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文檔簡介
2024-2025學(xué)年北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)檢測試題
本試卷共5頁,150分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上
作答無效。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分(選擇題共40分)
、選擇題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目
要求的一項(xiàng)。
(1)已知集合則Qg=
(A)(-1.2)(B)(1,3)
(C)[-1.0,1}(D)0,2,3}
(2)已知復(fù)數(shù)二滿足i==-l+i,則門
(A)-1-i(B)~1+i
(C)1-i(D)1+1
(3)已知拋物線。:r=41,則拋物線。的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為
(A)1(B)2
(C)3(D)4
(4)在(、+的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為
(A)4(B)12
(C)24(D)36
(5)已知等比數(shù)列{qj滿足q+%?5,%-2,貝!!{4}的公比為
(B)_c或L
或---
(A)_c-、—.
(C)2或一;(D)r或L
一o
(6)已知函數(shù)/(K)=SinT8SK.若戈■由時(shí),f(K)取得最大值,則小的值可能是
(A)—(B)-
124
(C)-(D)-
32
(7)如圖,在四棱錐p一乂BCD中,R1J"平面4BCD,底面4BCD是邊長為1的正方形,
PA=B則點(diǎn)p到直線助的距離為PK
(A)J?
(c)正
1:iBN
(8)若圓f-3+6y-0的圓心到工軸、丁軸的距離相等,貝Ua=
(A)2(B)3
(c)+3(D)±6
(9)已知單位向量a,b,貝u“alb”是“任意4eR,都有|a-明=|浙+葉'的
(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(O充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
(10)設(shè)集合0K,)[二對于集合M的子集力,若任取乂中
兩個(gè)不同元素0\,心小,工,),仁二二二),有「+「+『;+.r,=工+二:+工+二「且
j+二」?+二;,八+二“果+二4中有且只有一個(gè)為2,則稱&是一個(gè)“好子集”.下列結(jié)論
正確的是
(A)一個(gè)“好子集”中最多有3個(gè)元素(B)一個(gè)“好子集”中最多有4個(gè)元素
(C)一個(gè)“好子集”中最多有6個(gè)元素(D)一個(gè)“好子集”中最多有8個(gè)元素
第二部分(非選擇題共110分)
二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。
(11)函數(shù)/'(X)=-4的定義域?yàn)?
C
(12)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正
方形的邊長為1,貝U|?i+R=;(a-bc=.
22
(13)已知雙曲線力:二-匚?1(其中a>0)的右焦點(diǎn)為以2,0),貝I
CT3
。?________,方的離心率為.
(14)函數(shù)/0)?字2是奇函數(shù),且對任意i€R成立,則滿足條件的一組值可
x*+l
以是Q=,b=.
(15)在棱長為2的正方體幺中,點(diǎn)及歹分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)尸為正
方體表面上的動點(diǎn),滿足4P_LE尸.給出下列四個(gè)結(jié)論:
①線段4P長度的最大值為?JJ;------/
②存在點(diǎn)尸,使得DP"EF;iL
③存在點(diǎn)尸,使得BP?DP;\AI/
④△£尸尸是等腰三角形.
其中,所有正確結(jié)論的序號是.
三、解答題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程。
(16)(本小題14分)
如圖,在直三棱柱4中,乙4cB為直角,側(cè)面為正方形,
AC=BC=2^D3分別為須,月。:的中點(diǎn).
(I)求證:QE〃平面BBCC;
(II)求證:ACLDE^
(III)求直線幺(7與平面BDE所成角的正弦值.
(17)(本小題13分)
已知乙出?為銳角三角形,且匕?7,aanB-4^/3-
(I)求$in4的值;
(II)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求MBC的周長.
條件①:。=8;
條件②:B-j;
條件③:c?5.
注:如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.
(18)(本小題13分)
某甜品店為了解某款甜品的銷售情況,進(jìn)而改變制作工藝,根據(jù)以往的銷售記錄,繪制
了日銷售量的頻率分布直方圖,如右圖所示.假設(shè)每天的
銷售量相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.
(I)估計(jì)某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)的概率;
0.03........
