高考數學一輪復習：函數的單調性與最值

專題3.2函數的單調性與最值

利用單調性比較大小?

利用單調性確定參數取值范圍

函數的單調性和最值(值域)問題

抽象函數的單調性問題

【核心素養(yǎng)】

1.以常見函數為載體，考查函數的單調性，凸顯數學運算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結合考查函數的單調性或求參數問題，凸顯分類討論思想的應用及數學運算的核心

素養(yǎng).

3.與函數、不等式結合，考查單調性在求最值方面的應用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數學運算的核心素

養(yǎng).

<r

乜*f知識概栗:

知識點一函數的單調性

1.增函數：若對于定義域/內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量再、x2,當時，都有

/(%)</(x2),那么就說函數“X)在區(qū)間D上是增函數；

2.減函數：若對于定義域/內的某個區(qū)間。(。1/)上的任意兩個自變量再、4，當時，都有

/(^)>/(x2),那么就說函數/(%)在區(qū)間D上是減函數.

3.單調區(qū)間的定義

若函數y=f(x)在區(qū)間」上是增函數或減函數,則稱函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間

〃叫做函數y=f{x)的單調區(qū)間.

4.【特別警示】

(1)單調區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數了=：在(一8,0)U(0,+8)上是

減函數，而只能寫成在(一8,0)和(0,+8)上是減函數.

(2)區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變化，所以不存在

單調問題，因此寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些點無意義時，單調區(qū)間就

不包括這些點.

知識點二函數的最值

1.最大值：一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數"滿足:

(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(%)=〃.

那么，我們稱“是函數y=/(x)的最大值.

2.最小值：一般地，設函數y=/(x)的定義域為/,如果存在實數加滿足：

(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在九0e/,使得

那么，我們稱加是函數丁=/(%)的最小值.

知識點三常用結論

(1)函數五x)與火x)+c(。為常數)具有相同的單調性.

(2火>0時，函數1x)與破x)單調性相同；4<0時，函數式x)與領㈤單調性相反.

(3)若_/(x)恒為正值或恒為負值，則/(x)與」一具有相反的單調性.

(4)若g(x)都是增(減)函數，則當兩者都恒大于零時,/(x>g(x)是增(減)函數；當兩者都恒小于零時,40點尤)

是減(增)函數.

(5)在公共定義域內，增+增=增，減+減=減，增—減=增，減—增=減.

(6)復合函數y=/[g(x)]的單調性判斷方法：“同增異減”.

〈一?一?一■一?一■一,一?一■一?一■一?

帚專題型勃析/

題型一：單調性的判定和證明

【典例分析】

例1-1.（2021?全國?高考真題）下列函數中是增函數的為（）

A.f(x)=-xB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.=

例1-2.（2023?河南?校聯考模擬預測）下列函數中，在區(qū)間（0,+e）上單調遞增的是（）

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y—Inv-xD.y=|x|-x

【規(guī)律方法】

掌握確定函數單調性（區(qū)間）的4種常用方法

（1）定義法：一般步驟為設元一作差一變形一判斷符號一得出結論.其關鍵是作差變形，為了便于判斷差的

符號，通常將差變成因式連乘（除）或平方和的形式，再結合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關系及

不等式的性質進行判斷.

（2）圖象法：如果f（x）是以圖象形式給出的，或者f（x）的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調

性.

（3）熟悉一些常見的基本初等函數的單調性.

（4）導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性.

【變式訓練】

變式1-1.（2023?北京海淀??？既＃┫铝泻瘮抵?，在區(qū)間（口,0）上是減函數的是（）

C.y=logi(-x)D.y=x

2

變式1-2.【多選題】（2021?全國高一課時練習）設函數兀c）在R上為增函數，則下列結論不一定正確的是（）

1

A.尸"，\］在［上為減函數B.y=|A尤）1在R上為增函數

I/WI

1

C.丫=一二）在R上為增函數D.在R上為減函數

/（x）

題型二：求函數的單調區(qū)間

例2T.函數/(x)=7x2-2x—8的單調遞增區(qū)間是()

A.(—00,—2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+00)

例2-2.（2023?北京密云?統(tǒng)考三模）設函數了（力=、一。

\~x+2x,%<a

①當a=2時，的單調遞增區(qū)間為；

②若AeR且XHO,使得〃l+x)=/(l-x)成立，則實數a的一個取值范圍________.

