅ的左邊時，t=3+4?10當(dāng)點Ｐ在點Ｅ的右邊時，t=3+4+10綜上所述，當(dāng)t=52或113或31故答案為52或113或【題型4利用中線解決三角形的面積問題】【例4】（23-24八年級·四川資陽·期末）如圖，已知△ABC的面積為12，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，AE、BF、CD交于點G，AG:GE=2:1，則圖中陰影部分的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】此題考查三角形的面積，涉及中線平分三角形的面積，得S△ABE=12S△ABC，【詳解】解：∵E是BC的中點，∴S△ABE又∵AG:GE=2:1，∴S△BAG又∵點D是AB的中點，∴S△BDG同理S△CFG∴圖中陰影部分的面積為S△BDG故選B．【變式4-1】（23-24八年級·江蘇常州·期末）如圖，AD是△ABC的中線，AE=13AD,F是EC的中點．若S△BEF【答案】30【分析】此題考查三角形中線的性質(zhì)和三角形面積，先求出S△BEC=2S△BEF=20，再求出S△BDE=S△CDE【詳解】解：∵F是EC的中點．S△BEF∴S△BEC∵AD是△ABC的中線，∴D是BC的中點，∴S∵AE=∴AE=∴S△ABE∴S△ABD∵AD是△ABC的中線，∴S故答案為：30【變式4-2】（23-24八年級·四川巴中·期末）如圖，已知A1，A2，A3?分別是AC，A1C，A2C?的中點，B1，B2，B3?分別是【答案】1【分析】本題考查三角形的中線性質(zhì)、數(shù)字類規(guī)律探究，先根據(jù)三角形的中線性質(zhì)和三角形的面積公式求得前幾個三角形的面積，然后找到變化規(guī)律，進而可求解．【詳解】解：由題意，S△S△S△……，依次類推，S△∴S△∴△A2024B故答案為：12【變式4-3】（23-24八年級·山東青島·期末）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，E是AB上的一點，且AE=4BE，BD與CE相交于點F，若△CDF的面積為4，則△ABC的面積為．【答案】12【分析】本題考查了根據(jù)三角形中線求面積，根據(jù)三角形面積等高模型得到S△ACF:S△AEF=4:1是解題的關(guān)鍵．連接AF，根據(jù)中點可得S△ADF=S△CDF=4，根據(jù)AE=4BE可得【詳解】解：連接AF，如圖所示：∵D是AC的中點，S△CDF=4∴S△ADF=又∵AE=4BE，∴S設(shè)S△BEF=x，則∵S∴S∴S∴CF:EF=5:1，∴S∴S解得：x=2∴S故答案為：12．【題型5利用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題】【例5】（23-24八年級·安徽安慶·期中）已知：如圖，點D是△ABC內(nèi)一點．求證：

(1)BD＋CD＜AB＋AC；(2)AD＋BD＋CD＜AB＋BC＋AC．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）延長BD交AC于E，從而找到BD＋CD與AB＋AC的中間量BE+CE，再利用不等式的傳遞性(若a<b，b<c，則a<c．)得出BD＋CD＜AB＋AC；（2）同理可得AD+CD<AB+BC，BD+AD<BC+AC，與（1）結(jié)論左邊加左邊，右邊加右邊，再兩邊除以2即可．【詳解】（1）證明：延長BD交AC于E，

在△ABE中，有AB+AE＞BE，∴AB＋AC=AB+AE+CE＞BE+CE，在△EDC中，有DE+CE＞CD，∴BE+CE=BD+DE+CE＞BD+CD，∴AB＋AC＞BE+CE＞BD+CD，∴BD＋CD＜AB＋AC；（2）解：由（1）同理可得：BD＋CD＜AB＋AC①，AD＋CD＜AB＋BC②，BD＋AD＜BC＋AC③，①+②+③得：2（AD+BD+CD）<2（AB+BC+AC），∴AD+BD+CD<AB+BC+AC．【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點D是△ABC內(nèi)一點，連接BD并延長交AC于點E，求證：AB+AC>DB+DC．

【答案】見解析【分析】在△ABE中運用三角形三邊關(guān)系可得AB+AE>BE①，再根據(jù)線段的和差可得AC=AE+EC②，①+②可得：【詳解】證明：∵在△ABE中，可得AB+AE>BE①，AC=AE+EC∴①+②可得：∵在△DCE中，可得DE+EC>DC③，BE=ED+BD④∴BE+EC>BD+DC，∴AB+AC>DB+DC．【點睛】本題主要考查三角形的三邊關(guān)系，找準(zhǔn)三角形并靈活運用三角形的三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24八年級·山東青島·單元測試）如圖，設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且PC=BC，求證：AB>AP．

【答案】見解析【分析】延長CP交AB于點D，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得出BC+BD>CP+PD，AD+PD>AP，整理得出BC+AB>CP+AP，根據(jù)PC=BC，得出AB>AP．【詳解】證明：延長CP交AB于點D，如圖所示：

