2024年中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)押題預(yù)測《幾何最值問題綜合》含答案解析

幾何最值問題綜合、、、、題型一1.①異側(cè)型→②同側(cè)型→2.①同側(cè)型→先水平平移(往靠近對方的方向)(往靠近對方的方向)同側(cè)型異側(cè)型②異側(cè)型→先水平平移(往靠近對方的方向)【1(2023?瀘州)如圖，EF是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)，P是對角線ACPE+APPF取得最小值時(shí)，PC27的值是??．1找出點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E'，F(xiàn)E'與AC的交點(diǎn)P'即為PE+PF取得最小值時(shí)P的位C置的值即可．【E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E'，F(xiàn)E'交AC于點(diǎn)P'，PE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF≥E'F，故當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)P位于點(diǎn)P'處APC∴當(dāng)PE+PF取得最小值時(shí)的值的值即可．PC∵正方形ABCD是關(guān)于AC所在直線軸對稱∴點(diǎn)E關(guān)于AC所在直線對稱的對稱點(diǎn)E'在AD上過點(diǎn)F作FG⊥AB交AC于點(diǎn)G，則∠GFA=90°，AE'=AE，∵四邊形ABCD是正方形∴∠DAB=∠B=90°∠CAB=∠ACB=45°，∴FG∥BC∥AD∠AGF=∠ACB=45°，∴GF=AF，∵EF是正方形ABCD的邊AB的三等分點(diǎn)∴AE'=AE=EF=FB，132AEGFCAEAFAEGF12122∴GC=AC，===，∴AG=AC，=，31132∴AP'=AG=×AC=AC，3392979∴P'C=AC-AP'=AC-AC=AC，2979ACACC27∴==，27故答案為．2(2023?德州)ABCD中，∠A=90°AD∥BCAB=3BC=4E在ABAE=1．FG為邊ADFG=1．當(dāng)四邊形CGFE的周長最小時(shí)，CG的長為4??．2先確定FG和ECCGFECG+EFCG到C'FE關(guān)于AD對稱點(diǎn)E'E'C'交AD于點(diǎn)G'到CG+EFG與G'重合，再利用平行線分線段成比例求出C'G'長即可．∵∠A=90°AD∥BC，∴∠B=90°，∵AB=3BC=4AE=1，∴BE=AB-AE=3-1=2，在Rt△EBC中，EC=BE∵FG=1，+BC2=2+42=25，∴四邊形CGFE的周長=CG+FG+EF+EC=CG+EF+1+25，∴四邊形CGFECG+EF最小即可．過點(diǎn)F作FC'∥GC交BC于點(diǎn)C'BA到E'AE'=AE=1E'FE'C'E'C'交AD于點(diǎn)G'，可得AD垂直平分E'E，∴E'F=EF，∵AD∥BC，∴C'F=CGCC'=FG=1，∴CG+EF=C'F+E'F≥E'C'，即CG+EF最小時(shí)，CG=C'G'，∵E'B=AB+AE'=3+1=4BC'=BC-CC'=4-1=3，E'C'=EB+2=4+32=5，∵AG'∥BC'，EABEB534∴=，=，154解得C'G'=154即四邊形CGFE的周長最小時(shí)，CG的長為．15故答案為：．43(2023?綏化)如圖，△ABC是邊長為6E為高BD上的動點(diǎn)．連接CECE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AFEFDF△CDF周長的最小值是?3+33?．3△BCE≌△ACF∠CAF=∠CBE=30°F在△ABC∠CAF=30°的射線AFDF+CF的最小值便可求得本題結(jié)果．∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=6∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等邊三角形，BD是高，1212∴∠CBE=∠ABC=30°CD=AC=3，過C點(diǎn)作CG⊥AFAF的延長線于點(diǎn)GCG到HGH=CGAHDHDH與AG交于點(diǎn)ICIFH，12則∠ACG=60°CG=GH=AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH為等邊三角形，∴DH=CD?tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HICF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴當(dāng)F與IDFH三點(diǎn)共線時(shí)，CF+DF的值最小為：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周長的最小值為3+33．故答案為：3+33．4(2024?