(II)用N表示在未來3天里,此款甜品日銷售量多于002-----------
0.01---1-
60個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;°匕1p土一舄口而售址(個(gè))
(III)該店改變了制作工藝以后,抽取了連續(xù)30天的銷售記錄,發(fā)現(xiàn)這其中有20天的銷售量
都大于70個(gè),問:根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為改變工藝后,此款甜品的銷售情況發(fā)生了
變化,說明理由.
(19)(本小題15分)
rr1(。>3>0)的右頂點(diǎn)為42,0),上頂點(diǎn)為5(0,JI).
己知橢圓。7+F
(I)求橢圓C的方程;
(II)橢圓。的左焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)p為橢圓。上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn),直線4P,即與「軸的交
點(diǎn)分別為A/,N,若|OM|,|0N|=:,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).
(20)(本小題15分)
已知函數(shù)/(x)=xln(x+l)-h-,直線:是曲線丁?/(X)在點(diǎn)(0J(0))處的切線.
(I)當(dāng)k=-l時(shí),求直線,的傾斜角;
(II)求證:除切點(diǎn)(0,/(0))之外,曲線在直線;的上方;
(III)若函數(shù)/(x)在(0.+8)上單調(diào)遞增,求上的取值范圍.
(21)(本小題15分)
己知數(shù)歹!J{qJ滿足%=。嗎="%廣14卜&?,其中a/eZ,ab*0.
(I)當(dāng)a=-,b=-l時(shí),求知.%的值;
(II)求證:{q}不是單調(diào)遞增數(shù)列;
(III)是否存在a力,使得a:+a:+a;+a』+a.+a,+a.+。'=0,若存在,求出a,b的值;
若不存在,說明理由.
數(shù)學(xué)答案
一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)
(1)C(2)D(3)B(4)A(5)D
(6)B(7)D(8)C(9)C(10)A
二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)
(11)(-OO-2]U[2,+OO)(12)4
(13)12(14)10(答案不唯一)
(15)①③④
說明:12,13,14題都是第一個(gè)空3分,第二個(gè)2分;
15題對一個(gè)給1分,對兩個(gè)給3分,全對給5分,如果有錯(cuò)的,則給0分。
三、解答題(共6小題,共85分)
(16)(共14分)
解:(I)連接在A松G中,
因?yàn)镈E分別為月B,ng的中點(diǎn),
所以》〃Bq.2分
又平面8Gu平面BBC;。
所以DE4平面BECC-4分
(II)因?yàn)橹比庵|。-RBC
所以CC」平面,
所以0c_L40,
......5分
又44cB為直角,
所以......6分
又Ecny-c
所以HC_L平面BBC?,......7分
所以次?_LBC,
由(I)DE//BC.,
所以4C1DE.......8分
(III)建立空間直角坐標(biāo)系C-4BC1,......9分
則0(000),4(2.0,0),及(0,2,2),D(l,l,O).£(1.0.1)
因此章=(!?_?,-1),D?=(0,-l,l)-
設(shè)平面B^DE的法向量為〃=(x,J二),則
""=J;r—=°'即[:匕,………11分
[n~DE=-y+z=O,口'=二
令二=1,于是"?(3,1,1).............12分
設(shè)直線力。與平面BDE所成角為8.
=一,?行.、?AC33\TT八
所以silld=cos(AO,〃)=------------=—=———.............14分
imi^i而11
(17)(共13分)
解:(I)由正弦定理」一?」_,......3分
sinAsinB
所以々sinB-bsinH..............4分
代入得〃sinB=7sm乂=473
所以sm>l=£l..............5分
7
(H)選擇條件①:a=8..............6分
因?yàn)閟in4=士叱■,所以CO$4??±L............8分
77
因?yàn)殓蹫殇J角,所以cos4-g............9分
由余弦定理標(biāo)=標(biāo)+《二一2bccosyl,.............11分
代入得到64=49+5-)7,c1
所以c'-i-15=0-
解得。=5,c=-3(舍).......12分
所以"BC的周長為20.............13分
選擇條件②.8?守......6分
因?yàn)閍$inB=46'所以.....7分
所以a?S,以下同選擇①.