∵BC+BD>CP+PD，AD+PD>AP，∴BC+BD+AD+PD>CP+PD+AP，∴BC+AB+PD>CP+PD+AP，即BC+AB>CP+AP，∵PC=BC，∴AB>AP．【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【變式5-3】（23-24八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，AC，BD是四邊形ABCD的對角線，且AC，BD相交于點O．求證：(1)AB+CD<AC+BD；(2)AC+BD>1【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）在△ABO和△COD中，利用三角形三邊關(guān)系即可求證結(jié)論．（2）由（1）得，AB+CD<AC+BD，在△AOD和△COB中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD+BC<AC+BD，利用等量關(guān)系即可求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵在△ABO和△COD中，AO+BO>AB，CO+DO>DC，∴AO+CO+BO+DO>AB+DC，即AB+CD<AC+BD．（2）由（1）得，AB+CD<AC+BD，同理可得，AD+BC<AC+BD，∴AB+BC+CD+AD<2AC+BD即AC+BD>1【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點2與三角形有關(guān)的角】【知識點1三角形的內(nèi)角】三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：（1）直角三角形的兩個銳角互余（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形【知識點2三角形的外角】三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.【題型6利用三角形的內(nèi)角和定理解決折疊中的角度計算】【例6】（23-24八年級·廣西柳州·期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠1=42°,∠2=46°【答案】112°/112度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形的外角的性質(zhì)等知識，靈活運用所學(xué)知識，學(xué)會添加常用輔助線是解答本題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．連接AA'，根據(jù)折疊的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)求出【詳解】解：如圖，連接AA∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠D∵∠1=∠DAA'+∠D∴∠1+∠2=2∠DAA∴∠BAC=44°，∴∠ABC+∠ACB=136°，∵A'B平分∠ABC，A'∴∠A'BC=∴∠A∴∠BA故答案為：112°．【變式6-1】（23-24八年級·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別在邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平使A與A'重合，若∠A=35°，則∠1+∠2的度數(shù)為（

A．70° B．105° C．140° D．35°【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，先由三角形內(nèi)角和定理得到∠ADE+∠AED=180°?∠A=145°，再由折疊的性質(zhì)得到∠A'ED=∠AED【詳解】解：∵∠A=35°，∴∠ADE+∠AED=180°?∠A=145°，由折疊的性質(zhì)可得∠A∴∠A∵∠A∴∠1+∠2=360°?∠A故選：A．【變式6-2】（23-24八年級·河北石家莊·期末）如圖，點M，N分別在AB，AC上，MN∥BC，將△ABC沿MN折疊后，使點A落在點A'處．若∠A'=30°，

【答案】120【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，由折疊性質(zhì)可得∠A=∠A'=28°，∠A'NM=∠ANM，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A=∠A∵∠A=30°，∴∠C=180°?∠A?∠B=30°，∵MN∥∴∠ANM=∠C，∴∠CNM=180°?∠C=150°，∵∠A∴∠A∴∠A故答案為：120．【變式6-3】（2024八年級·全國·專題練習(xí)）如圖，把△ABC沿EF折疊，使點A落在點D處，(1)若DE∥AC，試判斷∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若∠B+∠C=130°，求∠1+∠2的度數(shù)．【答案】(1)∠1=∠2，見解析(2)100°【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等量代換思想解答即可；（2）根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=130°，得到∠A=50°，根據(jù)DE∥AC，得到∠1=∠2=∠A=50°，計算∠1+∠2的度數(shù)．本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∠1=∠2，理由如下：∵∠D是由∠A翻折得到，∴∠D=∠A，∵DE∥AC，∴∠1=∠A,∠2=∠D，∴∠1=∠2．（2）解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B+∠C=130°，∴∠A=50°，∵DE∥AC，∴∠1=∠2=∠A=50°，∴∠1+∠2=50°+50°=100°．【題型7直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用】【例7】（23-24八年級·遼寧盤錦·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AC上一點，過點A作AE⊥BD于點E．