衡南縣模擬)y=-2x+4分別與x軸，y軸交于ABP(10)直線AB上取一點(diǎn)My軸上取一點(diǎn)NMNMPNPMN+MP+NP的最小值是()42558552855A.3B.1++C.10作點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)EP關(guān)于AB的對稱點(diǎn)FENEMEFFMFPFP交AB于CF作FD⊥x軸于DEN=NPFM=MPFP⊥ABOE=OPFC=PCMN+MP+NP=MN+FM+EN據(jù)得MN+FM+EN≥EFMN+MP+NP≥EF此MN+MP+NP的最小值為線段EFA(20)B(04)OA=2OB=4P(10)得OP=1OE=OP=1PA=OA-OP=1AB=25△PAC∽△BAO得PC：255455OB=PAABPC=PF=證△PFD∽△BAO得FDOA=PDOB=PF：45818ABFD=PD=ED=OE+OP+PD=Rt△EFD中由勾股定理求出EF55即可得MN+MP+NP的最小值．P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)EP關(guān)于AB的對稱點(diǎn)FENEMEFFMFPFP交AB于CF作FD⊥x軸于D則EN=NPFM=MPFP⊥ABOE=OPFC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值為線段EF的長，對于y=-2x+4x=0時(shí)，y=4x=0時(shí)，x=2，∴點(diǎn)A(20)B(04)，∴OA=2OB=4，又∵點(diǎn)P(10)，∴OP=1，∴OE=OP=1PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2OB=4，由勾股定理得：AB=+OB2=25，∵FP⊥ABFD⊥x軸，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PCOB=PAAB∠APC=∠ABO，即PC4=1:25，255∴PC=，5255∴FC=PC=，455∴PF=FC+PC=，∵∠APC=∠ABO∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FDOA=PDOB=PFAB，45即FD2=PD4=:25，5485∴FD=PD=，585185∴ED=OE+OP+PD=1+1+=，．184在Rt△EFD中，ED=FD=，552855由勾股定理得：EF=ED+FD2=故選：C．5(2023?龍馬潭區(qū)二模)y=-x-3x+4與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)xAB(AB)y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為-3E為yF在以點(diǎn)A為圓心，2為半DE+EF的最小值?65-2?．先求出點(diǎn)A(-40)D(-34)D關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)TT(34)接AE交與軸于M，交⊙A于NT作TH⊥x軸于H接AFE與點(diǎn)MF與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+EF為最TNRt△ATH中由勾股定理求出TATNy=-x-3x+4y=0時(shí)，-x-3x+4=0，解得：x=-4x=1，12∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-40)，對于y=-x-3x+4x=-3時(shí)，，y=4∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-34)，作點(diǎn)D關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)T點(diǎn)T(34)，連接AE交與軸于M⊙A于N點(diǎn)T作TH⊥x軸于HAF，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)MF與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+EFTN的長．理由如下：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)MF與點(diǎn)N不重合時(shí)，6根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知：DE=TE，∴DE+EF=TE+EF，TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)MF與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+EF為最?。唿c(diǎn)T(34)A(-40)，∴OH=3TH=4OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7TH=4，由勾股定理得：TA=AH+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF為最小值為65-2．