【規(guī)律方法】

確定函數的單調區(qū)間常見方法：

1.利用基本初等函數的單調區(qū)間

2.圖象法：對于基本初等函數及其函數的變形函數，可以作出函數圖象求出函數的單調區(qū)間.

3.復合函數法：對于函數y=/[g(x)],可設內層函數為a=8(耳，外層函數為y=/(M),可以利用復

合函數法來進行求解，遵循“同增異減”，即內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相同，則函數

y=/[g(%)]在區(qū)間D上單調遞增；內層函數與外層函數在區(qū)間D上的單調性相反，則函數y=/[g(%)]

在區(qū)間D上單調遞減.

4.導數法：不等式/'(%)〉0的解集與函數/(九)的定義域的交集即為函數八％)的單調遞增區(qū)間，不等式

/'(￡)<0的解集與函數/(%)的定義域的交集即為函數/(力的單調遞減區(qū)間.

【變式訓練】

變式2-1.(2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預測)函數/(x)=/-4|x|+3的單調遞減區(qū)間是()

A.(—8,-2)B.(—8,-2)和(0,2)

C.(—2,2)D.(―2,0)和(2,+oo)

變式2-2.函數y=唯式久2-3%+2)的單調遞增區(qū)間是()

2

A(—8,1)B(2,+8)C(―8,|)D(|,+8)

題型三：利用單調性比較大小

【典例分析】

例3-1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數〃上….記用)=/?⑶,。=/臼，則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

例3-2.(2023?全國?高三專題練習)已知則()

1111aQ

A.->—B.-------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【規(guī)律方法】

1.一般地，比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數性質，轉化到同一

個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數形結合的盡量用圖象法求解.

2.先構造函數，確定函數的單調性，再比較函數值大小.

【變式訓練】

變式3-1.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知為是函數=-x+4的一個零點,

若占e(2,%),9€(%,+<?),貝I]()

A.%e(2,4)B./(%,)>/(%,)

C./(^)<0,/(%2)<0D.〃再)>0,/。)>0

變式3-2.（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）正數。,6滿足2。-4〃=log2b-log2a,貝lj。與如大小關系為

題型四：利用單調性確定參數取值范圍

【典例分析】

例4-1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設函數〃"=2代"）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，貝心的取值范圍是（）

A.(-co,-2]B.[-2,0)

C.（0,2]D.[2,司

（3。-1）尤+4々（尤＜1）

例4-2.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃尤）=a,、，滿足對任意的實數占，羽且占R%，

二（Ml）

都有[/（%）-/（當）]（%-W）＜0,則實數。的取值范圍為（）

abc

--H]-[?l]D.m

【規(guī)律方法】

1.利用單調性求參數的范圍（或值）的方法

（1）視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數;

（2）需注意若函數在區(qū)間[a,6]上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的.

（3）注意函數單調性呈現的三種方式：定義式、比值式（庭二空11）、&一為與八尤2）—五尤1）關系式.

%2%]

2.利用分離參數法；

3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：（1）。/x）恒成立=°次勸"皿；（2）4勺＞）恒成立㈤"血.

【變式訓練】

-2

“、x-ax-3a,x>l

變式4-1.若函數，(x)={是R上的增函數，則實數。的取值范圍是()

2ax-l,x<l

1

A.「§，OJB.[0jC.^-oo,D.一,+00

3

變式4-2.(2023?全國?高三專題練習)已知函數〃尤)=(￡|-尤(尤>3),對Vxe(3,a)都有〃x)<〃z成立,

則實數優(yōu)的取值范圍是.

題型五：利用函數的單調性解決不等式問題

【典例分析】

例5-1.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數/(；0=2工-苫-1,則不等式/。)>0的解集是().