(1)當(dāng)BD平分∠ABC，且∠ABC=60°時，求∠BAE的度數(shù)；(2)當(dāng)點D是AC中點，DB=3，且△BCD的面積為94，求AE【答案】(1)∠BAE=60°；(2)AE=3【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義及直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）由點D是AC中點得S△ADB=S此題考查了角平分線的定義，三角形中線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等面積法，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，∴∠ABE=30°，∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°?30°=60°；（2）解：∵點D是AC中點，∴AD=DC，∵S△ADB=1∴S△ADB∵S△ADB∴32∴AE=3【變式7-1】（23-24八年級·貴州貴陽·期末）如圖，直線a∥b，CD⊥AB于點D，若∠1=130°，則∠2等于（A．60° B．50° C．40° D．30°【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形的兩銳角互余，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠ABC+∠1=180°，則有，∠ABC=50°再根據(jù)垂直的定義得∠BDC=90°，然后利用，∠ABC+∠2=90°計算∠2的度數(shù)即可，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a∥∴∠ABC+∠1=180°，∵∠1=130°，∴∠ABC=50°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠2=90°，∴∠2=40°，故選：C．【變式7-2】（23-24八年級·浙江溫州·期末）圖1的指甲剪利用杠桿原理操作，圖2是使用指甲剪的側(cè)面示意圖，∠CEO=90°，杠桿BC與上臂OC重合；使用時，B剛好至B'點，當(dāng)A'B'∥OE時，恰好CB''平分∠OCE【答案】12【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余等知識．延長CB′交OE于點H，先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠OHC=∠CB'A'=129°，進而求出∠CHE=51°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ECH=39°【詳解】解：延長CB'交OE于點∵A'∴∠OHC=∠CB∴∠CHE=180°?∠OHC=51°，∵∠CEO=90°，∴∠ECH=90°?∠CHE=39°．∵CB''平分∴∠ECO=2∠ECH=78°，∴∠COE=90°?∠ECO=12°．故答案為：12【變式7-3】（23-24八年級·遼寧盤錦·期末）綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形的角與三角形的特殊線段”為主題開展數(shù)學(xué)活動．(1)【初步探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點D．在圖1中，作AE⊥BC于E，求∠DAE的度數(shù)；(2)【遷移探究】在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，作∠BAC的平分線AD交BC于點D．如圖2，在AD上任取點F，作FE⊥BC，垂足為點E，直接寫出∠DFE的度數(shù)；(3)【拓展應(yīng)用】如圖③，在△ABC中，∠C>∠B,AD平分∠BAC，點F在DA的延長線上，F(xiàn)E⊥BC于E，求出∠DFE與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)∠DAE=14°(2)∠DFE=14°(3)∠DFE=【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠BAC=180°?∠B?∠C=68°，由AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=34°，又根據(jù)AE⊥BC，可得∠CAE=20°（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠BAC=180°?∠B?∠C=68°，由AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=34°，由三角形內(nèi)角和定理求得∠ADC=76°，再根據(jù)FE⊥BC（3）同理，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和AD平分∠BAC，得到∠CAD=12∠BAC=90°?12∠B+∠C，【詳解】（1）解：在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?42°?70°=68°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∵∠C=70°，∴∠CAE=90°?70°=20°，∴∠DAE=∠CAD?∠CAE=34°?20°=14°．（2）解：在△ABC中，∠B=42°,∠C=70°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=180°?42°?70°=68°，∵AD平分∠BAC.，∴∠CAD=1在△ADC中，∠C=70°，∴∠ADC=180°?70°?34°=76°，∵FE⊥BC，∴∠FED=90°，∴∠DFE=90°?∠ADC=90°?76°=14°．（3）解：在△ABC中，∠BAC=180°?∠B+∠C∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=1在△ADC中∠ADC=180°?∠C?∠CAD=180°?∠C?90°+=90°+∵FE⊥BC，∴∠FED=90°，∴∠DFE=90°?