2021年全國新高考II卷數(shù)學試題變式題18-22題-(學生版+解析)

2021年全國新高考II卷數(shù)學試題變式題18-22題原題181．在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．變式題1基礎2．在①，②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中進行解答．問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求出角A;（2）若，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．變式題2基礎3．已知，，分別為三個內角，，的對邊，.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.變式題3鞏固4．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解決該問題．問題：的內角的對邊分別為，若，__________，求的值．變式題4鞏固5．在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的長.變式題5提升6．ABC中，分別為角A，B，C的對邊，且滿足．（1）求角C；（2）若ABC為銳角三角形，c＝12，求ABC面積S的最大值．變式題6提升7．銳角的內角的對邊分別為，已知，，（1）求的值及的面積；（2）的平分線與交于，，求的值．原題198．在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．變式題1鞏固9．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中點.（1）證明：面面PCD；（2）求面AMC與面BMC所成二面角的正弦值.變式題2鞏固10．如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，．（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求二面角的余弦值．變式題3鞏固11．如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點到點處，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.變式題4鞏固12．如圖，正四面體中，O是頂點A在底面內的射影，E是中點，平面與棱交于M．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．變式題5鞏固13．如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為的菱形，且，，，，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．變式題6鞏固14．如圖1，在梯形中，，，，，梯形的高為1，為的中點，以為折痕將折起，使點A到達點的位置，且平面平面，連接，，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求圖2中平面與平面所成銳二面角的余弦值.原題2015．已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．變式題1基礎16．已知橢圓（，）的離心率為，且其右頂點到右焦點的距離為.（1）求的方程；（2）點，在上，且.證明：存在定點，使得到直線的距離為定值.變式題2基礎17．已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等.（1）求橢圓的方程；（2）過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，若切線的斜率都存在，求證：兩條切線斜率之積為定值.變式題3鞏固18．已知橢圓的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.變式題4鞏固19．已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為．（1）求橢圓的標準方程．（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：．變式題5提升20．已知橢圓的左、右焦點分別是、，其離心率，點是橢圓上一動點，內切圓面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線，與橢圓分別相交于點，求證：為定值．變式題6提升21．已知橢圓的離心率為，右焦點為，上頂點為，左頂點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知，，點在橢圓上，直線，分別與橢圓交于另一點，，若，，求證：為定值.原題2122．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結論的實際含義．變式題1基礎23．某高校設計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定至少正確完成其中2題才可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫出甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的分布列，并計算均值；（2）試從甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成2題的概率方面比較兩位考生的實驗操作能力．變式題2基礎24．中國提出共建“一帶一路”，旨在促進更多的經(jīng)濟增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉?波蘭蘋果?法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車?電子元件?農產(chǎn)品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為900元.