2024-2025學年北京市高三年級上冊入學定位考試數(shù)學檢測試題（含答案）

2024-2025學年北京市高三上學期入學定位考試數(shù)學檢測試題

本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上

作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目

要求的一項。

(1)已知集合則Qg=

(A)(-1.2)(B)(1,3)

(C)[-1.0,1}(D)0,2,3}

(2)已知復數(shù)二滿足i==-l+i,則門

(A)-1-i(B)~1+i

(C)1-i(D)1+1

（3）已知拋物線。:r=41,則拋物線。的焦點到其準線的距離為

(A)1(B)2

(C)3(D)4

（4）在（、+的展開式中，常數(shù)項為

(A)4(B)12

(C)24(D)36

(5)已知等比數(shù)列{qj滿足q+%?5,%-2,貝!!{4}的公比為

(B)_c或L

或---

(A)_c-、—.

（C）2或一；(D)r或L

一o

（6）已知函數(shù)/（K）=SinT8SK.若戈■由時，f（K）取得最大值，則小的值可能是

(A)—(B)-

124

(C)-(D)-

32

（7）如圖，在四棱錐p一乂BCD中，R1J"平面4BCD，底面4BCD是邊長為1的正方形,

PA=B則點p到直線助的距離為PK

(A)J?

(c)正

1：iBN

(8)若圓f-3+6y-0的圓心到工軸、丁軸的距離相等，貝Ua=

(A)2(B)3

(c)+3(D)±6

(9)已知單位向量a,b,貝u“alb”是“任意4eR,都有|a-明=|浙+葉'的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(O充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(10)設(shè)集合0K,)［二對于集合M的子集力，若任取乂中

兩個不同元素0\,心小,工,),仁二二二)，有「+「+『；+.r,=工+二：+工+二「且

j+二」?+二；，八+二“果+二4中有且只有一個為2,則稱&是一個“好子集”.下列結(jié)論

正確的是

(A)一個“好子集”中最多有3個元素(B)一個“好子集”中最多有4個元素

(C)一個“好子集”中最多有6個元素(D)一個“好子集”中最多有8個元素

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)函數(shù)/'(X)=-4的定義域為.

C

(12)已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正

方形的邊長為1，貝U|?i+R=；(a-bc=.

22

(13)已知雙曲線力：二-匚?1(其中a>0)的右焦點為以2,0),貝I

CT3

。?________,方的離心率為.

(14)函數(shù)/0)?字2是奇函數(shù)，且對任意i€R成立，則滿足條件的一組值可

x*+l

以是Q=,b=.

(15)在棱長為2的正方體幺中，點及歹分別為棱的中點.點尸為正

方體表面上的動點，滿足4P_LE尸.給出下列四個結(jié)論：

①線段4P長度的最大值為？JJ；------/

②存在點尸，使得DP"EF；iL

③存在點尸，使得BP?DP；\AI/

④△￡尸尸是等腰三角形.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。

(16)(本小題14分)

如圖，在直三棱柱4中，乙4cB為直角，側(cè)面為正方形，

AC=BC=2^D3分別為須，月。:的中點.

（I）求證：QE〃平面BBCC；

（II）求證：ACLDE^

（III）求直線幺（7與平面BDE所成角的正弦值.

（17）（本小題13分）

已知乙出？為銳角三角形，且匕?7，aanB-4^/3-

（I）求$in4的值；

（II）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求MBC的周長.

條件①：。=8；

條件②：B-j；

條件③：c?5.

注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.

（18）（本小題13分）

某甜品店為了解某款甜品的銷售情況，進而改變制作工藝，根據(jù)以往的銷售記錄，繪制

了日銷售量的頻率分布直方圖，如右圖所示.假設(shè)每天的

銷售量相互獨立，用頻率估計概率.

（I）估計某一天此款甜品銷售量不超過60個的概率；

0.03........