∠ADC=90°?90°?1【題型8三角形外角的應(yīng)用】【例8】（23-24八年級·江蘇無錫·階段練習(xí)）在△ABC中，BD、BE分別是高和角平分線，點F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于點G，交BC于點①∠DBE=∠EFH；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③2∠EFH=∠BAC?∠C，④∠BGH=∠ABE+∠C；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①根據(jù)BD⊥AC，F(xiàn)H⊥BE，由直角三角形銳角互余可證明；②根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確；③根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義，進行等量代換，即可證明結(jié)論正確；④根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論正確．【詳解】解：有題意可知BD⊥AC，F(xiàn)H⊥BE∴∠DBE+∠BED=∠EFH+∠BED=90°∴∠DBE=∠EFH①正確；∵BE是角平分線，∴∠BAF=∠C+∠ABC=∠C+2∠CBE∴∠BAF+∠C=2∠C+2∠CBE∵∠BEF=∠C+∠CBE∴2∠BEF=∠BAF+∠C②正確；∵∠EFH=∠DBE=90°?∠BED=90°?=90°?=90°?=∴2∠EFH=∠BAC?∠C③正確；∵∠DBE+∠BED=∠EFH+∠DGF=90°，∠DBE=∠EFH∴∠EFH=∠DBE=∠C+∠CBE=∠C+∠ABE∵∠EFH=∠BGH∴∠BGH=∠ABE+∠C④正確；故選：D．【點睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，正確運用三角形的高、中線和角平分線的概念以及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（23-24八年級·甘肅酒泉·期末）如圖，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分線與∠ACD的平分線交于點A1，∠A1BC的平分線與(1)試確定∠A與∠A(2)若∠A2=16°【答案】(1)∠A(2)64°【分析】本題考查了角平分線，三角形外角的性質(zhì)等知識．熟練掌握角平分線，三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由A1B是∠ABC的平分線，A1C是∠ACD的平分線可得∠A1BC=12（2）同理（1）可得∠A2=【詳解】（1）解：∠A∵A1B是∠ABC的平分線，A1∴∠A1BC=又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∴12∴∠A（2）解：同理（1）可得∠A∴∠A∴∠A=2∠A∴∠A的度數(shù)為64°．【變式8-2】（23-24八年級·福建廈門·期末）如圖，AD∥BC，∠D=∠ABC，點E是邊DC上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點．使得∠FBE=∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH=110°，則∠BEG的度數(shù)為【答案】35°/35度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，本題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和進行列式計算．由平行線的判定和性質(zhì)求出∠CEH=∠FAE=70°，并表示出∠AEF，由三角形外角的性質(zhì)求出∠AFE=2∠FEB，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計算即可．【詳解】解：∵AD∥∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠D=∠ABC，∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥∴∠CEH=∠FAE∵∠DEH=110°，∴∠CEH=∠FAE=70°，∵∠FBE=∠FEB，∠AFE=∠FBE+∠FEB，∴∠AFE=2∠FEB，∵∠FEH的角平分線為EG，∴∠GEH=∠FEG，∵∠AEF=180°?∠FEG?∠GEH=180°?2∠GEH，∴70°+2∠FEB+180°?2∠GEH=180°，∴∠GEH?∠FEB=35°，∴∠BEG=∠FEG?∠FEB=∠GEH?∠FEB=35°．故答案為：35°．【變式8-3】（23-24八年級·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）如圖，AD為△ABC的高，AE，BF為△ABC的角平分線，若∠CBF=32°，∠AFB=72°．(1)求∠DAE(2)若點G為線段BC上任意一點，當(dāng)△GFC為直角三角形時，求∠BFG【答案】(1)∠(2)∠BFG的度數(shù)為58°或【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．（1）先求出∠C=40°，∠ABC=2∠CBF=64°，則∠BAD=90°?∠ABC=26°，進而推出∠BAC=76°，再得出∠BAE=1根據(jù)∠DAE=∠BAE?∠BAD，求出∠BAE即可解決問題．（2）分兩種情況：①當(dāng)∠FGC=90°時．②當(dāng)∠GFC=90°時，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵∠AFB=∠FBC+∠C，∠CBF=32°，∠AFB=72°，∴∠C=72°?32°=40°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBF=64°，∵AD為△ABC的高，∴∠BAD=90°?∠ABC=26°，∴∠BAC=180°?∠ABC?∠C=180°?64°?40°=76°，∵AE平分∠BAC∴∠BAE=1∴∠DAE=（2）解：分兩種情況：①當(dāng)∠FGC=90°時，則∠BGF=90°，∴∠BFG=90°?