A.(-1,1)B.(-QO,一l)U(l，+°o)

C.(0,1)D.(-oo,0)u(l,+oo)

i91

例5-2.(2023?陜西?西北工業(yè)大學附屬中學校聯考模擬預測)已知函數++1+—7,則不

―2x+24x-4x-1

等式/'(2x+3)>/(f)的解集為.

【總結提升】

1.給定具體函數，確定函數不等式的解，首先要判斷函數的單調性；

2.求解含“產的函數不等式的解題思路

先利用函數的相關性質將不等式轉化為f(g(x))>FS(x))的形式，再根據函數的單調性去掉“尸，得到一

般的不等式g(x)>爾x)(或g(x)<h3.

【變式訓練】

變式5-1.己知定義在R上的函數/(無)滿足"1)=2,對任意的實數苞，/且王〈尤2，

/(%1)-/(%2)<x1-x2,則不等式的解集為()

A.2)B.(2,+?)

C.(^o,-l)u(l,+co)D.(f-2)U(2,+co)

x2-3x,x<3

變式52(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模)已知函數/(幻=1，則關于x的不等式/(lr)</(2-%)

—x—1,x>3

13

的解集為.

題型六：函數的單調性和最值(值域)問題

【典例分析】

例6-1.(2023?全國?校聯考三模)已知函數/(乃=用—(6+3*在［-1,1］上的最小值為一3,則實數b的取值

范圍是()

「9-

A.(-oo,-4］B.［9,+oo)C.［T,9］D.--,9

-ax+1,x<a,

例62(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)設函數/(x)=?若存在最小值，則a的一個取值為

(%-2),x>a.

;a的最大值為?

【規(guī)律方法】

1.函數最大值和最小值定義中兩個關鍵詞：

①“存在”:

M首先是一個函數值，它是值域中的一個元素，

如函數>=/(尤GR)的最小值是0,有火0)=0.

②“任意”：

最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內的全部元素，

都有_/(x)qW(Ax巨跖成立，也就是說，函數y=/(x)的圖象不能位于直線y=M的上(下)方.

2.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：

(1)<2>/(X)恒成立=<72“X)1mx;

(2)a</(x)恒成立=a4/⑺..

3.已知函數最值(值域)求參數問題的解題步驟

(1)調整思維方向，根據已知函數，將給出的定義域、值域(最值)問題轉化為方程或不等式的解集問題；

(2)根據方程或不等式的解集情況確定參數的取值或范圍.

【變式訓練】

變式6-1.(2021?北京.統(tǒng)考高考真題)已知“X)是定義在上［0,1］的函數，那么“函數了⑺在［0,1］上單調遞增”

是“函數/⑴在［0,1］上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

變式6-2.(2023.北京.高三專題練習)已知函數〃尤)的定義域為［0』.能夠說明“若〃尤)在區(qū)間［0』上的最

大值為，⑴，則/(x)是增函數”為假命題的一個函數是.

題型七：抽象函數的單調性問題

例7-1.函數八龍）是定義在（0,+8）上的減函數，對任意的尤，ye（0,+功，都有兀c+y）=#x）+〃）一1,且

A4）=5.

⑴求42）的值；

（2）解不等式角，z—2巨3.

例7-2.（2023?全國?高三對口高考）設定義在R上的函數“X）,滿足當尤＞0時，/（x）＞1,且對任意x,y&R,

有〃x+y）=/（x）./（y）,〃l）=2.

⑴求A。）；

⑵求證：對任意xeR,都有/（幻＞0；

（3）解不等式/（3X-X2）＞4；

（4）解方程/（尤+3）=/（2）+1.

【總結提升】

1.所謂抽象函數，一般是指沒有給出具體解析式的函數，研究抽象函數的單調性，主要是考查對函數單調性

的理解，是一類重要的題型，而證明抽象函數的單調性常采用定義法.

