圓錐曲線離心率二十大模型（二十大題型）（原卷版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新教材新高考）

重難點(diǎn)突破04輕松搞定圓錐曲線離心率二十大模型

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：建立關(guān)于a和c的一次或二次方程與不等式..................................3

題型二：圓錐曲線第一定義.......................................................4

題型三：圓錐曲線第二定義.......................................................5

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）...........................................5

題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解.......................................................6

題型六：利用正弦定理...........................................................7

題型七：利用余弦定理...........................................................9

題型八：內(nèi)切圓問題............................................................10

題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)....................................................10

題型十：利用最大頂角..........................................................12

題型十一：基本不等式..........................................................12

題型十二：已知際*范圍....................................................13

題型十三：\PFl\=A\PFl\.........................................................................................................................13

題型十四：中點(diǎn)弦問題..........................................................14

題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角................................................15

題型十六：利用漸近線的斜率....................................................15

題型十七：坐標(biāo)法..............................................................16

題型十八：利用焦半徑的取值范圍................................................17

題型十九：四心問題............................................................18

題型二十：平面截圓錐（丹林球）問題............................................18

03過關(guān)測試....................................................................21

亡法牯自與.柒年

//\\

求離心率范圍的方法

一、建立不等式法：

1、利用曲線的范圍建立不等關(guān)系.

2、利用線段長度的大小建立不等關(guān)系.耳月為橢圓W+*=i3>z,>o）的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上

a2b1

的任意一點(diǎn)，\PF]e[a-c,a+c]■,耳工為雙曲線工_==1（°>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，尸為雙曲線上的

a2b1

任一點(diǎn)，歸耳|2。一〃.

22

3、利用角度長度的大小建立不等關(guān)系.斗鳥為橢圓工+匕=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓上的動點(diǎn)，

2

Q2b

ZFtPF2=e.則橢圓離心率e的取值范圍為Sing4e<1.

4、利用題目不等關(guān)系建立不等關(guān)系.

5、利用判別式建立不等關(guān)系.

6、利用與雙曲線漸近線的斜率比較建立不等關(guān)系.

7、利用基本不等式，建立不等關(guān)系.

二、函數(shù)法：

1、根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個(gè)變，量的函數(shù)關(guān)系式；

2、通過確定函數(shù)的定義域；

3、利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍.

三、坐標(biāo)法：

由條件求出坐標(biāo)代入曲線方程建立等量關(guān)系.

題型歸贏總結(jié)

題型一：建立關(guān)于。和c的一次或二次方程與不等式

22

【典例1一1】（2024?高三?河北保定?開學(xué)考試）如圖，設(shè)橢圓。:=+當(dāng)=1（〃>6>0）的左焦點(diǎn)為廠,

ab

上頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為3,且E4.AB=0，則C的離心率為.

【典例1-2］（2024?海南?模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：三+2=l（a>b>0）,

ab

22

點(diǎn)M（幺,切），N（幺,九），若以為直徑的圓過橢圓C的右焦點(diǎn)尸（c,0）,且

CC

（OM-V2OF）-（OM+-J2OF）=OM-NM,則橢圓C的離心率為（）

A.-B.叵C.逅D.正

3338

22

【變式1-1］（2024?四川雅安?三模）設(shè)耳B分別為雙曲線C:5-2=l（a>0/>0）的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)

F?的直線交雙曲線右支于點(diǎn)M,交V軸于點(diǎn)N,且工為線段跖V的中點(diǎn)，并滿足耳M1KN,則雙曲線C

的離心率為（）

A.^±1B.6+1C.2D.V5+1

2

22

【變式1-2］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）已知橢圓C:=+與=1（°>方>0）的左、右焦點(diǎn)分別為不B，

ab

以F?為圓心的圓交y軸正半軸于點(diǎn)。，交x軸于FN兩點(diǎn)，線段〃耳與C交于點(diǎn)”.若△耳的面積為

6c2（C為橢圓的半焦距），則。的離心率為（）

A.應(yīng)-1B.2-也C.73-1D.2-石

題型二：圓錐曲線第一定義

22

【典例2-1］（2024?河南洛陽?模擬預(yù)測）己知P為橢圓C:=+當(dāng)=l（a>6>0）上一點(diǎn)，耳、鳥分別為

ab

其左、右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，|PO|=ga，且訃儼即則C的離心率為（）

A.立B.-C.—D.-

4422

22

【典例2-2］（2024?高三?江西?開學(xué)考試）已知橢圓C：+2=l（“>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳B，

