第九章 概率數(shù)學(xué)

第九章概率目錄TOC\o"1-2"\h\u知識梳理 1考點精講精練 2考點一：隨機(jī)事件與概率 2考點二：事件的相互獨立性 4考點三：頻率與概率 6概率實戰(zhàn)訓(xùn)練 81、概率與頻率一般地,隨著試驗次數(shù)的增大,頻率偏離概率的幅度會縮小,即事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率.我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性.因此,我們可以用頻率來估計概率.

2、古典概型試驗具有如下共同特征：(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；(2)等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．我們將具有以上兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．3、古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.其中，和分別表示事件和樣本空間包含的樣本點個數(shù)．4、概率的基本性質(zhì)（性質(zhì)1、性質(zhì)2、性質(zhì)5）性質(zhì)1：對任意的事件，都有；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即，；性質(zhì)5：如果，那么，由該性質(zhì)可得，對于任意事件，因為，所以.5、互斥事件的概率加法公式（性質(zhì)3）性質(zhì)3：如果事件與事件互斥，那么；注意：只有事件與事件互斥，才可以使用性質(zhì)3，否則不能使用該加法公式.6、對立事件的概率（性質(zhì)4）性質(zhì)4：如果事件與事件互為對立事件，那么，；7、相互獨立事件對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立(mutuallyindependent)，簡稱為獨立．性質(zhì)1：必然事件、不可能事件與任意事件相互獨立性質(zhì)2：如果事件與相互獨立，則與，與，與也相互獨立則：，，考點一：隨機(jī)事件與概率真題講解例題1．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）明明同學(xué)打靶時連續(xù)射擊三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有兩次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶例題2．（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從5張分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的卡片中隨機(jī)抽取1張，則所取卡片上的數(shù)字是奇數(shù)的概率是（

）A． B． C． D．例題3．（2023·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）已知某運(yùn)動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方式估計該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機(jī)產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下12組隨機(jī)數(shù)：，據(jù)此估計，該運(yùn)動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A． B． C． D．例題4．（多選）（2023秋·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋中有大小和質(zhì)地均相同的5個球，其中2個紅球，3個黑球．現(xiàn)從中隨機(jī)摸取2個球，下列結(jié)論正確的有（

）A．“恰有一個紅球”和“都是紅球”是對立事件B．“恰有一個黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少有一個黑球”和“都是紅球”是對立事件D．“至少有一個紅球”和“都是紅球”是互斥事件例題5．（2023·天津·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的分別選派3，1，2名運(yùn)動員參加某次比賽，甲協(xié)會運(yùn)動員編號分別為，，，乙協(xié)會編號為，丙協(xié)會編號分別為，，若從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽.(1)寫出這個試驗的樣本空間及樣本點總數(shù)；(2)求丙協(xié)會至少有一名運(yùn)動員參加雙打比賽的概率；(3)求參加雙打比賽的兩名運(yùn)動員來自同一協(xié)會的概率.真題演練1．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）口袋中有個大小相同的紅球、白球、黑球，其中紅球個，從口袋中摸出一個球，摸出白球的概率為，則摸出黑球的概率為（

）．A． B． C． D．2．（2023春·福建·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“敬驊號”列車一排共有A、B、C、D、F五個座位，其中A和F座是靠窗位，若小曾同學(xué)想要坐靠窗位，則購票時選到A或F座的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個盒子中裝有紅、黃、白三種顏色的球若干個，從中任取一個球，已知取到紅球的概率為，取到黃球的概率為，則取到白球的概率為（

）A． B． C． D．4．（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某銀行客戶端可通過短信驗證碼登錄，驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數(shù)字隨機(jī)組成（如“0013”）．用戶使用短信驗證碼登錄該客戶端時，收到的驗證碼的最后一個數(shù)字是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．5．（2023春·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從3名男生和2名女生中隨機(jī)選出2人參加社區(qū)志愿者活動，每人被選到的可能性相同．(1)寫出試驗的樣本空間；(2)設(shè)M為事件“選出的2人中恰有1名男生和1名女生”，求事件M發(fā)生的概率．考點二：事件的相互獨立性真題講解例題1．（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名射擊運(yùn)動員進(jìn)行射擊比賽，甲中靶的概率為，乙中靶的概率為0.9，且兩人是否中靶相互獨立．若甲、乙各射擊一次，恰有一人中靶的概率為0.26，則（

）A．兩人都中靶的概率為0.63 B．兩人都中靶的概率為0.70C．兩人都中靶的概率為0.72 D．兩人都中靶的概率為0.74例題2．（2023·江西宜春·高一江西省宜豐中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）從高一（男、女生人數(shù)相同,人數(shù)很多）抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，記事件A為“三名學(xué)生都是女生”，事件B為“三名學(xué)生都是男生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生”，事件D為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下錯誤的是（