2.一般地，在高中數學中，主要有兩種類型的抽象函數，一是7U+y）”型［即給出尤+y）所具有的性質，如本

例］,二是次孫）”型.對于犬x+y）型的函數，只需構造八無2）=力不+（*2—為）］，再利用題設條件將它用兀n）與

八忿一xi）表示出來，然后利用題設條件確定/（X2—尤1）的范圍（如符號、與“1”的大小關系），從而確定式X2）與式制）

的大小關系；對加y）型的函數，則只需構造加2）=曲孑）即可.

【變式訓練】

變式7-1.（2021.海南高三其他模擬）已知定義在R上的函數“X）滿足〃x—y）=〃x）—〃y）,且當

x＜0時，/（%）＞0,則關于X的不等式a+m2%）+/（2力（其中0〈加〈點）的解

集為（）

，212

A.＜xm＜x＜一＞B.{%|xv根或入＞一}

mJm

，212

C.sx一＜x＜m＞D.{x|x＞加或一}

mm

變式72函數/（處的定義域為H，并滿足以下條件：①對任意有了。）＞0；②對任意乂丁￡尺，

有f(xy)="(x)F;③/(；)〉L

(I)求/(O)的值；

(II)求證：f(x)在R上是單調增函數；

(III)a>b>c>0,且b?=ac,求證：/(?)+/(c)>2/(Z?).

一、單選題

1.（2022秋?西藏林芝?高三校考階段練習）函數“r）=，3+2%-1的單調遞增區(qū)間是（）

A.(-8,1]B.[1,+oo)C.[1,3]D.[—1,1]

2.（2023?全國二對口IWJ考）下列函數中，在區(qū)間（1,+8）上是增函數的是（）

A.y=-2，B.-C.y=-（x-l）2D.y=loglX

\~X2

-x2—ax—9,x<\

3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數〃%）=a在R上單調遞增，則實數〃的取值范圍為

—,x>l

（）

A.[-5,0）B.（—,-2）

C.[-5,-2]D.S，o）

4.(2023?北京通州?統(tǒng)考三模)設a=ln0.2,6=00,c=e0-2,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

\nx,x>l

5.（2023?黑龍江大慶?鐵人中學?？级＃┮阎瘮怠▁）=<0,0Wx<l,若1V0,則實數a的取

<0

值范圍是（）

e+1

A.-----,+co

2

C.。苫

6.（2023?全國?高三對口高考）設函數y=/（x）的定義域為R,對于給定的正數匕定義函數

人（無給出函數"》）=一"+八一2'若對任意的xeR'恒有'（尤）=/"）,則（）.

A.人的最大值為2B.4的最小值為2C.左的最大值為1D.4的最小值為1

二、多選題

7.（2022秋?福建龍巖?高三校考階段練習）下列函數中在區(qū)間（0,1）內單調遞減的是（）

11

A.-i；-2B.y=2-x

y—ArJ

C.y=ln（x+l）D.y=|l-'

8.（2022秋?山東青島?高三青島二中?？茧A段練習）已知函數y=/（x）的定義域為［T5］,其圖象如圖所示,

則下列說法中正確的是（）

A.〃尤）的單調遞減區(qū)間為（0,2）

B.〃尤）的最大值為3

C.“X）的最小值為T

D.f（無）的單調遞增區(qū)間為（T0）U（2,5）

9.（2023?江蘇?校聯考模擬預測）若函數/（尤）=）,且玉<4，則（）

A.（^--^）（/（^）-/（x2））>0B.xl-f（xl）>x2-f（x2）

C./（%））-%2</（%2）-^D.

三、填空題

\x2-2x-2>\,x>a

10.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（%）=?1，對于任意兩個不相等的實數X，W￡R，

ax—ll,x<a

都有不等式（占-彳2）［”可）-〃々）］>0成立，則實數°取值范圍是.

11.(2023?全國?高三專題練習)已知二次函數〃力=以2+法(①6為常數)滿足〃尤-1)=〃3-力，且方

程〃x)=2x有兩等根，〃尤)在［0月上的最大值為g⑺，則g⑺的最大值為.

四、解答題

12.(2023?高一課時練習)已知函數了⑺的定義域是(0,+8),滿足"2)=1,尤>1時/(無)>0,對任意正實

數x,?都有/XW)：/。)+/(，).

