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文檔簡介

2024-2025學(xué)年北京市高三上學(xué)期入學(xué)定位考試數(shù)學(xué)檢測試題

本試卷共5頁,150分。考試時(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上

作答無效。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

、選擇題共10小題,每小題4分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目

要求的一項(xiàng)。

(1)已知集合則Qg=

(A)(-1.2)(B)(1,3)

(C)[-1.0,1}(D)0,2,3}

(2)已知復(fù)數(shù)二滿足i==-l+i,則門

(A)-1-i(B)~1+i

(C)1-i(D)1+1

(3)已知拋物線。:r=41,則拋物線。的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為

(A)1(B)2

(C)3(D)4

(4)在(、+的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為

(A)4(B)12

(C)24(D)36

(5)已知等比數(shù)列{qj滿足q+%?5,%-2,貝!!{4}的公比為

(B)_c或L

或---

(A)_c-、—.

(C)2或一;(D)r或L

一o

(6)已知函數(shù)/(K)=SinT8SK.若戈■由時(shí),f(K)取得最大值,則小的值可能是

(A)—(B)-

124

(C)-(D)-

32

(7)如圖,在四棱錐p一乂BCD中,R1J"平面4BCD,底面4BCD是邊長為1的正方形,

PA=B則點(diǎn)p到直線助的距離為PK

(A)J?

(c)正

1:iBN

(8)若圓f-3+6y-0的圓心到工軸、丁軸的距離相等,貝Ua=

(A)2(B)3

(c)+3(D)±6

(9)已知單位向量a,b,貝u“alb”是“任意4eR,都有|a-明=|浙+葉'的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(O充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(10)設(shè)集合0K,)[二對于集合M的子集力,若任取乂中

兩個(gè)不同元素0\,心小,工,),仁二二二),有「+「+『;+.r,=工+二:+工+二「且

j+二」?+二;,八+二“果+二4中有且只有一個(gè)為2,則稱&是一個(gè)“好子集”.下列結(jié)論

正確的是

(A)一個(gè)“好子集”中最多有3個(gè)元素(B)一個(gè)“好子集”中最多有4個(gè)元素

(C)一個(gè)“好子集”中最多有6個(gè)元素(D)一個(gè)“好子集”中最多有8個(gè)元素

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題,每小題5分,共25分。

(11)函數(shù)/'(X)=-4的定義域?yàn)?

C

(12)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長為1,貝U|?i+R=;(a-bc=.

22

(13)已知雙曲線力:二-匚?1(其中a>0)的右焦點(diǎn)為以2,0),貝I

CT3

。?________,方的離心率為.

(14)函數(shù)/0)?字2是奇函數(shù),且對任意i€R成立,則滿足條件的一組值可

x*+l

以是Q=,b=.

(15)在棱長為2的正方體幺中,點(diǎn)及歹分別為棱的中點(diǎn).點(diǎn)尸為正

方體表面上的動點(diǎn),滿足4P_LE尸.給出下列四個(gè)結(jié)論:

①線段4P長度的最大值為?JJ;------/

②存在點(diǎn)尸,使得DP"EF;iL

③存在點(diǎn)尸,使得BP?DP;\AI/

④△£尸尸是等腰三角形.

其中,所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題,共85分。解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

如圖,在直三棱柱4中,乙4cB為直角,側(cè)面為正方形,

AC=BC=2^D3分別為須,月。:的中點(diǎn).

(I)求證:QE〃平面BBCC;

(II)求證:ACLDE^

(III)求直線幺(7與平面BDE所成角的正弦值.

(17)(本小題13分)

已知乙出?為銳角三角形,且匕?7,aanB-4^/3-

(I)求$in4的值;

(II)再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,求MBC的周長.

條件①:。=8;

條件②:B-j;

條件③:c?5.

注:如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.

(18)(本小題13分)

某甜品店為了解某款甜品的銷售情況,進(jìn)而改變制作工藝,根據(jù)以往的銷售記錄,繪制

了日銷售量的頻率分布直方圖,如右圖所示.假設(shè)每天的

銷售量相互獨(dú)立,用頻率估計(jì)概率.

(I)估計(jì)某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)的概率;

0.03........