（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；（2）該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)組成，設為電子產(chǎn)品所需要維修的費用，求的分布列和數(shù)學期望.變式題3鞏固25．根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位（單位：）的頻率分布表如表1所示：表1最高水位頻率0.150.440.360.040.01將河流每年最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設每年河流最高水位相互獨立.（1）求在未來3年中，至多有1年河流最高水位的概率；（2）該河流對沿河一蔬菜種植戶的影響如下：當時，因河流水位較低，影響蔬菜正常灌溉，導致蔬菜干旱，造成損失；當時，因河流水位過高，導致蔬菜內澇，造成損失.每年的蔬菜種植成本為60000元，從以下三個應對方案中選擇一個，求該方案下蔬菜種植戶所獲利潤的數(shù)學期望.方案一：不采取措施，蔬菜年銷售收入情況如表2所示：表2最高水位蔬菜年銷售收入/元400001200000方案二：只建設引水灌溉設施，每年需要建設費5000元，蔬菜年銷售收入情況如表3所示：表3最高水位蔬菜年銷售收入/元700001200000方案三：建設灌溉和排澇配套設施，每年需要建設費7000元，蔬菜年銷售收入情況如表4所示：表4最高水位蔬菜年銷售收入/元7000012000070000附：蔬菜種植戶所獲利潤＝蔬菜銷售收入－蔬菜種植成本－建設費.變式題4鞏固26．已知甲、乙兩名射手每次射擊擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲擊中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，，，0.1，乙擊中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，甲，乙射擊結果互不影響．記甲，乙兩名射手在一次射擊中的環(huán)數(shù)分別為ξ，．（1）求，的分布列；．（2）求，的數(shù)學期望與方差，并比較甲、乙兩名射手的射擊技術．變式題5提升27．某公司準備投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，已知每年生產(chǎn)萬件的該種產(chǎn)品所需要的總成本（萬元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種情況，隨機抽取了1000件產(chǎn)品測量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計得到的頻率分布直方圖如圖所示.產(chǎn)品的品質情況和相應的價格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關系如下表所示.產(chǎn)品品質立品尺寸的范圍價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實數(shù)的值；（2）當產(chǎn)量確定時，設不同品質的產(chǎn)品價格為隨機變量，求隨機變量的分布列；（3）估計當年產(chǎn)量為何值時，該公司年利潤最大，并求出最大值.變式題6提升28．新冠肺炎是年月日左右出現(xiàn)不明原因肺炎，在年月日確診為新型冠狀病毒肺炎.新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19）是由嚴重急性呼吸系統(tǒng)綜合征冠狀病毒（severeacuterespiratorysyndromecoronavirus2，SARS-CoV-2）感染后引起的一種急性呼吸道傳染病.現(xiàn)已將該病納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病，并采取甲類傳染病的預防、控制措施.年月日，習近平總書記主持召開中共中央政治局會議，討論國務院擬提請第十三屆全國人民代表大會第三次會議審議的《政府工作報告》稿.會議指出，今年下一階段，要毫不放松常態(tài)化疫情防控，著力做好經(jīng)濟社會發(fā)展各項工作.某企業(yè)積極響應政府號召，努力做好復工復產(chǎn)工作.準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為：.該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式如下表所示：市場情形概率價格與產(chǎn)量函數(shù)關系式好中差設、、分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機變量表示當產(chǎn)量為時而市場前景無法確定的利潤.（1）分別求利潤、、的函數(shù)關系式；（2）當產(chǎn)量確定時，求期望；（3）試問產(chǎn)量取何值時，期望取得最大值.原題2229．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．變式題1基礎30．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）當|時，函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.變式題2基礎31．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）求出函數(shù)零點的個數(shù)．變式題3鞏固32．已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，若至少有兩個不同的零點，求的最大值變式題4鞏固33．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當函數(shù)僅有兩個零點，時.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.變式題5提升34．設()，，（1）求的單調區(qū)間：（2）已知函數(shù)有兩個零點，，且，（i）求的取值范圍；（ii）證明：隨著的減小而增大.變式題6提升35．已知函數(shù)．（1）若在上單調遞減，求的取值范圍；（2）證明：當時，在上有且僅有一個零點．