人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難考點(diǎn)專(zhuān)題03全等三角形的判定(2)(知識(shí)串講+7大考點(diǎn))特訓(xùn)(原卷版+解析)

專(zhuān)題03全等三角形的判定（2）考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）（1）AAS:如果兩個(gè)三角形兩角分別對(duì)應(yīng)相等，及其中一角的對(duì)邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或簡(jiǎn)記為（AAS）（2）書(shū)寫(xiě)格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果兩個(gè)三角形兩角分別對(duì)應(yīng)相等，及其中一角的夾邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或簡(jiǎn)記為（ASA）（2）書(shū)寫(xiě)格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）②證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：用ASA證明三角形全等典例1：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)F、C是AD上的兩點(diǎn)，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求證：【變式1】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．(1)求證：△ABC?△AED；(2)若∠1=40°，求∠3的度數(shù)．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且AE=CF．求證：【變式3】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三個(gè)條件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件______（填寫(xiě)序號(hào)，多選不得分），使得△ABC≌△DEF，依據(jù)是______（填“ASA”或“(2)請(qǐng)完成（1）的證明．考點(diǎn)2：用AAS證明三角形全等典例2：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求證：△ABE≌△DCF．【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．【變式2】（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，點(diǎn)C在AD上，AB∥DE，連接CE，CE⊥AD．求證：【變式3】（2023·陜西西安·高新一中校考三模）如圖，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE．考點(diǎn)3：全等三角形的性質(zhì)與ASA、AAS綜合典例3：（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，(1)求證：BD=CD．(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度數(shù)．【變式1】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在△ABC中，E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，CD∥AB，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．(1)求證：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的長(zhǎng)．【變式2】（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足為E．(1)若∠C=40°，求∠D的度數(shù)；(2)若AD=AC，求證：△DEA≌【變式3】（2023春·江西九江·八年級(jí)濂溪一中?？茧A段練習(xí)）（1）若m<n，且a?5m>a?5n（2）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求證：BF=CD．考點(diǎn)4：添加條件使三角形全等典例4：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ABC≌(2)在(1)的條件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【變式1】（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔAFD和ΔCEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個(gè)選項(xiàng)：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道真命題．并寫(xiě)出證明過(guò)程．條件為：（填序號(hào)）．結(jié)論為：（填序號(hào)）．【變式2】（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┱n上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖，AD=AE，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得△ADB≌△AEC(1)同學(xué)們認(rèn)為可以添加的條件并不唯一，你添加的條件是______，并完成證明(2)若添加的條件是OE=OD，證明：△ADB≌△AEC【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)證明上題；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC邊上的中線AD的取值范圍是．考點(diǎn)5：靈活選用判定方法證明三角形全等典例5：（2022秋·湖南株洲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足為(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【變式1】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一等腰直角形的三角板△ABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，若∠ABC=90°．(1)若如圖①放置時(shí)，已知點(diǎn)A(0,?4)，B(1,0)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若如圖②放置時(shí)，已知點(diǎn)A(0,0)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【變式2】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC和△DEF中，有下列四個(gè)等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題（要求寫(xiě)出已知，求證及證明過(guò)程）．題設(shè)：__________，結(jié)論__________：（寫(xiě)序號(hào)）【變式3】（2022秋·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD=AC，(1)寫(xiě)出△ADE與△ACB全等的理由；(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)6：用HL證明三角形全等典例6：（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AD,BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN=CM．求證：△ABM≌【變式1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求證：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度數(shù)．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．(1)求證：△ABC?△EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度數(shù)．【變式3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AD、BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN=CM．(1)求證：△ABM≌△DCN；(2)試猜想OA與OD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)7：全等性質(zhì)與HL綜合典例7：（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，且AE=AF，連接AD，求證S△ABD【變式1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△ABE≌(2)若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．【變式2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE=CF．求證：∠ACB=90°．【變式3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E．(1)若B，C在直線DE的同側(cè)（如圖①所示），且AD=CE，求證：①AB⊥AC；②DE=BD+CE．(2)若B，C在直線DE的兩側(cè)（如圖②所示），且AD=CE，其他條件不變，AB與AC垂直嗎？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·湖南婁底·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件不能是（

）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC2．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°3．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)校考期末）如圖，一塊玻璃被打碎成三塊，如果要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最合理的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①③去4．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)校考期中）如圖，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一個(gè)條件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E5．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′6．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，則DE的長(zhǎng)等于（

）A．AC B．BC C．AB+BC D．AB7．（2022秋·北京·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）根據(jù)下列條件，不能畫(huà)出唯一確定的△ABC的是（

）A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=48．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB=DB,∠1=∠2，欲證△ABE≌△DBC，則補(bǔ)充的條件中不正確的是（

）A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．BC=BE9．（2022秋·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AF=CE，BE//DF，那么添加下列一個(gè)條件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（）A．∠AFD=∠CEB B．AD//CB C．AE=CF D．AD=BC10．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列條件不能判定是△ABM?△CDN的是（

）A．∠M＝∠N B．BM∥DN C．AB＝CD D．MB＝ND11．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等12．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個(gè)條件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD13．（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直線EF經(jīng)過(guò)AC和BD的交點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，交BA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的有（）①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤圖中全等的三角形有9對(duì)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)14．（2022秋·山東德州·八年級(jí)校考期末）如圖，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結(jié)論正確的是（