(II)用N表示在未來3天里,此款甜品日銷售量多于002-----------

0.01---1-

60個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;°匕1p土一舄口而售址(個(gè))

(III)該店改變了制作工藝以后,抽取了連續(xù)30天的銷售記錄,發(fā)現(xiàn)這其中有20天的銷售量

都大于70個(gè),問:根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為改變工藝后,此款甜品的銷售情況發(fā)生了

變化,說明理由.

(19)(本小題15分)

rr1(。>3>0)的右頂點(diǎn)為42,0),上頂點(diǎn)為5(0,JI).

己知橢圓。7+F

(I)求橢圓C的方程;

(II)橢圓。的左焦點(diǎn)為尸,點(diǎn)p為橢圓。上不同于頂點(diǎn)的一點(diǎn),直線4P,即與「軸的交

點(diǎn)分別為A/,N,若|OM|,|0N|=:,求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=xln(x+l)-h-,直線:是曲線丁?/(X)在點(diǎn)(0J(0))處的切線.

(I)當(dāng)k=-l時(shí),求直線,的傾斜角;

(II)求證:除切點(diǎn)(0,/(0))之外,曲線在直線;的上方;

(III)若函數(shù)/(x)在(0.+8)上單調(diào)遞增,求上的取值范圍.

(21)(本小題15分)

己知數(shù)歹!J{qJ滿足%=。嗎="%廣14卜&?,其中a/eZ,ab*0.

(I)當(dāng)a=-,b=-l時(shí),求知.%的值;

(II)求證:{q}不是單調(diào)遞增數(shù)列;

(III)是否存在a力,使得a:+a:+a;+a』+a.+a,+a.+。'=0,若存在,求出a,b的值;

若不存在,說明理由.

數(shù)學(xué)答案

一、選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)

(1)C(2)D(3)B(4)A(5)D

(6)B(7)D(8)C(9)C(10)A

二、填空題(共5小題,每小題5分,共25分)

(11)(-OO-2]U[2,+OO)(12)4

(13)12(14)10(答案不唯一)

(15)①③④

說明:12,13,14題都是第一個(gè)空3分,第二個(gè)2分;

15題對一個(gè)給1分,對兩個(gè)給3分,全對給5分,如果有錯(cuò)的,則給0分。

三、解答題(共6小題,共85分)

(16)(共14分)

解:(I)連接在A松G中,

因?yàn)镈E分別為月B,ng的中點(diǎn),

所以》〃Bq.2分

又平面8Gu平面BBC;。

所以DE4平面BECC-4分

(II)因?yàn)橹比庵|。-RBC

所以CC」平面,

所以0c_L40,

......5分

又44cB為直角,

所以......6分

又Ecny-c

所以HC_L平面BBC?,......7分

所以次?_LBC,

由(I)DE//BC.,

所以4C1DE.......8分

(III)建立空間直角坐標(biāo)系C-4BC1,......9分

則0(000),4(2.0,0),及(0,2,2),D(l,l,O).£(1.0.1)

因此章=(!?_?,-1),D?=(0,-l,l)-

設(shè)平面B^DE的法向量為〃=(x,J二),則

""=J;r—=°'即[:匕,………11分

[n~DE=-y+z=O,口'=二

令二=1,于是"?(3,1,1).............12分

設(shè)直線力。與平面BDE所成角為8.

=一,?行.、?AC33\TT八

所以silld=cos(AO,〃)=------------=—=———.............14分

imi^i而11

(17)(共13分)

解:(I)由正弦定理」一?」_,......3分

sinAsinB

所以々sinB-bsinH..............4分

代入得〃sinB=7sm乂=473

所以sm>l=£l..............5分

7

(H)選擇條件①:a=8..............6分

因?yàn)閟in4=士叱■,所以CO$4??±L............8分

77

因?yàn)殓蹫殇J角,所以cos4-g............9分

由余弦定理標(biāo)=標(biāo)+《二一2bccosyl,.............11分

代入得到64=49+5-)7,c1

所以c'-i-15=0-

解得。=5,c=-3(舍).......12分

所以"BC的周長為20.............13分

選擇條件②.8?守......6分

因?yàn)閍$inB=46'所以.....7分

所以a?S,以下同選擇①.