2021年全國新高考II卷數(shù)學試題變式題18-22題原題181．在中，角、、所對的邊長分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．變式題1基礎2．在①，②這兩個條件中任選一個，補充到下面問題中進行解答．問題：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．（1）求出角A;（2）若，，求．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．變式題2基礎3．已知，，分別為三個內角，，的對邊，.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.變式題3鞏固4．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解決該問題．問題：的內角的對邊分別為，若，__________，求的值．變式題4鞏固5．在中，角的對邊分別為，若.（1）求角的值；（2）若，且的面積為，求邊上的中線的長.變式題5提升6．ABC中，分別為角A，B，C的對邊，且滿足．（1）求角C；（2）若ABC為銳角三角形，c＝12，求ABC面積S的最大值．變式題6提升7．銳角的內角的對邊分別為，已知，，（1）求的值及的面積；（2）的平分線與交于，，求的值．原題198．在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．變式題1鞏固9．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中點.（1）證明：面面PCD；（2）求面AMC與面BMC所成二面角的正弦值.變式題2鞏固10．如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，．（1）證明：平面平面；（2）若二面角為，求二面角的余弦值．變式題3鞏固11．如圖，在等腰梯形中，，，將沿著翻折，使得點到點處，且.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.變式題4鞏固12．如圖，正四面體中，O是頂點A在底面內的射影，E是中點，平面與棱交于M．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．變式題5鞏固13．如圖，在幾何體中，四邊形是邊長為的菱形，且，，，，平面平面．（1）求證：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．變式題6鞏固14．如圖1，在梯形中，，，，，梯形的高為1，為的中點，以為折痕將折起，使點A到達點的位置，且平面平面，連接，，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求圖2中平面與平面所成銳二面角的余弦值.原題2015．已知橢圓C的方程為，右焦點為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上的兩點，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．變式題1基礎16．已知橢圓（，）的離心率為，且其右頂點到右焦點的距離為.（1）求的方程；（2）點，在上，且.證明：存在定點，使得到直線的距離為定值.變式題2基礎17．已知直線，圓，橢圓的離心率，直線被圓截得的弦長與橢圓的短軸長相等.（1）求橢圓的方程；（2）過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，若切線的斜率都存在，求證：兩條切線斜率之積為定值.變式題3鞏固18．已知橢圓的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，在軸上是否存在一個定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.變式題4鞏固19．已知橢圓（）的左、右焦點為，，，離心率為．（1）求橢圓的標準方程．（2）的左頂點為，過右焦點的直線交橢圓于，兩點，記直線，，的斜率分別為，，，求證：．變式題5提升20．已知橢圓的左、右焦點分別是、，其離心率，點是橢圓上一動點，內切圓面積的最大值為．（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）直線，與橢圓分別相交于點，求證：為定值．變式題6提升21．已知橢圓的離心率為，右焦點為，上頂點為，左頂點為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知，，點在橢圓上，直線，分別與橢圓交于另一點，，若，，求證：為定值.原題2122．一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結論的實際含義．變式題1基礎23．某高校設計了一個實驗學科的考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機抽取3題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，規(guī)定至少正確完成其中2題才可提交通過．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．（1）分別寫出甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的分布列，并計算均值；（2）試從甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)的均值、方差及至少正確完成2題的概率方面比較兩位考生的實驗操作能力．變式題2基礎24．中國提出共建“一帶一路”，旨在促進更多的經(jīng)濟增長和更大的互聯(lián)互通，隨著“一帶一路”的發(fā)展，中亞面粉?波蘭蘋果?法國紅酒走上了國人的餐桌，中國制造的汽車?電子元件?農產(chǎn)品豐富著海外市場.為拓展海外市場，某電子公司新開發(fā)一款電子產(chǎn)品，該電子產(chǎn)品的一個系統(tǒng)有3個電子元件組成，各個電子元件能正常工作的概率為，且每個電子元件能否正常工作相互獨立，若系統(tǒng)中有超過一半的電子元件正常工作，則可以正常工作，否則就需要維修，且維修所需費用為900元.