2023-2014年北京十年中考數(shù)學《代數(shù)綜合》含答案解析

2023~2014北京十年中考數(shù)學分類匯編一一代數(shù)綜合

1.(2023?北京)在平面直角坐標系xOy中，M(xi,yi),N(%2,y2)是拋物線y=ax2+6x+c

(a>0)上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為x=K

(1)若對于xi=l,X2=2,有yi=y2,求/的值；

(2)若對于1<X2<2,都有川</2，求f的取值范圍.

2.(2022?北京)在平面直角坐標系xQy中，點(1,m),(3,n)在拋物線y=ax2+6x+c(a

>0)上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=K

(1)當c=2,心=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及/的值；

(2)點(xo,m)GoWl)在拋物線上.若根<咒<的求才的取值范圍及xo的取值范圍.

第1頁(共5頁)

3.(2021?北京)在平面直角坐標系xOy中，點(1,m)和點(3,n)在拋物線〉=仆2+區(qū)

(40)上.

(1)若〃7=3,〃=15,求該拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-1,yi),(2,?)，(4,>3)在該拋物線上.若加〃<0,比較yi,”，y3

的大小，并說明理由.

4.(2020?北京)在平面直角坐標系xOy中，M(xi,yi),N(X2,>2)為拋物線y=ax2+bx+c

(a>0)上任意兩點，其中xi<X2.

(1)若拋物線的對稱軸為X=l,當XI,X2為何值時，V="=c；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸為x=K若對于X1+X2>3,都有刀<?,求1的取值范圍.

第2頁(共5頁)

5.(2019?北京)在平面直角坐標系xQy中，拋物線》=0^+云-工與y軸交于點N,將點N

a

向右平移2個單位長度，得到點5,點5在拋物線上.

(1)求點B的坐標(用含。的式子表示)；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)已知點P(工，-」)，Q(2,2).若拋物線與線段尸。恰有一個公共點，結(jié)合函

2a

數(shù)圖象，求。的取值范圍.

6.(2018?北京)在平面直角坐標系xOy中，直線y=4x+4與x軸，y軸分別交于點N,B,

拋物線》=仆2+&-3a經(jīng)過點/,將點B向右平移5個單位長度，得到點C.

(1)求點C的坐標；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)若拋物線與線段8c恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍.

第3頁(共5頁)

7.（2017?北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x?-4x+3與x軸交于點/、B（點N

在點3的左側(cè)），與y軸交于點C

（1）求直線2。的表達式；

（2）垂直于y軸的直線/與拋物線交于點尸（xi，yi）,Q（X2,竺），與直線3c交于點N

（X3，”），若X1<X2<X3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍.

8.（2016?北京）在平面直角坐標系xQv中，拋物線y=mx2-2%x+"z-1（m>0）與x軸的

交點為/,B.

（1）求拋物線的頂點坐標；

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

①當加=1時，求線段N3上整點的個數(shù)；

②若拋物線在點48之間的部分與線段48所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個整

點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求機的取值范圍.

1-

5r

第4頁（共5頁）

9.(2015?北京)在平面直角坐標系xOy中，過點(0,2)且平行于x軸的直線，與直線y

=x-l交于點/，點/關(guān)于直線x=l的對稱點為3,拋物線Ci：y=x2+6x+c經(jīng)過點/,

B.

(1)求點1,B的坐標；

(2)求拋物線G的表達式及頂點坐標；

(3)若拋物線。2：(。70)與線段恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a

的取值范圍.

VA

1-

[111IIIII>

~O1X

10.(2014?北京)在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=2%2+如葉〃經(jīng)過點/(0,-2),B

(3,4).

(1)求拋物線的表達式及對稱軸；

(2)設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C,點D是拋物線對稱軸上一動點，且點D縱坐標為t,

記拋物線在8之間的部分為圖象G(包含/,8兩點).若直線CD與圖象G有公共

點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點。縱坐標/的取值范圍.

第5頁(共5頁)

2023~2014北京十年中考數(shù)學分類匯編代數(shù)綜合

參考答案與試題解析

1.（2023?北京）在平面直角坐標系xQy中，M（xi,yi\N（工2,>2）是拋物線

（q>0）上任意兩點，設(shè)拋物線的對稱軸為、=九

（1）右對于=X2=2,有yi=JV2,求，的值；

（2）若對于OVxiVl,1Vx2V2,都有yi〈y2,求，的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，

（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（XI，刈）與（X2,歹2）的中點在對稱

軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答.

