高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題3.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

利用單調(diào)性比較大小?

利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍

函數(shù)的單調(diào)性和最值(值域)問題

抽象函數(shù)的單調(diào)性問題

【核心素養(yǎng)】

1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的單調(diào)性或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應(yīng)用及數(shù)學(xué)運算的核心

素養(yǎng).

3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查單調(diào)性在求最值方面的應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素

養(yǎng).

<r

乜*f知識概栗:

知識點一函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量再、x2,當(dāng)時，都有

/(%)</(x2),那么就說函數(shù)“X)在區(qū)間D上是增函數(shù)；

2.減函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間。(。1/)上的任意兩個自變量再、4，當(dāng)時，都有

/(^)>/(x2),那么就說函數(shù)/(%)在區(qū)間D上是減函數(shù).

3.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間」上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間

〃叫做函數(shù)y=f{x)的單調(diào)區(qū)間.

4.【特別警示】

(1)單調(diào)區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數(shù)了=：在(一8,0)U(0,+8)上是

減函數(shù)，而只能寫成在(一8,0)和(0,+8)上是減函數(shù).

(2)區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在

單調(diào)問題，因此寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些點無意義時，單調(diào)區(qū)間就

不包括這些點.

知識點二函數(shù)的最值

1.最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)"滿足:

(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(%)=〃.

那么，我們稱“是函數(shù)y=/(x)的最大值.

2.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足：

(1)對于任意的xe/,都有

(2)存在九0e/,使得

那么，我們稱加是函數(shù)丁=/(%)的最小值.

知識點三常用結(jié)論

(1)函數(shù)五x)與火x)+c(。為常數(shù))具有相同的單調(diào)性.

(2火>0時，函數(shù)1x)與破x)單調(diào)性相同；4<0時，函數(shù)式x)與領(lǐng)㈤單調(diào)性相反.

(3)若_/(x)恒為正值或恒為負(fù)值，則/(x)與」一具有相反的單調(diào)性.

(4)若g(x)都是增(減)函數(shù)，則當(dāng)兩者都恒大于零時,/(x>g(x)是增(減)函數(shù)；當(dāng)兩者都恒小于零時,40點尤)

是減(增)函數(shù).

(5)在公共定義域內(nèi)，增+增=增，減+減=減，增—減=增，減—增=減.

(6)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的單調(diào)性判斷方法：“同增異減”.

〈一?一?一■一?一■一,一?一■一?一■一?

帚專題型勃析/

題型一：單調(diào)性的判定和證明

【典例分析】

例1-1.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A.f(x)=-xB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.=

例1-2.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+e）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y—Inv-xD.y=|x|-x

【規(guī)律方法】

掌握確定函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）的4種常用方法

（1）定義法：一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號一得出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形，為了便于判斷差的

符號，通常將差變成因式連乘（除）或平方和的形式，再結(jié)合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關(guān)系及

不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

（2）圖象法：如果f（x）是以圖象形式給出的，或者f（x）的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調(diào)

性.

（3）熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.（2023?北京海淀??？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間（口,0）上是減函數(shù)的是（）

C.y=logi(-x)D.y=x

2

變式1-2.【多選題】（2021?全國高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)兀c）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）

1

A.尸"，\］在［上為減函數(shù)B.y=|A尤）1在R上為增函數(shù)

I/WI

1

C.丫=一二）在R上為增函數(shù)D.在R上為減函數(shù)

/（x）

題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2T.函數(shù)/(x)=7x2-2x—8的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—00,—2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+00)

例2-2.（2023?北京密云?統(tǒng)考三模）設(shè)函數(shù)了（力=、一。

\~x+2x,%<a

①當(dāng)a=2時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②若AeR且XHO,使得〃l+x)=/(l-x)成立，則實數(shù)a的一個取值范圍________.