⑴求/⑴"(4)的值；

(2)證明：函數了⑺在(0,+8)上是增函數；

(3)求不等式/(x)-/(x-3)>2的解集.

專題3.2函數的單調性與最值

【核心素養(yǎng)】

1.以常見函數為載體，考查函數的單調性，凸顯數學運算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結合考查函數的單調性或求參數問題，凸顯分類討論思想的應用及

數學運算的核心素養(yǎng).

3.與函數、不等式結合，考查單調性在求最值方面的應用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數

學運算的核心素養(yǎng).

知雙概要,

知識點一］函數的單調性

1.增函數:若對于定義域/內的某個區(qū)間上的任意兩個自變量苞、%,當為<馬

時，都有/(%)</(%)，那么就說函數/(*)在區(qū)間。上是增函數；

2.減函數:若對于定義域/內的某個區(qū)間D(D#上的任意兩個自變量再、%,當藥<%

時，都有

/(%1)>/(%2),那么就說函數/(%)在區(qū)間。上是減函數.

3.單調區(qū)間的定義

若函數y=f(x)在區(qū)間。上是增函數或減函數,則稱函數尸/'(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)

單調性，區(qū)間，叫做函數尸Ax)的單調區(qū)間.

4.【特別警示】

(1)單調區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數產=:在(-8,0)

U（0,+8）上是減函數，而只能寫成在（一8,0）和（0,+8）上是減函數.

（2）區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數值是唯一確定的常數，沒有增減變

化，所以不存在單調問題，因此寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于

某些點無意義時，單調區(qū)間就不包括這些點.

知識點二］函數的最值

1.最大值：一般地，設函數y=/（x）的定義域為/,如果存在實數“滿足：

⑴對于任意的xe/,都有/（x）WAf；

（2）存在/e/,使得

那么，我們稱"是函數y=/（x）的最大值.

2.最小值：一般地，設函數y=/（x）的定義域為/,如果存在實數機滿足：

（1）對于任意的xe/,都有/（力2加；

（2）存在使得=

那么，我們稱幽是函數y=/（x）的最小值.

知識點三常用結論

（1）函數1X）與/（x）+c（c為常數）具有相同的單調性.

（2）女>0時，函數1%）與軟r）單調性相同；N0時，函數式%）與破工）單調性相反.

（3）若/（尤）恒為正值或恒為負值，則五尤）與」一具有相反的單調性.

/（x）

（4）若y（x）,g（x）都是增（減）函數，則當兩者都恒大于零時，y（Dg（x）是增（減）函數；當兩者都恒

小于零時，1Ax>g（x）是減（增）函數.

（5）在公共定義域內，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減.

（6）復合函數y=/［g（x）］的單調性判斷方法：“同增異減”.

?？碱}壑弱析/

題型一：單調性的判定和證明

【典例分析】

例1-1.（2021?全國?高考真題）下列函數中是增函數的為（）

A./(x)=-xB.=C./(x)=x2D.于(x)=W

【答案】D

【分析】根據基本初等函數的性質逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,〃x)=-x為R上的減函數，不合題意，舍.

對于B,=為R上的減函數，不合題意，舍.

對于C,〃司=/在(-8,0)為減函數，不合題意，舍.

對于D,/(力=近為R上的增函數，符合題意，

故選：D.

例12(2023?河南?校聯考模擬預測)下列函數中，在區(qū)間(0,+e)上單調遞增的是()

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y=lor_尤D.y=|x|-x

【答案】B

【分析】由二次函數的性質可判斷A,利用函數的導數可判斷BC,根據絕對值的意義結合

條件可判斷D.

【詳解】對于A,函數圖象的對稱軸為x=:，函數在上單調遞減，在［3,上單調

遞增，故A錯誤；

對于B,當xe(O,w)時，y=e'-l>0,所以函數在(。,+“)上單調遞增，故B正確；

11—

對于c,y=；-i=子T，函數在(0,1)上單調遞增，在。,內)上單調遞減，故C錯誤；

對于D,當x>0時，y=0是常數函數，D錯誤，

故選：B.