【解答】解：（1）-對于X1=1,X2=2,有yi=V2,

Q+6+C=4Q+26+C,

.?.3q+b=0,

:對稱軸為x=-互=2

2a2

2

(2)VO<xi<l,1<X2<2

a>0,

（XI，>1）離對稱軸更近，Xl<X2f則（XI，>1）與（X2,>2）的中點在對稱軸的右側(cè),

即反

2

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題關(guān)鍵.

2.（2022?北京）在平面直角坐標系xQy中，點（1,機），（3,〃）在拋物線y=ax2+bx+c（a

>0）上，設(shè)拋物線的對稱軸為直線x=f.

（1）當c=2,加=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及/的值；

（2）點（xo,m）（xoWl）在拋物線上.若m<n<c,求，的取值范圍及xo的取值范圍.

【分析】（1）將點（1,加），（3,〃）代入拋物線解析式，再根據(jù)"2=〃得出b=-4a,再

第1頁（共15頁）

求對稱軸即可;

（2）再根據(jù)加<〃<c,可確定出對稱軸的取值范圍，進而可確定xo的取值范圍.

【解答】解：（1）法一、將點（1,機），（3,n）代入拋物線解析式，

.Jm=a+b+c

ln=9a+3b+c

?加=幾，

a+b+c=9a+3b+c,整理得，b=-4a,

...拋物線的對稱軸為直線x=-旦=-二至=2；

2a2a

:?t=2,

Vc=2,

???拋物線與歹軸交點的坐標為（0,2）.

法二、當冽=〃時，點4（1,m）,B（3,n）的縱坐標相等，

由拋物線的對稱性可得，拋物線的對稱軸為》=工3,

2

:?t=2,

Vc=2,

???拋物線與歹軸交點的坐標為（0,2）.

（2）,I

a+b+c<9a+3b+c<c,

解得-

?\3Q<-b<4。,

.?.里絲，即&

2a2a2a2

由題意可知，點（xo，m）與點（1,m）關(guān)于x=￡對稱；

x+1

?.?zl---o---;

2

當/=3時，xo—2；

2

當t—2時，xo—3.

，xo的取值范圍2<xo<3.

綜上，/的取值范圍為：3</<2；xo的取值范圍2c沖<3.

2

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)形結(jié)合求解.

第2頁（共15頁）

3.(2021?北京)在平面直角坐標系xOy中，點(1,加)和點(3,〃)在拋物線夕=0?+區(qū)

(40)上.

(1)若〃7=3,〃=15,求該拋物線的對稱軸；

(2)已知點(-1,yi),(2,?)，(4,>3)在該拋物線上.若加〃<0,比較yi,”，y3

的大小，并說明理由.

【分析】(1)將點(1,3),(3,15)代入解析式求解.

(2)分類討論b的正負情況，根據(jù)mn<G可得對稱軸在x=3與直線x=L之間，再根

22

據(jù)各點到對稱軸的距離判斷y值大小.

【解答】解：(1)'.'m=3,n=15,

...點(1,3),(3,15)在拋物線上，

將(1,3),(3,15)代入^=/+取得:

(3=a+b

115=9a+3b，

解得卜=1,

lb=2

.".y=x2+2x=(x+1)2-1,

???拋物線對稱軸為直線x=-1.

(2)y=ax1+bx(a>0),

???拋物線開口向上且經(jīng)過原點，

當6=0時，拋物線頂點為原點，x>0時/隨x增大而增大，〃>切>0不滿足題意，

當6>0時，拋物線對稱軸在y軸左側(cè)，同理，不滿足題意，

拋物線對稱軸在〉軸右側(cè)，x=l時機<0,x=3時〃>0,

即拋物線和x軸的2個交點，一個為(0,0),另外一個在1和3之間，

???拋物線對稱軸在直線x=3與直線之間，

22

即工<--L<2,

22a2

點(2,”)與對稱軸距離工<2-(--L)<3,

22a2

點(-1，以)與對稱軸距離四<-且-(-1)〈立，

22a2

點(4,”)與對稱軸距離?<4-(-_?_)<工

22a2

第3頁(共15頁)

解法二：：點(1,加)和點(3,?)在拋物線>=辦2+云(°>0)上，

??。+6=加，9Q+3b=〃，

:.(Q+6)(9a+3b)<0,

a+b與3a+b異號，

Vtz>0,

：?3a+b>a+b,

..?Q+bVO,3a+b>0,

V(-1,yi),(2,/),(4,歹3)在該拋物線上，

??y\ci~b9y2=4a+26,y3=16q+4b,

,?13-歹1=(16a+4b)-Qa-b)=5(3Q+6)>0,

：.y3>yi^

9?yX-yi=(a-b)-(4a+2b)=-3(a+6)>0,

?'?y2<yi<y3-

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及根

據(jù)數(shù)形結(jié)合求解.