）．（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④15．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在正方形方格紙中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，如圖是5×7的正方形方格紙，以點(diǎn)D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作格點(diǎn)三角形，使所作的格點(diǎn)三角形與△ABC全等，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫(huà)出（）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)二、填空題16．（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是高，則________≌△ADC．依據(jù)是________，并且BD＝________，∠BAD=________．17．（2023·全國(guó)·八年級(jí)統(tǒng)考假期作業(yè)）有________和一條________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“________”或用字母表示為“________”.18．（2023秋·云南大理·八年級(jí)統(tǒng)考期中）判定兩個(gè)三角形全等除用定義外，還有幾種方法，他們可以分別簡(jiǎn)寫(xiě)成SSS；SAS；______；______；_______.19．（2022秋·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知D,E是ΔABC中BC邊上的兩點(diǎn)，且AD=AE，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件：_______，使ΔABD≌ΔACE20．（2023春·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”說(shuō)明△ABC≌21．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使△ABC≌△ABD：_____．22．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若∠1=∠2，加上一個(gè)條件__，則有△AOC≌△BOC．23．（2023秋·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上，AB=CD,∠A=∠D，請(qǐng)你填一個(gè)直接條件，_________，使ΔAFC?ΔDEB．24．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)都在3×3正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．則∠1+∠2=______．25．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動(dòng)，且AB＝PQ，當(dāng)AP＝_____時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等．三、解答題26．（2022秋·廣東湛江·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1＝∠2，AB＝ED，求證：DB＝CD．27．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖，△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A在△DEC的邊DE上，AB交CD于點(diǎn)F，且AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3．試說(shuō)明AB與DE的大小關(guān)系．28．（2023秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F，若∠EDC=∠EAC=∠BAD，AC=AE，證明：△ABC≌△ADE．29．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，AB＝AC，∠1＝∠2，∠C＝∠B．求證：△ACE≌△ABD．30．（2022秋·江西宜春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB=AC，∠B=∠C．求證：AD=AE．31．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求證：△ACB≌△BDA．32．（2023秋·云南昭通·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A是線段DE上一點(diǎn)，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE．求證：△ADB≌△CEA．33．（2022·陜西·?？级＃┤鐖D，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB上的點(diǎn)，EF⊥EC，且AE=CD．求證：AF=DE．34．（2023春·貴州黔西·八年級(jí)校考期末）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=5cm，DE=3cm．（1）求證△CBE≌△ACD（2）求線段BE的長(zhǎng)

35．（2023春·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=DC．(1)證明：BE=DF；(2)若AB=20，DF=6，求AD的長(zhǎng)度；

專(zhuān)題03全等三角形的判定（2）考點(diǎn)類(lèi)型知識(shí)串講（一）全等三角形的判定（ASA、AAS）（1）AAS:如果兩個(gè)三角形兩角分別對(duì)應(yīng)相等，及其中一角的對(duì)邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或簡(jiǎn)記為（AAS）（2）書(shū)寫(xiě)格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（1）ASA:如果兩個(gè)三角形兩角分別對(duì)應(yīng)相等，及其中一角的夾邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或簡(jiǎn)記為（ASA）（2）書(shū)寫(xiě)格式:如圖12-2-5所示,在列舉兩個(gè)三角形全等的條件時(shí)，如:圖12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).（二）全等三角形的判定（HL）（1）直角三角形全等 ①斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等（HL）②證明兩個(gè)直角三角形全等同樣可以用SAS,ASA和AAS.考點(diǎn)訓(xùn)練考點(diǎn)1：用ASA證明三角形全等典例1：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)F、C是AD上的兩點(diǎn)，且BC∥EF，AB∥DE，AC=DF．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BCA=∠EFD，∠A=∠D，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可．【詳解】解：∵BC∥EF，∴∠BCA=∠EFD，∵AB∥∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中∠A=∠DAC=DF∴△ABC≌△DEF(ASA【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角邊角的方法證明三角形全等．【變式1】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知∠B=∠E，AB=AE，∠1=∠2．(1)求證：△ABC?△AED；(2)若∠1=40°，求∠3的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)40°【分析】（1）先根據(jù)∠1=∠2和角的和差可得∠EAD=∠BAC，然后運(yùn)用ASA即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)已知可得∠1=∠2=40°，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠3=∠2=40°即可．【詳解】（1）證明：∵∠1=∠2∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，即∠EAD=∠BAC在△ABC和△AED中∠B=∠E∴△ABC?△AEDASA（2）解：如圖：∵∠1=40°∴∠1=∠2=40°∵∠AFD=∠2+∠E，∠AFD=∠3+∠B，∴∠3=∠2=40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且AE=CF．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明∠BEA=∠DFC=90°，再由平行線的性質(zhì)得∠BAC=∠DCA，利用ASA即可證明△AEB≌△CFD．【詳解】證明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°，∵AB∥∴∠BAC=∠DCA，在△AEB和△CFD中，∠BEA=∠DFCAE=CF∴△AEB≌△CFDASA【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．熟練證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、D、C、F在同一條直線上，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE．有下列三個(gè)條件：①AC=DF，②AB=DE，③BC=EF．(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件______（填寫(xiě)序號(hào)，多選不得分），使得△ABC≌△DEF，依據(jù)是______（填“ASA”或“(2)請(qǐng)完成（1）的證明．【答案】(1)①；ASA（②或③；AAS）(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法進(jìn)行選擇即可；（2）根據(jù)“ASA”或“AAS”證明△ABC≌【詳解】（1）解：選擇①AC=DF，根據(jù)ASA證明△ABC≌②AB=DE或③BC=EF，根據(jù)AAS證明△ABC≌故答案為：①；ASA．（②或③；AAS）（2）證明：選擇①；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDFAC=DF∴△ABC≌選擇②；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌選擇③；∵在△ABC和△DEF中∠BAC=∠EDF∠ACB=∠DFE∴△ABC≌【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法“ASA”或“AAS”．考點(diǎn)2：用AAS證明三角形全等典例2：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A=∠D，求證：△ABE≌△DCF．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠B=∠C，再利用“AAS”即可求證．【詳解】解：∵AB∥∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，∠A=∠D∠B=∠C∴△ABE≌△DCF【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和利用“AAS”判定兩個(gè)三角形全等的知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定條件．【變式1】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)E在△ABC邊AC上，AE=BC，BC∥AD，∠CED=∠BAD．求證：△ABC≌△DEA．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DAE=∠C，再證明∠D=∠BAC，根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEA即可．【詳解】證明：∵BC∥AD，∴∠DAE=∠C，∵∠DEC為△ADE的外角，∴∠DEC=∠DAE+∠D，∵∠CED=∠BAD，∴∠DAE+∠D=∠DAE+∠BAC，∴∠D=∠BAC，∵AE=BC，∴△ABC≌△DEAAAS【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，AAS、ASA、SAS、SSS、HL．【變式2】（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC和△AED中，AC=DE，∠B=90°，點(diǎn)C在AD上，AB∥DE，連接CE，CE⊥AD．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】證明△ABC≌△DCE即可．【詳解】證明：∵AB∥∴∠BAC=∠D，∵CE⊥AD，∴∠B=∠DCE=90°，∵AC=DE，∴△ABC≌△DCEAAS∴AB=DC．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·陜西西安·高新一中?？既＃┤鐖D，在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求證：△ABC≌△ADE．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由三角形外角的性質(zhì)及∠1=∠2=∠3可得到∠ADE=∠B，再結(jié)合圖形并利用恒等變換可得到∠BAC=∠DAE，最后利用AAS即可得證．【詳解】證明：∵∠ADC=∠1+∠B，即∠ADE+∠3=∠1+∠B，∵∠1=∠2=∠3，∴∠ADE=∠B，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC

，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠ABC=∠ADE∠BAC=∠DAE∴△ABC≌△ADEAAS【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)．掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：全等三角形的性質(zhì)與ASA、AAS綜合典例3：（2023春·廣東深圳·七年級(jí)深圳大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，連接BD，點(diǎn)E在BD上，連接CE，若∠1=∠2，(1)求證：BD=CD．(2)若∠A=135°，∠BDC=2∠1，求∠DBC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)75°【分析】（1）由AB∥CD，得到∠ABD=∠BDC再利用AAS證明（2）由AB∥CD，∠A=135°，求得∠ADC=45°，因?yàn)椤螧DC=2∠1，得到∠BDC=30°，再根據(jù)【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠ABD=∠BDC，在△ABD和△EDC中∠1=∠2∠ABD=∠BDC∴△ABD≌△EDCAAS∴BD=CD．（2）∵AB∥CD，∴∠ADC=180°?∠A=45°，∵∠BDC=2∠1，∴∠BDC=2∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB=180°?∠BOC【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明△ABD≌△EDC是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，在△ABC中，E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，CD∥AB，交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．(1)求證：EF=ED；(2)若AB=8,CD=6，求BF的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)2【分析】（1）根據(jù)E是AC的中點(diǎn)，可得AE=CE，再由CD∥AB，可得∠A=∠ACD，可證明△AEF≌（2）根據(jù)△AEF≌△CED，可得【詳解】（1）證明：∵E是AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，在△AEF和△CED中，∠A=∠ACD∴△AEF≌∴EF=ED．（2）∵△AEF≌∴AF=CD=6，∵AB=8，∴BF=AB?AF=8?6=2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠B=90°，AD∥BC，DE⊥AC，垂足為E．(1)若∠C=40°，求∠D的度數(shù)；(2)若AD=AC，求證：△DEA≌【答案】(1)50°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DAC=∠C=40°，然后利用直角三角形兩銳角互余即可求出∠D的度數(shù)；（2）直接利用AAS證明即可．【詳解】（1）∵AD∥BC，∠C=40°∴∠DAC=∠C=40°∵DE⊥AC∴∠D=90°?∠DAC=50°；（2）在△DEA和△ABC中∠DEA=∠B=90°∴△DEA≌【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．【變式3】（2023春·江西九江·八年級(jí)濂溪一中?？茧A段練習(xí)）（1）若m<n，且a?5m>a?5n（2）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求證：BF=CD．【答案】（1）a<5（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)不等式性質(zhì)可得結(jié)果．（2）由四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，得到四個(gè)角為直角，再由EF與FD垂直，利用平角定義得到一對(duì)角互余，利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形BEF與三角形CFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．【詳解】解：（1）∵m<n，且(a?5)m>(a?5)n，∴a?5<0，解得a<5．答：a的取值范圍為a<5．（2）證明：∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，∠BEF=∠CFDBE=CF∴△BEF≌△CFD(ASA∴BF=CD．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：添加條件使三角形全等典例4：（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在五邊形ABCDE中，AB=DE，AC=AD．(1)請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得△ABC≌(2)在(1)的條件下，若∠CAD=66°，∠B=110°，求【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)136°．【分析】（1）BC=AE或∠BAC=∠EDA．根據(jù)SSS或SAS（2）根據(jù)△ABC≌△DEA得出∠BCA=∠EAD【詳解】（1）證明：添加：BC=AE或∠BAC=∵在△ACB和△DAE中，AC=DA,∴△ABC≌△DEA(SSS（2）∵△ABC≌∴∠BCA=∴∠=∠==66°+(180°?110°)=136°，∴∠BAE=136°【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在ΔAFD和ΔCEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，有下面四個(gè)選項(xiàng)：①AD=CB；②AE=CF；③DF=BE；④請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編一道真命題．并寫(xiě)出證明過(guò)程．條件為：（填序號(hào)）．結(jié)論為：（填序號(hào)）．【答案】①②④；③，證明見(jiàn)解析【分析】條件為：①②④，結(jié)論為：③；只需要證明△AFD≌△CEB即可．【詳解】解：條件為：①②④，結(jié)論為：③；（答案不唯一）已知：如圖，在△AFD和△CEB中，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，AD=CB，AE=CF，AD∥BC．求證：證明：∵AD∥∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∴在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠C∴△AFD≌△CEB（SAS），∴DF=BE．故答案為：①②④；③【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形判定的條件和性質(zhì)是解答本題的基礎(chǔ)．【變式2】（2022秋·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校?？计谥校┱n上，老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：已知：如圖，AD=AE，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，使得△ADB≌△AEC(1)同學(xué)們認(rèn)為可以添加的條件并不唯一，你添加的條件是______，并完成證明(2)若添加的條件是OE=OD，證明：△ADB≌△AEC【答案】(1)答案不唯一，AB=AC，證明見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）添加條件AB=AC，直接證明△ADB≌△AECSAS，即可得證；（2）連接AO，證明△AEO≌△ADOSSS，得出∠ADB=∠AEC，進(jìn)而證明△AEC≌△ADB【詳解】（1）答案不唯一，添加條件AB=AC，證明：在△ADB與△AEC中，AB=AC∴△ADB≌△AECSAS，故答案為：AB=AC；（2）連接AO，如圖，在△AEO與△ADO中，AE=ADOE=OD∴△AEO≌△ADOSSS∴∠ADO=∠AEO，∴∠ADB=∠AEC，在△ADB與△AEC中，∠ADB=∠AEC∴△AEC≌△ADBAAS【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，連接BE．(1)若要使ΔACD≌ΔEBD(2)證明上題；(3)在△ABC中，若AB＝5，AC=4，可以求得BC邊上的中線AD的取值范圍是．【答案】(1)AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）(2)見(jiàn)解析(3)0.5＜AD＜4.5【分析】（1）若要使△ACD≌△EBD，應(yīng)添上條件：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）；（2）由AC與BE平行，得到兩內(nèi)錯(cuò)角相等，再由D為BC的中點(diǎn)，得到BD=CD，利用AAS可得出三角形ACD與EBD全等；（3）在三角形ABE中，利用兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊得到AE的取值范圍，由D為AE的中點(diǎn)，得到AD的取值范圍．【詳解】（1）解：可添加：AC∥BE或AD=DE（答案不唯一）．（2）證明：∵AC∥BE，∴∠CAD=∠E，∠ACD=∠EBD，又∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，∠CAD=∠E∠ACD=∠EBD∴△ACD≌△EBD（AAS）；若添加AD=DE．又∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△ACD和△EBD中，AD=ED∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD（SAS）；（3）解：∵△ACD≌△EBD，∴AD=DE=12AE，BE＝AC=4在△ABE中，AE＞AB-BE=5-4=1，AE<AB+BE=5+4=9，∴1<AE<9．∴0.5<AD<4.5．故答案為：0.5<AD<4.5．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．考點(diǎn)5：靈活選用判定方法證明三角形全等典例5：（2022秋·湖南株洲·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD=CB，AB=CD，BE⊥AC，垂足為(1)△ABC≌△CDA；(2)BE=DF．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）直接用SSS即可證明△ABC≌△CDA；（2）由△ABC≌△CDA，可得出∠ACB=∠DAC，由BE⊥AC，可得出∠BEC=∠DFA=90°，由AAS即可得出△AFD≌△CEB，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在△ABC和△CDA中AD=CB∴△ABC≌△CDA（2）∵△ABC≌△CDA，∴∠ACB=∠DAC，∵BE⊥AC，∴∠BEC=∠DFA=90°，在△AFD和△CEB中，∠DEA=∠BEC∠DAF=BCE∴△AFD≌△CEBAAS∴BE=DF．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用各種方法進(jìn)行判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）將一等腰直角形的三角板△ABC如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，若∠ABC=90°．(1)若如圖①放置時(shí)，已知點(diǎn)A(0,?4)，B(1,0)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若如圖②放置時(shí)，已知點(diǎn)A(0,0)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．【答案】(1)?3(2)2【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，再利用邊角關(guān)系證明∴△BCD?△ABO，求出CD=1，OD=3，即可得出答案；（2）過(guò)B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，再利用邊角關(guān)系證明△ABD?△BCE，求出CE=1，DE=4，即可得出答案．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，∵A(0,?4)，B(1,0)，∴OA=4，OB=1，∴∠ABC=90°，∠AOB=90°，∴∠CBD+∠OBA=90°，∠OAB+∠OBA=90°，∴∠CBD=∠BAO，∵AB=BC，∠AOB=∠BDC=90°，∴△BCD?