∠FBC=90°?32°=58°；②當(dāng)∠GFC=90°時，則∠FGC=90°?40°=50°，∴∠BFG=∠FGC?∠EBF=50°?32°=18°；綜上所述：∠BFG的度數(shù)為58°或18°．【題型9三角形的內(nèi)角和與外角的性質(zhì)的綜合】【例9】（23-24八年級·福建福州·期中）已知在△ABC中，點D在AB上，且∠ACD=∠B．(1)如圖1，若CD⊥AB，求證：∠ACB=90°；(2)如圖2，AE平分∠BAC交CD于點F，交CB于點E．①求證：∠CFE=∠CEF；②△ABC的外角∠BAG的平分線所在直線MN與BC的延長線交于點M，若∠M=33°，求∠CFE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②57°【分析】（1）根據(jù)垂直定義，得到∠ADC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合∠ACD=∠B即可得證；（2）①根據(jù)角平分線的定義，得到∠CAE=∠BAE=12∠BAC，在△ABE和△ACF中，根據(jù)三角形外角性質(zhì)，結(jié)合∠ACD=∠B，可得結(jié)論；②根據(jù)角平分線的定義，證明∠EAN=90°,得到∠EAM=90°，得到∠M+∠AEM=90°，根據(jù)∠M=33°，得到∠AEM=57°【詳解】（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∵∠A+∠ADC+∠ACD=∠A+∠ACB+∠B=180°，且∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ADC=90°；（2）①∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAE=1∵∠CEF=∠B+∠BAE，∠CFE=∠ACD+∠CAE，且∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE；②∵MN平分∠BAG，∴∠BAN=∠GAN=1∵∠BAE=∠CAE=1∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=1∴∠EAM=180°?∠EAN=90°，∴∠M+∠AEM=90°，∵∠M=33°，∴∠AEM=57°，由①知，∠CFE=57°．【點睛】本題主要考查了三角形角平分線．熟練掌握三角形角平分線的定義，垂直定義，三角形的內(nèi)角和定理，平角性質(zhì)，直角三角形的兩個銳角性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（23-24八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于點D，∠ABD的角平分線BF所在直線與射線AE相交于點G，若∠ABC=3∠C，且∠G=18°，則∠DFB的度數(shù)為（）A．40° B．44° C．50° D．54°【答案】D【分析】由題意推出∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，設(shè)∠CAE=∠BAE=x，設(shè)∠C=y，∠ABC=3y，用含x和y的代數(shù)式表示【詳解】解：如圖：∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD，∴∠CAE=∠BAE，設(shè)∠CAE=∠BAE=x，由外角的性質(zhì)得：∠1=∠BAE+∠G=x+18°，∠2=1∴x+18=x+1解得：y=36°，∴∠1=∠2=1∵AD⊥DC，∴∠D=90°，∴∠DFB=90°?∠2=54°．故選：D．【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題．【變式9-2】（23-24八年級·天津東麗·期中）如圖，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延長線交AB于點F，設(shè)∠AEF=α，∠ADC=β，則下列關(guān)系正確的是（）

A．β=110°+2a B．β=220°?2aC．β=110°+a D．β=250°?2a【答案】D【分析】延長AD交BC于點G，設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，通過角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得到x+y=β?110°2之間的關(guān)系，在根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，將【詳解】解：如圖，延長AD交BC于點G，

設(shè)∠BAD的度數(shù)為2x，∠DCB的度數(shù)為2y，∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，∴∠EAF=1∵∠ADC=β，∴∠DGC=∠ADC?∠DCG=β?2y，∴∠BGD=180°?∠DGC=180°?β+2y，在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°?β+2y=180°，∴x+y=β?110°∵∠AEF=α，∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+y+110°=180°，將x+y=β?110°2代入可得整理得β=250°?2a，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，考慮延長AD得到三角形，進行角度的轉(zhuǎn)換，用α,β表示同一個三角形中的內(nèi)角得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式9-3】（23-24八年級·江蘇鹽城·期中）已知：如圖①，在△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD是角平分線，點E、F分別在邊AC、BC上，∠CEF=45°,CF<CD，將△CEF繞點C以每秒5°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時間為t．