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2023-2024學(xué)年河南省焦作十八中八年級(jí)(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共10小題,每小題3分,共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.2022年北京冬奧會(huì)己順利閉幕,下列歷屆冬奧會(huì)會(huì)徽的部分圖案中,是中心對(duì)稱圖形的是(
)A. B.
C. D.2.下列命題中,假命題的是(
)A.等腰三角形的兩個(gè)底角相等 B.直角三角形的兩個(gè)銳角互余
C.有兩個(gè)內(nèi)角是的三角形是等邊三角形 D.等腰三角形的兩個(gè)底角的平分線互相垂直3.下列各式中,從左到右的變形是因式分解的是(
)A. B.
C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),將先向下平移2個(gè)單位,再向左平移3個(gè)單位,則移動(dòng)后的點(diǎn)的坐標(biāo)是(
)A. B. C. D.5.我們定義一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的新運(yùn)算,規(guī)定:,例如,若實(shí)數(shù)m滿足,則m的取值范圍是(
)A. B. C. D.6.如圖,在中,DE是AC的垂直平分線,,且的周長(zhǎng)為10cm,則的周長(zhǎng)為(
)A.6cm
B.10cm
C.13cm
D.16cm7.如圖所示:某公園里有一處長(zhǎng)方形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD,AB長(zhǎng)50米,BC寬25米,為方便游人觀賞,公園特意修建了如圖所示的小路圖中非陰影部分,小明同學(xué)在假期沿著小路的中間行走圖中虛線,則:小明同學(xué)所走的路徑長(zhǎng)約為米.小路的寬度忽略不計(jì)A.150米 B.125米 C.100米 D.75米8.如圖,OP平分,E為OA上一點(diǎn),,P到OB的距離是2,則的面積為(
)A.2
B.3
C.4
D.89.若關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解共有2個(gè),則m的取值范圍是(
)A. B. C. D.10.如圖,在直角三角形ABC中,,,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),將一塊銳角為的直角三角板ADE如圖放置,使三角板斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別與A、D重合,連接BE、
下列判斷正確的有(
)
①≌;②;③;④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)二、填空題:本題共5小題,每小題3分,共15分。11.已知中,,求證:,用反證法證明:第一步是:假設(shè)______.12.如果是一元一次不等式,則______.13.如圖,在中,,,線段AB的垂直平分線ED分別交AC、AB于點(diǎn)D、E,連接若,則AC的長(zhǎng)為______.
14.如圖,一次函數(shù)與的圖象交于點(diǎn)下列結(jié)論:①;②;③當(dāng)時(shí),;④;⑤其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
15.如圖,O是內(nèi)的點(diǎn),,,,將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,連接設(shè)為,當(dāng)為等腰三角形時(shí),為______.
三、解答題:本題共8小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過程或演算步驟。16.本小題12分
解不等式組:
①;
②
因式分解:
①;
②17.本小題7分
如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解,則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程.
在方程①,②,③中,不等式組的關(guān)聯(lián)方程是______;填序號(hào)
若不等式組的一個(gè)關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù),則這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是______;寫出一個(gè)即可
若方程,都是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程,直接寫出m的取值范圍.18.本小題8分
已知:如圖,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,,
求證:BD平分;
若,,求OC的長(zhǎng).19.本小題9分
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為,,每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度
將平移,使點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn),請(qǐng)畫出;
作出關(guān)于O點(diǎn)成中心對(duì)稱的,并直接寫出,,的坐標(biāo);
與是否成中心對(duì)稱?若是,請(qǐng)直接寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
20.本小題9分
學(xué)習(xí)完“一元一次不等式與一次函數(shù)”后,老師給出了這樣一道練習(xí)題:如圖1,直線與直線交于點(diǎn),求不等式的解集.
同學(xué)們都感覺這道題很容易,通過觀察圖象快速寫出了這道題的答案是:______.
接著,老師又提出了一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的題目:求不等式:的解集.小明所在的數(shù)學(xué)興趣小組展開了對(duì)這個(gè)問題的探究:探究的思路是借助函數(shù)圖象解決問題.
首先畫出函數(shù)的圖象.