經(jīng)過點(diǎn)心且垂直于X軸的直線與橢圓C交于A,2兩點(diǎn)，S.\AFt\=W,\AB\=n,則橢圓C的離心率為

【變式2-1］（2024?高三?河北邢臺?開學(xué)考試）已知雙曲線河的左、右焦點(diǎn)分別為4B，過點(diǎn)后且與

實(shí)軸垂直的直線交雙曲線M于A,8兩點(diǎn).若△AB區(qū)為等邊三角形，則雙曲線M的離心率為（）

A.6B.也C.2D.V3+1

22

【變式2-2］（2024?高三?湖南?開學(xué)考試）已知工為雙曲線C:三-2=l（a>0/>0）的左焦點(diǎn)，Q為

ab

22

雙曲線C左支上一點(diǎn)，^OF［Q=^,2\QF{\=yla+b,則雙曲線。的離心率為（）

D屈+1

A.3B.2

--3-

22

【變式2-3］（2024?廣東深圳?二模）尸是橢圓C：二+與=1上一點(diǎn)，耳、B是C的兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)，坨?盟=0,點(diǎn)。在N耳尸鳥的平分線上，。為原點(diǎn),OQ//PFX,且|O9=b.則C的離心率為

AB.D.

-134

【變式］（重慶渝中?模擬預(yù)測）已知雙曲線2

2-42024?C:g-方=1（。>0乃>0）的左焦點(diǎn)為尸，過坐標(biāo)原

a

點(diǎn)o的直線與雙曲線C交于M,N兩點(diǎn),且點(diǎn)M在第一象限，滿足3/=。尸.若點(diǎn)尸在雙曲線C上，且

NP=4NF，則雙曲線C的離心率為（）

A?亭B.半C2&D."

22

【變式2-5］（2024?寧夏銀川?一模）已知雙曲線C:三-2=1（。>01>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳B，

ab

以線段片心為直徑的圓與雙曲線c在第一象限的交點(diǎn)為尸，若/耳尸耳的內(nèi)角平分線與X軸的交點(diǎn)V平分

線段。B,則雙曲線。的離心率為

題型三：圓錐曲線第二定義

【典例3-1】古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線的共性，并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一

定義，他指出，平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)6的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線；當(dāng)0<e<l

時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e=l時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e>l時(shí)，軌跡為雙曲線.則方程":一e?p=j_表示的

|25-4x|5

圓錐曲線的離心率e等于（）

A.—B.—C.—D.5

554

22

【典例3-2】已知雙曲線0-3=1（。，6>。）的左、右焦點(diǎn)分別為大E，尸為左支上一點(diǎn)，尸到左準(zhǔn)線的距

ab'

離為d,若d、IP耳I、I尸工I成等比數(shù)列，則其離心率的取值范圍是（）

A.[72,+8）B.（1,72]C.口+a+8）D.（I,1+⑸

22

【變式3-1】已知雙曲線C*-方=1（。>0,6>0）的右焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為6的直線交C于A、B

兩點(diǎn)，若A尸=4EB，則C的離心率為（）

題型四：圓錐曲線第三定義（斜率之積）

【典例4-1]（2024?山東青島?高三統(tǒng)考期末）已知雙曲線-2=l（a>0,6>0）與直線>=區(qū)相交

ab

于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上的一個(gè)動點(diǎn)，記直線協(xié)，PB的斜率分別為占，k2,若k隹=：,且雙

曲線E的右焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1,則雙曲線E的離心率為—.