選擇條件③:c?5?............6分

因?yàn)閟in力■士叵,所以cos4?±1.............8分

77

因?yàn)?為銳角,所以8s4-7...........9分

由余弦定理,=82+/一2bcCOSJ4?...........11分

代入得到J?49+25-:!,751

所以。=8,...........12分

所以.的周長為20............13分

(18)(共13分)

解:(I)設(shè)事件月為“某一天此款甜品銷售量不超過60個(gè)”,......1分

所以R4)=@01+003)10=0.4............4分

(II)Z=0,l,2,3............5分

RX?0)?04'?0064,

RX?1)?C;06043-0288,

P(jr-2)-C;06:04-0432,

P(Jr-3)-06J-0.216,

所以JT的分布列為

X01-13

P0.0640.2880.4320.216

......................9分所以

ZT=0x0,0064+1x0.288+2x0.432+3x0.216=1.8...........n分

(III)可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.

因?yàn)橐郧按丝钐鹌返娜珍N售量大于70個(gè)的頻率為0.2,

現(xiàn)在30天中有20天銷售量大于70個(gè),其頻率三=二遠(yuǎn)大于改進(jìn)前,

303

所以可以認(rèn)為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.......13分

(也可認(rèn)為無法確定有無變化,30天中有20天銷售量大于70個(gè)是隨機(jī)事件,

按之前頻率估計(jì)計(jì)算30天中有20天銷售量大于70個(gè)的概率比較小,一般

不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化)

(19)(共15分)

a=2,

解:(I)由題設(shè),

所以。的方程為二+匚=L.............5分

43

(II)法一:

設(shè)Rs,."),所以22_+二=1(一2<.q<2,xo*0)............6分

43

所以%萩=上「,......7分

<0-2

直線月P的方程為......8分

q--

令1?0,得J'M?二^■......9分

VO--

又%??”],......10分

%+1

直線RP的方程為『=±7。+1).............11分

v0+1

令X=0,得J‘N■],............12分

所以10MQNITTII旦j.

VO-2,v0+1

所以2即一爭9,............14分

&_4馬+。彳

所以?翱-甘)J,

.2+v3

所以I—r0l=T-

v0+12

所以-1,M—一丁......15分

法二:

由題意直線心斜率存在,且不為0,設(shè)直線月尸的方程為j-k(x-2).

............6分

令X-0,得......7分

由二一)’得(4方+3)K:-16》K+16*:-12?0.............8

3x+4r=12,

易得d>D?設(shè)網(wǎng)跖Jo)<。跖-0),則Jo—鼠跖-2),..........9

況.…「所以》?齊。......10分

4<*+34/r+3

直線收的方程為.r-&(x+l)...........11分

.,o+1

_4k2jt2Q

所以10Ml.|ON|=|-”||滅口H布口卜彳..............13分

所以%2=2,川=2...........14分

468

所以.q-1,M...........15分

(20)(共15分)

解:(I)當(dāng)左=-1時(shí),/(.、)■\ln(\+l)+x,

所以/5)=ln(:v+l)+」一+l...........2分

r+1

所以/【0)=1...........3分

所以直線7的傾斜角為N.......4分

4

(II)因?yàn)?卜)=ln(x+l)+二一人......5分

x+1

所以f(0)=-匕......6分

所以直線i的方程為『--云?,......7分

令網(wǎng)x)=/(D-(-A)=rln(x+l)...........8分

法一:

當(dāng)-1<K<0時(shí),hi(:v+l)<:0,

所以M(x)?xln(x+l)>0.

當(dāng)x>。時(shí),13+1)>0,

所以網(wǎng)x)=x旗K+1)>0,..........9分

所以網(wǎng)x)=xln(x+1)>°對x>-1且X/0成立,

即除切點(diǎn)(0,7(0))之外,曲線。在直線i的上方.......10分

法二:

因?yàn)閎(r)=kKx+l)+」一,

x+l

所以時(shí),ln(K+l)<a-^-<0.^.v)-hXx+l)+—<0

X+lx+l

\>0時(shí),111('+1)>0,上>0,71(.v)-hXv+l)+->0,

x+lx+l

F<x)與歹(K)的變化情況如下表:

A(-1.0)□(0,+a>)

尸(X)-C+

網(wǎng)X)/

..........9分

所以,函數(shù)網(wǎng)')在K=o處取得最小值。,

所以改x)-Kln(x+1)>0對X>-1且rw0成立,

即除切點(diǎn)(0,加0))之外,曲線C在直線i的上方.

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