選擇條件③:c?5?............6分
因?yàn)閟in力■士叵,所以cos4?±1.............8分
77
因?yàn)?為銳角,所以8s4-7...........9分
由余弦定理,=82+/一2bcCOSJ4?...........11分
代入得到J?49+25-:!,751
所以。=8,...........12分
所以.的周長為20............13分
(18)(共13分)
解:(I)設(shè)事件月為“某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)”,......1分
所以R4)=@01+003)10=0.4............4分
(II)Z=0,l,2,3............5分
RX?0)?04'?0064,
RX?1)?C;06043-0288,
P(jr-2)-C;06:04-0432,
P(Jr-3)-06J-0.216,
所以JT的分布列為
X01-13
P0.0640.2880.4320.216
......................9分所以
ZT=0x0,0064+1x0.288+2x0.432+3x0.216=1.8...........n分
(III)可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.
因?yàn)橐郧按丝钐鹌返娜珍N售量大于70個(gè)的頻率為0.2,
現(xiàn)在30天中有20天銷售量大于70個(gè),其頻率三=二遠(yuǎn)大于改進(jìn)前,
303
所以可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.......13分
(也可認(rèn)為無法確定有無變化,30天中有20天銷售量大于70個(gè)是隨機(jī)事件,
按之前頻率估計(jì)計(jì)算30天中有20天銷售量大于70個(gè)的概率比較小,一般
不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化)
(19)(共15分)
a=2,
解:(I)由題設(shè),
所以。的方程為二+匚=L.............5分
43
(II)法一:
設(shè)Rs,."),所以22_+二=1(一2<.q<2,xo*0)............6分
43
所以%萩=上「,......7分
<0-2
直線月P的方程為......8分
q--
令1?0,得J'M?二^■......9分
VO--
又%??”],......10分
%+1
直線RP的方程為『=±7。+1).............11分
v0+1
令X=0,得J‘N■],............12分
所以10MQNITTII旦j.
VO-2,v0+1
所以2即一爭9,............14分
&_4馬+。彳
所以?翱-甘)J,
.2+v3
所以I—r0l=T-
v0+12
所以-1,M—一丁......15分
法二:
由題意直線心斜率存在,且不為0,設(shè)直線月尸的方程為j-k(x-2).
............6分
令X-0,得......7分
由二一)’得(4方+3)K:-16》K+16*:-12?0.............8
3x+4r=12,
分
易得d>D?設(shè)網(wǎng)跖Jo)<。跖-0),則Jo—鼠跖-2),..........9
分
況.…「所以》?齊。......10分
4<*+34/r+3
直線收的方程為.r-&(x+l)...........11分
.,o+1
分
_4k2jt2Q
所以10Ml.|ON|=|-”||滅口H布口卜彳..............13分
所以%2=2,川=2...........14分
468
所以.q-1,M...........15分
(20)(共15分)
解:(I)當(dāng)左=-1時(shí),/(.、)■\ln(\+l)+x,
所以/5)=ln(:v+l)+」一+l...........2分
r+1
所以/【0)=1...........3分
所以直線7的傾斜角為N.......4分
4
(II)因?yàn)?卜)=ln(x+l)+二一人......5分
x+1
所以f(0)=-匕......6分
所以直線i的方程為『--云?,......7分
令網(wǎng)x)=/(D-(-A)=rln(x+l)...........8分
法一:
當(dāng)-1<K<0時(shí),hi(:v+l)<:0,
所以M(x)?xln(x+l)>0.
當(dāng)x>。時(shí),13+1)>0,
所以網(wǎng)x)=x旗K+1)>0,..........9分
所以網(wǎng)x)=xln(x+1)>°對x>-1且X/0成立,
即除切點(diǎn)(0,7(0))之外,曲線。在直線i的上方.......10分
法二:
因?yàn)閎(r)=kKx+l)+」一,
x+l
所以時(shí),ln(K+l)<a-^-<0.^.v)-hXx+l)+—<0
X+lx+l
\>0時(shí),111('+1)>0,上>0,71(.v)-hXv+l)+->0,
x+lx+l
F<x)與歹(K)的變化情況如下表:
A(-1.0)□(0,+a>)
尸(X)-C+
網(wǎng)X)/
..........9分
所以,函數(shù)網(wǎng)')在K=o處取得最小值。,
所以改x)-Kln(x+1)>0對X>-1且rw0成立,
即除切點(diǎn)(0,加0))之外,曲線C在直線i的上方.
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