22

【典例4-2】（2024?山東?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，A,3分別是橢圓C:卞+去=1（。>6>0）的左、

右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在以A3為直徑的圓。上（點(diǎn)P異于A,3兩點(diǎn)），線段"與橢圓C交于另一點(diǎn)Q,若直線

8尸的斜率是直線8。的斜率的4倍，則橢圓C的離心率為（）

昱

x_>.----------

'3

22

【變式4-1］（2024?江蘇?三模）已知過坐標(biāo)原點(diǎn)。且異于坐標(biāo)軸的直線交橢圓E:［+多=1（。＞6＞0）

于P,A兩點(diǎn)，過OP的中點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為C,直線AC交橢圓于另一點(diǎn)3,直線的斜

ky1

率分別為《色，%，則;若柩2=V，則E的離心率為_____.

*32

22

【變式4-2］（2024?四川達(dá)州?二模）雙曲線c￡-七=1（。＞。力＞。）的左、右頂點(diǎn)分別為A，4,尸為C

上一點(diǎn)，若直線PA與直線時(shí)斜率之積為2,則C的離心率為（

A.72B.出

22

【變式4-3］（2024?廣東茂名?一模）已知橢圓三+2=1（。＞6＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為國入，直線

/：，=陽七0）與橢圓交于A3兩點(diǎn)，直線AK與橢圓交于另一點(diǎn)。，若直線AD與AD的斜率之積為-；,

則橢圓的離心率為（）

,亞Df

題型五：利用數(shù)形結(jié)合求解

【典例5-1］（2024?廣西?模擬預(yù)測）如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)

22

過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線E:=1（。＞0,6＞0）的

左、右焦點(diǎn)分別為&B，從F。發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A3兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和。，且

1?

tanZCAB=-y,\BD|2=AD2BD,則雙曲線石的離心率為（）

22

【典例5-2】（2024?河北秦皇島?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）己知耳,％是橢圓C:J+斗=1（。>6>0）的兩個(gè)

ab

焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。上，若。的離心率則使△；!/大鳥為直角三角形的點(diǎn)M有（）個(gè)

A.2B.4C.6D.8

22

【變式5-1】過雙曲線E:二-2=1（°>0/>0）的左焦點(diǎn)尸作/+曠=/的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T,該切

ab

線與雙曲線E在第一象限交于點(diǎn)A,若E4=3尸T，則雙曲線E的離心率為（）

A.73B.75C.史D.巫

22

22

【變式5-2】已知點(diǎn)尸（方,幾）是橢圓C:[+2=l（a>b>0）上的一點(diǎn)，罵,B是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若

ab

PRPF2WO,則橢圓。的離心率的取值范圍是（）

題型六：利用正弦定理

22

【典例6-1】（2024?江西贛州?二模）已知巴，鳥為雙曲線C:1-4=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)，M

ab

為C左支上一點(diǎn).設(shè)片NM&FL。,且$皿生==應(yīng)$治4/，則C的離心率為（）

A.20B.3C.2D.上

22

【典例6-2】（2024?山西晉中?三模）已知雙曲線C:^-方=1（。>01>0）的左焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)歹且斜

率為6的直線與c的兩條漸近線分別交于點(diǎn)M,N,且M,N分別位于第二、三象限，若第=；，則。

的離心率為（）

A.&B.域C.叵D.曲

233

22

【變式6-1］（2024?貴州貴陽?二模）已知雙曲線E:斗=1（。>0/>0）的左焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),

ab

左頂點(diǎn)為是E上一點(diǎn)，AO"為等腰三角形，且外接圓的周長為其兀，則雙曲線E的離心率為

（）

A2726口而「A/105門回

7474

【變式6-2］（2024?云南?模擬預(yù)測）油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和

推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中將油紙傘撐開后擺放在戶外展

覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為道的圓，圓心到傘柄底端距離為百，陽光照射油紙傘在

地面形成了一個(gè)橢圓形影子（春分時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60°）,若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)

位置，則該橢圓的離心率為.

【變式6-3］（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,其右頂點(diǎn)為A,若橢

圓上一點(diǎn)尸，使得N尸耳￡=15。，ZPEA=75°,則橢圓的離心率為（）

A.-B.eC.變D.顯

2233

22

【變式6-4】已知月，F(xiàn)?分別為橢圓E:J+斗=1（。>6>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸是橢圓E上的點(diǎn)，PFXVPF2,

ab

且sin?PKK3sin?PZ譙，則橢圓E的離心率為（）

AV10Vio「有V5

A.----RD.-----U.——nD.