故答案為：65-2．6(2024?碑林區(qū)校級一模)(1)Rt△ABC中，∠ABC=90°AB=6BC=8D是邊AC的中點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心，2為半徑在△ABCPQ是邊BC上的動點(diǎn)，求PQ+QD的最小值；(2)ABCDAB=2003米，BC=400在邊DC的中點(diǎn)EA10米為半徑的圓弧上選一處點(diǎn)PBC上選一處點(diǎn)QQ10米為半徑的半圓的三等分點(diǎn)的MN處開兩個(gè)南門．線段PMNEPM+NE最?。嚽驪M+NE最小值及此時(shí)BQ的長．(1)作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′接D′QAPD′作D′E⊥AB交AB的延長線于EQD=QD′DK=D′KAPQD′在同一條直線上時(shí)，PQ+QD=AD′-APDK∥AB，可得△CDK∽△CABDK=3CK=4(2)連接MQNQ點(diǎn)Q作QK⊥MN于KA關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′E向左平移10米得到點(diǎn)E′E′作E′L∥ABA′作A′L⊥E′L于LA′MA′E′E′MQ在BC上運(yùn)動，MN在平行于BC且到BC距離為53PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)E′L與GH的交點(diǎn)為TQ作QK⊥MN于KE′L∥AA′得△E′MT∽△A′MGBQ的值．7(1)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′接D′QAPD′作D′E⊥AB交AB的延長線于E，則QD=QD′DK=D′K，∴PQ+QD=PQ+QD′=AQ-AP+QD′，當(dāng)APQD′在同一條直線上時(shí)，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，∵∠ABC=90°AB=6BC=8，∴AC=AB+BC2=6+82=10，∵點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，1∴CD=AC=5，2∵DK∥AB，∴△CDK∽△CAB，DKABCKBCCDACDK6CK8510∴====，∴DK=3CK=4，∴D′K=3BK=4，∵∠E=∠EBK=∠BKD′=90°，∴四邊形BED′K是矩形，∴D′E=BK=4BE=D′K=3，∴AE=AB+BE=6+3=9，∴AD′=AE+E2=9+42=97，∵AP=2，∴PQ+QD的最小值=97-2；(2)MQNQQ作QK⊥MN于KA關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)A′E向左平移10米得到點(diǎn)E′E′作E′L∥ABA′作A′L⊥E′L于L接A′MA′E′E′M，∵M(jìn)N是半圓Q10，∴△QMNMN∥BCMN=10，∵QK⊥MNQM=10米，∴QK=53米，∴隨著圓心Q在BC上運(yùn)動，MN在平行于BC且到BC距離為53的直線上運(yùn)動，∵EE′∥MN且EE′=MN=10米，∴四邊形EE′MN是平行四邊形，∴NE=ME′，∴PM+NE=PM+ME′≥AM-AP+ME′=AM+ME′-10，∵E是CD的中點(diǎn)，12∴DE=CD=1003，∴E′L=AA′-DE=2(AB-QK)-DE=2×(2003-53)-1003=2903(米)，A′L=BC-E′E=400-10=390(米)，在Rt△A′E′L中，A′E′=+E2=390+29032=201011，∴PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；此時(shí)△MNQ在如圖③的△M′N′Q位置，8設(shè)E′L與GH的交點(diǎn)為TQ作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四邊形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，MTMGETG∴=，∵M(jìn)T=390-MGE′T=EH=1003-53=953(米)A′G=AG=2003-53=1953(米)GT=390米，390-MG9531953∴=，MG760529∴MG=(米)，760529775029∴GK=GM+MK=+5=(米)，7750∴BQ=GK=米，297750∴當(dāng)PM+NE取最小值時(shí)，BQ的長為米．297(2023?臥龍區(qū)二模)綜合與實(shí)踐問題提出(1)l上找一點(diǎn)PP到兩個(gè)定點(diǎn)A和BPA+PB的和最小()；思維轉(zhuǎn)換(2)E是直線ll的距離為4MN是直線l上的動線段，MN=6MENEME+NEMNE在平行于直線lME+NE的最小值；拓展應(yīng)用(3)ABCD中，AD=2AB=25BDEF分別是邊BCADBE=AFEF作EM⊥BDFN⊥BDMNAMAN△AMN周長的最小值．