）A． B．C．事件A與事件B互斥 D．事件A與事件C對立例題3．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋內(nèi)裝有質(zhì)地、大小完全相同的6個球，其中紅球3個、白球2個、黑球1個，現(xiàn)從中任取兩個球.對于下列各組中的事件A和事件B：①事件A：至少一個白球，事件B：都是紅球；②事件A：至少一個白球，事件B：至少一個黑球；③事件A：至少一個白球，事件B：紅球、黑球各一個；④事件A：至少一個白球，事件B：一個白球一個黑球.是互斥事件的是.（將正確答案的序號都填上）例題4．（2023春·浙江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）浙江某公司有甲乙兩個研發(fā)小組，它們開發(fā)一種芯片需要兩道工序，第一道工序成功的概率分別為和.第二道工序成功的概率分別為和.根據(jù)生產(chǎn)需要現(xiàn)安排甲小組開發(fā)芯片A，乙小組開發(fā)芯片B，假設(shè)甲、乙兩個小組的開發(fā)相互獨立.(1)求兩種芯片都開發(fā)成功的概率；(2)政府為了提高該公司研發(fā)的積極性，決定只要有芯片研發(fā)成功就獎勵該公司500萬元，求該公司獲得政府獎勵的概率.例題5．（2023·云南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，甲、乙成功破譯的概率分別為.(1)求甲?乙都成功破譯密碼的概率；(2)求至少有一人成功破譯密碼的概率.真題演練1．（2023春·新疆·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，若甲中靶的概率為0.6，乙中靶的概率為0.3，甲、乙射擊是否中靶相互獨立，則至少有一人中靶的概率為（

）A．0.9 B．0.72C．0.28 D．0.182．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．甲先投且先投中者獲勝，約定有人獲勝或每人都已投球2次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．則投籃結(jié)束時，乙只投了1個球的概率為（

）A． B． C． D．3．（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某人參與一種答題游戲，需要解答三道題．已知他答對這三道題的概率分別為p，p，，且各題答對與否互不影響，若他全部答對的概率為．(1)求p的值；(2)若至少答對2道題才能獲獎，求他獲獎的概率．4．（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名運(yùn)動員進(jìn)行投籃比賽，已知甲投中的概率為，乙投中的概率為，甲、乙投中與否互不影響，甲、乙各投籃一次，求下列事件的概率(1)兩人都投中；(2)甲、乙兩人有且只有1人投中.5．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在一次猜燈謎活動中，共有20道燈謎，兩名同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了15個，乙同學(xué)猜對了8個．假設(shè)猜對每道燈謎都是等可能的，設(shè)事件為“任選一燈謎，甲猜對”，事件為“任選一燈謎，乙猜對”．（1）任選一道燈謎，記事件為“恰有一個人猜對”，求事件發(fā)生的概率；（2）任選一道燈謎，記事件為“甲、乙至少有一個人猜對”，求事件發(fā)生的概率．考點三：頻率與概率真題講解例題1．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）王老師對本班40名學(xué)生報名參與課外興趣小組（每位學(xué)生限報一個項目）的情況進(jìn)行了統(tǒng)計，列出如下的統(tǒng)計表，則本班報名參加科技小組的人數(shù)是（）組別數(shù)學(xué)小組寫作小組體育小組音樂小組科技小組頻率0.10.20.30.150.25A．10人 B．9人 C．8人例題2．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）下列說法正確的是()A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽5場，甲勝3場B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為10%，前9個病人沒有治愈，則第10個病人一定治愈C．隨機(jī)試驗的頻率與概率相等D．天氣預(yù)報中，預(yù)報明天降水概率為90%，是指降水的可能性是90%例題3．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一個容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)的分組與各組的頻數(shù)如下表：組別[0，10)[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]頻數(shù)1213241516137則樣本數(shù)據(jù)落在[10，40)上的頻率為.例題4．（2023春·寧夏銀川·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某中學(xué)為了解高二學(xué)生的體質(zhì)情況，在一次體質(zhì)測試中，隨機(jī)抽取了10名男生的引體向上測試成績?nèi)缦拢?，7，8，10，10，12，12，15，20，21(1)求這10名同學(xué)引體向上的中位數(shù)和平均數(shù)；(2)如果15個（含15）以上為優(yōu)秀，估計該校男生引體向上的優(yōu)秀率.真題演練1．（2023·山西·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的合格率是99.99%，這說明（