4.(2020?北京)在平面直角坐標系xOy中，M(xi，yi),N(%2,>2)為拋物線

(q>0)上任意兩點，其中X1<X2.

(1)若拋物線的對稱軸為x=l,當XI,X2為何值時，yi=y2=c；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸為x=K若對于XI+X2>3,都有/〈”，求/的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)拋物線的對稱性解決問題即可.

(2)由題意點(xi，0),(&,0)連線的中垂線與x軸的交點的坐標大于3,利用二次

2

函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：(1)由題意歹1=歹2=。，

??xi=0,

:對稱軸為直線x=l,

：.M,N關(guān)于x=l對稱，

??X2~~2,

第4頁(共15頁)

??xi=O,X2=2時，yi=y2=c?

(2)①當時，恒成立.

②當XIVX2<￡時，恒不成立.

③當XIV九12>/時，?.,拋物線的對稱軸為直線％=，，若對于Xl+X2>3,都有歹1〈歹2,

當Xl+%2=3,且歹1=J2時，對稱軸為直線x=3,

2

...滿足條件的值為：

2

解法二：*'y\<yi,

ax；+b%i+c<axj+bx2+c,

??ciX2-乂2)<-b(xi-%2),

.*.xi+x2>~—=2Z,

a

當Xl+X2>3時，都有x\+xi>2t,

???2W3,

2

，滿足條件的值為：

2

【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱性等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運用所學知識解決問題.

5.(2019?北京)在平面直角坐標系xOy中，拋物線>="2+加-工與〉軸交于點/,將點/

a

向右平移2個單位長度，得到點8,點8在拋物線上.

(1)求點2的坐標(用含。的式子表示)；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)已知點尸(工，-1),0(2,2).若拋物線與線段P。恰有一個公共點，結(jié)合函

2a

數(shù)圖象，求。的取值范圍.

【分析】(1)/(0,-1)向右平移2個單位長度，得到點3(2,-1)；

aa

(2)Z與5關(guān)于對稱軸x=l對稱；

(3)①〃>0時，當x=2時，y=-—<2,當3?=-工時，x=0或x=2,所以函數(shù)與

aa

PQ無交點;

第5頁(共15頁)

②。<0時，當y=2時，ax2-lax--=2,x=a+Ia+1|或》=a-|a+1|當a-|a+1|

aaaa

W2時，aW--；

2

【解答】解：（1）N（o,-1）

a

點N向右平移2個單位長度，得到點8（2,-1）；

a

（2）/與2關(guān)于對稱軸x=1對稱，

，拋物線對稱軸x=l；

(3)由(1)可知N(0,-工)、B(2,-1)、P(A,-A)

aa2a

當a>0時，-A<0,

a

令拋物線上C（工，yc）D（xo，2）

2-

:當X<1時，y隨X的增大而減小,

當x>l時，y隨x的增大而增大,

vA>0,2>-工，

2a

/.yc<A,xo>2,

a

...拋物線與P。沒有交點；

第6頁（共15頁）

當a<0時，

:拋物線與PQ有一個公共點，

.?.2點在0點的下方，

-工W2,

a

解得aW-1.

2

綜上所述，當時，拋物線與線段尸0恰有一個公共點.

【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的特征，數(shù)形結(jié)

合討論交點是解題的關(guān)鍵.

6.(2018?北京)在平面直角坐標系xOy中，直線廣4x+4與x軸，y軸分別交于點4B,

拋物線y=ax2+6x-3a經(jīng)過點N,將點2向右平移5個單位長度，得到點C.

(1)求點C的坐標；

(2)求拋物線的對稱軸；

(3)若拋物線與線段8c恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求。的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點2的坐標，根據(jù)平移的性質(zhì)可求點C的

坐標；

(2)根據(jù)坐標軸上點的坐標特征可求點/的坐標，進一步求得拋物線的對稱軸；

(3)結(jié)合圖形，分三種情況：①。>0；②a<0,③拋物線的頂點在線段8C上；進行

討論即可求解.

【解答】解：(1)與y軸交點：令x=0代入直線y=4x+4得y=4,

：.B(0,4),

：點B向右平移5個單位長度，得到點C,

第7頁(共15頁)

：.C(5,4)；

(2)與x軸交點：令歹=0代入直線y=4x+4得％=-1,

：.A(-1,0),

將點4(-1,0)代入拋物線-3。中得0=4-b-3〃，即6=-2Q,

...拋物線的對稱軸-a=-二區(qū)=1；

2a2a

(3);拋物線夕=0?+8-3a經(jīng)過點N(-1,0)且對稱軸x=l,

由拋物線的對稱性可知拋物線也一定過/的對稱點(3,0),

①0>0時，如圖1,

將x=0代入拋物線得y=-3a,

..?拋物線與線段3c恰有一個公共點，

-3。<4,

a>-—,

3

將x=5代入拋物線得y=12a,

A12a^4,

解得a》工；

3

②a<0時，如圖2,

將x=0代入拋物線得y=-3a,

..?拋物線與線段3c恰有一個公共點，

-3。>4,

解得a<-1；

3

③當拋物線的頂點在線段2C上時，則頂點為(1,4),如圖3,

將點(1,4)代入拋物線得4=a-2a-3a,

解得。=-1.