（II）用N表示在未來3天里，此款甜品日銷售量多于002-----------

0.01---1-

60個的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；°匕1p土一舄口而售址（個）

（III）該店改變了制作工藝以后，抽取了連續(xù)30天的銷售記錄，發(fā)現(xiàn)這其中有20天的銷售量

都大于70個，問：根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為改變工藝后，此款甜品的銷售情況發(fā)生了

變化，說明理由.

(19)(本小題15分)

rr1(。>3>0)的右頂點為42,0)，上頂點為5(0,JI).

己知橢圓。7+F

(I)求橢圓C的方程;

(II)橢圓。的左焦點為尸,點p為橢圓。上不同于頂點的一點，直線4P,即與「軸的交

點分別為A/,N,若|OM|,|0N|=：，求點尸的橫坐標.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=xln(x+l)-h-,直線：是曲線丁?/(X)在點(0J(0))處的切線.

(I)當k=-l時，求直線，的傾斜角；

(II)求證：除切點(0,/(0))之外，曲線在直線；的上方；

(III)若函數(shù)/(x)在(0.+8)上單調(diào)遞增，求上的取值范圍.

(21)(本小題15分)

己知數(shù)歹！J｛qJ滿足％=。嗎="％廣14卜&?，其中a/eZ,ab*0.

(I)當a=-，b=-l時，求知.%的值；

(II)求證：｛q｝不是單調(diào)遞增數(shù)列；

(III)是否存在a力，使得a：+a：+a；+a』+a.+a,+a.+。'=0,若存在,求出a,b的值;

若不存在，說明理由.

數(shù)學答案

一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

(1)C(2)D(3)B(4)A(5)D

(6)B(7)D(8)C(9)C(10)A

二、填空題（共5小題，每小題5分,共25分）

(11)(-OO-2]U[2,+OO)(12)4

(13)12(14)10（答案不唯一）

(15)①③④

說明:12,13,14題都是第一個空3分，第二個2分;

15題對一個給1分，對兩個給3分，全對給5分，如果有錯的，則給0分。

三、解答題（共6小題，共85分）

(16)(共14分)

解：（I）連接在A松G中,

因為DE分別為月B，ng的中點,

所以》〃Bq.2分

又平面8Gu平面BBC；。

所以DE4平面BECC-4分

（II）因為直三棱柱觸。-RBC

所以CC」平面,

所以0c_L40,

......5分

又44cB為直角，

所以......6分

又Ecny-c

所以HC_L平面BBC?，......7分

所以次？_LBC,

由（I）DE//BC.,

所以4C1DE.......8分

（III）建立空間直角坐標系C-4BC1，......9分

則0(000),4(2.0,0),及(0,2,2),D(l,l,O).￡(1.0.1)

因此章=（!?_?,-1），D?=（0,-l,l）-

設(shè)平面B^DE的法向量為〃=（x,J二），則

""=J;r—=°'即[:匕,………11分

[n~DE=-y+z=O,口'=二

令二=1，于是"?(3,1,1).............12分

設(shè)直線力。與平面BDE所成角為8.

=一，?行.、?AC33\TT八

所以silld=cos(AO,〃)=------------=—=———.............14分

imi^i而11

（17）（共13分）

解：（I）由正弦定理」一?」_,......3分

sinAsinB

所以々sinB-bsinH..............4分

代入得〃sinB=7sm乂=473

所以sm>l=￡l..............5分

7

（H）選擇條件①：a=8..............6分

因為sin4=士叱■,所以CO$4??±L............8分

77

因為幺為銳角，所以cos4-g............9分

由余弦定理標=標+《二一2bccosyl,.............11分

代入得到64=49+5-）7,c1

所以c'-i-15=0-

解得。=5,c=-3（舍）.......12分

所以"BC的周長為20.............13分

選擇條件②.8?守......6分

因為a$inB=46'所以.....7分

所以a?S,以下同選擇①.