9(1)作點(diǎn)A(2)將MN看作定點(diǎn)，E(1)作法可解；(3)由相似得出MN(2)作法求出AM+AN(1)P為所求．A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)PAP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴A′P+BPPA+PB的和最?。?2)E作直線l∥l點(diǎn)N關(guān)于l的對稱點(diǎn)N′MN′l于點(diǎn)P，111則PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵點(diǎn)E到直線l的距離為4，∵NN′=8，∵M(jìn)N=6，∴MN′=6+82=10，∴PM+PN=10ME+NE的最小值為10．(3)A作l∥BDAH⊥BD于點(diǎn)HM關(guān)于l的對稱點(diǎn)M′M′N，由(2)得M′N為AM+AN的最小值，10∵AB=5AD=25，∴BD=∴AH=5+252=5，5×25=2，5∴MM′=4，設(shè)ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2xBE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BDMM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=4+12=17，∴△AMN周長的最小值為17+1．動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為輔助圓的三種形式：1定義法--圓(或圓弧)2定邊對直角--(或圓弧)3．定邊對定角--(或圓弧)8(2023?黑龍江)Rt△ACB中，∠BAC=30°CB=2E是斜邊ABRt△ABC繞點(diǎn)ARt△AFDCB旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)DFCFEFCE的過程中，△CEF面積的最大值是?4+3?．線段CEF到CE距離最大時(shí)，△CEF∵線段CE為定值，∴點(diǎn)F到CE的距離最大時(shí)，△CEF的面積有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°E是AB的中點(diǎn)，1112∴AB=2BC=4CE=AE=AB=2AC=AB?cos30°=23，∴∠ECA=∠BAC=30°，過點(diǎn)A作AG⊥CE交CE的延長線于點(diǎn)G，1∴AG=AC=3，2∵點(diǎn)F在以A為圓心，AB長為半徑的圓上，∴AF=AB=4，∴點(diǎn)F到CE的距離最大值為4+3，12∴S=CE?4+3=4+3，故答案為：4+3．9(2023?永壽縣二模)ABCD中，AB=4M是ADP是CD上一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長為?4-22?．AM作⊙O與CD相切于點(diǎn)P'P運(yùn)動到點(diǎn)P'處時(shí)，∠AP'MAM的中點(diǎn)為NOP'DNRt△MON股定理求出ONDP'CP的長．AM作⊙O與CD相切于點(diǎn)P'PM與⊙O交于點(diǎn)Q接AP′MP′OMOP′，AQ，則∠AP'M=∠AQM>∠APM∠OP′D=90°，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P'時(shí)，∠AP'M最大，作ON⊥AD于點(diǎn)N，12則MN=AN=AM，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∴四邊形OP'DN是矩形，∵AB=4M是AD的中點(diǎn)，∴AM=DM=2MN=1，∴OM=OP'=DN=DM+MN=3，在Rt△MON中，ON=OM-MN2=3-12=22，∴DP'=ON=22，∴CP'=DC-DP'=4-22，∴當(dāng)∠APM的度數(shù)最大時(shí)，CP的長為4-22．故答案為：4-22．1210(2023?營口一模)ABC和等邊三角形ADENM分別為BCDE的中點(diǎn)，AB=6AD=4△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最大值為?53?．M是在以AMAANAMAMAAN與圓交于點(diǎn)M′MAN三點(diǎn)共線時(shí)，MN理分別算出AMANMN的最大值M′N=AN+AM′=AN+AM．ANAMAMAAN與圓交于點(diǎn)M′∵△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，∴點(diǎn)M是在以AMA為圓心的圓上運(yùn)動，∵AM+AN≥MN，∴當(dāng)點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)到M′MAN三點(diǎn)共線時(shí)，MNM′N，∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)NM分別為BCDE的中點(diǎn)，AB=6AD=4，∴AN⊥BCAM⊥DEBN=3DM=2，在Rt△ABNAN=AB-BN2=33，在Rt△ADMAM=AD-DM2=23根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AM′=AM=23，∴M′N=AN+AM′=53MN的最大值為53．