（1）求系統(tǒng)需要維修的概率；（2）該電子產(chǎn)品共由3個系統(tǒng)組成，設為電子產(chǎn)品所需要維修的費用，求的分布列和數(shù)學期望.變式題3鞏固25．根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位（單位：）的頻率分布表如表1所示：表1最高水位頻率0.150.440.360.040.01將河流每年最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設每年河流最高水位相互獨立.（1）求在未來3年中，至多有1年河流最高水位的概率；（2）該河流對沿河一蔬菜種植戶的影響如下：當時，因河流水位較低，影響蔬菜正常灌溉，導致蔬菜干旱，造成損失；當時，因河流水位過高，導致蔬菜內澇，造成損失.每年的蔬菜種植成本為60000元，從以下三個應對方案中選擇一個，求該方案下蔬菜種植戶所獲利潤的數(shù)學期望.方案一：不采取措施，蔬菜年銷售收入情況如表2所示：表2最高水位蔬菜年銷售收入/元400001200000方案二：只建設引水灌溉設施，每年需要建設費5000元，蔬菜年銷售收入情況如表3所示：表3最高水位蔬菜年銷售收入/元700001200000方案三：建設灌溉和排澇配套設施，每年需要建設費7000元，蔬菜年銷售收入情況如表4所示：表4最高水位蔬菜年銷售收入/元7000012000070000附：蔬菜種植戶所獲利潤＝蔬菜銷售收入－蔬菜種植成本－建設費.變式題4鞏固26．已知甲、乙兩名射手每次射擊擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲擊中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，，，0.1，乙擊中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，甲，乙射擊結果互不影響．記甲，乙兩名射手在一次射擊中的環(huán)數(shù)分別為ξ，．（1）求，的分布列；．（2）求，的數(shù)學期望與方差，并比較甲、乙兩名射手的射擊技術．變式題5提升27．某公司準備投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，經(jīng)測算，已知每年生產(chǎn)萬件的該種產(chǎn)品所需要的總成本（萬元），依據(jù)產(chǎn)品尺寸，產(chǎn)品的品質可能出現(xiàn)優(yōu)、中、差三種情況，隨機抽取了1000件產(chǎn)品測量尺寸，尺寸分別在，，，，，，（單位：）中，經(jīng)統(tǒng)計得到的頻率分布直方圖如圖所示.產(chǎn)品的品質情況和相應的價格（元/件）與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關系如下表所示.產(chǎn)品品質立品尺寸的范圍價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式優(yōu)中差以頻率作為概率解決如下問題：（1）求實數(shù)的值；（2）當產(chǎn)量確定時，設不同品質的產(chǎn)品價格為隨機變量，求隨機變量的分布列；（3）估計當年產(chǎn)量為何值時，該公司年利潤最大，并求出最大值.變式題6提升28．新冠肺炎是年月日左右出現(xiàn)不明原因肺炎，在年月日確診為新型冠狀病毒肺炎.新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19）是由嚴重急性呼吸系統(tǒng)綜合征冠狀病毒（severeacuterespiratorysyndromecoronavirus2，SARS-CoV-2）感染后引起的一種急性呼吸道傳染病.現(xiàn)已將該病納入《中華人民共和國傳染病防治法》規(guī)定的乙類傳染病，并采取甲類傳染病的預防、控制措施.年月日，習近平總書記主持召開中共中央政治局會議，討論國務院擬提請第十三屆全國人民代表大會第三次會議審議的《政府工作報告》稿.會議指出，今年下一階段，要毫不放松常態(tài)化疫情防控，著力做好經(jīng)濟社會發(fā)展各項工作.某企業(yè)積極響應政府號召，努力做好復工復產(chǎn)工作.準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關系式為：.該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格與產(chǎn)量的函數(shù)關系式如下表所示：市場情形概率價格與產(chǎn)量函數(shù)關系式好中差設、、分別表示市場情形好、中、差時的利潤，隨機變量表示當產(chǎn)量為時而市場前景無法確定的利潤.（1）分別求利潤、、的函數(shù)關系式；（2）當產(chǎn)量確定時，求期望；（3）試問產(chǎn)量取何值時，期望取得最大值.原題2229．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．變式題1基礎30．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）當|時，函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.變式題2基礎31．已知函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調性；（Ⅱ）求出函數(shù)零點的個數(shù)．變式題3鞏固32．已知函數(shù).（1）討論的單調性；（2）設，若至少有兩個不同的零點，求的最大值變式題4鞏固33．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當函數(shù)僅有兩個零點，時.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證：.變式題5提升34．設()，，（1）求的單調區(qū)間：（2）已知函數(shù)有兩個零點，，且，（i）求的取值范圍；（ii）證明：隨著的減小而增大.變式題6提升35．已知函數(shù)．（1）若在上單調遞減，求的取值范圍；（2）證明：當時，在上有且僅有一個零點．參考答案：1．（1）；（2）存在，且.