△ABO(AAS∴CD=BO=1，BD=AO=4，∴OD=3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為?3，（2）過(guò)B作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵A(0,0)，B(3,1)，∴OD=3，BD=1，∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，∴∠CBE+∠OBD=90°，∠BAD+∠OBD=90°，∴∠BAD=∠CBE，∵AB=BC，∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD?△BCE(AAS∴CE=BD=1，BE=AD=3，∴DE=4，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3?1=2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為2，【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理證出三角形全等是解題關(guān)鍵．【變式2】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在△ABC和△DEF中，有下列四個(gè)等式：①AB=DE；②BE=CF；③AC=DF；④∠A=∠D．請(qǐng)你以其中三個(gè)等式作為題設(shè)，余下的作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題（要求寫(xiě)出已知，求證及證明過(guò)程）．題設(shè)：__________，結(jié)論__________：（寫(xiě)序號(hào)）【答案】①②③（或①③④）；④（或②）；已知；求證；證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行組合、證明即可．【詳解】解：若題設(shè)：①②③結(jié)論：④已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，AC=DF，求證：∠A=∠D.證明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中AB=DE∴△ABC∴∠A=∠D.若題設(shè)：①③④，結(jié)論：②已知：在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠A=∠D求證：BE=CF．證明：在△ABC和△DEF中AB=DE∠A=∠D∴△ABC≌∴BC=EF，即BE+EC=CF+EC，∴BE=CF．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解答的關(guān)鍵．【變式3】（2022秋·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD=AC，(1)寫(xiě)出△ADE與△ACB全等的理由；(2)判斷線段DF與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)DF=CF，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由∠DAB＝∠CAE得出∠DAE＝∠CAB，再根據(jù)SAS判斷（2）由△ADB與△ACE全等得出DB＝EC，∠FDB＝【詳解】（1）全等，理由如下：∵∠DAB＝∴∠DAE＝在△ADE與△ACB中AD=AC∠DAE=∠CAB∴△ADE≌△ACB（2）DF＝在△ADB與△ACE中AD=AC∠DAB=∠CAE∴△ADB≌△ACE（∴∠DBA＝∵△ADE≌△ACB，∴∠ABC＝∴∠DBF＝在△DBF與△ECF中∠DFB=∠CFE∠DBF=∠CEF∴△DBF≌△CEF（∴DF＝【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件，此題比較典型．考點(diǎn)6：用HL證明三角形全等典例6：（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AD,BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN=CM．求證：△ABM≌【答案】見(jiàn)解析【分析】HL證明三角形全等即可．【詳解】證明：∵BN=CM，∴BN+MN=CM+MN，即BM=CN．∵AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，∴∠AMB=∠DNC=90°．在Rt△ABM和Rt△DCN中，∴Rt△ABM≌【點(diǎn)睛】本題考查證明兩個(gè)三角形全等．熟練掌握HL證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O，AD=BC，∠C=∠D=90°．(1)求證：△ACB≌△BDA．(2)若∠ABC=35°，求∠CAO的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20°【分析】（1）由HL證明Rt△ACB≌（2）由全等三角形的性質(zhì)求出∠BAD=35°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠BAC=55°，即可得出所求．【詳解】（1）解：證明：∵∠C=∠D=90°．∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和RtAB=BABC=AD∴Rt（2）∵Rt∴∠BAD=∠ABC=35°，∵∠BAC=90°?∠ABC=55°，∴∠CAO=∠BAC?∠BAD=20°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出△ABC?△BAD是解題關(guān)鍵．【變式2】（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，D，B，E在同一直線上，AC=EF,AD=BE,∠C=∠F=90°．(1)求證：△ABC?△EDF；(2)∠ABC=57°，求∠ADF的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)123°【分析】（1）先說(shuō)明AB=DE，再根據(jù)HL即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知∠FDE=∠ABC=57°，再利用平角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，∴AB=DE，在Rt△ABC和RtAC=EF,∴△ABC?△EDFHL（2）解：∵△ABC?△EDF，∴∠FDE=∠ABC=57°，∴∠ADF=180°?∠FDE=180°?57°=123°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知AD、BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，AM⊥BC于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N，BN=CM．(1)求證：△ABM≌△DCN；(2)試猜想OA與OD的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)OA=OD，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)HL可證明△ABM≌△DCN；（2）根據(jù)AAS證明△AMO≌△DNO可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BN=CM，∴BN+MN=MN+CM，即CN=BM，∵AM⊥BC，DN⊥BC，∴∠AMB=∠DNC=90°，在Rt△ABM和RtAB=CDBM=CN∴Rt△ABM≌（2）解：OA=OD，理由如下：∵△ABM≌△DCN，∴AM=DN，在△AMO和△DNO中，∠AOM=∠DNO∠AMO=∠DNO∴△AMO≌△DNOAAS∴OA=OD．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)7：全等性質(zhì)與HL綜合典例7：（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考一模）在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，且AE=AF，連接AD，求證S△ABD【答案】見(jiàn)解析【分析】首先根據(jù)全等三角形的判定定理，即可證得Rt△ADE【詳解】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA=∠DFA=90°．∵AD=AD，AE=AF，∴Rt∴DE=DF，∴S【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，熟練掌握和運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn).(1)求證：△ABE≌(2)若AC與BD交于點(diǎn)O，求證：AO=CO．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）用HL判定兩三角形全等即可證明；（2）只要證明四邊形ABCD是平行四邊形即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）證明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，∵AB=CD，BE=DF，∴Rt（2）證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，∵△ABE≌∴∠ABE=∠CDF，∴AB∥∵AB=CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，利用平行四邊形的性質(zhì)解決問(wèn)題．【變式2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AC=BC，直線l經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE，BF，E，F(xiàn)為垂足，AE=CF．求證：∠ACB=90°．【答案】見(jiàn)解析【分析】先利用HL△ACE和△CBF全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可以得到∠EAC=∠BCF，因?yàn)椤螮AC+ACE=90°，所以∠ACE+∠BCF=90°，根據(jù)平角定義可得∠ACB=90°．【詳解】證明：如圖，在Rt△ACE和RtAC=CBAE=CF，∴Rt∴∠EAC=∠BCF，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACB=180°?90°=90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC，DE是過(guò)點(diǎn)A的直線，BD⊥DE于點(diǎn)D，CE⊥DE于點(diǎn)E．(1)若B，C在直線DE的同側(cè)（如圖①所示），且AD=CE，求證：①AB⊥AC；②DE=BD+CE．(2)若B，C在直線DE的兩側(cè)（如圖②所示），且AD=CE，其他條件不變，AB與AC垂直嗎？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)AB⊥AC，證明見(jiàn)解析【分析】（1）①由已知條件，證明Rt△ABD≌Rt△CAEHL，再利用角與角之間的關(guān)系求證（2）同（1），先證Rt△ABD≌Rt△CAEHL再利用角與角之間的關(guān)系求證【詳解】（1）證明：①∵BD⊥DE，CE⊥DE∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=CE∴Rt∴∠DBA=∠CAE，AE=BD，∵∠BAD+∠DBA=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°．∴∠BAC=180°?∠BAD+∠CAE∴AB⊥AC；②∵AD=CE，AE=BD∴DE=AD+AE=CE+BD；（2）解：結(jié)論：AB⊥AC．理由：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB=∠AEC=90°，在Rt△ABD和RtAB=ACAD=CE∴Rt∴∠DAB=∠ECA．∵∠CAE+∠ECA=90°，∴∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°，∴AB⊥AC．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．同步過(guò)關(guān)一、單選題1．（2022秋·湖南婁底·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知∠ABC＝∠DCB，要使△ABC≌△DCB，只需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件不能是（