當(dāng)EF所在直線與線段AD，AB有交點時，交點分別為點M、點N．(1)當(dāng)t=15時，如圖②，此時直線EF與AD的位置關(guān)系是，∠ANM=°；(2)是否存在某個時刻t，使得EF∥AD？若存在，求出(3)試探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)t為何值時，△AMN中有兩個角相等，請直接寫出t的值．【答案】(1)EF⊥AD，60(2)33或69(3)t的值為9或18或54或63【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．（1）根據(jù)題中條件，求得∠AOM=∠EOC=60°，由此可求得∠AME=90°，即EF⊥AD，同時可求得∠ANM；（2）分兩種情況討論：當(dāng)EF在點C的左邊時，當(dāng)EF在點C的右邊時，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可；（3）分情況進行討論，①∠MAN=∠ANM=30°，求得CE旋轉(zhuǎn)45°或315°，②∠AMN=∠ANM，可求得CE旋轉(zhuǎn)90°或270°．【詳解】（1）解：如圖所示，EF與AC交于點O，∵∠ACB=90°,∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分線，∴∠CAD=1當(dāng)t=15時，根據(jù)由旋轉(zhuǎn)可知：∠ECA=75°，∴∠EOC=180°?∠ECA?∠FEC=180°?75°?45°=60°，∴∠AOM=∠EOC=60°，∵∠CAD=30°，∴∠AME=90°，∴直線EF與AD的位置關(guān)系是：垂直，∵∠AOM=∠BAC=60°，∴∠ANM=180°?60°?60°=60°．（2）解：如圖，當(dāng)EF在點C的左邊時，延長BC交EF于點G，∵∠ACB=90°,∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分線，∴∠CAD=1∴∠ADC=90°?30°=60°，∵EF∥∴∠FGH=∠ADC=60°，∵∠ECF=90°，∠CEF=45°，∴∠CFE=45°，∴∠GCF=∠FGH?∠EFC=15°，∴∠DCF=180°?∠GCF=165°，∴t=165÷5=33；如圖，當(dāng)EF在點C的右邊時，∵∠ACB=90°,∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是角平分線，∴∠CAD=1∴∠ADC=90°?30°=60°，∵EF∥∴∠EGC=∠ADC=60°，∵∠ECF=90°，∠CEF=45°，∴∠CFE=45°，∴∠GCF=∠EGC?∠EFC=15°，∴根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，旋轉(zhuǎn)角為：360°?15°=345°，∴t=345÷5=69；綜上分析可知：t=33或69時，使得EF∥（3）解：由題意可知，∠MAN=1①當(dāng)∠MAN=∠ANM=30°，∴∠AON=180°?∠CAB?∠ONA=180°?60°?30°=90°，∴∠EOC=∠AON=90°，∵∠CEF=45°，∴∠ECO=45°，即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)45°時，△AMN中有兩個角相等，如圖所示，∴此時t=45÷5=9；②∠MAN=∠AMN=30°時，則：∠AMN=∠CAD，∴MN∥AC，即則CE旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：360°?45°=315°，即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)315°時，△AMN中有兩個角相等；此時t=315÷5=63；③當(dāng)∠AMN=∠ANM時，∵∠DAB=30°，∴∠AMN=∠ANM=180°?∠DAB則∠AON=180°?∠CAB?∠ANO=180°?60°?75°=45°，即∠EOC=∠AON=45°，∵∠CEF=45°，∴∠ECO=90°，即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)90°時，△AMN中有兩個角相等，如圖所示，此時t=90÷5=18；④由③可知，如圖，當(dāng)∠AMN=∠ANM=75°時，∵∠CFN=45°，此時CE旋轉(zhuǎn)270°，即當(dāng)CE旋轉(zhuǎn)270°時，△AMN中有兩個角相等，此時t=270÷5=54；綜上所述：當(dāng)t的值為9或18或54或63時，△AMN中有兩個角相等．【題型10與三角形的內(nèi)、外角性質(zhì)及角等分線相關(guān)的規(guī)律性問題】【例10】（23-24八年級·山東青島·期末）【基礎(chǔ)探究1】（1）如圖1，△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，探求∠BPC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；【基礎(chǔ)探究2】（2）如圖2，△ABC中，BP1、BP2是∠ABC的三等分線，CP1、CP【基礎(chǔ)探究3】（3）如圖3，△ABC中，BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線，CP1、CP【拓展與探究】（4）如圖4，△ABC中，BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線，CP1、CP2、……、CP【探究與應(yīng)用】（5）△ABC中，BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線，CP1、CP2、……、CP2023是【答案】（1）∠BPC=90°+12∠A（2）∠BPC=60°+23【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，n等分線的定義．