內(nèi)蒙古包頭鐵路第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

內(nèi)蒙古包頭鐵路第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.3 D.42．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.993．已知命題，；命題，，那么下列命題為假命題的是（）A. B.C. D.4．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長(zhǎng)是18，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）A. B.（y≠0）C. D.5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.6．如圖，P是橢圓第一象限上一點(diǎn)，A，B，C是橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A作AN平行于直線BP交y軸于N，直線CP交x軸于M，直線BP交x軸于E.現(xiàn)有下列三個(gè)式子：①；②；③.其中為定值的所有編號(hào)是（）A.①③ B.②③C.①② D.①②③7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.8．過(guò)點(diǎn)且平行于直線的直線的方程為（）A. B.C. D.9．把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”的關(guān)系是（）A.既不互斥也不對(duì)立 B.互斥又對(duì)立C.互斥但不對(duì)立 D.對(duì)立10．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.11．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.12．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為_(kāi)_____14．橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則的取值范圍是___________.15．一支車隊(duì)有10輛車，某天下午依次出發(fā)執(zhí)行運(yùn)輸任務(wù)．第一輛車于14時(shí)出發(fā)，以后每間隔10分鐘發(fā)出一輛車．假設(shè)所有的司機(jī)都連續(xù)開(kāi)車，并都在18時(shí)停下來(lái)休息．截止到18時(shí)，最后一輛車行駛了____小時(shí)，如果每輛車行駛的速度都是60km/h，這個(gè)車隊(duì)各輛車行駛路程之和為_(kāi)_____千米16．已知斜率為1的直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得的重心恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且__________.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).（Ⅰ）求拋物線C的方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）過(guò)拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，求四邊形面積的最小值.19．（12分）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，滿足.（1）求;（2）若的面積為，求的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線上點(diǎn)都在軸及其右側(cè)，且曲線上的任一點(diǎn)到軸的距離比它到圓的圓心的距離小1（1）求曲線的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，若,求面積21．（12分）某初中學(xué)校響應(yīng)“雙減政策”，積極探索減負(fù)增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時(shí)間．現(xiàn)為調(diào)查學(xué)生的家庭作業(yè)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時(shí)間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計(jì)這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行“雙減政策”情況訪談，再?gòu)脑L談的學(xué)生中選取名學(xué)生進(jìn)行成績(jī)跟蹤，求被選作成績(jī)跟蹤的名學(xué)生中，第三組和第五組各有名的概率22．（10分）已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上.過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn).（1）求該橢圓的方程；（2）若點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記直線PA，PM，PB的斜率分別為，，.求證：，，成等差數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓的定義得，進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因?yàn)橛蓹E圓的定義得，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：A2、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時(shí)，輸出的值為，故選：D3、B【解析】由題設(shè)命題的描述判斷、的真假，再判斷其復(fù)合命題的真假即可.【詳解】對(duì)于命題，僅當(dāng)時(shí)，故為假命題；對(duì)于命題，由且開(kāi)口向上，故為真命題；所以為真命題，為假命題，綜上，為真，為假，為真，為真.故選：B4、D【解析】根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出，再由橢圓的定義得頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，可求得頂點(diǎn)C的軌跡方程.【詳解】因?yàn)?，所以，所以頂點(diǎn)C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程是，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，由定義求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，求解時(shí)，注意去掉不滿足的點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】根據(jù)斜率的公式，可以得到的值是定值，然后結(jié)合已知逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以有，，因此，所以有，，，，，，故，，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用斜率公式得到之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.8、B【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)直線方程為，將點(diǎn)代入直線方程得到，解得.故直線方程為：.故選：B.9、C【解析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義可得答案.【詳解】把紅、黑、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁4人，每人分得1張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥但不對(duì)立.