湖北省武漢市鋼城四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

湖北省武漢市鋼城四中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.2．九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智游戲，它由九個(gè)鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動(dòng)圓環(huán)的次數(shù)決定解開(kāi)圓環(huán)的個(gè)數(shù).在某種玩法中，用表示解開(kāi)n（，）個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，若數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，則解開(kāi)5個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為（）A.10 B.16C.21 D.223．為發(fā)揮我市“示范性高中”的輻射帶動(dòng)作用，促進(jìn)教育的均衡發(fā)展，共享優(yōu)質(zhì)教育資源．現(xiàn)分派我市“示范性高中”的5名教師到，，三所薄弱學(xué)校支教，開(kāi)展送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，每所學(xué)校至少分派一人，其中教師甲不能到學(xué)校，則不同分派方案的種數(shù)是（）A.150 B.136C.124 D.1004．在中，角所對(duì)的邊分別為，，，則外接圓的面積是（）A. B.C. D.5．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對(duì)于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.46．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.7．將點(diǎn)的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B.C. D.8．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的遞增區(qū)間是（）A. B.和C. D.和10．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.11．德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.9912．“”是“直線和直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的離心率______.14．設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____15．若，，都為正實(shí)數(shù)，，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)_____16．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《算法九章·商功》中，后人稱之為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……設(shè)各層（從上往下）球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令求數(shù)列的前n項(xiàng)和；18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.19．（12分）某中學(xué)共有名學(xué)生，其中高一年級(jí)有名學(xué)生，為了解學(xué)生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個(gè)年級(jí)中抽取了名學(xué)生，依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時(shí)間（單位：小時(shí)），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)及圖中的值；（2）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計(jì)全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).20．（12分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為.（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)且與橢圓E交于兩點(diǎn).求的最大值.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點(diǎn)為此拋物線上的一點(diǎn)，.直線l與拋物線交于異于N的兩點(diǎn)A，B，且.（1）求拋物線方程和N點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】設(shè)AA1=2AB=2，因?yàn)?，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.2、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合數(shù)列遞推公式，代入計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，由，得.故選：D.3、D【解析】對(duì)甲所在組的人數(shù)分類(lèi)討論即得解.【詳解】當(dāng)甲一個(gè)人去一個(gè)學(xué)校時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有兩個(gè)老師時(shí)，有種；當(dāng)甲所在的學(xué)校有三個(gè)老師時(shí)，有種；所以共有28+48+24=100種.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：排列組合常用方法有：簡(jiǎn)單問(wèn)題直接法、小數(shù)問(wèn)題列舉法、相鄰問(wèn)題捆綁法、不相鄰問(wèn)題插空法、至少問(wèn)題間接法、復(fù)雜問(wèn)題分類(lèi)法、等概率問(wèn)題縮倍法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.4、B【解析】利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，即求.【詳解】因?yàn)?，所以，由余弦定理得，，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正統(tǒng)定理得，，所以，所以外接圓的面積是.故選：B.5、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運(yùn)算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個(gè)基底，則與共線或與其中有一個(gè)為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對(duì)于任意非零空間向量，，若，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯(cuò)誤.故選：C6、D【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標(biāo)，求出切點(diǎn)到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點(diǎn)為，點(diǎn)到直線的最小距離.故選：D.7、A【解析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A8、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計(jì)算即可.【詳解】以過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：C.9、C【解析】求導(dǎo)后，由可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的增區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】根據(jù)交集的概念和運(yùn)算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.11、C【解析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C12、A【解析】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以或，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷得解.【詳解】因?yàn)椤爸本€和直線垂直，所以或.當(dāng)時(shí)，直線和直線垂直；當(dāng)直線和直線垂直時(shí)，不一定成立.所以是直線和直線垂直的充分不必要條件，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)雙曲線方程直接可得離心率.【詳解】由，可得，，故，離心率，故答案為：.14、##【解析】求出、的值，即可求得橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，則，因此，該橢圓的離心率為.故答案為：.15、##【解析】利用等比中項(xiàng)及條件可得，進(jìn)而可得，再利用基本不等式即得.【詳解】∵，，都為正實(shí)數(shù)，，，成等比數(shù)列，∴，又，∴，即，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào).故答案為：.16、①.②.【解析】根據(jù)，，得到，利用累加法和等差數(shù)列求和公式求出，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】因?yàn)?，，，，，以上個(gè)式子累加，得，則；因?yàn)?，所?故答案為：，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式得到，根據(jù)通項(xiàng)公式的求法得到結(jié)果；（2）分組求和即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公差為,由已知,有解得，所以的通項(xiàng)公式為,的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】，分組求和，分別根據(jù)等比數(shù)列求和公式與等差數(shù)列求和公式得到：.18、（1）；（2）增區(qū)間為，減區(qū)間為.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；(2)求g(x)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)同分分解因式，討論其正負(fù)即可判斷g(x)的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，又，設(shè)所求切線的斜率為，則，則切線的方程為：，化簡(jiǎn)即得切線的方程為：.【小問(wèn)2詳解】，其定義域?yàn)?，，∵，∴ax＋1＞0，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.的增區(qū)間為，減區(qū)間為.19、（1）樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，；（2）；（3）.【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計(jì)算出全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù).【小問(wèn)1詳解】解：樣本中高一年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為.，解得.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)中位數(shù)為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問(wèn)3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時(shí)間超過(guò)個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約為.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，．利用橢圓的定義求出，然后求解，得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得到弦長(zhǎng)的表達(dá)式，再通過(guò)換元利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，則，，，，橢圓的方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，由得由得由，得設(shè)，則，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，的最大值為21、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由點(diǎn)斜式得切線方程；（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得在上恒成立，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.實(shí)數(shù)的取值范圍為做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，得實(shí)數(shù)的取值范圍為點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）.22、（1），（2）證