）A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝BD D．AB＝DC【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定條件，非直角三角形，已知一角一邊，選擇合適的判定條件即可．【詳解】已知兩角一邊，符合AAS三角形全等的判定條件，故A可以使△ABC≌△DCB；已知兩角一邊，符合ASA三角形全等的判定條件，故B可以使△ABC≌△DCB；已知一角兩邊，其中一角不是夾角，ASS不構(gòu)成三角形全等的判定條件，故C不可以使△ABC≌△DCB；已知一角兩邊，其中一角是夾角，符合SAS三角形全等的判定條件，故D可以使△ABC≌△DCB；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定條件，掌握三角形全等的判定條件是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，已知AD是△ABC的BC邊上的高，下列能使△ABD≌△ACD的條件是（）A．AB=AC B．∠BAC=90° C．BD=AC D．∠B=45°【答案】A【詳解】根據(jù)AB=AC，AD=AD，∠ADB=∠ADC=90°可得Rt△ABD和Rt△ACD全等，四個(gè)選項(xiàng)A符合，故選A3．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)校考期末）如圖，一塊玻璃被打碎成三塊，如果要去玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最合理的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①③去【答案】C【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理ASA，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：①只能確定三角形的一個(gè)角，無(wú)法確定三角形的邊，無(wú)法確定三角形；②不能確定三角形的邊和角，無(wú)法確定三角形，③確定了三角形的兩個(gè)角和其夾邊，則可確定這個(gè)三角形的形狀和大小，故應(yīng)帶③去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了用ASA判定三角形全等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．三角形全等的判定定理有：SSS,SAS,AAS,ASA,HL．4．（2023秋·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AC＝DF，∠1＝∠2，再添加一個(gè)條件，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．∠B＝∠E【答案】A【分析】分別從全等三角形的判定“ASA、AAS、SAS”來(lái)添加條件，從而得出答案．【詳解】∵在△ABC和△DEF中，AC＝DF，∠1＝∠2，∴若從“ASA”的判定來(lái)添加條件，可添加∠A＝∠D，若從“AAS”的判定來(lái)添加條件，可添加∠B＝∠E，若從“SAS”的判定來(lái)添加條件，可添加BC＝EF或BF＝EC，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊．5．（2022秋·江西贛州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列條件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′，的是（）A．∠A=∠A，∠C=∠C，AC=A′C′B．∠B=∠B′，BC=B′C′，AB=A′B′C．∠A=∠A′=80°，∠B=60°，∠C′=40°，AB=A′B′D．∠A=∠A′，BC=B′C′，AB=A′B′【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，逐一檢驗(yàn)．考點(diǎn)：全等三角形的判定6．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在AB上，且AC=CE，∠1=∠2=∠3，則DE的長(zhǎng)等于（