故答案為：53．，11(2023?定遠(yuǎn)縣校級一模)4的⊙O中，CDAB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O上一動點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動到點(diǎn)DF所經(jīng)過的路徑長23π3為??．由∠AFC=90°點(diǎn)F在以ACE與BF與GE與DF與AE從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動到點(diǎn)DF所經(jīng)過的路徑長為AGAG∵CF⊥AE，∴∠AFC=90°，∴點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動，以AC為直徑畫半圓AC接OA，13當(dāng)點(diǎn)E與BF與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與DF與A重合，∴點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動到點(diǎn)DF所經(jīng)過的路徑長為AG的長，∵點(diǎn)G為OD的中點(diǎn)，1212∴OG=OD=OA=2，∵OG⊥AB，∴∠AOG=60°AG=23，∵OA=OC，∴∠ACG=30°，∴AC=2AG=43，∴AG所在圓的半徑為2360°，60π×2323π3∴AG的長為=，18023π3故答案為：．12(2024?蘭州模擬)綜合與實(shí)踐△ABC中，AB=AC∠BAC=90°D為平面內(nèi)一點(diǎn)(點(diǎn)ABD三點(diǎn)不共線)AE為△ABD的中線．(1)如圖1AE至點(diǎn)MME=AEDM．始終存在以下兩個(gè)結(jié)①DM=AC∠MDA+∠DAB=180°；(2)如圖2AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AFCF．小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)12一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=CF(3)如圖3(2)D在以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓上運(yùn)動(AD>AB)AE與直線CF相交于點(diǎn)GBGD的運(yùn)動過程中BG存在最大值．若AB=4BG的最大值．(1)利用SAS證明△ABE≌△MDEAB=DMAB=ACDM=AC等三角形性質(zhì)可得∠BAE=∠DME∠MDA+∠DAB=180°；(2)延長AE至點(diǎn)MME=AE接DM．利用SAS證得△ACF≌△DMACF=AM1212AE=AMAE=CF；14(3)延長DA至MAM=ADAM交CF于N接BM交CF于KAC中點(diǎn)P接GP△ACF≌△ABM(SAS)AE∥BMAG∥BM1212GP=AC=AB=2G在以P為圓心，2為半徑的⊙PBP并延長交⊙P于G′，可得BG′的長為BG(1)∵AE為△ABD的中線，∴BE=DE，BE=DE在△ABE和△MDE中，∠AEB=∠MED，∴△ABE≌△MDE(SAS)，∴AB=DM，AE=ME∵AB=AC，∴DM=AC；②由①知△ABE≌△MDE，∴∠BAE=∠DME，∴AB∥DM，∴∠MDA+∠DAB=180°；(2)AE至點(diǎn)MME=AEDM．由旋轉(zhuǎn)得：AF=AD∠DAF=90°，∵∠BAC=90°∠DAF+∠BAC+∠BAD+∠CAF=360°，∴∠BAD+∠CAF=180°，由(1)②得：∠MDA+∠DAB=180°DM=AB=AC，∴∠CAF=∠MDA，AF=AD在△ACF和△DMA中，∠CAF=∠MDA，AC=DM∴△ACF≌△DMA(SAS)，∴CF=AM，1∵AE=AM，21∴AE=CF；2(3)如圖3DA至MAM=ADAM交CF于NBM交CF于KAC中點(diǎn)PGP，由旋轉(zhuǎn)得：AF=AD∠DAF=90°，∴AF=AM∠MAF=180°-90°=90°，∵∠BAC=90°，∴∠MAF+∠CAM=∠BAC+∠CAM，即∠CAF=∠BAM，AC=AB在△ACF和△ABM中，∠CAF=∠BAM，AF=AM∴△ACF≌△ABM(SAS)，∴∠AFC=∠AMB∠AFN=∠KMN，15∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵EA分別是DBDM的中點(diǎn)，∴AE是△BDM的中位線，∴AE∥BMAG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)，1212∴GP=AC=AB=2，∴點(diǎn)G在以P為圓心，2為半徑的⊙P上運(yùn)動，連接BP并延長交⊙P于G′，∴BG′的長為BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB+AP2=4+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值為25+2．