【規(guī)律方法】

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常見方法：

1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.圖象法：對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

3.復(fù)合函數(shù)法：對于函數(shù)y=/[g(x)],可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為a=8(耳，外層函數(shù)為y=/(M),可以利用復(fù)

合函數(shù)法來進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相同，則函數(shù)

y=/[g(%)]在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調(diào)性相反，則函數(shù)y=/[g(%)]

在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

4.導(dǎo)數(shù)法：不等式/'(%)〉0的解集與函數(shù)/(九)的定義域的交集即為函數(shù)八％)的單調(diào)遞增區(qū)間，不等式

/'(￡)<0的解集與函數(shù)/(%)的定義域的交集即為函數(shù)/(力的單調(diào)遞減區(qū)間.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.(2023?海南海口?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/(x)=/-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(—8,-2)B.(—8,-2)和(0,2)

C.(—2,2)D.(―2,0)和(2,+oo)

變式2-2.函數(shù)y=唯式久2-3%+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

A(—8,1)B(2,+8)C(―8,|)D(|,+8)

題型三：利用單調(diào)性比較大小

【典例分析】

例3-1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)〃上….記用)=/?⑶,。=/臼，則()

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

例3-2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知則()

1111aQ

A.->—B.-------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【規(guī)律方法】

1.一般地，比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一

個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.

2.先構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再比較函數(shù)值大小.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.（2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為是函數(shù)=-x+4的一個零點,

若占e(2,%),9€(%,+<?),貝I]()

A.%e(2,4)B./(%,)>/(%,)

C./(^)<0,/(%2)<0D.〃再)>0,/。)>0

變式3-2.（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）正數(shù)。,6滿足2。-4〃=log2b-log2a,貝lj。與如大小關(guān)系為

題型四：利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍

【典例分析】

例4-1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)〃"=2代"）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是（）

A.(-co,-2]B.[-2,0)

C.（0,2]D.[2,司

（3。-1）尤+4々（尤＜1）

例4-2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=a,、，滿足對任意的實數(shù)占，羽且占R%，

二（Ml）

都有[/（%）-/（當(dāng)）]（%-W）＜0,則實數(shù)。的取值范圍為（）

abc

--H]-[?l]D.m

【規(guī)律方法】

1.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍（或值）的方法

（1）視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù);

（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,6]上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

（3）注意函數(shù)單調(diào)性呈現(xiàn)的三種方式：定義式、比值式（庭二空11）、&一為與八尤2）—五尤1）關(guān)系式.

%2%]

2.利用分離參數(shù)法；

3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）。/x）恒成立=°次勸"皿；（2）4勺＞）恒成立㈤"血.

【變式訓(xùn)練】

-2

“、x-ax-3a,x>l

變式4-1.若函數(shù)，(x)={是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

2ax-l,x<l

1

A.「§，OJB.[0jC.^-oo,D.一,+00

3

變式4-2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=(￡|-尤(尤>3),對Vxe(3,a)都有〃x)<〃z成立,

則實數(shù)優(yōu)的取值范圍是.

題型五：利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問題

【典例分析】

例5-1.(2020?北京?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(；0=2工-苫-1,則不等式/。)>0的解集是().

A.(-1,1)B.(-QO,一l)U(l，+°o)

C.(0,1)D.(-oo,0)u(l,+oo)

i91

例5-2.(2023?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)++1+—7,則不

―2x+24x-4x-1

等式/'(2x+3)>/(f)的解集為.

【總結(jié)提升】

1.給定具體函數(shù)，確定函數(shù)不等式的解，首先要判斷函數(shù)的單調(diào)性；

2.求解含“產(chǎn)的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>FS(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“尸，得到一

般的不等式g(x)>爾x)(或g(x)<h3.

【變式訓(xùn)練】

變式5-1.己知定義在R上的函數(shù)/(無)滿足"1)=2,對任意的實數(shù)苞，/且王〈尤2，

/(%1)-/(%2)<x1-x2,則不等式的解集為()

A.2)B.(2,+?)