①列表:如表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值,其中______;x…012…y…1a1…②描點(diǎn):根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn),請(qǐng)補(bǔ)充描出點(diǎn);
③連線:用平滑的曲線順次連接各點(diǎn),請(qǐng)畫出函數(shù)圖象圖
觀察分析圖象特征,結(jié)合已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和該函數(shù)的性質(zhì),寫出不等式的解集是______.21.本小題10分
在中,點(diǎn)P在平面內(nèi),連接AP并將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度,得到線段AQ,連接
【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1,如果點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn),則線段BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是______;
【探究猜想】如圖2,如果點(diǎn)P為平面內(nèi)任意一點(diǎn),前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給予證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明或說(shuō)明;
【拓展應(yīng)用】如圖3,在中,,,,P是線段BC上的任意一點(diǎn)連接AP,將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到線段AQ,連接CQ,請(qǐng)直接寫出線段CQ長(zhǎng)度的最小值.22.本小題10分
某汽車租賃公司要購(gòu)買轎車和面包車共10輛,其中轎車至少要購(gòu)買3輛,轎車每輛12萬(wàn)元,面包車每輛8萬(wàn)元,公司可投入的購(gòu)車款不超過100萬(wàn)元;
符合公司要求的購(gòu)買方案有幾種?請(qǐng)說(shuō)明理由;
如果每輛轎車的日租金為250元,每輛面包車的日租金為150元,假設(shè)新購(gòu)買的這10輛車每日都可租出,要使這10輛車的日租金不低于2000元,那么應(yīng)選擇以上哪種購(gòu)買方案?23.本小題10分
在某次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中,小明同學(xué)遇到了如下問題:如圖①,點(diǎn)P在等邊內(nèi)部,且,,,求PB的長(zhǎng).
經(jīng)過同學(xué)們的觀察、分析、思考、交流,對(duì)上述問題形成了如下想法:將繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),得到,連接,尋找PA,PB,PC三邊之間的數(shù)最關(guān)系,即可求得PB的長(zhǎng)為______;
【理解應(yīng)用】如圖②,在等腰直角中,,P為內(nèi)一點(diǎn),,判斷PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
【類比遷移】如圖③,小李家有一塊三角形的空地ABC,其中,,小李家位于空地旁的P點(diǎn),通過測(cè)量,,,請(qǐng)直接寫出線段PC的長(zhǎng).
答案和解析1.【答案】C
【解析】解:選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合,所以不是中心對(duì)稱圖形,
選項(xiàng)C能找到這樣的一個(gè)點(diǎn),使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后與原來(lái)的圖形重合,所以是中心對(duì)稱圖形,
故選:
把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn),如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合,那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形,根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念求解.
本題考查了中心對(duì)稱圖形的概念,中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,繞對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)后與原圖重合.2.【答案】D
【解析】A、等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的底角相等.故此選項(xiàng)是真命題;
B、直角三角形的兩個(gè)銳角互余,此選項(xiàng)為真命題;
C、有兩個(gè)內(nèi)角是的三角形是等邊三角形,故此選項(xiàng)是真命題;
D、等腰三角形的兩個(gè)底角的平分線一定不垂直,故此選項(xiàng)是假命題.
故選:
根據(jù)真假命題的概念以及直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定逐一判定即可.
本題主要考查真假命題的概念以及直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的判定.掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.3.【答案】C
【解析】解:從左到右的變形不屬于因式分解,故本選項(xiàng)不符合題意;
B.從左到右的變形屬于整式乘法,不屬于因式分解,故本選項(xiàng)不符合題意;
C.從左到右的變形屬于因式分解,故本選項(xiàng)符合題意;
D.等式的右邊是分式與整式的積,即從左到右的變形不屬于因式分解,故本選項(xiàng)不符合題意;
故選:
根據(jù)因式分解的定義逐個(gè)判斷即可.
本題考查了因式分解的定義,能熟記因式分解的定義是解此題的關(guān)鍵,注意:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫因式分解.4.【答案】A
【解析】解:平移后的坐標(biāo)為,即坐標(biāo)為,
故選:
根據(jù)橫坐標(biāo),右移加,左移減;縱坐標(biāo),上移加,下移減可得答案.
此題主要考查了坐標(biāo)與圖形的變化-平移,關(guān)鍵是掌握平移規(guī)律.5.【答案】D
【解析】解:根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得:,
移項(xiàng)得:,
解得:
故選:
利用題中的新定義化簡(jiǎn)已知不等式,求出解集即可得到m的范圍.
此題考查了解一元一次不等式,以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則及不等式的解法是解本題的關(guān)鍵.6.【答案】D
【解析】解:是AC的垂直平分線,
,
的周長(zhǎng)為10cm,
,
,即,
的周長(zhǎng),
故選:
根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到,根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.
本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì),掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.7.【答案】C
【解析】解:由平移的性質(zhì)可知,由于小路的寬度忽略不計(jì),因此所行走的路程為米,
故選:
由于路的寬度忽略不計(jì),因此行走的路線的長(zhǎng)為,代入計(jì)算即可.