【分析】（1）由正弦定理可得出，結合已知條件求出的值，進一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關系求出，再利用三角形的面積公式可求得結果；（2）分析可知，角為鈍角，由結合三角形三邊關系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因為，則，則，故，，，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故.2．條件選擇見解析（1）；（2）.【分析】選條件，（1）由正弦定理，可得，即可求解角A；（2）結合面積公式和余弦定理可得解；選條件，（1）由余弦定理，，即可求解角A；（2）結合面積公式和余弦定理可得解；【詳解】選條件（1）由正弦定理得，，因為，所以，又，故；（2）由余弦定理，即由得出選條件（1）由余弦定理知，又故；（2）由余弦定理，由得出3．（1）；（2）6.【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，結合恒等變換可得答案；（2）根據(jù)面積公式可得，結合余弦定理可求，進而可得答案.【詳解】（1）因為由正弦定理可得因為，所以，即；因為，所以；（2）因為，所以；因為，所以，所以，所以周長為.4．選擇見解析；．【分析】選①：由，根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式，求得，求得，結合面積公式，列出方程求得，再由余弦定理，即可求解；選②：由，化簡得到，求得，結合面積公式，列出方程求得，再由余弦定理，即可求解；選③：由，根據(jù)余弦定理求得，結合面積公式，列出方程求得，再由余弦定理，即可求解.【詳解】若選①：因為，可得，又因為，可得，以，即，所以，因為，可得，所以，解得，由余弦定理，可得，所以.若選②：因為，可得，所以，因為，可得，所以，因為，可得，所以，解得，由余弦定理，可得，所以.若選③：因為，由余弦定理可得，因為，可得，所以，解得，由余弦定理，可得，所以.5．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理化邊為角，然后結合誘導公式、兩角和的正弦公式變形后，再由兩角和的余弦公式求得；（2）由三角形面積公式求得邊長，由余弦定理得中線長．【詳解】解：在中，，（1），由正弦定理得，由整理得：，，即，，，（2），，.在中，有余弦定理，.6．（1）或；（2）.【分析】（1）根據(jù)，由正弦定理得到：，即求解；（2）由（1）根據(jù)ABC為銳角三角形，得到，然后利用余弦定理結合基本不等式得到的范圍求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，所以，即，所以或，即或，①若，則，②若，則，因為，所以，即，綜上，或.（2）因為ABC為銳角三角形，所以，因為，即（當且僅當a＝b等號成立）.所以即△ABC面積S的最大值是7．（1），；（2）．【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化并整理得，進而根據(jù)題意得，再結合余弦定理得，進而根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)題意得，進而得，再結合得，進而由即可求得答案.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，結合正弦定理邊角互化得，即，因為，所以，所以，因為在銳角中，，所以.所以，因為，所以，解得所以的面積（2）因為的平分線與交于，，所以，即，所以，由于，所以所以，所以8．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內，過作，交于，則，建如圖所示的空間坐標系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點為，連接.因為，，則，而，故.在正方形中，因為，故，故，因為，故，故為直角三角形且，因為，故平面，因為平面，故平面平面.（2）在平面內，過作，交于，則，結合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標系.則，故.設平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.9．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明與平面垂直后可證得面面垂直；（2）以為軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，（2）由題意以為軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則得，設平面的一個法向量是，則，取，則得，，設所求二面角大小為，則．10．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）利用勾股定理逆定理證明，從而可證平面，然后可得面面垂直；（2）建立如圖所示空間直角坐標系，用向量法求二面角．【詳解】（1），分別是線段，的中點，則，，又，所以，，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（2）以為軸，過與平行的直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，由（1）可得平面，平面，所以，所以為二面角的平面角，即，所以，所以，，，，，，，，設平面的一個法向量是，則，取，則，即，設平面的一個法向量是，則，取，則，，．所以二面角的余弦值為．11．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過C做，交于E，連接AC，可得，根據(jù)余弦定理，求得，結合勾股定理，可證，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.（2）如圖建系，求得各點坐標，進而可得，，，坐標，即可求得平面，的法向量，，利用向量的夾角公式，即可求得二面角平面角的余弦值，即可得答案.【詳解】解：（1）由等腰梯形中，，過C做，交于E，連接AC，如圖所示根據(jù)對稱性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，又因為，且，所以平面，又由平面，所以平面平面.