（1）由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A，由角平分線得到∠PBC=12∠ABC，∠PCB=（2）由三等分線可得∠P1BC=23（3）同（2）思路即可求解；（4）同（2）（3）思路即可∠BP1C=（5）同（4）思路可得∠BP2C+∠BP2022C=180°+∠A，又【詳解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°?∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB=180°?=180°?=180°?=90°+1（2）∵BP1、BP2是∠ABC的三等分線，CP∴∠P1BC=∴∠B=180°?=180°?=180°?=60°+2故答案為：∠B（3）∵BP1、BP2、BP3是∠ABC的四等分線，CP∴∠P3BC=∴∠B=180°?=180°?=180°?=135°+1故答案為：∠B（4）∵BP1、BP2、……、BPn?2、BPn?1是∠ABC的n等分線，CP1、∴∠P1BC=∠P1CB=∴∠B=180°?=180°?=180°?=1∠B=180°?=180°?=180°?=n?1∴∠BP故答案為：∠B（5）∵BP1、BP2、……、BP2023是∠ABC的2024等分線，CP∴∠P2BC=∠P2CB=∴∠B=180°?=180°?=180°?=2∠B=180°?=180°?=180°?=2022∴∠BP∵∠B∴180°+∠A=7∠A，∴∠A=30°，同理可得∠BP故答案為：105【變式10-1】（23-24八年級·江蘇無錫·期中）如圖將△ABC沿線段BC翻折至△FBC處，延長AC、BD（點F在∠EAD內(nèi)部）．請嘗試探究：(1)請直接寫出∠ECF、∠DBF與∠A的數(shù)量關(guān)系為__________；(2)若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．點F在∠A內(nèi)部（如圖②），證明：CG∥(3)若射線CG、BH分別是∠ECF，∠DBF的n等分線（n為大于2的正整數(shù)），即∠GCF=1n∠ECF，∠HBF=1n∠DBF，射線CG和射線BH相交于點【答案】(1)∠ECF+∠DBF=2∠A；(2)見解析；(3)∠BOC=n?2【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義得到∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，再根據(jù)∠A=∠F，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)角平分線的定義及（1）中的結(jié)論得出∠GCF+∠HBF=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定證明即可；（3）由三角形的內(nèi)角和定理可得∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，可得∠F=∠OCF+∠OBF+∠BOC，再結(jié)合（1）的結(jié)論可得答案．【詳解】（1）解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在△FBC中，∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°?(∠A+∠F)，∵∠ECF+∠ACB+∠FCB=180°，∠DBF+∠ABC+∠FBC=180°，∴∠ABC+∠ACB+∠FBC+∠FCB=360°?(∠ECF+∠DBF)，∴∠ECF+∠DBF=∠A+∠F，由對折可得：∠A=∠F，∴∠ECF+∠DBF=2∠A，（2）證明：如圖，

過點F作FM∥∴∠GCF=∠CFM，∵CG平分∠ECF，BH平分∠DBF，∴∠GCF=12∠ECF由（1）知∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠CFB，∴∠GCF+∠HBF=1∴∠CFM+∠HBF=∠CFB，∵∠CFM+∠BFM=∠CFB，∴∠HBF=∠BFM，∴FM∥∴CG∥（3）解：∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠BOC+∠OCB+∠OBC=180°，∴∠OCF+∠FCB+∠FBC+∠OBF+∠BOC=180°，∴∠F=∠OCF+∠OBF+∠BOC，∵∠GCF=1n∠ECF∴∠F=1由（1）可得：∠ECF+∠DBF=2∠A=2∠F，∴∠A=1∴∠BOC=n?2【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，軸對稱的性質(zhì)，平行線的判定及角平分線的定義，熟記三角形內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵，同時應(yīng)熟練掌握平行線的判定及角平分線的定義．【變式10-2】（23-24八年級·陜西西安·期中）我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，AD，BC相交于點O，連接AB，CD得到“8”字圖形ABDC．(1)如圖1，試說明∠A+∠B=∠C+∠D的理由；(2)如圖2，∠ABC和∠ADC的平分線相交于點E，利用（1）中的結(jié)論探索∠E與∠A、∠C間的關(guān)系；(3)如圖3，點E為CD延長線上一點，BQ、DP分別是∠ABC、∠ADE的四等分線，且∠CBQ=14∠ABC，∠EDP=14∠ADE，QB的延長線與DP交于點P，請?zhí)剿鳌敬鸢浮?1)見解析(2)2∠E=∠A+∠C(3)∠A+3∠C+4∠P=180°【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，熟