C.(^o,-l)u(l,+co)D.(f-2)U(2,+co)

x2-3x,x<3

變式52(2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(幻=1，則關(guān)于x的不等式/(lr)</(2-%)

—x—1,x>3

13

的解集為.

題型六：函數(shù)的單調(diào)性和最值(值域)問題

【典例分析】

例6-1.(2023?全國?校聯(lián)考三模)已知函數(shù)/(乃=用—(6+3*在［-1,1］上的最小值為一3,則實數(shù)b的取值

范圍是()

「9-

A.(-oo,-4］B.［9,+oo)C.［T,9］D.--,9

-ax+1,x<a,

例62(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=?若存在最小值，則a的一個取值為

(%-2),x>a.

;a的最大值為?

【規(guī)律方法】

1.函數(shù)最大值和最小值定義中兩個關(guān)鍵詞：

①“存在”:

M首先是一個函數(shù)值，它是值域中的一個元素，

如函數(shù)>=/(尤GR)的最小值是0,有火0)=0.

②“任意”：

最大(小)值定義中的“任意”是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素，

都有_/(x)qW(Ax巨跖成立，也就是說，函數(shù)y=/(x)的圖象不能位于直線y=M的上(下)方.

2.對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：

(1)<2>/(X)恒成立=<72“X)1mx;

(2)a</(x)恒成立=a4/⑺..

3.已知函數(shù)最值(值域)求參數(shù)問題的解題步驟

(1)調(diào)整思維方向，根據(jù)已知函數(shù)，將給出的定義域、值域(最值)問題轉(zhuǎn)化為方程或不等式的解集問題；

(2)根據(jù)方程或不等式的解集情況確定參數(shù)的取值或范圍.

【變式訓(xùn)練】

變式6-1.(2021?北京.統(tǒng)考高考真題)已知“X)是定義在上［0,1］的函數(shù)，那么“函數(shù)了⑺在［0,1］上單調(diào)遞增”

是“函數(shù)/⑴在［0,1］上的最大值為了⑴”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

變式6-2.(2023.北京.高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)的定義域為［0』.能夠說明“若〃尤)在區(qū)間［0』上的最

大值為，⑴，則/(x)是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是.

題型七：抽象函數(shù)的單調(diào)性問題

例7-1.函數(shù)八龍）是定義在（0,+8）上的減函數(shù)，對任意的尤，ye（0,+功，都有兀c+y）=#x）+〃）一1,且

A4）=5.

⑴求42）的值；

（2）解不等式角，z—2巨3.

例7-2.（2023?全國?高三對口高考）設(shè)定義在R上的函數(shù)“X）,滿足當(dāng)尤＞0時，/（x）＞1,且對任意x,y&R,

有〃x+y）=/（x）./（y）,〃l）=2.

⑴求A。）；

⑵求證：對任意xeR,都有/（幻＞0；

（3）解不等式/（3X-X2）＞4；

（4）解方程/（尤+3）=/（2）+1.

【總結(jié)提升】

1.所謂抽象函數(shù)，一般是指沒有給出具體解析式的函數(shù)，研究抽象函數(shù)的單調(diào)性，主要是考查對函數(shù)單調(diào)性

的理解，是一類重要的題型，而證明抽象函數(shù)的單調(diào)性常采用定義法.

2.一般地，在高中數(shù)學(xué)中，主要有兩種類型的抽象函數(shù)，一是7U+y）”型［即給出尤+y）所具有的性質(zhì)，如本

例］,二是次孫）”型.對于犬x+y）型的函數(shù)，只需構(gòu)造八無2）=力不+（*2—為）］，再利用題設(shè)條件將它用兀n）與

八忿一xi）表示出來，然后利用題設(shè)條件確定/（X2—尤1）的范圍（如符號、與“1”的大小關(guān)系），從而確定式X2）與式制）

的大小關(guān)系；對加y）型的函數(shù)，則只需構(gòu)造加2）=曲孑）即可.