【規(guī)律方法】

掌握確定函數單調性(區(qū)間)的4種常用方法

(1)定義法：一般步驟為設元一作差一變形一判斷符號一得出結論.其關鍵是作差變形，為

了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結合變量的范圍、假

定的兩個自變量的大小關系及不等式的性質進行判斷.

(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者/<x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性

確定它的單調性.

(3)熟悉一些常見的基本初等函數的單調性.

(4)導數法：利用導數取值的正負確定函數的單調性.

【變式訓練】

變式1-1.（2023?北京海淀??？既＃┫铝泻瘮抵校趨^(qū)間（-雙。）上是減函數的是（）

A.y=X3C.J=logiH)D.y=x

2

【答案】D

【分析】根據基本初等函數的單調性及對數型復合函數的單調性判斷即可.

【詳解】對于A：y=V在定義域R上單調遞增，故A錯誤;

對于B：y==2,在定義域R上單調遞增，故B錯誤；

對于c：y=i°gjr）定義域為（-8,0）,因為y=-x在（-8,0）上單調遞減且值域為（0,+功，

又y=logp在定義域上單調遞減，所以>=1弋（-冷在（_8,0）上單調遞增，故c錯誤；

對于D：y=X-'=^,函數在（-8,0）上單調遞減，故D正確；

故選：D

變式1-2.【多選題】（2021?全國高一課時練習）設函數人龍）在R上為增函數，則下列結論不

一定正確的是（）

1

A.產在R上為減函數B.y=|#x）|在R上為增函數

I/WI

1

C.丫=一二大在尺上為增函數D.產-力勸在R上為減函數

/（x）

【答案】ABC

【解析】

令/（x）=%可判斷出ABC不正確，利用單調函數的定義判斷可得結果.

【詳解】

11

對于A,若則、|=1，在R上不是減函數，A錯誤；

lf（x）||x|

對于B,若兀0=無，則y=|Xx）|=|x|,在R上不是增函數，B錯誤；

11

對于C,若"r）=無，則y=-在R上不是增函數，C錯誤；

/（x）x

對于D,函數y（x）在R上為增函數，則對于任意的Xl,X2WR,設XI<X2,必有兀X1）勺（X2）,

對于產FX），則有力->2=［1/（尤1）］一［丁/（無2）］小X2）—J（X1）>O,

則產一穴龍）在R上為減函數，D正確.

故選：ABC

題型二：求函數的單調區(qū)間

例2-1.函數f(x)==^的單調遞增區(qū)間是()

A.(—co,-2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+oo)

【答案】D

【解析】

x2-2x-8>0得x>4或x<-2,

令/—2x—8—t,則y=行為增函數，

t=x2-2x-8在[4,+8)上的增區(qū)間便是原函數的單調遞增區(qū)間，

.??原函數的單調遞增區(qū)間為[4,+8),故選D.

例2-2.(2023?北京密云?統(tǒng)考三模)設函數〃x)='2一°

\—x+xa

①當。=2時，〃x)的單調遞增區(qū)間為；

②若玉eR且xwO,使得〃l+x)=〃l-x)成立，則實數a的一個取值范圍_______.

【答案】(-00,1],[2,+00)

【分析】當a=2時，作出f(x)的圖象，結合圖象，即可求得函數的遞增區(qū)間，由

/(l+x)=〃l-力，得到〃尤)的圖象關于x=l對稱，結合題意，即可求得。的取值范圍.

jxx22

【詳解】①當a=2時，可得〃x)=:一函數的圖象，如圖所示，

\~x+zx,x2,

可得函數“X)的單調遞增區(qū)間為(-8,1]，[2,+8).

②由〃l+x)=〃l—x),可函數“X)的圖象關于X=1對稱,

若NeR且XW0,使得〃l+x)=/(l-X)成立，

如圖所示，貝IJ滿足a>l,即實數。的取值范圍為(1,—).