）A．AC B．BC C．AB+BC D．AB【答案】D【分析】先證明∠D＝∠B，再根據(jù)AAS證明△ACB≌△ECD即可，從而得到答案．【詳解】解：如圖∵∠AFD＝∠BFC，∠1＝∠2，

∴∠D＝∠B，∵∠2＝∠3，∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD∴∠ACB＝∠ECD，在△ACB和△ECD中，∠ACB=∴△ACB≌△ECD（AAS），∴DE＝AB，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定條件以及基本性質(zhì)，解本題的要點(diǎn)在于證明△ACB≌△ECD，從而得到答案．7．（2022秋·北京·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀└鶕?jù)下列條件，不能畫(huà)出唯一確定的△ABC的是（

）A．AB=3，BC=4，AC=6 B．AB=4，∠B=45°，∠A=60°C．AB=4，BC=3，∠A=30° D．∠C=90°，AB=8，AC=4【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的幾種判定定理，根據(jù)選項(xiàng)中所給的條件，逐條判斷是否滿足全等三角形的判定定理即可．【詳解】A.AB=3，BC=4，AC=6，符合全等三角形的判定定理SSS，能畫(huà)出唯一的△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；B.AB=4，∠B=45°，∠A=60°，符合全等三角形的判定定理ASA，能畫(huà)出唯一的△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；C.AB=4，BC=3，∠A=30°，不符合全等三角形的判定定理SAS，不能畫(huà)出唯一的△ABC，故本選項(xiàng)符合題意；D.∠C=90°，AB=8，AC=4，符合全等直角三角形的判定定理HL，能畫(huà)出唯一的△ABC，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定定理，能夠熟練掌握全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB=DB,∠1=∠2，欲證△ABE≌△DBC，則補(bǔ)充的條件中不正確的是（