【變式訓(xùn)練】

變式7-1.（2021.海南高三其他模擬）已知定義在R上的函數(shù)“X）滿足〃x—y）=〃x）—〃y）,且當(dāng)

x＜0時，/（%）＞0,則關(guān)于X的不等式a+m2%）+/（2力（其中0〈加〈點）的解

集為（）

，212

A.＜xm＜x＜一＞B.{%|xv根或入＞一}

mJm

，212

C.sx一＜x＜m＞D.{x|x＞加或一}

mm

變式72函數(shù)/（處的定義域為H，并滿足以下條件：①對任意有了。）＞0；②對任意乂丁￡尺，

有f(xy)="(x)F;③/(；)〉L

(I)求/(O)的值；

(II)求證：f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

(III)a>b>c>0,且b?=ac,求證：/(?)+/(c)>2/(Z?).

一、單選題

1.（2022秋?西藏林芝?高三校考階段練習(xí)）函數(shù)“r）=，3+2%-1的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

A.(-8,1]B.[1,+oo)C.[1,3]D.[—1,1]

2.（2023?全國二對口IWJ考）下列函數(shù)中，在區(qū)間（1,+8）上是增函數(shù)的是（）

A.y=-2，B.-C.y=-（x-l）2D.y=loglX

\~X2

-x2—ax—9,x<\

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=a在R上單調(diào)遞增，則實數(shù)〃的取值范圍為

—,x>l

（）

A.[-5,0）B.（—,-2）

C.[-5,-2]D.S，o）

4.(2023?北京通州?統(tǒng)考三模)設(shè)a=ln0.2,6=00,c=e0-2,則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<a

\nx,x>l

5.（2023?黑龍江大慶?鐵人中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)〃x）=<0,0Wx<l,若1V0,則實數(shù)a的取

<0

值范圍是（）

e+1

A.-----,+co

2

C.。苫

6.（2023?全國?高三對口高考）設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域為R,對于給定的正數(shù)匕定義函數(shù)

人（無給出函數(shù)"》）=一"+八一2'若對任意的xeR'恒有'（尤）=/"）,則（）.

A.人的最大值為2B.4的最小值為2C.左的最大值為1D.4的最小值為1

二、多選題

7.（2022秋?福建龍巖?高三?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中在區(qū)間（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減的是（）

11

A.-i；-2B.y=2-x

y—ArJ

C.y=ln（x+l）D.y=|l-'

8.（2022秋?山東青島?高三青島二中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為［T5］,其圖象如圖所示,

則下列說法中正確的是（）

A.〃尤）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）

B.〃尤）的最大值為3

C.“X）的最小值為T

D.f（無）的單調(diào)遞增區(qū)間為（T0）U（2,5）

9.（2023?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)/（尤）=）,且玉<4，則（）

A.（^--^）（/（^）-/（x2））>0B.xl-f（xl）>x2-f（x2）

C./（%））-%2</（%2）-^D.

三、填空題

\x2-2x-2>\,x>a

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=?1，對于任意兩個不相等的實數(shù)X，W￡R，

ax—ll,x<a

都有不等式（占-彳2）［”可）-〃々）］>0成立，則實數(shù)°取值范圍是.

11.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)〃力=以2+法(①6為常數(shù))滿足〃尤-1)=〃3-力，且方

程〃x)=2x有兩等根，〃尤)在［0月上的最大值為g⑺，則g⑺的最大值為.

四、解答題

12.(2023?高一課時練習(xí))已知函數(shù)了⑺的定義域是(0,+8),滿足"2)=1,尤>1時/(無)>0,對任意正實

數(shù)x,?都有/XW)：/。)+/(，).

⑴求/⑴"(4)的值；

(2)證明：函數(shù)了⑺在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)求不等式/(x)-/(x-3)>2的解集.