故選：C.10、B【解析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得選項(xiàng).【詳解】由得，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，故選：B.11、D【解析】利用不等式的性質(zhì)分析判斷每個(gè)選項(xiàng).【詳解】由不等式的性質(zhì)可知，因?yàn)?，所以，，故A錯(cuò)誤，D正確；由，可得，，故B，C錯(cuò)誤.故選：D12、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案【詳解】解：對(duì)于A：若，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，根據(jù)面面垂直的判定定理可得，故C正確；對(duì)于D：若則與平行、相交、或異面，故D錯(cuò)誤；故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時(shí)目標(biāo)式有最小值為.故答案為：14、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因?yàn)椋?，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)?，所以，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：.15、①.2.5####②.1950【解析】通過(guò)分析，求出最后一輛車的出發(fā)時(shí)間，從而求出最后一輛車的行駛時(shí)間，這10輛車的行駛路程可以看作等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋宰詈笠惠v車出發(fā)時(shí)間為15時(shí)30分，則最后一輛車行駛時(shí)間為18-15.5=2.5小時(shí)，第一輛車行程為km，且從第二輛車開(kāi)始，每輛車都比前一輛少走km，這10輛車的行駛路程可以看作首項(xiàng)為240，公差為-10的等差數(shù)列，則10輛車的行程路程之和為（km）.故答案為：2.5,195016、【解析】設(shè)點(diǎn)，，坐標(biāo)分別為，則根據(jù)題意有，分別將點(diǎn)，，的坐標(biāo)代入橢圓方程得，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到和的值，代入得到關(guān)于的齊次式，然后解出離心率.【詳解】設(shè)，，坐標(biāo)分別為，因?yàn)榈闹匦那『檬亲鴺?biāo)原點(diǎn)，則，則，代入橢圓方程可得，其中，所以……①因?yàn)橹本€的斜率為，且過(guò)左焦點(diǎn)，則的方程為：，聯(lián)立方程消去可得：，所以，……②所以……③，將②③代入①得，從而.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率求解問(wèn)題，難度較大.解答時(shí),注意，，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，注意韋達(dá)定理在解題中的運(yùn)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】（1）若選①：根據(jù)，利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；若選②：構(gòu)造利用等比數(shù)列的定義求解；（2）根據(jù)（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問(wèn)1詳解】解:若選①：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，故若選②：易得于是數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，【小問(wèn)2詳解】若選①：由（1）得，從而，，作差得，于是若選②由（1）得，從而，，作差得，于是18、（1），；（2）.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線方程求解出的值，則拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)可知；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)切線長(zhǎng)相等以及切線垂直于半徑將四邊形的面積表示為，然后根據(jù)三角形面積公式將其表示為，根據(jù)點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式表示出，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出四邊形面積的最小值.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€過(guò)點(diǎn)，所以，所以，所以拋物線的方程為：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即；（2）設(shè)，因?yàn)闉閳A的切線，所以，且，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，四邊形的面積有最小值且最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)圓的切線的性質(zhì)將四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積，再通過(guò)三角形的面積公式將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問(wèn)題模型，對(duì)于轉(zhuǎn)化的技巧要求較高.19、（1）；（2）.【解析】（1）由條件可得，即，從而可得答案.(2)由條件結(jié)合三角形的面積公式可得，再由余弦定理得，配方可得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以所以，因?yàn)樗?，因?yàn)椋裕?）由面積公式得，于是，由余弦定理得，即，整理得，故.20、（1）（2）【解析】（1）由題意直接列或根據(jù)拋物線的定義求軌跡方程（2）待定系數(shù)法設(shè)直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)拋物線的定義，利用韋達(dá)定理解出直線方程，再求面積【小問(wèn)1詳解】解法1：配方法可得圓的方程為，即圓的圓心為，設(shè)的坐標(biāo)為，由已知可得，化簡(jiǎn)得，曲線的方程為解法2：配方可得圓的方程為，即圓的圓心為，由題意可得上任意一點(diǎn)到直線的距離等于該點(diǎn)到圓心的距離，由拋物線的定義可得知，點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線，所以曲線的方程為【小問(wèn)2詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，可得的斜率存在，設(shè)為，，過(guò)的直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，可得，設(shè)，的橫坐標(biāo)分別為，，可得，，由拋物線的定義可得，解得，即直線的方程為，可得到直線的距離為，，所以的面積為21、（1）；這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設(shè)中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點(diǎn)，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設(shè)中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學(xué)生完成家庭作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)約為分鐘【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學(xué)生記為，，，，第五組的名學(xué)生記為，，所以從名學(xué)生中抽取名的樣本空間，共15個(gè)樣本點(diǎn)，記事件“名中學(xué)生，第三組和第五組