本題考查生活中的平移現(xiàn)象,理解平移的意義,掌握平移的性質(zhì)是正確解答的關(guān)鍵.8.【答案】C
【解析】解:如圖,過P作于D,作于C,
是的平分線,P到OB的距離是2,
,
,
故選:
過P作于D,作于C,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可求解.
本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9.【答案】B
【解析】解:不等式組整理得:,即,
所以不等式組的整數(shù)解有2個(gè)整數(shù)解為3,4,
則m的范圍為
故選:
表示出不等式組的解集,由整數(shù)解有2個(gè),確定出m的范圍即可.
此題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解,求不等式組的解集,應(yīng)遵循以下原則:同大取較大,同小取較小,小大大小中間找,大大小小解不了.10.【答案】D
【解析】解:,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),
,
是等腰直角三角形,
,
,,
,
在和中,,
≌,故①小題正確;
,,故②小題正確;
,
,
,故③小題正確;
是等腰直角三角形,
,
,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),
,,
在中,,
,,
,
,
解得,故④小題正確,
綜上所述,判斷正確的有①②③④共4個(gè).
故選:
根據(jù),點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)求出,再根據(jù)是等腰直角三角形求出,并求出,然后利用“邊角邊”證明和全等,從而判斷出①小題正確;根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得,從而判斷出②小題正確;根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得,然后推出,從而判斷出③小題正確;根據(jù)等腰直角三角形斜邊等于直角邊的倍,用DE表示出AD,然后得到AB、AC,再根據(jù)勾股定理用DE與EC表示出BC,整理即可得解,從而判斷出④小題正確.
本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),準(zhǔn)確識(shí)圖,根據(jù)是等腰直角三角形推出,是解題的關(guān)鍵,也是解決本題的突破口.11.【答案】
【解析】解:用反證法證明:第一步是:假設(shè)
故答案是:
熟記反證法的步驟,直接填空即可.
本題結(jié)合角的比較考查反證法,解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟.
反證法的步驟是:
假設(shè)結(jié)論不成立;
從假設(shè)出發(fā)推出矛盾;
假設(shè)不成立,則結(jié)論成立.
在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況,如果只有一種,那么否定一種就可以了,如果有多種情況,則必須一一否定.12.【答案】1
【解析】解:是關(guān)于x的一元一次不等式,
,,
解得:
故答案為:
根據(jù)已知和一元一次不等式的定義得出,,求出即可.
本題考查了一元一次不等式的定義的應(yīng)用,關(guān)鍵是能根據(jù)已知得出,13.【答案】
【解析】解:是線段AB的垂直平分線,
,
,
,
在中,,,
,
由勾股定理得:,
,
,
故答案為:
先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得,則,進(jìn)而得,然后在中,根據(jù)含有角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求出BD的長(zhǎng)即可得出AC的長(zhǎng).
此題主要考查了含有角的直角三角形的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),熟練掌握含有角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理,線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.14.【答案】②④⑤
【解析】解:由一次函數(shù)圖象可知:,,由一次函數(shù)圖象可知:,,所以①錯(cuò)誤,
,故②正確,
觀察圖象交點(diǎn)情況,交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,自變量時(shí),圖象位于圖象上方,即當(dāng)時(shí),,故③錯(cuò)誤,同時(shí)因?yàn)榻稽c(diǎn)橫坐標(biāo)為1,代入兩解析式可得,故④正確,
由當(dāng)時(shí)一次函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限,即時(shí),代入得:,即,故⑤正確,
故答案為:②④⑤.
由一次函數(shù)圖象及其性質(zhì)可知a,b,c,d的符號(hào)情況,從而可判斷①②的正確與否,由兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況可判斷③④正確與否,由與x軸交點(diǎn)情況可判斷⑤正確與否,作出選擇即可.
本題考查了一次函數(shù)的圖象及其性質(zhì),關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的方法,把圖象直觀與代數(shù)精確計(jì)算綜合運(yùn)用,其中利用點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程解決等量關(guān)系判斷尤為重要.15.【答案】或或
【解析】解:,,
,
,
,,
,,
,
由旋轉(zhuǎn)得,,,
,,
當(dāng)為等腰三角形,且時(shí),則,
,
,
;
當(dāng)為等腰三角形,且時(shí),則,
,
;
當(dāng)為等腰三角形,且時(shí),則,
,
,
綜上所述,或或,
故答案為:或或
由,,得,由,,求得,,則,由旋轉(zhuǎn)得,,,則,,再分三種情況討論,一是當(dāng)時(shí),可求得,則,求得;二是當(dāng)時(shí),則,,求得;三是當(dāng)時(shí),則,則,求得,于是得到問題的答案.