）A．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中不合格的產(chǎn)品一定有1件B．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中合格的產(chǎn)品一定有9999件C．該廠生產(chǎn)的10000件產(chǎn)品中沒有不合格的產(chǎn)品D．該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格的可能性是99.99%2．（2023春·天津河北·高二學(xué)業(yè)考試）對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20，25)上的為一等品，在區(qū)間[15，20)和區(qū)間[25，30)上的為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35]上的為三等品.用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()

A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.453．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）在一次拋硬幣的試驗中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了40次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（

）A．0.4，0.4 B．0.5，0.5 C．0.4，0.5 D．0.5，0.44．（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）為了估計某校的某次數(shù)學(xué)期末考試情況，現(xiàn)從該校參加考試的600名學(xué)生中隨機(jī)抽出60名學(xué)生，其成績（百分制）均在上．將這些成績分成六段，，…，后得到如下部分頻率分布直方圖．

(1)求抽出的60名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)；(2)若規(guī)定成績不小于85分為優(yōu)秀，則根據(jù)頻率分布直方圖，估計該校的優(yōu)秀人數(shù)．第九章概率實戰(zhàn)訓(xùn)練一、單選題1．（2023春·湖南·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某中學(xué)高二年級從甲、乙兩個紅色教育基地和丙、丁兩個勞動實踐基地中選擇一個進(jìn)行研學(xué)，則選擇紅色教育基地的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南衡陽·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）有一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶3．（2023春·安徽馬鞍山·高二安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）從2名男生和2名女生中任選2人參加社區(qū)活動，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“恰有1名男生”與“全是男生”B．“至少有1名男生”與“全是女生”C．“至少有1名男生”與“全是男生”D．“至少有1名男生”與“至少有1名女生”4．（2023·湖南長沙·高二長郡中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）已知，，如果，那么（

）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.35．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試）從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（

）A．至少有一個白球與都是紅球 B．恰好有一個白球與都是紅球C．至少有一個白球與都是白球 D．至少有一個白球與至少一個紅球6．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知袋中有大小、形狀完全相同的5張紅色、2張藍(lán)色卡片，從中任取3張卡片，則下列判斷不正確的是（

）A．事件“都是紅色卡片”是隨機(jī)事件B．事件“都是藍(lán)色卡片”是不可能事件C．事件“至少有一張藍(lán)色卡片”是必然事件D．事件“有1張紅色卡片和2張藍(lán)色卡片”是隨機(jī)事件7．（2023·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某旅游愛好者想利用假期去國外的2個城市和國內(nèi)的3個城市旅游，由于時間所限，只能在這5個城市中選擇兩個為出游地．若他用“抓鬮”的方法從中隨機(jī)選取2個城市，則選出的2個城市都在國內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．8．（2023·上?！じ呷y(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某射手在一次射擊中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)的概率分別是0.2，0.3，0.1，則該射手在一次射擊中不夠8環(huán)的概率為（

）A．0 B．0.3 C．0.6 D．0.49．（2023春·河北·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某校對高一新生進(jìn)行體能測試（滿分100分），高一（1）班有40名同學(xué)成績恰在內(nèi)，繪成頻率分布直方圖（如圖所示），從中任抽2人的測試成績，恰有一人的成績在內(nèi)的概率是（

）A． B． C． D．10．（2023春·河北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從2022年北京冬奧會、冬殘奧會志愿者的30000人中隨機(jī)抽取10人，測得他們的身高分別為（單位：cm）：162、153、148、154、165、168、172、171、170、150，根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，在所有志愿者中任抽取一人身高在155.5cm－170.5cm之間的人數(shù)約為（

）A．18000 B．15000 C．12000 D．1000011．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件{抽到一等品}，事件{抽到二等品}，事件{抽到三等品}，且已知，，，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為（

）A． B．C． D．12．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）從一批產(chǎn)品中取出三件，設(shè)“三件產(chǎn)品全不是次品”，“三件產(chǎn)品全是次品”，“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是（

）.A．A與C互斥 B．B與C互斥 C．任兩個均互斥 D．任兩個均不互斥13．（2023·重慶·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）袋中有4個紅球，5個白球，6個黃球，從中任取1個，則取出的球是白球的概率為（）A． B． C． D．14．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩名同學(xué)參加一項射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分．若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為．假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則值為A． B． C． D．二、填空題15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）城區(qū)某道路上甲、乙、丙三處設(shè)有信號燈，汽車在這三處因遇綠燈而通行的概率分別為，，則汽車在這三處因遇紅燈或黃燈而停車一次的概率為．16．（2023·河北·高三學(xué)業(yè)考試）一個袋子中有5個紅球，3個白球，4個綠球，8個黑球，如果隨機(jī)地摸出一個球，記{摸出黑球}，{摸出白球}，{摸出綠球}，{摸出紅球}，則；；.17．（2023春·天津南開·高一學(xué)業(yè)考試）甲、乙兩人