（2）取的中點，的中點，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸正方向建立空間坐標系，則，，，，所以，，，，設平面的法向量為，平面的法向量為，則，令，得一個法向量，又，令，則，得一個法向量，所以，所以所以二面角的平面角的正弦值為.12．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）延長與交于N，設正四面體的棱長為a，即可求出，再利用勾股定理求出，依題意可得，從而求出，即可得到，，兩兩垂直，則平面，即可得證．（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】（1）延長與交于N，設正四面體的棱長為a，則，，，又O正三角形的中心，，得：，則由勾股定理逆定理，，，兩兩垂直，即，，，且，平面平面．因為平面所以平面平面（2）取為原點，、、方向為x、y、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，設平面的法向量為，則令，得：，由（1）知，平面的一個法向量是，不妨取，得：，則，易知二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．13．（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）通過面面垂直的性質定理得到平面內直線平面，通過平行四邊形證得平面內直線，由此證得平面平面.（2）通過直線與平面所成角求得，建立空間直角坐標系，利用向量法計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）設是中點，是中點，畫出圖象如下圖所示.由于，所以，由于平面平面，且兩個平面的交線為，所以平面，所以.由于是的中點，所以，而，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，所以平面平面.（2）由于四邊形是菱形，且，所以三角形是等邊三角形，,.由于平面所以是直線與平面所成角，所以，解得.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面的法向量為，則，故可設，設平面與平面所成銳二面角為，則.14．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）過點作于點，連接，根據(jù)題中長度關系，可證，即可證四邊形為正方形，所以，根據(jù)面面垂直的性質定理，可證平面，即可得，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.（2）如圖建系，可得各點坐標，根據(jù)面面垂直的性質定理，可得平面，即可得平面的法向量，再求得的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）如圖，在梯形中，過點作于點，連接，由題意知，，.由，可得，則，，.又，，∴四邊形為正方形，∴.在四棱錐中，∵平面平面，平面平面，，∴平面.∵平面，∴.∵，且，平面，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）在四棱錐中，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸正方向建立空間直角坐標系，可得，，，，.∵平面平面，平面平面，，∴平面，∴是平面的一個法向量.設平面的一個法向量為，∵，，∴，即取，則，，.∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為15．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進而可得，即可得解；（2）必要性：由三點共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結合弦長公式可得，進而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當直線的斜率不存在時，直線，不合題意；當直線的斜率存在時，設，必要性：若M，N，F(xiàn)三點共線，可設直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點，M，N，F(xiàn)三點共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達定理的應用，注意運算的準確性是解題的重中之重.16．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質得到關于，，的方程組，解出即可求出橢圓的方程；（2）分類討論，先討論直線與軸垂直時的情況，再討論直線不與軸垂直時，設直線的方程是，，，，，聯(lián)立直線和橢圓的方程，結合，求出，整理判斷即可．【詳解】（1）由題設可知解得：，又，所以的方程為：（2）①若直線與軸垂直由對稱性可知，將點代入橢圓方程，解得②若直線不與軸垂直設直線的方程為，由消去得.設，，設，，則由條件，即由韋達定理得整理得.即，故存在定點，使得到直線的距離為定值．17．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意可得圓心到直線的距離，從而可得，再由離心率和可求出，進而可求出橢圓的方程；（2）設點，過點的橢圓的切線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消去，則由直線與橢圓相切可得，再由判別式可判斷此方程兩個根，即可得過點的切線有兩條，從而由根與系數(shù)的關系可得，結合可求得答案【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，圓心到直線的距離，因為圓的半徑為，所以被圓截得的弦長為，所以.由題意得，又，所以，.所以橢圓的方程為.（2）設點，過點的橢圓的切線的方程為，整理得.聯(lián)立，消去，得，整理得.因為切線與橢圓相切，所以，整理得，，因為，所以.設滿足題意的橢圓的兩條切線的斜率分別為，，則.因為點在圓上，所以，所以.所以兩條切線斜率之積為定值.18．（1）；（2）存在，.