選擇條件③：c?5?............6分

因為sin力■士叵，所以cos4?±1.............8分

77

因為4為銳角，所以8s4-7...........9分

由余弦定理，=82+/一2bcCOSJ4?...........11分

代入得到J?49+25-：!，751

所以。=8,...........12分

所以.的周長為20............13分

（18）（共13分）

解：（I）設(shè)事件月為“某一天此款甜品銷售量不超過60個”，......1分

所以R4）=@01+003）10=0.4............4分

(II)Z=0,l,2,3............5分

RX?0)?04'?0064，

RX?1)?C；06043-0288，

P(jr-2)-C；06：04-0432,

P(Jr-3)-06J-0.216，

所以JT的分布列為

X01-13

P0.0640.2880.4320.216

......................9分所以

ZT=0x0,0064+1x0.288+2x0.432+3x0.216=1.8...........n分

(III)可以認為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.

因為以前此款甜品的日銷售量大于70個的頻率為0.2,

現(xiàn)在30天中有20天銷售量大于70個，其頻率三=二遠大于改進前，

303

所以可以認為此款甜品的銷售情況發(fā)生了變化.......13分

（也可認為無法確定有無變化，30天中有20天銷售量大于70個是隨機事件，

按之前頻率估計計算30天中有20天銷售量大于70個的概率比較小，一般

不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化）

(19)(共15分)

a=2,

解：（I）由題設(shè)，

所以。的方程為二+匚=L.............5分

43

(II)法一：

設(shè)Rs，.")，所以22_+二=1(一2<.q<2,xo*0)............6分

43

所以%萩=上「，......7分

<0-2

直線月P的方程為......8分

q--

令1?0,得J'M?二^■......9分

VO--

又％??”]，......10分

%+1

直線RP的方程為『=±7。+1).............11分

v0+1

令X=0,得J‘N■]，............12分

所以10MQNITTII旦j.

VO-2,v0+1

所以2即一爭9,............14分

&_4馬+。彳

所以?翱-甘)J,

.2+v3

所以I—r0l=T-

v0+12

所以-1,M—一丁......15分

法二：

由題意直線心斜率存在，且不為0,設(shè)直線月尸的方程為j-k(x-2).

............6分

令X-0,得......7分

由二一)’得(4方+3)K：-16》K+16*：-12?0.............8

3x+4r=12,

分

易得d>D?設(shè)網(wǎng)跖Jo)<。跖-0)，則Jo—鼠跖-2)，..........9

分

況.…「所以》?齊。......10分

4<*+34/r+3

直線收的方程為.r-&(x+l)...........11分

.，o+1

分

_4k2jt2Q

所以10Ml.|ON|=|-”||滅口H布口卜彳..............13分

所以％2=2,川=2...........14分

468

所以.q-1,M...........15分

(20)(共15分)

解：(I)當左=-1時，/(.、)■\ln(\+l)+x,

所以/5)=ln(:v+l)+」一+l...........2分

r+1

所以/【0)=1...........3分

所以直線7的傾斜角為N.......4分

4

(II)因為/卜)=ln(x+l)+二一人......5分

x+1

所以f(0)=-匕......6分

所以直線i的方程為『--云?,......7分

令網(wǎng)x)=/(D-(-A)=rln(x+l)...........8分

法一：

當-1<K<0時，hi(:v+l)<:0,

所以M(x)?xln(x+l)>0.

當x>。時，13+1)>0,

所以網(wǎng)x)=x旗K+1)>0,..........9分

所以網(wǎng)x)=xln(x+1)>°對x>-1且X/0成立，

即除切點(0,7(0))之外，曲線。在直線i的上方.......10分

法二:

因為b(r)=kKx+l)+」一,

x+l

所以時，ln(K+l)<a-^-<0.^.v)-hXx+l)+—<0

X+lx+l

\>0時，111('+1)>0,上>0，71(.v)-hXv+l)+->0,

x+lx+l

F<x）與歹（K）的變化情況如下表:

A(-1.0)□(0,+a>)

尸（X）-C+

網(wǎng)X）/

..........9分

所以，函數(shù)網(wǎng)'）在K=o處取得最小值。，

所以改x）-Kln（x+1）>0對X>-1且rw0成立,

即除切點（0,加0））之外，曲線C在直線i的上方.