13(2022?沈陽(1)如圖1△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°C在OA上D在BO的延ADBCAD與BC的數(shù)量關(guān)系是AD=BC；(2)如圖21中的△COD繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)(1)問的結(jié)論是否仍然成立？(3)如圖3AB=8C是線段AB外一動點(diǎn)，AC=33BC．①若將CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CDADAD的最大值是?8+36?；②若以BC為斜邊作Rt△BCD(BCD三點(diǎn)按順時(shí)針排列)∠CDB=90°AD∠CBD=∠DAB=30°AD的值．(1)證明△AOD≌△BOC(SAS)16(2)利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可證得∠BOC=∠AOD△AOD≌△BOC(SAS)(3)①過點(diǎn)A作AT⊥ABAT=ABBTADDTBD△ABC∽△TBDDT=36D的運(yùn)動軌跡是以T為圓心，36D在AT的延長線上時(shí)，AD為8+36；②如圖4AB上方作∠ABT=30°A作AT⊥BT于點(diǎn)T接ADBDDTT作TH⊥323292AD于點(diǎn)H△BAC∽△BTDDT=AC=×33=DHAHAD5AB下方作∠ABE=30°A作AE⊥BE于點(diǎn)EDE△BAC∽△BTD92出DE=AD．(1)AD=BC．理由如下：如圖1∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OA=OBOD=OC，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD=BC，故答案為：AD=BC；(2)AD=BC仍然成立.2∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOB+∠AOC=∠AOC+∠COD=90°+α，即∠BOC=∠AOD，在△AOD和△BOC中，，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴AD=BC；(3)①過點(diǎn)A作AT⊥ABAT=AB接BTADDTBD，∵△ABT和△CBD都是等腰直角三角形，∴BT=2ABBD=2BC∠ABT=∠CBD=45°，BTABBDBC∴==2∠ABC=∠TBD，∴△ABC∽△TBD，DTACBTAB∴==2，∴DT=2AC=2×33=36，∵AT=AB=8DT=36，∴點(diǎn)D的運(yùn)動軌跡是以T為圓心，36為半徑的圓，∴當(dāng)D在AT的延長線上時(shí)，AD8+36，故答案為：8+36；②如圖4AB上方作∠ABT=30°點(diǎn)A作AT⊥BT于點(diǎn)TADBDDTT作TH⊥17AD于點(diǎn)H，BTABBDBC32∵==cos30°=∠ABC=∠TBD=30°+∠TBC，∴△BAC∽△BTD，DTACBDBC332∴==，392∴DT=AC=×33=，22在Rt△ABT中，AT=AB?sin∠ABT=8sin30°=4，∵∠BAT=90°-30°=60°，∴∠TAH=∠BAT-∠DAB=60°-30°=30°，∵TH⊥AD，∴TH=AT?sin∠TAH=4sin30°=2AH=AT?cos∠TAH=4cos30°=23，652在Rt△DTH中，DH===，652∴AD=AH+DH=23+；如圖5AB上方作∠ABE=30°A作AE⊥BE于點(diǎn)EDE，BEABBDBC32則==cos30°=，∵∠EBD=∠ABC=∠ABD+30°，∴△BDE∽△BCA，DEACBEAB332∴==，392∴DE=AC=×33=，2212∵∠BAE=90°-30°=60°AE=AB?sin30°=8×=4，∴∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90°，∴AD=綜上所述，AD的值為23+172==；652172或．14(2023?金平區(qū)三模)ABCD中，AB=6BC=15232E為BCBE=F為ABEFEF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EGFG和CGCG的32最小值為?+32?．18BE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ETDE交CG于J．首先證明∠ETG=90°G的在射線TGCG⊥TG時(shí)，CG的值最?。瓸E繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段ETDE交CG于J．∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=6∠B=∠BCD=90°，∵∠BET=∠FEG=45°，∴∠BEF=∠TEG，∵EB=ETEF=EG，∴△EBF≌△ETG(SAS)，∴∠B=∠ETG=90°，∴點(diǎn)G在射線TG上運(yùn)動，∴當(dāng)CG⊥TG時(shí)，CG的值最小，15232∵BC=BE=CD=6，∴CE=CD=6，∴∠CED=∠BET=45°，∴∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，∴四邊形ETGJ是矩形，32∴DE∥GTGJ=TE=BE=，∴CJ⊥DE，∴JE=JD，1∴CJ=DE=32，232∴CG=CJ+GJ=+32，32∴CG的最小值為+32，32故答案為：+32．15(2023?蒼溪縣一模)AB為⊙OC在AB的延長線上，AB=4BC=2P是⊙OCPCP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD∠DCP=60°ODOD長的最大值為?23+1?．19△COE∠CEO=90°∠ECO=60°CO=2CEOE=23∠OCP=∠ECDOPEDCPCD12△COP∽△CED出==2ED=OP=1(定長)E是定點(diǎn)，DED在半徑為1的⊙E△COE∠CEO=90°∠ECO=60°CO=2CEOE=23∠OCP=∠ECD，∵∠CDP=90°∠DCP=60°，∴CP=2CD，COCECPCD∴==2，∴△COP∽△CED，OPEDCPCD∴==2，1即ED=OP=1(定長)，2∵點(diǎn)E是定點(diǎn)，DE是定長，∴點(diǎn)D在半徑為1的⊙E上，∵OD≤OE+DE=23+1，∴OD的最大值為23+1，故答案為23+1．16(2023?海淀區(qū)校級三模)在平面直角坐標(biāo)系xOyW和點(diǎn)PW上存在兩個(gè)點(diǎn)MN滿足PM=3PN且∠MPN=90°P是圖形W的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．已知點(diǎn)A(-230)B(02)．(1)在點(diǎn)P(-3-1)P(-33)P(-23-2)中，P12?是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；123(2)⊙T是以點(diǎn)T(t0)為圓心，r為半徑的圓．①當(dāng)t=0AB上任一點(diǎn)均為⊙Or的取值范圍；②記線段AB與線段AO組成折線Gt≥4G的關(guān)聯(lián)點(diǎn)都是⊙Tr的最小值．(1)(2)①根據(jù)題意推得三角形PMN為含30O到點(diǎn)P的最大距3+123-123+123-12離為rr⊙O的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，r和r為半徑r的取值范圍；②結(jié)合①(1)∵∠MPN=90°，∴△MPN為直角三角形，∴滿足MN=PM+PN2，根據(jù)勾股定理可得：，，，，；；，20A=2，，，∵∴，，是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；∵∴是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；∵PA=7PBP+PB≠AB2，3333∴∠BAO=30°A⊥OA，∴∠AB=90°+30°=120°，∴對于線段AB上的任意兩點(diǎn)MN，當(dāng)時(shí)，∠NM>90°∠MPN∴不是線段AB的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；故答案為：PP．12(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN為直角三角形，∴MN=PM+PN=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN為含30則點(diǎn)P是以MN為斜邊且含30度角的直角三角形的直角頂點(diǎn)．在圓O上取點(diǎn)MNM和N221以點(diǎn)PM在半徑為r的⊙ONMN=2PN∠PNM=60°，則點(diǎn)MPP的軌跡為圓R當(dāng)MON三點(diǎn)共線，PRN三點(diǎn)共線時(shí)，∠PNM=60°，3212∴OR=rRN=r，3+123-12則點(diǎn)O到點(diǎn)P的最大距離為rr，當(dāng)點(diǎn)N也在⊙O上運(yùn)動時(shí)，⊙R也隨之運(yùn)動，3+123-12則⊙R掃過的區(qū)域?yàn)閞和rr為半徑圍成的圓，3+123-12即⊙O的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，3+1r和r為半徑的兩個(gè)圓構(gòu)成的圓環(huán)中，∴當(dāng)線段AB與半徑為r交于點(diǎn)A時(shí)，r23+12則r=23，解得r=6-23，3-12當(dāng)線段AB與半徑為r的圓相切時(shí)，rO作OH⊥AB22則，即，解得，則，解得∴，②當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段AB當(dāng)關(guān)聯(lián)點(diǎn)在線段AOO和點(diǎn)B上的范圍如圖陰影部分：23T的所有關(guān)聯(lián)點(diǎn)所在范圍為圓環(huán)，的必須經(jīng)過點(diǎn)G1，∵∠GBA=30°∠G=90°∠OBA=60°∠O=90°，∴四邊形AOBG為矩形，∴，則，即，解得r=42(負(fù)值舍去)；綜上，r的最小值為42．