此題重點(diǎn)考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法,正確地求得是解題的關(guān)鍵.16.【答案】解:①,
,
,
,
,
;
②,
解不等式①得:,
解不等式②得:,
原不等式組的解集為:;
①
;
②
【解析】①按照解一元一次不等式的步驟進(jìn)行計(jì)算,即可解答;
②按照解一元一次不等式組的步驟進(jìn)行計(jì)算,即可解答;
①先提公因式法,再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可解答;
②先提公因式法,再利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可解答.
本題考查了解一元一次不等式,解一元一次不等式組,提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用,準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵.17.【答案】③
;
答案不唯一;
解方程得:,
解方程得:,
解不等式組得:,
方程,都是關(guān)于x的不等式組的關(guān)聯(lián)方程,
,
即m的取值范圍是
【解析】解:解方程得:,
解方程得:,
解方程得:,
解不等式組得:,
所以不等式組的關(guān)聯(lián)方程是③,
故答案為:③;
解不等式組得:,
這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是,
故答案為:答案不唯一;
見答案.
【分析】
先求出方程的解和不等式組的解集,再判斷即可;
先求出不等式組的解集,求出不等式組的整數(shù)解,再寫出方程即可;
先求出方程的解和不等式組的解集,即可得出答案.
本題考查了解一元一次方程,一元一次方程的解,解一元一次不等式組等知識(shí)點(diǎn),能理解關(guān)聯(lián)方程的定義是解此題的關(guān)鍵.18.【答案】證明:,
,
,
,
又,
平分;
解:過點(diǎn)O作于E,
,,
,
,
平分,
在中,,,
【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義證明;
過點(diǎn)O作于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
本題考查的是角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用,掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.19.【答案】解:如圖,即為所求;
如圖,即為所求,點(diǎn),,的坐標(biāo)分別為,,;
與是成中心對(duì)稱圖形,
如圖,對(duì)稱中心T的坐標(biāo)為
【解析】利用平移變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn),,即可;
利用中心對(duì)稱變換的性質(zhì)分別作出A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn),,即可;
根據(jù)中心對(duì)稱變換的性質(zhì)判斷即可.
本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換,平移變換等知識(shí),解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換,平移變換的性質(zhì)屬于中考??碱}型.20.【答案】
【解析】解:觀察圖1可得,不等式的解集是,
故答案為:;
①列表:把代入得,
,
故答案為:2;
②描點(diǎn):見下圖;
③連線:如圖:
觀察圖象可得,的解集為
觀察圖象可得的解集;
①把把代入可得a的值;②在所給直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)即可;③將所描點(diǎn)連起來(lái),畫出函數(shù)圖象即可;
觀察函數(shù)圖象,即可得到答案.
本題考查一次函數(shù)與不等式的關(guān)系,理解一次函數(shù)與二元一次方程組、不等式的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵.21.【答案】
【解析】解:【發(fā)現(xiàn)問題】由旋轉(zhuǎn)知,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
故答案為:;
【探究猜想】前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論仍然成立;理由如下:
由旋轉(zhuǎn)知,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
;
【拓展應(yīng)用】如圖,在AB上取一點(diǎn)E,使,連接PE,過點(diǎn)E作于F,
由旋轉(zhuǎn)知,,,
,,
,
,
,
在和中,
,
≌,
,
要使CQ最小,則有EP最小,而點(diǎn)E是定點(diǎn),點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn),
當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí),EP最小,
即:點(diǎn)P與點(diǎn)F重合,CQ最小,最小值為EP,
在中,,,
,
,
,
在中,,,
故線段CQ長(zhǎng)度最小值是
【發(fā)現(xiàn)問題】由旋轉(zhuǎn)知,,,可得,可知≌,即可;
【探究猜想】結(jié)論:仍然成立,理由:由旋轉(zhuǎn)知,,由,可得,可知≌,可得;
【拓展應(yīng)用】在AB上取一點(diǎn)E,使,連接PE,過點(diǎn)E作于F,由旋轉(zhuǎn)知,,,可求,可證≌,,當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)F重合時(shí),EP最小,在中,,可求,由,可求,在中,,,可得即可.
本題考查三角形旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),全等三角形判定與性質(zhì),角直角三角形性質(zhì),掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì),根據(jù)垂線段最短確定線段位置是解本題的關(guān)鍵.22.【
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