綜上所述，a<-AHJCa--1.

33

第8頁(共15頁)

r圖i

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及解一元一次不等式,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程，待定系數(shù)法求拋物線解析式.本題屬于中檔題,

難度不大，但涉及知識點較多，需要對二次函數(shù)足夠了解才能快捷的解決問題.

7.（2017?北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=/-4x+3與x軸交于點/、B（點、4

在點3的左側(cè)），與y軸交于點C.

（1）求直線8C的表達式；

（2）垂直于y軸的直線/與拋物線交于點P（xi,yi）,Q（X2,”），與直線3C交于點N

（X3,*）,若X1<X2<X3,結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍.

第9頁（共15頁）

【分析】（1）利用拋物線解析式求得點夙。的坐標，利用待定系數(shù)法求得直線3c的表

達式即可；

（2）由拋物線解析式得到對稱軸和頂點坐標，結(jié)合圖形解答.

【解答】解：（1）由>=/-4x+3得至U：y—（x-3）（x-1

所以4（1,0）,B（3,0）,

當％=0時，y=3,所以C（0,3）.

設(shè)直線5C的表達式為：y=kx+b（左W0）,

則（b=3,

l3k+b=0

解得，k=]

lb=3

所以直線BC的表達式為y=-x+3；

（2）由y=x2-4x+3得至）y=（x-2）2-1,

所以拋物線y=--4x+3的對稱軸是直線x=2,頂點坐標是（2,-1）.

?小="，

?*.X1+X2=4.

令》=-1時，則由y=-x+3得至!Jx=4.

*.*X1<X2<X3，

.*.3<X3<^4,即7Vxi+%2+%3<8.

【點評】本題考查了拋物線與'軸的交點.解答（2）題時，利用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學

思想，降低了解題的難度.

8.（2016?北京）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=g：2-2加x+機-1（加>0）與x軸的

交點為/,B.

（1）求拋物線的頂點坐標;

第10頁（共15頁）

（2）橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.

①當加=1時，求線段N3上整點的個數(shù)；

②若拋物線在點43之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個整

點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求正的取值范圍.

1

【分析】（1）利用配方法即可解決問題.

（2）①%=1代入拋物線解析式，求出/、8兩點坐標即可解決問題.

②根據(jù)題意判斷出點/的位置，利用待定系數(shù)法確定"的范圍.

【解答】解：（1）'.'y—mx2-2mx+m-\=m（x-1）2-1,

...拋物線頂點坐標（1，-1）.

（2）=

...拋物線為y=--2x,

令y=0,得x=0或2,不妨設(shè)/（0,0）,B（2,0）,

線段上整點的個數(shù)為3個.

②如圖所示，拋物線在點力,8之間的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰

有6個整點，

...點/在（-1,0）與（-2,0）之間（包括（-1,0））,

當拋物線經(jīng)過（-1,0）時，m=—,

4

當拋物線經(jīng)過點（-2,0）時，777=1,

9

：.m的取值范圍為工＜加W工.

94

第11頁（共15頁）

【點評】本題考查拋物線與X軸的交點、配方法確定頂點坐標、待定系數(shù)法等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

9.(2015?北京)在平面直角坐標系xOy中，過點(0,2)且平行于x軸的直線，與直線y

=x-l交于點點/關(guān)于直線x=l的對稱點為3,拋物線Ci：y=x2+6x+c經(jīng)過點

B.

(1)求點4B的坐標；

(2)求拋物線G的表達式及頂點坐標；

(3)若拋物線C2：(。。0)與線段恰有一個公共點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求a

的取值范圍.

VA

1-

IlliI!III>

~1X

【分析】(1)當y=2時，則2=X-1,解得x=3,確定/(3,2),根據(jù)45關(guān)于x=l

對稱，所以5(-1,2).

(2)把(3,2),(-1,2)代入拋物線Ci：y=x2+bx+cM-f2=9+3b+C，求出b,c的值,

I2=l-b+c

即可解答；

(3)畫出函數(shù)圖象，把48代入y=ax2,求出。的值，即可解答.

【解答】解：(1)當y=2時，則2=x-l,

解得：尤=3,

：.A(3,2),