2424

22

【變式6-5］（2024?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高三開學(xué)考試）已知橢圓會+3=1（。>02>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

耳（-c,0）,6（c,0）,若橢圓上存在點(diǎn)尸（異于長軸的端點(diǎn)），使得csinN尸耳B=asinNPBE，則該橢圓離

心率6的取值范圍是.

【變式6-6］（2024?廣西南寧?南寧市武鳴區(qū)武鳴高級中學(xué)?？级＃┰O(shè)月、工分別為橢圓

\+4=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓上存在點(diǎn)M,^MFxF2=a,AMF2Fx=/3,使得離心率e=2蛇,

abv7sma

則e取值范圍為

題型七：利用余弦定理

22

【典例7-1】（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）己知雙曲線E:j-斗=1（。>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)歹作

ab

直線,與漸近線云--=0垂直，垂足為點(diǎn)尸，延長PR交E于點(diǎn)。.若尸Q=3P/，則E的離心率為（）

A.—B.—C.—D.A/2

543'

22

【典例7-2】（2024?四川?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:三-4=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)分別為

ab

耳（-1,0）,大（1,0），過耳的直線與c的左支交于A3兩點(diǎn).若|用|=2用用的=|熙則C的離心率為

（）

AV30R而「厄nV15

A.----D.C.---U.----

5333

22

【變式7-1］（2024?江蘇淮安?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）橢圓C:=+與=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

ab

耳B，上頂點(diǎn)為A,直線的與橢圓。交于另一點(diǎn)8,若44入?yún)^(qū)=120。，則橢圓。的離心率為.

22

【變式7-2］（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測）己知乙，尸2分別是橢圓C：5+2=1（。>6>0）的左、右焦

cib

點(diǎn)，過心的直線與c交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,FlAFiB=Q,B&=4F?A,則C的離心率為（）

A.巫B.畫C.冬D.上

52055

22

【變式7-3］（2024?山東?模擬預(yù)測）已知雙曲線C:?-與=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為乙，居

ab

。為原點(diǎn)，若以閨閭為直徑的圓與C的漸近線的一個(gè)交點(diǎn)為P,且閨H=G|OP|,則C的離心率為（

A.73B.2C.75D.^6

22

【變式7-4］（2024?山西陽泉?三模）已知雙曲線C:=-1=l（a>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為大,名，

a'b

雙曲線的右支上有一點(diǎn)AA片與雙曲線的左支交于點(diǎn)g,線段4尸2的中點(diǎn)為加，且滿足LA%,若

7T

N耳44=g,則雙曲線。的禺心率為（）

A.2B.y/6C.不D.713

題型八：內(nèi)切圓問題

22

【典例8-1］（2024?高三?廣東廣州?期中）已知點(diǎn)尸是雙曲線C：鼻-方=1（。>0,6>0）右支上一點(diǎn)，工、

13

工分別為雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，?片工的內(nèi)切圓與x軸相切于點(diǎn)N,若PN=［尸則雙曲線

。的離心率為.

22

【典例8-2】（2024?安徽六安?模擬預(yù)測）設(shè)K，居是雙曲線C：會-營=1（“>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，

點(diǎn)A是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若的內(nèi)切圓加的半徑為a為圓心），且m/lwR,使得

UUL1UUULUULIU

AM+3OM=AFlF2,則雙曲線C的離心率為—.