）A．∠A=∠D B．∠E=∠C C．∠A=∠C D．BC=BE【答案】C【分析】從已知看，已經(jīng)有一邊和一角相等，則添加一角或夾該角的另一邊即可判定其全等，從選項(xiàng)只有第三項(xiàng)符合題意，所以其為正確答案，其他選項(xiàng)是不能判定兩個(gè)三角形全等的．【詳解】∵∠1=∠2，∴∠1+∠DBE=∠2+∠DBE，∴∠ABE=∠DBC，∵AB=DB,∠A=∠D，在△ABE和△DBC中，∠A=∠D,∴△ABE≌△DBCASA∵∠E=∠C，在△ABE和△DBC中，∠E=∠C,∴△ABE≌△DBCAAS∵BC=BE，在△ABE和△DBC中，BE=BC,∴△ABE≌△DBCSASC中條件不能證明△ABE≌△DBC．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，熟練掌握是關(guān)鍵．9．（2022秋·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AF=CE，BE//DF，那么添加下列一個(gè)條件后，能判定ΔADF≌ΔCBE的是（）A．∠AFD=∠CEB B．AD//CB C．AE=CF D．AD=BC【答案】B【分析】結(jié)合全等的證明方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】解：A選項(xiàng)，BE//DF，即可得到∠AFD=∠CEB，故缺少條件，不能判定；B選項(xiàng)，AD//CB，可以得到∠A=∠C，結(jié)合題意，BE//DF，可得到∠AFD=∠CEB，以及AF=CE，可以根據(jù)ASA判斷全等，滿足題意；C選項(xiàng)，缺少條件；不滿足題意；D選項(xiàng)，SSA，不能判定，不滿足題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等的判斷，熟練其判定方法是解決本題的關(guān)鍵．10．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，下列條件不能判定是△ABM?△CDN的是（

）A．∠M＝∠N B．BM∥DN C．AB＝CD D．MB＝ND【答案】D【分析】根據(jù)三角形全等的判定定理，有AAS、ASA、SAS、SSS四種．逐條驗(yàn)證．【詳解】解：A、由∠M＝∠N，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合ASA，能判定△ABM?△CDN，故不符合題意；B、由BM∥DN，可得∠ABM＝∠CDN，由AAS能判定△ABM?△CDN，故不符合題意；C、由AB＝CD，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，符合SAS，能判定△ABM?△CDN，故不符合題意；D、由MB＝ND，AM＝CN，∠MAB＝∠NCD，不能判定△ABM?△CDN，故符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目．11．（2022·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列條件中，能判斷兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個(gè)銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理：AAS、SAS、ASA、SSS及直角三角形的判定定理HL對(duì)4個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，然后即可得出答案．【詳解】A、兩邊分別相等，但是不一定是對(duì)應(yīng)邊，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；B、一條邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；C、有一條斜邊相等，兩直角邊不一定對(duì)應(yīng)相等，不能判定兩直角三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；D、有一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的判定，熟練掌握判定定理是解題關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇淮安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD．則添加的一個(gè)條件不能是（A．∠ADC=∠AEB B．AD=AE C．AB=AC D．BE=CD【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：在△ABE和△ACD中，∠AEB=∠ADC∴無(wú)法證明△ABE≌選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)B說(shuō)法正確，不符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)C說(shuō)法正確，不符合題意；在△ABE和△ACD中，∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（選項(xiàng)D說(shuō)法正確，不符合題意；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定．13．（2022秋·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中（AB≠BC），AB∥CD，AB＝CD，直線EF經(jīng)過(guò)AC和BD的交點(diǎn)O，分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，交BA，DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，F(xiàn)，下列結(jié)論正確的有（）①△AOB≌△COD；②OB＝OC；③△AOE≌△COF；④OM＝NF；⑤圖中全等的三角形有9對(duì)．A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【答案】D【分析】可以先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)逐個(gè)排查即可．【詳解】∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，①∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∠BAC=∠DCA．在△AOB與△COD中∠BAO=∠DCOAB=CD∴△AOB≌△COD（ASA），①正確；②假設(shè)OB＝OC成立，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝∴AC＝∴四邊形ABCD是矩形．這與圖形矛盾，∠ABC不一定是直角，②錯(cuò)誤；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO．∵AB∥CD，∴∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，∵∠AEO=∠CFO，∠OAE=∠OCF，AO=CO，∴△AOE≌△COF（AAS），③正確④將題圖中EF繞O旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到如下圖形，符合題意：此時(shí)顯然OM≠NF，④錯(cuò)誤；⑤圖中全等的三角形有：△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOM≌△CON，△AOE≌△COF，△MOD≌△NOB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CAD，△AEM≌△CFN，△BOE≌△DOF，△BNE≌△DMF，共計(jì)10對(duì)全等的三角形，⑤錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論是：①③，有2個(gè)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，掌握并靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知∠ABC、∠EAC的角平分線BP、AP相交于點(diǎn)P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分別為M、N．現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：①CP平分∠ACF；②∠BPC=12∠BAC；③∠APC=90°?其中結(jié)論正確的是（