專題3.2函數(shù)的單調(diào)性與最值

【核心素養(yǎng)】

1.以常見函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，凸顯數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

2.與不等式、方程等相結(jié)合考查函數(shù)的單調(diào)性或求參數(shù)問題，凸顯分類討論思想的應(yīng)用及

數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

3.與函數(shù)、不等式結(jié)合，考查單調(diào)性在求最值方面的應(yīng)用，凸顯直觀想象、邏輯推理、數(shù)

學(xué)運算的核心素養(yǎng).

知雙概要,

知識點一］函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù):若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間上的任意兩個自變量苞、%,當(dāng)為<馬

時，都有/(%)</(%)，那么就說函數(shù)/(*)在區(qū)間。上是增函數(shù)；

2.減函數(shù):若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間D(D#上的任意兩個自變量再、%,當(dāng)藥<%

時，都有

/(%1)>/(%2),那么就說函數(shù)/(%)在區(qū)間。上是減函數(shù).

3.單調(diào)區(qū)間的定義

若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)尸/'(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)

單調(diào)性，區(qū)間，叫做函數(shù)尸Ax)的單調(diào)區(qū)間.

4.【特別警示】

(1)單調(diào)區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數(shù)產(chǎn)=:在(-8,0)

U（0,+8）上是減函數(shù)，而只能寫成在（一8,0）和（0,+8）上是減函數(shù).

（2）區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變

化，所以不存在單調(diào)問題，因此寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于

某些點無意義時，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點.

知識點二］函數(shù)的最值

1.最大值：一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域為/,如果存在實數(shù)“滿足：

⑴對于任意的xe/,都有/（x）WAf；

（2）存在/e/,使得

那么，我們稱"是函數(shù)y=/（x）的最大值.

2.最小值：一般地，設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域為/,如果存在實數(shù)機(jī)滿足：

（1）對于任意的xe/,都有/（力2加；

（2）存在使得=

那么，我們稱幽是函數(shù)y=/（x）的最小值.

知識點三常用結(jié)論

（1）函數(shù)1X）與/（x）+c（c為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.

（2）女>0時，函數(shù)1%）與軟r）單調(diào)性相同；N0時，函數(shù)式%）與破工）單調(diào)性相反.

（3）若/（尤）恒為正值或恒為負(fù)值，則五尤）與」一具有相反的單調(diào)性.

/（x）

（4）若y（x）,g（x）都是增（減）函數(shù)，則當(dāng)兩者都恒大于零時，y（Dg（x）是增（減）函數(shù)；當(dāng)兩者都恒

小于零時，1Ax>g（x）是減（增）函數(shù).

（5）在公共定義域內(nèi)，增+增=增，減+減=減，增一減=增，減一增=減.

（6）復(fù)合函數(shù)y=/［g（x）］的單調(diào)性判斷方法：“同增異減”.

?？碱}壑弱析/

題型一：單調(diào)性的判定和證明

【典例分析】

例1-1.（2021?全國?高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）

A./(x)=-xB.=C./(x)=x2D.于(x)=W

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,〃x)=-x為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于B,=為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對于C,〃司=/在(-8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對于D,/(力=近為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

例12(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+e)上單調(diào)遞增的是()

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y=lor_尤D.y=|x|-x

【答案】B

【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判斷BC,根據(jù)絕對值的意義結(jié)合

條件可判斷D.

【詳解】對于A,函數(shù)圖象的對稱軸為x=:，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在［3,上單調(diào)

遞增，故A錯誤；

對于B,當(dāng)xe(O,w)時，y=e'-l>0,所以函數(shù)在(。,+“)上單調(diào)遞增，故B正確；

11—

對于c,y=；-i=子T，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對于D,當(dāng)x>0時，y=0是常數(shù)函數(shù)，D錯誤，

故選：B.