17(2024?昆山市一模)如圖1y=-5x+5與x軸，y軸分別交于AC兩y=x+bx+c經(jīng)過、軸的另一交點(diǎn)為．ACxB(1)求拋物線解析式；35(2)若點(diǎn)M為xM運(yùn)動到某一位置時(shí)，△ABM的面積等于△ABC面積的，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2B為圓心，2為半徑的⊙B與x軸交于EF兩點(diǎn)(F在E右側(cè))P點(diǎn)是⊙B接PAPA為腰作等腰Rt△PAD∠PAD=90°(PAD三點(diǎn)為逆時(shí)針順序)FD．求FD長度的取值范圍．24(1)將點(diǎn)A(10)C(05)代入y=x+bx+c(2)設(shè)M(mm-6m+5)AB=4SABC=10S=6=×4×(-m+6m-5)，12即可求M(2-3)或M(4-3)；(3)將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'AB'PBB'D△ADB'≌△APB(SAS)D在以B'為圓心，2B'(1-4)F(70)B'F=213以DF的最大值為61+2DF的最小值為61-2213-2≤DF≤213+2．(1)令x=0y=5，∴C(05)，令y=0x=1，∴A(10)，將點(diǎn)A(10)C(05)代入y=x+bx+c，得，∴，∴y=x-6x+5；(2)設(shè)M(mm-6m+5)，令y=0x-6x+5=0解得x=5或x=1，∴B(50)，，∴AB=4，12∴S=×4×5=10，35∵△ABM的面積等于△ABC面積的，12∴S=6=×4×(-m+6m-5)，解得m=2或m=4，∴M(2-3)或M(4-3)；(3)將點(diǎn)B繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到B'AB'PBB'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，25∵AB=AB'PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，∵B(50)A(10)，∴B'(1-4)，∵BF=2，∴F(70)，∴B'F=213，∴DF的最大值為213+2DF的最小值為213-2，∴213-2≤DF≤213+2．最短等18(2023?錦州)Rt△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30°AC=412AC和AB上分別截取ADAEAD=AE．②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)EDE的長為半徑作∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)M．③作射線AM交BC于點(diǎn)F．若點(diǎn)P是線段AFCP，12則CP+AP的最小值是?23?．AF26AM為∠CAB的角平分線，∵∠ABC=90°∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，12∴∠CAF=∠BAF=∠CAB=30°，過點(diǎn)C作CN⊥AB于NAF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，1∴PN=AP，212∴CP+AP=CP+PN=CN，CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°AC=4，CNAC∴sin60°=，32∴CN=sin60°×AC=4×=23，12∴CP+AP=CP+PN=CN=23，故答案為：23．19(2023?德陽)ABC-ABC中，AB=23AA=2M為1111ACB沿三棱柱ABC-ABC的表面爬行到M1111?19?．利用平面展開圖可總結(jié)為3BM的長即可．1ABC-ABC的側(cè)面BBCC和側(cè)面CCAA沿CC11111111接MB1，∵M(jìn)是AC的中點(diǎn)，△ABC和△ABC是等邊三角形，1111212∴CM=AC=×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1BM=BM+BB2=31，如圖2ABC和側(cè)面BBAA沿ABMBM作MF⊥AB于點(diǎn)F，11111交AB于點(diǎn)E，則四邊形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，273232∴ME=AM?sin60°=3×=，32AE=AM?cos60°=，3272∴MF=ME+EF=+2=，332BF=AB-AF=，1111在Rt△MFB1BM=MF+BF2=19，如圖3BMAC于點(diǎn)NBM⊥ACBN⊥AC，1111111在Rt△ANB中，∠NAB=