【分析】（1）根據(jù)離心率為，焦距為，由求解；（2）①當直線與軸不重合時，設直線的方程為，由與聯(lián)立，然后結合韋達定理，利用數(shù)量積運算求解；②當直線與軸重合時，直線的方程為，然后結合韋達定理，利用數(shù)量積運算求解；【詳解】（1）由題意得，所以，所以橢圓的方程為；（2）①當直線與軸不重合時，設直線的方程為，將代入得，所以，由題意得，將，代入上式得，要使得為定值，即為定值，即，解得，即時，為定值，②當直線與軸重合時，直線的方程為，成立所以存在定點，使得為定值．【點睛】方法點睛：(1)求定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．19．（1）；（2）證明見解析．【分析】(1)由可求出，結合離心率可知，進而可求出，即可求出標準方程.(2)由題意知，，則由直線的點斜式方程可得直線的解析式為，與橢圓進行聯(lián)立，設，，結合韋達定理可得，從而由斜率的計算公式對進行整理化簡從而可證明.【詳解】（1）解：因為，所以．又因為離心率，所以，則，所以橢圓的標準方程是．（2）證明：由題意知，，，則直線的解析式為，代入橢圓方程，得．設，，則．又因為，，所以．【點睛】關鍵點睛:本題第二問的關鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程后，結合韋達定理，用表示交點橫坐標的和與積，從而代入進行整理化簡.20．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【分析】（Ⅰ）設內切圓的半徑為，可得，當為橢圓的上頂點或下頂點時，面積最大，即最大，由此得，由內切圓面積最大值可得滿足的方程，結合離心率和橢圓關系可構造方程組求得結果；（Ⅱ）設，當時，假設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理可表示出和，代入整理可得定值；當時，易求得，由此可得結論.【詳解】（Ⅰ）設內切圓的半徑為，則，，當?shù)拿娣e最大時，內切圓的半徑最大，則當點為橢圓的上頂點或下頂點時，的面積最大，最大值為，的最大值為，又內切圓面積的最大值為，，由得：，橢圓的標準方程為：．（Ⅱ）設，，，①當時，設直線，的直線方程分別為，，由得：，，，，，同理由可得：，；②當時，直線，與軸重合，則則；綜上所述：為定值．【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達定理的形式；③結合韋達定理表示出所求量，將所求量轉化為關于變量的函數(shù)的形式；④化簡所得函數(shù)式，消元可得定值.21．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）先表示出，然后計算出，結合離心率公式和求解出的值，則橢圓方程可求；（2）設出的坐標，通過將向量共線表示為坐標關系可得到的關系式①，再通過點差法分別求得滿足的關系式②和關系式③，通過將關系式②和③作差可得的關系式④，再結合關系式①可證明為定值.【詳解】解：設.由題意得，，，，.解得，.橢圓的方程為.設，，.由，，得，，，，①又點，，均在橢圓上，由且得，.②同理，由且得.③聯(lián)立②③得.④聯(lián)立①④得，為定值.【點睛】關鍵點點睛：解答本題第二問的關鍵在于對于向量共線的坐標表示以及點差法求解參數(shù)與坐標之間的關系，每一步都是通過構建關于的方程，結合聯(lián)立方程的思想完成證明.22．（1）1；（2）見解析；（3）見解析.【分析】（1）利用公式計算可得.（2）利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，結合及極值點的范圍可得的最小正零點.（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應的理解說明.【詳解】（1）.（2）設，因為，故，若，則，故.，因為，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因為在為增函數(shù)且，而當時，因為在上為減函數(shù)，故，故為的一個最小正實根，若，因為且在上為減函數(shù)，故1為的一個最小正實根，綜上，若，則.若，則，故.此時，，故有兩個不同零點，且，且時，；時，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個零點，且.所以為的一個最小正實根，此時，故當時，.（3）意義：每一個該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過1，則若干代后被滅絕的概率小于1.23．（1）甲分布列見解析，；乙分布列見解析，；（2）答案不唯一，見解析.【分析】（1）由題意可知，甲、乙兩位考生正確完成實驗操作的題數(shù)分別服從超幾何和二項分布，分別列出分布列，計算均值即可；（2）結合分布列中的數(shù)據(jù)，分別計算對應的均值、方差及至少正確完成2題的概率比較即可.【詳解】（1）設考生甲正確完成實驗操作的題數(shù)為，則的取值范圍是．，，，所以的分布列為123．設考生乙正確完成實驗操作的題數(shù)為，易知，所以，，，．所以的分布列為0123．（2）由（1），知，，，，．所以，，故從正確完成實驗操作的題數(shù)的均值方面分析，兩人水平相當；從正確完成實驗操作的題數(shù)的方差方面分析，甲的水平更穩(wěn)定；從至少正確完成2題的概率方面分析，甲通過的可能性更大．因此甲的實驗操作能力較強．24．（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）由次獨立重復試驗中事件恰好發(fā)生次概率計算公式能求出系統(tǒng)需要維修的概率；（2）設為需要維修的系統(tǒng)的個數(shù)，則，且，寫出隨機變量的所有取值，分別求出對于隨機變量的概率，由此能求出的分布列及期望．【詳解】解：（1）系統(tǒng)需要維修的概率為；（2）設為需要維修的系統(tǒng)的個數(shù)，則，且，則的所有可能取值為0，900，1800，2700，，，，090018002700所以．25．（1）0.104；（2）答案見解析.【分析】（1）結合表格數(shù)據(jù)可得，記河流最高水位發(fā)生的年數(shù)為，有，記在未來3年中，至多有1年河流最高水位為事件，則，即得解；（2）針對不同的方案，根據(jù)題意列出分布列，計算數(shù)學期望即可【詳解】（1）由頻率分布表，得，設在未來3年中，河流最高水位發(fā)生的年數(shù)為.因為每年河流最高水位相互獨立，所以.記在未來3年中，至多有1年河流最高水位為事件，則.所以在未來三年中，至多有1年河流最高水位的概率為0.104.（2）由題設得，，.答案一