【規(guī)律方法】

掌握確定函數(shù)單調(diào)性(區(qū)間)的4種常用方法

(1)定義法：一般步驟為設(shè)元一作差一變形一判斷符號一得出結(jié)論.其關(guān)鍵是作差變形，為

了便于判斷差的符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結(jié)合變量的范圍、假

定的兩個自變量的大小關(guān)系及不等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷.

(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者/<x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性

確定它的單調(diào)性.

(3)熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性.

(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性.

【變式訓(xùn)練】

變式1-1.（2023?北京海淀??？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間（-雙。）上是減函數(shù)的是（）

A.y=X3C.J=logiH)D.y=x

2

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【詳解】對于A：y=V在定義域R上單調(diào)遞增，故A錯誤;

對于B：y==2,在定義域R上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對于c：y=i°gjr）定義域為（-8,0）,因為y=-x在（-8,0）上單調(diào)遞減且值域為（0,+功，

又y=logp在定義域上單調(diào)遞減，所以>=1弋（-冷在（_8,0）上單調(diào)遞增，故c錯誤；

對于D：y=X-'=^,函數(shù)在（-8,0）上單調(diào)遞減，故D正確；

故選：D

變式1-2.【多選題】（2021?全國高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)人龍）在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不

一定正確的是（）

1

A.產(chǎn)在R上為減函數(shù)B.y=|#x）|在R上為增函數(shù)

I/WI

1

C.丫=一二大在尺上為增函數(shù)D.產(chǎn)-力勸在R上為減函數(shù)

/（x）

【答案】ABC

【解析】

令/（x）=%可判斷出ABC不正確，利用單調(diào)函數(shù)的定義判斷可得結(jié)果.

【詳解】

11

對于A,若則、|=1，在R上不是減函數(shù)，A錯誤；

lf（x）||x|

對于B,若兀0=無，則y=|Xx）|=|x|,在R上不是增函數(shù)，B錯誤；

11

對于C,若"r）=無，則y=-在R上不是增函數(shù)，C錯誤；

/（x）x

對于D,函數(shù)y（x）在R上為增函數(shù)，則對于任意的Xl,X2WR,設(shè)XI<X2,必有兀X1）勺（X2）,

對于產(chǎn)FX），則有力->2=［1/（尤1）］一［丁/（無2）］小X2）—J（X1）>O,

則產(chǎn)一穴龍）在R上為減函數(shù)，D正確.

故選：ABC

題型二：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例2-1.函數(shù)f(x)==^的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—co,-2]B.(—8,1]C.[1,+8)D.[4,+oo)

【答案】D

【解析】

x2-2x-8>0得x>4或x<-2,

令/—2x—8—t,則y=行為增函數(shù)，

t=x2-2x-8在[4,+8)上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，

.??原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+8),故選D.

例2-2.(2023?北京密云?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)〃x)='2一°

\—x+xa

①當(dāng)。=2時，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②若玉eR且xwO,使得〃l+x)=〃l-x)成立，則實數(shù)a的一個取值范圍_______.

【答案】(-00,1],[2,+00)

【分析】當(dāng)a=2時，作出f(x)的圖象，結(jié)合圖象，即可求得函數(shù)的遞增區(qū)間，由

/(l+x)=〃l-力，得到〃尤)的圖象關(guān)于x=l對稱，結(jié)合題意，即可求得。的取值范圍.

jxx22

【詳解】①當(dāng)a=2時，可得〃x)=:一函數(shù)的圖象，如圖所示，

\~x+zx,x2,

可得函數(shù)“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1]，[2,+8).

②由〃l+x)=〃l—x),可函數(shù)“X)的圖象關(guān)于X=1對稱,

若NeR且XW0,使得〃l+x)=/(l-X)成立，

如圖所示，貝IJ滿足a>l,即實數(shù)。的取值范圍為(1,—).

故答案為:(-8,1],[2,+8);(1,+CO).

