人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課 第二十一章 一元二次方程（章末總結(jié)）（課件）

一元二次方程章節(jié)總結(jié)第二十一章學(xué)習(xí)目標(biāo)1)了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)換、降次等數(shù)學(xué)思想。2)通過根的判別式判斷一元二次方程的情況，了解根與系數(shù)的關(guān)系。3)能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。本章重點內(nèi)容：1.理解與掌握一元二次方程及其有關(guān)的概念。2.用配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。3.利用一元二次方程解決實際問題。本章難點內(nèi)容：1.理解用根的判別式判別根的情況。

2.一元二次方程求根公式的推導(dǎo)。

3.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

解一元二次方程方法為本章基礎(chǔ)內(nèi)容，它的計算量相對較大，對正確率要求比較高，要求根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)，選用合適的方法解方程。大題通常考查利用一元二次方程解決實際問題和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，利用一元二次方程解決實際問題難點在于找等量關(guān)系，正確列出方程并求解，從而解決實際問題。利用根與系數(shù)的關(guān)系求代數(shù)式的值，難度較大，需要多加練習(xí)，靈活運用根與系數(shù)關(guān)系變形求解！基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程的概念）只含有_______未知數(shù)（元），并且未知數(shù)最高次數(shù)是_____，等號兩邊都是________，這樣的方程叫一元二次方程。一個2整式ax2+

bx

+

c

=

0（a≠0）一元二次方程的一般形式為___________________________________。二次項一次項常數(shù)項二次項系數(shù)一次項系數(shù)【提問】為什么強調(diào)a≠0基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程的概念）一元一次方程與一元二次方程相同點與不同點？一元一次方程一元二次方程一般形式相同點不同點ax=b(a≠0）ax2+bx+c=0(a≠0）整式方程，只含有一個未知數(shù)未知數(shù)最高次數(shù)是1未知數(shù)最高次數(shù)是2基礎(chǔ)鞏固（直接開平方法）一般地，對于方程x2＝p①，1)當(dāng)p＞0時，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個____________的實數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時，方程①有兩個______的實數(shù)根_____________；3)當(dāng)p＜0時，因為對于任意實數(shù)x，都有x2____0，所以方程①_______實數(shù)根。不相等相等x1＝x2＝0無≥

基礎(chǔ)鞏固（配方法）將方程通過配成____________形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是為了___________，把一個一元二次方程轉(zhuǎn)化成______一元一次方程來解。用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵：將一元二次方程配成完全平方形式。完全平方降次兩個不能直接開平方解的一元二次方程可以直接開平方解的一元二次方程變形為基礎(chǔ)鞏固（配方法）通過配方法解一元二次方程的步驟:1）移項：將含有x的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；2）二次項系數(shù)化為1：兩邊同除以二次項的系數(shù)；3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方；4）將原方程變成(x＋n)2＝p的形式；5）判斷右邊代數(shù)式的符號，若p≥0，可以利用直接開方法求解；

若p<0，原方程無實數(shù)根。

基礎(chǔ)鞏固（配方法）一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p①的形式，那么就有：1)當(dāng)p＞0時，根據(jù)平方根的意義，方程①有兩個________________的實數(shù)根______________________；2)當(dāng)p＝0時，方程①有兩個________________的實數(shù)根______________________；3)當(dāng)p＜0時，因為對于任意實數(shù)x，都有(x＋n)2____0，所以方程①_______實數(shù)根。不相等相等x1＝x2＝-n無≥

基礎(chǔ)鞏固(公式法)一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判別式。判別式概念：判別式表示：通常用希臘字母“Δ”表示，即Δ=b2－4ac.由前面的推導(dǎo)過程，可知：1）若△＞0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實根。1）若△=0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有____________________________的實根。1）若△＜0，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）____________________________實根。兩個不相等兩個相等無

基礎(chǔ)鞏固(公式法)

代入求根公式基礎(chǔ)鞏固(公式法)公式法解一元二次方程的步驟:3）如果b2-4ac≥0,將a、b、c的值代入求根公式?！疽族e點】a、b、c的值代入求根公式時易遺漏前面的符號。1）將原方程化為一般形式，確定a、b、c的值【小技巧】若系數(shù)是分?jǐn)?shù)通常將其化為整數(shù)，方便計算。2）求出b2-4ac的值，根據(jù)b2-4ac值的情況確定一元二次方程是否有解。4）最后求出原方程的解?；A(chǔ)鞏固（因式分解法）先因式分解，使一元二次方程轉(zhuǎn)化為____________________的形式，從而實現(xiàn)________，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。兩個一次式乘積等于0降次基礎(chǔ)鞏固（因式分解法）通過因式分解法解一元二次方程的步驟:1.移項。使一元二次方程等式右邊為0；2.分解。把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式；3.賦值。令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程；4.求解。解這兩個一元一次方程，最后得到方程的解。歸納：左分解，右化零，兩因式，各求解?；A(chǔ)鞏固（解一元二次方程的方法）解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法適用范圍配方法（基礎(chǔ)）先配方，再降次所有一元二次方程公式法（基礎(chǔ)）利用求根公式所有一元二次方程因式分解法（靈活掌握）右化零，左分解，兩因式，各求解僅部分解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次?；A(chǔ)鞏固（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）