）．（填寫(xiě)結(jié)論的編號(hào)）A．①②④ B．①④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】①過(guò)點(diǎn)P做PD⊥AC，根據(jù)AP平分∠EAC，可以得到MP=PD，再證明△PDC≌△PNC即可得出結(jié)論；②根據(jù)BP和CP都是角平分線，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠BPC=12∠ACN?12∠ABC，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，可以得到∠BPC=12(∠BAC+∠ABC)?12∠ABC=12∠BAC【詳解】解：①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC，如圖，∵AP是∠MAC的平分線，PM⊥AE，∴PM=PD．∵BP是∠ABC的平分線，PN⊥BF，∴PM=PN，∴PD=PN．∵PC=PC，∴△PDC≌△PNC(HL∴∠PCD=∠PCN，故①正確；②∵BP和CP分別是∠ABC和∠ACN的角平分線，∴∠PBC=12∠ABC∵∠BPC=180°?∠PBC?∠PCB，∠PCB=180°?∠PCN，∴∠BPC=1∵∠ACN=∠ABC+∠BAC，∴∠BPC=1③由①可得△PDC≌△PNC，同理又易證△PMA≌△PDA(HL∴∠APC=1∵∠PMB=∠PNB=90°，四邊形內(nèi)角和為360°，∴∠MPN=180°?∠ABC，∴∠APC=1④由①和③可得△PDC≌△PNC，△PMA≌△PDA，∴S△PDC=S∵S△APC∴S△APM綜上可知正確的有：①②③．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和性質(zhì)定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．15．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在正方形方格紙中，每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形，如圖是5×7的正方形方格紙，以點(diǎn)D，E為兩個(gè)頂點(diǎn)作格點(diǎn)三角形，使所作的格點(diǎn)三角形與△ABC全等，這樣的格點(diǎn)三角形最多可以畫(huà)出（）A．2個(gè) B．4個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)圖形可知BC＝DE，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出答案即可．【詳解】解：與△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4個(gè)三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．二、填空題16．（2023秋·山東臨沂·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是高，則________≌△ADC．依據(jù)是________，并且BD＝________，∠BAD=________．【答案】△ADBHLCD∠CAD【分析】由AD⊥BC,可得∠ADB=∠ADC=90°，結(jié)合AB=AC,AD=AD，利用斜邊直角邊判定兩個(gè)三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°，∵AB=AC，AD=AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)，∴BD=CD,∠BAD=∠CAD.故答案為：△ADB，HL，CD，∠CAD.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·全國(guó)·八年級(jí)統(tǒng)考假期作業(yè)）有________和一條________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“________”或用字母表示為“________”.【答案】斜邊直角邊斜邊直角邊HL【分析】利用HL定理解答即可.【詳解】有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊直角邊”或用字母表示為“HL”.故答案為斜邊；直角邊；斜邊直角邊；HL.【點(diǎn)睛】本題考查HL定理，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵.18．（2023秋·云南大理·八年級(jí)統(tǒng)考期中）判定兩個(gè)三角形全等除用定義外，還有幾種方法，他們可以分別簡(jiǎn)寫(xiě)成SSS；SAS；______；______；_______.【答案】ASAAASHL【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理進(jìn)行填空．【詳解】解：判定兩個(gè)三角形全等除用定義外，還有幾種方法，它們分別可以簡(jiǎn)寫(xiě)成SSS；SAS；ASA；AAS；HL．故答案為ASA、AAS、HL．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．19．（2022秋·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知D,E是ΔABC中BC邊上的兩點(diǎn)，且AD=AE，請(qǐng)你再添加一個(gè)條件：_______，使ΔABD≌ΔACE【答案】BE=CD(∠B=∠C)【詳解】試題分析：添加AB=AC?∠B=∠C；AD=AE?∠ADC=∠AEB，就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加BD=CE可以用SAS判定△ABE≌△ACD；添加∠B=∠C就可以用AAS判定△ABE≌△ACD；添加∠BAE=∠CAD可以用ASA判定△ABE≌△ACD．所以填A(yù)B=AC或BD=CE或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD．考點(diǎn)：全等三角形的判定．20．（2023春·云南文山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠ACB=∠ACD，要用“ASA”說(shuō)明△ABC≌【答案】∠BAC=∠DAC/∠DAC=∠BAC【分析】已知∠ACB=∠ACD，且有公共邊AC=AC，根據(jù)“角邊角”的判定方法可得答案．【詳解】解：添加條件∠BAC=∠DAC．在△ABC和△ADC中，∠ACB=∠ACDAC=AC∴△ABC≌故答案為：∠BAC=∠DAC．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．21．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠1＝∠2，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使△ABC≌△ABD：_____．【答案】答案不唯一，AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC【分析】根據(jù)題意和圖形可得∠1＝∠2，AB＝AB，然后即可寫(xiě)出使△ABC≌△ABD的一個(gè)條件，本題得以解決，注意本題答案不唯一．【詳解】解：∵∠1＝∠2，AB＝AB，∴若添加條件AD＝AC，則△ABC≌△ABD（SAS），若添加條件∠D＝∠C，則△ABC≌△ABD（AAS），若添加條件∠ABD＝∠ABC，則△ABC≌△ABD（ASA），故答案為：AD＝AC或∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定方法解答．22．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若∠1=∠2，加上一個(gè)條件__，則有△AOC≌△BOC．【答案】∠A=∠B【詳解】在△AOC和△BOC中，∠A=∠B∠1=∠2∴△AOC≌△BOC(AAS).故答案為∠A=∠B.23．（2023秋·廣東云浮·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知A、B、C、D四點(diǎn)在同一直線上，AB=CD,∠A=∠D，請(qǐng)你填一個(gè)直接條件，_________，使ΔAFC?ΔDEB．【答案】∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）【分析】根據(jù)全等三角形的判定，可得答案．【詳解】解：∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD．∵∠A=∠D；添加∠ACF=∠DBE，可利用ASA證明ΔAFC?ΔDEB；添加∠E=∠F，可利用AAS證明ΔAFC?ΔDEB；添加AF=DE，可利用SAS證明ΔAFC?ΔDEB；故答案為：∠ACF=∠DBE（或∠E=∠F，或AF=DE）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定并選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明是解題關(guān)鍵．24．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)都在3×3正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．則∠1+∠2=______．【答案】45°/45度【分析】通過(guò)證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2即可得出答案．【詳解】解：如圖所示，由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，∵{AB=EF∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）∴∠3=∠1∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°故答案為：45°【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動(dòng)，且AB＝PQ，當(dāng)AP＝_____時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC全等．【答案】10或20【分析】分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=10時(shí)；②當(dāng)AP=CA=20時(shí)；由HL證明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分兩種情況：①當(dāng)AP=BC=10時(shí)，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB＝PQBC＝AP∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②當(dāng)AP=CA=20時(shí)，在△ABC和△PQA中，AB＝PQA