【規(guī)律方法】

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間常見方法：

1.利用基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2.圖象法:對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

3.復(fù)合函數(shù)法：對于函數(shù)y=/[1?(%)],可設(shè)內(nèi)層函數(shù)為a=g(x),外層函數(shù)為y=/(?),

可以利用復(fù)合函數(shù)法來進(jìn)行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的

單調(diào)性相同，則函數(shù)y=/[g(x)]在區(qū)間D上單調(diào)遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上

的單調(diào)性相反，則函數(shù)y=/[g(x)]在區(qū)間D上單調(diào)遞減.

4.導(dǎo)數(shù)法：不等式/'(另>0的解集與函數(shù)/(x)的定義域的交集即為函數(shù)/(尤)的單調(diào)遞

增區(qū)間，不等式/'(x)<0的解集與函數(shù)/(%)的定義域的交集即為函數(shù)/(*)的單調(diào)遞減

區(qū)間.

【變式訓(xùn)練】

變式2-1.(2023?海南?？?統(tǒng)考模擬預(yù)測)函數(shù)/。)=/-4|幻+3的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-00,-2)B.(—co,—2)和(0,2)

C.(-2,2)D.(—2,0)和(2,4-00)

【答案】B

【分析】將絕對值函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

X2-4x+3,%>0

【詳解】/(x)=%2-4|.r|+3=

x2+4x+3,x<0

則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)％>0時，y=4x+3=(%—2)2—1的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)；

當(dāng)％v0,y=%2+4%+3=(4+2)2一1的單調(diào)遞減區(qū)間為(一00,-2),

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-泡-2)和(0,2).

故選：B

變式2-2.函數(shù)丫=1唯(--3%+2)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

2

A(—00,1)B(2,+oo)C(—00,-)D+co)

【答案】A

【解析】

由題可得x--3x+2>0,解得x<l或x>2,

由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得

函數(shù)y=logK%2—3久+2)的單調(diào)遞增區(qū)間為：(-8,1)

故選：A.

題型三：利用單調(diào)性比較大小

【典例分析】

例3-1.(2023?全國?統(tǒng)考高考真題)己知函數(shù)〃9=L1尸.記

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】A

【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即

可.

【詳解】令g(x)=-(x-iy,則洋尤)開口向下,對稱軸為x=l,

因為乎-1-1一；=屈丁gj^(^+^)2_42=9+672-16=6^-7>0,

而\右]面+右4?n\[6V3

所以^--1-1一一—=--------->0,即2!__1>1-2_

2(2)2222

由二次函數(shù)性質(zhì)知g*)<g吟),

A/6..76+724

因為^--RI——1=-------而

(A/6+72)2-42=8+4A/3-16=4^-8=4(73-2)<0,

即坐一1<1一日，所以g(手)>g(手)，

綜上,g*)<g吟)<g吟)，

又〉=二為增函數(shù)，t^a<c<b,^b>c>a.

故選：A.

例3-2.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知％—lny>y—Inx,貝|()

1111.

A.->—B.%—>>------C.ln(x—y)>0D.x3<y3

xyxy

【答案】B

【分析】首先構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx,尤>0,由函數(shù)的單調(diào)性判斷x>y>0,再結(jié)合不等

式的性質(zhì)，結(jié)合選項，即可判斷選項.

【詳解】由題可得，x+lnx>y+lny,

設(shè)/(x)=x+lnx,x>0,因為增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù),

即函數(shù)/(X)在(o,+8)上遞增，所以由/(x)>/(y)可得：x>y>Q.

對于A,由函數(shù)y=4在(0,+e)上遞減，所以當(dāng)x>y>0時，A錯誤；

xxy

對于B,易知函數(shù)>=》-^在(0,+8)上為增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)，所以當(dāng)x>y>0時，

x-->y~—,gpx-y>~--,B正確；

xyxy

對于C,當(dāng)x>y>。時，若貝l|ln(無一y)<0,C錯誤；

對于D,因為函數(shù)y=V在(0,+e)上遞增，所以當(dāng)尤>y>0時，x3>j3,D錯誤.