故答案為:(-8,1],[2,+8);(1,+CO).

【規(guī)律方法】

確定函數的單調區(qū)間常見方法：

1.利用基本初等函數的單調區(qū)間

2.圖象法:對于基本初等函數及其函數的變形函數，可以作出函數圖象求出函數的單調區(qū)間.

3.復合函數法：對于函數y=/[1?(%)],可設內層函數為a=g(x),外層函數為y=/(?),

可以利用復合函數法來進行求解，遵循“同增異減”，即內層函數與外層函數在區(qū)間D上的

單調性相同，則函數y=/[g(x)]在區(qū)間D上單調遞增；內層函數與外層函數在區(qū)間D上

的單調性相反，則函數y=/[g(x)]在區(qū)間D上單調遞減.

4.導數法：不等式/'(另>0的解集與函數/(x)的定義域的交集即為函數/(尤)的單調遞

增區(qū)間，不等式/'(x)<0的解集與函數/(%)的定義域的交集即為函數/(*)的單調遞減

區(qū)間.

【變式訓練】

變式2-1.(2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預測)函數/。)=/-4|幻+3的單調遞減區(qū)間是()

A.(-00,-2)B.(—co,—2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,4-00)

【答案】B

【分析】將絕對值函數轉化成分段函數，由二次函數的性質即可求

X2-4x+3,%>0

【詳解】/(x)=%2-4|.r|+3=

x2+4x+3,x<0

則由二次函數的性質知，當％>0時，y=4x+3=(%—2)2—1的單調遞減區(qū)間為(0,2)；

當％v0,y=%2+4%+3=(4+2)2一1的單調遞減區(qū)間為(一00,-2),

故f(x)的單調遞減區(qū)間是(-泡-2)和(0,2).

故選：B

變式2-2.函數丫=1唯(--3%+2)的單調遞增區(qū)間是()

2

A(—00,1)B(2,+oo)C(—00,-)D+co)

【答案】A

【解析】

由題可得x--3x+2>0,解得x<l或x>2,

由二次函數的性質和復合函數的單調性可得

函數y=logK%2—3久+2)的單調遞增區(qū)間為：(-8,1)

故選：A.

題型三：利用單調性比較大小

【典例分析】

例3-1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數〃9=L1尸.記

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即

可.

【詳解】令g(x)=-(x-iy,則洋尤)開口向下,對稱軸為x=l,

因為乎-1-1一；=屈丁gj^(^+^)2_42=9+672-16=6^-7>0,

而\右]面+右4?n\[6V3

所以^--1-1一一—=--------->0,即2!__1>1-2_

2(2)2222

由二次函數性質知g*)<g吟),

A/6..76+724

因為^--RI——1=-------而

(A/6+72)2-42=8+4A/3-16=4^-8=4(73-2)<0,

即坐一1<1一日，所以g(手)>g(手)，

綜上,g*)<g吟)<g吟)，

又〉=二為增函數，t^a<c<b,^b>c>a.

故選：A.

例3-2.(2023?全國?高三專題練習)已知％—lny>y—Inx,貝|()

1111.

A.->—B.%—>>------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【答案】B

【分析】首先構造函數f(x)=x+lnx,尤>0,由函數的單調性判斷x>y>0,再結合不等

式的性質，結合選項，即可判斷選項.

【詳解】由題可得，x+lnx>y+lny,

設/(x)=x+lnx,x>0,因為增函數+增函數=增函數,

即函數/(X)在(o,+8)上遞增，所以由/(x)>/(y)可得：x>y>Q.

對于A,由函數y=4在(0,+e)上遞減，所以當x>y>0時，A錯誤；

xxy

對于B,易知函數>=》-^在(0,+8)上為增函數-減函數=增函數，所以當x>y>0時，

x-->y~—,gpx-y>~--,B正確；

xyxy

對于C,當x>y>。時，若貝l|ln(無一y)<0,C錯誤；

對于D,因為函數y=V在(0,+e)上遞增，所以當尤>y>0時，x3>j3,D錯誤.