【易錯點】使用韋達定理的前提條件：1)

先把方程化為一般式。2)Δ≥0。比的相反數(shù)比

基礎(chǔ)鞏固（一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系）

利用一元二次方程解決實際問題：1）傳播問題：明確每輪傳播中的___________個數(shù)，以及這一輪被傳染的__________．2)增長率問題：①如果增長率問題中的基數(shù)為a，平均增長率為x，則第一次增長后的數(shù)量為____________，第二次增長后的數(shù)量為____________．②如果下降率問題中的基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為__________，第二次下降后的數(shù)量為___________．3）幾何問題：

①常見幾何____________是等量關(guān)系。

②解決課本封面、小路寬度常采用____________列方程?；A(chǔ)鞏固（利用一元二次方程解決實際問題）傳染源總數(shù)a(1＋x)a(1＋x)2a(1－x)a(1－x)2周長面積圖形平移利用一元二次方程解決實際問題：4)數(shù)字問題：

①若個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則十位數(shù)字表示為____________.百位數(shù)字表示_____________.

②日歷中的某個日期，左右相差___________，上下相差___________.

5）利潤問題：單件利潤=___________,總利潤=________________6)表格問題：理解題干內(nèi)容，從題干中獲取信息。7）動點問題：在動點中觀察圖形的變化情況，需理解動點在圖形不同位置情況，才能做好計算推理過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決動點問題的基本思路。基礎(chǔ)鞏固（利用一元二次方程解決實際問題）100c+10b+a10b+a17售價-進價單件利潤×銷量

1）用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程。

2）一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：①給出一元二次方程，求方程的根的情況。②給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況，求參數(shù)的取值范圍。

3）一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，主要考查方式：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)；③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求x12+x22等；④判斷兩根的符號；⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值。4）列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長率/傳播問題）.

（考查一元二次方程定義及一般式）

（考查一元二次方程定義及一般式）1．已知關(guān)于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，問：（1）k為何值時，此方程是一元一次方程？（2）k為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出這個一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．

（直接開平方法求解一元二次方程）

【詳解】①②③⑤都是或可變形為x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c，而這四種形式都可用直接開平方法，故選D．（直接開平方法求解一元二次方程）1.用直接開平方法解下列方程：（1）（x﹣2）2=3；

（2）2（x﹣3）2=72；（3）9（y+4）2﹣49=0；

（4）4（2y﹣5）2=9（3y﹣1）2．

（配方法求解一元二次方程）

（配方法求解一元二次方程）

（公式法求解一元二次方程）

（用根的判別式判別根的情況）

（用根的判別式判別根的情況）

（分解因式法求解一元二次方程）

【詳解】∵(x2﹣x)2﹣4(x2﹣x)﹣12＝0∴(x2﹣x+2)(x2﹣x﹣6)＝0，∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6；當(dāng)x2﹣x＝﹣2時，x2﹣x+2＝0，∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，∴此方程無實數(shù)解；當(dāng)x2﹣x＝6時，x2﹣x+1＝7，故選A．（分解因式法求解一元二次方程）

（選用合適的方法求解一元二次方程）

（選用合適的方法求解一元二次方程）

（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系）

（利用一元二次方程解決實際問題）1.矩形面積為864平方步，寬與長共60步，問長與寬各多少步．利用所學(xué)知識，可求出長與寬分別是_______________2.組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊都要比賽一場.根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，則比賽組織者應(yīng)邀請_________個隊參賽？

【詳解】解：設(shè)長為x步，則寬為（60?x）步，依題意，得：x（60?x）＝864，解得：x1＝36，x2＝24，答：長與寬分別是36步，24步，（利用一元二次方程解決實際問題）

（利用一元二次方程解決實際問題）1．“新冠肺炎”防治取得戰(zhàn)略性成果．若有一個人患了“新冠肺炎”，經(jīng)過兩輪傳染后共有25個人患了“新冠肺炎”，則每輪傳染中平均一個人傳染了_________人．

【詳解】設(shè)十位上的數(shù)字為x，則個位上的數(shù)字為（x﹣4）．可列方程為：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4解