故選：B

【規(guī)律方法】

1.一般地，比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性

質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求

解.

2.先構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再比較函數(shù)值大小.

【變式訓(xùn)練】

變式3-1.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知%是函數(shù)

=-x+4的一個零點，若西武2,%),々則()

A.%以2,4)B./(^)>/(x2)

C./(%1)<0,/(%2)<0D./(^)>0,/(x2)>0

【答案】B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及一次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)遞減，再由零點存在性確定零點范圍，

結(jié)合單調(diào)性判斷/(&)"(%)大小.

【詳解】函數(shù)y=在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減，函數(shù)，=r+4在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減,

故函數(shù)〃x)=g1-x+4在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減，

又/⑵>0,/⑶>0,/(4)>0"⑸<0,

所以％e(4,5),

因為/(%)=0,Xj6(2,X0),X2e(x0,-H?),

由單調(diào)性知〃e)>0,/心)<。即/(%)>/(%).

故選：B

變式32（2023?新疆阿勒泰?統(tǒng)考三模）正數(shù)。/滿足2。-4=log?b-log?。，則。與%大

小關(guān)系為.

【答案】a<2b/2b>a

【分析】構(gòu)造函數(shù)〃幻=2'+1國小，并運用其單調(diào)性比較大小即可.

【詳解】因為2“-4〃=log泮-log?a,

b2h2

所以2"+log,a=4+log2b=2+log2b+log22-1=2*+log22b-1,

設(shè)/（無）=2'+log2X,貝Ij于（a）=f（2b）-l,

所以/（a）<”26）,

又因為>=2'與>=log2x在（0,+8）上單調(diào)遞增，

A

所以/（x）=2+log2x在（0,+■?）上單調(diào)遞增，

所以a<2/7.

故答案為：a<2b.

題型四：利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍

【典例分析】

例4-1.（2023?全國?統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)/（尤）=2代“）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，則“的取

值范圍是（）

A.（—00,—2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+8）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)/（司=2，（1）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

則有函數(shù)y=尤（》-為=（》-殳2在區(qū)間（°/）上單調(diào)遞減，因此解得a22,

所以。的取值范圍是[2,+8）.

故選：D

（3a—1）x+4Q（X<1）

例4-2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=，Q/、，滿足對任意的實

：（工川

數(shù)耳，巧且占*%，者B有[/（玉）一/（々）]（可一無2）<0,則實數(shù)a的取值范圍為（）

A?5）B-H）C-

【答案】C

【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性然后轉(zhuǎn)化分段函數(shù)推出不等式組，即可求出a的范

圍.

【詳解】對任意的實數(shù)%都有［『a)—/(x2)］a—上)<0,即"成立,

可得函數(shù)圖像上任意兩點連線的斜率小于0,說明函數(shù)是減函數(shù)；

3d—1<0

可得：<。>。，

3a-l+4a>a

解得ae—,-^1,

1_63)

故選：C

【規(guī)律方法】

1.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法

(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)

區(qū)間比較求參數(shù)；

(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間［a,句上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

(3)注意函數(shù)單調(diào)性呈現(xiàn)的三種方式：定義式、比值式產(chǎn)二曲))、及一XI與加2)—人制)

X2,-V1

關(guān)系式.

2.利用分離參數(shù)法；

3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)。次了)恒成立0。豕0，皿；(2)a#x)恒成立

加.

【變式訓(xùn)練】

"2

一“、犬-ax-3a.x>l

變式4-1.若函數(shù)，(x)=〈是H上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是

2ax-l,x<1

()

1

A.---0|B.I0,-C.I-co,--D.一,+00

L3JI3」I3」3

【答案】B

【解析】

-2

“、x-ax-3a,x>l

由函數(shù)〃%)=<c、、是7?上的增函數(shù)，

2ax-l,x<