22

【變式8-1］（2024?黑龍江?模擬預(yù)測）設(shè)式-罵是雙曲線C：會一#=1.>0/>0）的左、右焦點(diǎn)，

以用用為直徑的圓與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)P,且歸耳|=3忸閶，則雙曲線C的離心率為一.若A尸片用內(nèi)

切圓圓心/的橫坐標(biāo)為2,則尸片用的面積為

【變式8-2］（2024?吉林長春?模擬預(yù)測）已知橢圓：］+y2=i（a>i）的左、右焦點(diǎn)分別為耳￡,點(diǎn)尸

a

是y軸正半軸上一點(diǎn)，P片交橢圓于點(diǎn)A,若且4P%的內(nèi)切圓半徑為1,則該橢圓的離心率

是一

22

【變式8-3］在平面直角坐標(biāo)系X0V中，雙曲線C：二-1=1（。>0,。>0）的左、右焦點(diǎn)分別是％F2,

ab

過片的直線/與C的左、右兩支分別交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)T在％軸上，滿足87=3明，且經(jīng)過BFJ

的內(nèi)切圓圓心，則C的離心率為.

題型九：橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)

22

【典例%1］（2024?四川成都?模擬預(yù)測）己知橢圓4號+2=1（%>4>°）與雙曲線

22

。2：/-%=1（g>。也>。）有相同的左右焦點(diǎn)%工，若點(diǎn)尸是G與c?在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，且

|耳閭=4|Pg|,設(shè)A與C?的離心率分別為q,?2，則ez-q的取值范圍為.

【典例9-2］（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知橢圓。與雙曲線C,有共同的焦點(diǎn)與心，尸是橢圓。與雙曲線Q

的一個(gè)公共點(diǎn)，且/與「工=三，其離心率分別為4，/,則3e；+e；的最小值為（）

A.3B.4C.6D.12

【變式9?1】（多選題）已知耳（-。,0）,乙（c,O）（c>。）是橢圓G：j+2=1（%>4>0）與雙曲線

qbx

22

02：0-白=1（。2>。力，>。）共同的焦點(diǎn)，G,e?分別是G，G的離心率，點(diǎn)M是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則以

下判斷正確的有（）

A.△耳面積為6色

°

B.若/耳耐=9，則eilsin］」）

27r..1

C.若則e色的取值范圍為—,+co

2

D.若/耳咽=297r，則e；+e；的取值范圍為（2,+s）

2222

【變式9-21（多選題）如圖，尸是橢圓C|￡+當(dāng)=1（。>6>0）與雙曲線。2：二一與=1（根>。,">。）在第一

abmn

象限的交點(diǎn)，/片?乙=。,且￡，。2共焦點(diǎn)的離心率分別為49,則下列結(jié)論正確的是（）

C.若0=90，則e；+W的最小值為2

6n

D.tan—二一

2b

22

【變式9-31（多選題）（2024?遼寧葫蘆島?二模）己知橢圓：三+2=l（a>b>0）與雙曲線：

ab

22

3一t=1（m>0,”>0）有公共焦點(diǎn)乙，尸2,它們的離心率分別為%,“P是它們在第一象限的交點(diǎn),

mn

一片Pb的內(nèi)切圓圓心為。，/F、PF2=a,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

1,1（,11c

A.若|。尸|=泉￡用，則7+/=2

B.若&=￡,則4,的最小值為比

32

C.過尸2作直線P。的垂線，垂足為“，點(diǎn)H的軌跡是雙曲線

D.兩個(gè)曲線在尸點(diǎn)處的切線互相垂直

題型十：利用最大頂角

22

【典例10-1】已知橢圓C：斗=1（。>6>0）,點(diǎn)A,3是長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)尸，使得

ab

ZAPB=120°f則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

22

【典例10-2】設(shè)A,2是橢圓C：三+工=1長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足NAMB=120。，則橢圓

3m

C的離心率的取值范圍是（）

22

【變式10-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）己知橢圓C:5+斗?=l（a>6>0）,點(diǎn)尸是C上任意一點(diǎn)，若圓

a2b2''

O:/+y2=〃上存在點(diǎn)M、N,使得ZMP/V=120。，則C的離心率的取值范圍是（）

【變式10-2】（2024?四川成都?高三樹德中學(xué)校考開學(xué)考試）已知耳、B是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足

岫?吟=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）

題型十一：基本不等式

【典例11-1】設(shè)橢圓C:=+2=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，橢圓C上的兩點(diǎn)A,3關(guān)于原點(diǎn)對你，且滿

ab

足E4-F8=0，網(wǎng)41M4閭冏，則橢圓C的離心率的取值范圍為，）

A.弓,11B.J*,石-1C,p-1,1)D.當(dāng)鼻

22

【典例11-2】設(shè)耳、尸2分別是橢圓E：十+方=1（。>/?>0）的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓E準(zhǔn)線上一點(diǎn)，

NF時(shí)的最大值為60°,則橢圓E的離心率為（）

AV12RV3「0n通

A.D.C.U.