選方案一.用表示蔬菜年銷售收入，則的分布列為4000012000000.150.80.05所以.設蔬菜種植戶每年所獲利潤為，則，所以.答案二

選方案二.用表示蔬菜年銷售收入，則的分布列為7000012000000.150.80.05所以.設蔬菜種植戶每年所獲利潤為，則，所以.答案三

選方案三.用表示蔬菜年銷售收入，則的分布列為70000120000700000.150.80.05所以.設蔬菜種植戶每年所獲利潤為，則，所以.26．（1）答案見解析；（2），，，；甲比乙的射擊技術好．【分析】（1）由題意先求出，再由隨機變量，的意義得到相應的分布列；（2）由（1）中的分布列，利用期望與方差的公式求出期望與方差，結合期望與方差的含義即可求解【詳解】（1）依題意，有，解得．乙擊中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，乙擊中7環(huán)的概率為，，的分布列分別為109870.50.30.10.1109870.30.30.20.2（2）由（1）可得，，，．由于，說明甲平均擊中的環(huán)數(shù)比乙高，又，說明甲擊中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定，甲比乙的射擊技術好．27．（1）；（2）見解析（3）年產(chǎn)量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.【解析】（1）根據(jù)在頻率分布直方圖中所有小矩形的面積和為1，可以求出實數(shù)的值；（2）分別求出當產(chǎn)品品質為優(yōu)、為中、為差時的頻率，然后列了分布列，（3）根據(jù)題意，得到該公司年利潤的函數(shù)關系式，然后利用導數(shù)求出公司年利潤最大值.【詳解】解：（1）由題意得，解得；（2）當產(chǎn)品品質為優(yōu)時頻率為，此時價格為；當產(chǎn)品品質為中時頻率為，此時價格為；當產(chǎn)品品質為差時頻率為，此時價格為；以頻率作為概率，可得隨機變量的分布列為：0.50.20.3（3）設公司年利潤為，則整理得，顯然當時，，時，，∴當年產(chǎn)量時，取得最大值.估計當年產(chǎn)量時，該公司年利潤取得最大值，最大利潤為138萬.【點睛】本題考查了頻率直方圖的應用，考查了離散型隨機變量的分布列，考查了數(shù)學閱讀能力，考查了導數(shù)的應用，考查了數(shù)學運算能力.28．（1），，；（2）；（3）.【解析】（1）利用，結合表格中的函數(shù)的關系式可得出利潤、、的函數(shù)關系式；（2）由題意可得出，即可得出關于的函數(shù)關系式；（3）令，利用導數(shù)可求得取最大值時對應的的值，即可得解.【詳解】（1）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意可得出同理可得：（2）由期望定義可知；（3）可知是產(chǎn)量的函數(shù)，設，則，令，則.當時，，此時，函數(shù)單調遞增；當時，，此時，函數(shù)單調遞減.當時，取得最大值，即最大時的產(chǎn)量為.【點睛】思路點睛：利用導數(shù)求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.29．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時，構造函數(shù)，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．30．（1）當時，無極值；當時，有極小值，無極大值；（2）.【分析】（1）對函數(shù)求導，對參數(shù)分情況討論，求得函數(shù)的單調區(qū)間，結合單調性求得函數(shù)的極值；（2）由（1）可知，，當時，利用單調性得出不可能，故當時，利用函數(shù)的單調性分情況討論列出不等式組求得結果.【詳解】解：（1）由題意知，，所以當時，，所以在上遞減，無極值；當時，令，所以在上遞減，上遞增，所以當時，取到極小值，無極大值，綜上，當時，無極值；當時，則當時，有極小值，無極大值.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞減，所以至多一個零點，不符合題意；當時，在上遞減，上遞增，若，即，則在上單調遞增，至多有一個零點，也不符合題意；若，即，則在上單調遞減，至多有一個零點，也不符合題意；若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，則或綜上可得實數(shù)的取值范圍為31．（Ⅰ）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）或，有1個零點；，有0個零點；，有2個零點．【分析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，,進而分當時和當時兩類情況討論求解；（Ⅱ）根據(jù)題意，結合（1）分當時,當時，當時，三種情況討論求解，其中當時，再分，，三種情況討論求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，,當時，，所以在上單調遞增；當時，，解得．當變化時，，的變化情況如下表所示：

單調遞減單調遞增所以，在上單調遞減，在單調遞增．綜上：當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增．（Ⅱ）當時,在上單調遞增，且，所以有一個零點；當時，由（Ⅰ）知，在上單調遞增，且，所以存在唯一，使得，所以有一個零點；當時，由（Ⅰ）知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，①，即，，所以沒有零點；②，即，，當時，，所以有一個零點；③，即，此時，一方面，又在上單調遞增，所以存在唯一，使得；另一方面，，取，則，令，則，由于，所以，在單調遞減．所以，．由于在上單調遞減，且，所以存在唯一，使得，所以，當時，在有兩個零點．綜上：或，有1個零點；，有0個零點；