故選：B

【規(guī)律方法】

1.一般地，比較函數值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內，要利用其函數性

質，轉化到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數形結合的盡量用圖象法求

解.

2.先構造函數，確定函數的單調性，再比較函數值大小.

【變式訓練】

變式3-1.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學統(tǒng)考模擬預測)已知%是函數

=-x+4的一個零點，若西武2,%),々則()

A.%以2,4)B./(^)>/(x2)

C./(%1)<0,/(%2)<0D./(^)>0,/(x2)>0

【答案】B

【分析】根據指數函數及一次函數的單調性確定函數遞減，再由零點存在性確定零點范圍，

結合單調性判斷/(&)"(%)大小.

【詳解】函數y=在區(qū)間(2,+8)上單調遞減，函數，=r+4在區(qū)間(2,+8)上單調遞減,

故函數〃x)=g1-x+4在區(qū)間(2,+8)上單調遞減，

又/⑵>0,/⑶>0,/(4)>0"⑸<0,

所以％e(4,5),

因為/(%)=0,Xj6(2,X0),X2e(x0,-H?),

由單調性知〃e)>0,/心)<。即/(%)>/(%).

故選：B

變式32（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）正數。/滿足2。-4=log?b-log?。，則。與%大

小關系為.

【答案】a<2b/2b>a

【分析】構造函數〃幻=2'+1國小，并運用其單調性比較大小即可.

【詳解】因為2“-4〃=log泮-log?a,

b2h2

所以2"+log,a=4+log2b=2+log2b+log22-1=2*+log22b-1,

設/（無）=2'+log2X,貝Ij于（a）=f（2b）-l,

所以/（a）<”26）,

又因為>=2'與>=log2x在（0,+8）上單調遞增，

A

所以/（x）=2+log2x在（0,+■?）上單調遞增，

所以a<2/7.

故答案為：a<2b.

題型四：利用單調性確定參數取值范圍

【典例分析】

例4-1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設函數/（尤）=2代“）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，則“的取

值范圍是（）

A.（—00,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】D

【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數y=2*在R上單調遞增，而函數/（司=2，（1）在區(qū)間（0,1）上單調遞減，

則有函數y=尤（》-為=（》-殳2在區(qū)間（°/）上單調遞減，因此解得a22,

所以。的取值范圍是[2,+8）.

故選：D

（3a—1）x+4Q（X<1）

例4-2.（2023?全國?高三專題練習）已知函數/（%）=，Q/、，滿足對任意的實

：（工川

數耳，巧且占*%，者B有[/（玉）一/（々）]（可一無2）<0,則實數a的取值范圍為（）

A?5）B-H）C-

【答案】C

【分析】利用已知條件判斷函數的單調性然后轉化分段函數推出不等式組，即可求出a的范

圍.

【詳解】對任意的實數%都有［『a)—/(x2)］a—上)<0,即"成立,

可得函數圖像上任意兩點連線的斜率小于0,說明函數是減函數；

3d—1<0

可得：<。>。，

3a-l+4a>a

解得ae—,-^1,

1_63)

故選：C

【規(guī)律方法】

1.利用單調性求參數的范圍(或值)的方法

(1)視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性定義，確定函數的單調區(qū)間，與已知單調

區(qū)間比較求參數；

(2)需注意若函數在區(qū)間［a,句上是單調的，則該函數在此區(qū)間的任意子集上也是單調的.

(3)注意函數單調性呈現的三種方式：定義式、比值式產二曲))、及一XI與加2)—人制)

X2,-V1

關系式.

2.利用分離參數法；

3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)。次了)恒成立0。豕0，皿；(2)a#x)恒成立

加.

【變式訓練】

"2

一“、犬-ax-3a.x>l

變式4-1.若函數，(x)=〈是H上的增函數，則實數。的取值范圍是

2ax-l,x<1

()

1

A.---0|B.I0,-C.I-co,--D.一,+00

L3JI3」I3」3

【答案】B

【解析】

-2

“、x-ax-3a,x>l

由函數〃%)=<c、、是7?上的增函數，

2ax-l,x<