2222

22

【變式11-1】（2024?山西運(yùn)城?高三期末）已知點(diǎn)A為橢圓十+方=1（。>6>0）的左頂點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)P作垂直于x軸的直線/,若直線/上存在點(diǎn)P滿足NATO=30。，則橢圓離心率的最

大值______________.

題型十二：已知哂?*范圍

【典例12-11（2024?四川省南充市白塔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知耳、罵分別為橢圓

CV+F=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn),A為右頂點(diǎn)3為上頂點(diǎn)，若在線段A3上（不含端點(diǎn)）存在不同

的兩點(diǎn)4（i=l,2）,使得單〉月g=-：,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

22

【典例12-2】已知耳（-c，0）,乙（c,0）是橢圓C：=+3=1（.>/,>0）的左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)尸使

ab

得P￡-PK=c2,則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.（g，g］B.哼當(dāng)C."1當(dāng)D.等,1）

f2

【變式12-1］（2024?全國?高三開學(xué)考試）設(shè)耳，為分別是橢圓E：［+=v=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)，

ab

2

若橢圓E上存在點(diǎn)尸滿足P4,PE=+，則橢圓E離心率的取值范圍（）

A?年?B.［冷C.（ofD.（0,g

題型十三：|西|=川*|

22

【典例13-1】已知橢圓C：［+與=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳（-G0）,6（G。），若橢圓C上存

ab

在一點(diǎn)人使得您H*則橢圓C的離心率的取值范圍為（）

A.B.（0,72-1）C.D.

22

【典例13-2】已知橢圓3+3=1（0>6>0）的左右焦點(diǎn)分別為B,F2,離心率為e,若橢圓上存在點(diǎn)尸,

PE_

使得而f則該離心率e的取值范圍是（）

A.|^A/2-l,ljC.（0,72-1]D.

【變式13-1]a>6>0）上存在點(diǎn)尸，使得|P凰=3|Pg|,其中kF2分別為橢圓的

左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

B.C.D.P1

22

【變式13-21已知雙曲線C:二-馬=1（。>0,6>0）的左右焦點(diǎn)分別為4,B，且誨g|=2c.點(diǎn)M為雙曲線

ab

C與圓+y2-5x+c2=。的交點(diǎn)，直線OM為坐標(biāo)原點(diǎn)）交雙曲線于另一點(diǎn)T,且亨守,

\MF.\

則上U=—,雙曲線C的離心率的最小值為一.

咽一

題型十四：中點(diǎn)弦問題

22

【典例14-1】（2024?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓C：1T+左=1（。>。>0）的

焦距為2c,左焦點(diǎn)為「直線/與C相交于A,2兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段42的中點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為gc.若直

3

線/與直線尸尸的斜率之積等于-二，則。的離心率為—.

16

22

【典例14-21已知橢圓八三+當(dāng)=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F,過戶且斜率為1的直線/與T交于A8兩點(diǎn),

ab

若線段A3的中點(diǎn)以在直線x+2y=0上，則T的離心率為（）

A正B.正C.且D.—

4352

22

【變式14-1]（2024?陜西銅川?三模）已知原點(diǎn)為O,橢圓C:j+與=l（a>b>0）與直線，：尤7+1=。

ab

交于A,8兩點(diǎn)，線段A3的中點(diǎn)為反，若直線的斜率為-則橢圓C的離心率為（）

4

A.-B.正C.D.逅

2223

22

【變式14-2]（2024?全國?高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：+-5=l（a>0,b>0）與斜率為1的直線交于4

ab

B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為（4,1）,則C的離心率0=（）

A.42B.巫C.也D.也

32

題型十五：已知焦點(diǎn)三角形兩底角

22

【典例1