八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)三角形的角平分線知識(shí)點(diǎn)和典型習(xí)題分類附答案

八年級(jí)數(shù)學(xué)·暑假預(yù)習(xí)課 呂忠皓編第第頁第5講三角形的角平分線基本知識(shí)（熟記，會(huì)畫圖，要提問。）角的平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等。如何證明？角的平分線的判定：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。如何證明？三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)心的性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。如何證明？【角的平分線的性質(zhì)】【基本題型】【易】如圖，鐵路OA和鐵路OB交于O處，河道AB與鐵路分別交于A處和B處，試在河岸上建一座水廠M，要求M到鐵路OA，OB的距離相等，則該水廠M應(yīng)建在圖中什么位置？請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出M點(diǎn)的位置．

【易】如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足為E、F，求證：EB=FC．【易】如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，P是AD上的一點(diǎn)，PE//AB，交BC于點(diǎn)E，PF//AC，交BC于點(diǎn)F。求證：點(diǎn)D到PE和PF的距離相等?！局小恳阎喝鐖D，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點(diǎn)F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF=EF．【中】如圖，∠1=∠2，AE⊥OB于點(diǎn)E，BD⊥OA于點(diǎn)D．AE，BD交于點(diǎn)C，試說明AC=BC．【中】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，則EF與AD的關(guān)系是______．【中】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF．求證：

（1）CF=EB；

（2）∠CBA+∠AFD=180°．

【中】【周長(zhǎng)】如圖，三角形紙片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，AC⊥BC，DE⊥AB，求△ADE的周長(zhǎng)．【中】【周長(zhǎng)】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AB=6cm．求△BDE的周長(zhǎng)．【中】【面積】如圖：在△ABC中，AD是它的角平分線．求證：S△ABD：S△ACD=AB：AC；S△ABD：S△ACD=DB：DC；AB：AC=DB：DC．

【中】【面積】如圖，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E點(diǎn)，△ABC的面積等于90，AB=18，BC=12，則DE等于______．【中】【面積】如圖，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，則△ABD的面積是_________．【中】【面積】如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是______．

【難】【用角的平分線構(gòu)造全等直角三角形】如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD，說明:∠B+∠D=180°．【難】【用角的平分線構(gòu)造全等直角三角形】已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＞AD，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．

求證：CD=CB．

【難】【用角的平分線構(gòu)造全等直角三角形】在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且∠EDF+∠EAF=180°，求證：DE=DF．參考答案作AOB的平分線，交AB于點(diǎn)M。提示：先證DE=DF，再證△BDE≌△CDF即可，或者用勾股定理也行。提示：利用平分得到同位角相等，再用角的平分線的性質(zhì)即可。提示：先證△ODP≌△OEP，再證△DPF≌△EPF即可。提示：先用角平分線證明CD=CE，再證△ACD≌△BCE。提示：EF⊥AD，由垂直證明直角，得∠ADE=∠ADF，由角的平分線證DE=DF，再證△DEG≌△DFG，得∠DGE=∠DGF，再由鄰補(bǔ)角的關(guān)系可證∠DGE=90°。提示：（1）證△CDF≌△EDB即可（2）由前一問的全等可得∠CBA=∠CFD，再由∠CFD+∠AFD=180°可證。提示：用角平分線的性質(zhì)和三角形全等，7cm。提示：先證CD=DE，得△BDE的周長(zhǎng)=BE+BC，再證△ACD≌△AED，得AE=AC，從而BC=AE，△BDE的周長(zhǎng)=BE+AE=AB=6cm。提示：（1）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DFAC于點(diǎn)F，則DE=DF，；（2）過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則，（3）由前兩問的結(jié)論可得之。提示：作DF⊥BC于點(diǎn)F，則DE=DF。因?yàn)?，故將題中數(shù)字代入下式即可，。提示：作DE⊥AB于點(diǎn)E，則DE=CD=2，OK。提示：與第6題思路一樣。提示：作CF垂直BC于F，CE垂直AD的延長(zhǎng)線于E，則CE=CF，再證△CDE≌△CBF，得∠CDE=∠B。提示：輔助線同上題，用∠B+∠D=180°證∠CDE=∠B，再證△CDE≌△CBF，完事。提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AB于H，再證△DEH≌△DFG即可?！窘瞧椒志€的判定】【中】如圖，已知AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D、E，CD與BE相交于點(diǎn)F，求證：AF平分∠BAC．

【中】如圖，已知BF=CF，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為點(diǎn)D、E，CD與BE相交于點(diǎn)F，求證：AF平分∠BAC．【中】已知：如圖，BF⊥AC于點(diǎn)F，CE⊥AB于點(diǎn)E，且BD=CD．求證：△BDE≌△CDF；點(diǎn)D在∠A的平分線上．【中】如圖，銳角△ABC的兩條高BD、CE相交于點(diǎn)O，且OB=OC．求證：OA平分∠BAC．

【中】如圖，BE=CF，DE⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，且DB=DC，求證：AD是∠BAC的平分線．

【中】如圖，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于點(diǎn)C．

求證：點(diǎn)C在∠AOB的平分線上．參考答案提示：先證△AEB≌△ADC（AAS），得AE=AD．再證Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），得∠DAF=∠EAF。提示：證△BDF≌△CEF（AAS），得DF=EF即可。提示：（1）由AAS可證；（2）由△BDE≌△CDF得DE=DF，可證。提示：先證△OBE≌△OCD，得OD=OE即可。提示：用HL證△BED≌△CFD，得DE=DF即可。提示：用SAS證△OME≌△OND，用AAS證△DMC≌△ENC，作CG⊥OA于G，CF⊥OB于F，用AAS證△CGM≌△CFN，得CG=CF即可?！窘瞧椒志€的交點(diǎn)】【易】【等距離問題】如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于O．

（1）求證：點(diǎn)O到三邊AB、BC、CA的距離相等；（2）點(diǎn)O在∠A的平分線上嗎？【易】【等距離問題】某市有一塊有三條公路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在綠地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三條公路的距離相等，試確定小亭的中心位置．【易】【等距離問題】如圖，△ABC的∠ABC的外角的平分線BD與∠ACB的外角的平分線CE相交于P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA所在的直線的距離相等．【易】【等距離問題】如圖，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，連接AD．求證：AD是∠BAC的外角平分線．

【中】【平行線+角平分線】如圖，∠B=∠C=90°，E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC，求證：∠EAB=∠EAD．【中】【平行線+角平分線】如圖，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)．探索AB，AD和BC的關(guān)系，并證明之．【中】【平行線+角平分線】如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為_____，∠APB=_____．參考答案提示：（1）過O作AB，AC，BC的垂線段，證明這三條線段相等即可。提示：作三角形兩角的平分線，交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。提示：過點(diǎn)P作兩外角的各邊的垂線段，證各線段均相等。提示：過點(diǎn)P作兩外角的各邊的垂線段，證各線段均相