2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)某中學(xué)高三（上）第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖南省岳陽(yáng)一中高三(上)第二次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={xeZ|-3<X<3},B={x\y=77T1},則an8=()

A.{-1,0,1,2}B.(-1,3)c.{0,1,2}D.(-1,+8)

2.復(fù)數(shù)篇的共輾復(fù)數(shù)是()

A.B.|iC.-iD.i

3.若一sina+yT^cosa=2,貝Man(7i—a)=()

A.-V-3B.V-3C.D.-

4.已知等比數(shù)列{an}滿(mǎn)足.。5=4(。4一1)，則的值為

A.2B.4C.|D.6

5.已知函數(shù)f(%)=/?%2_b有三個(gè)零點(diǎn)，貝腦的取值范圍是()

A.(0,6B.(O4)C.(-ooD.[0,1)

6.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2acos25=b(l-cosA)+a,則△ABC的形狀是

()

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.函數(shù)/(%)=2sinnx-73x-4所有零點(diǎn)的和等于()

A.6B.7.5C.9D.12

8.設(shè)a=",力=2必(sin2+cos%。=,嗚，則a,b,c的大小關(guān)系是()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知％>0,y>0,且％+2y=2,則()

A.的最小值是1B.%2+y2的最小值是看

C.2'+”的最小值是4D」+，的最小值是5

xy

10.設(shè)函數(shù)/(%)=爐—%2+_1,則()

A.當(dāng)a=-1時(shí)，/(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a>，時(shí)，/(*)無(wú)極值點(diǎn)

C.maeR,使/(%)在R上是減函數(shù)

D.VaGR,/(久)圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)不變

11.形如/(久)=ax+^a>0,b>0)的函數(shù)是我們?cè)谥袑W(xué)階段最常見(jiàn)的一個(gè)函數(shù)模型，因其形狀像極了老

師給我們批閱作業(yè)所用的，所以也稱(chēng)為“對(duì)勾函數(shù)”.研究證明，對(duì)勾函數(shù)可以看作是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸

上的雙曲線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，即對(duì)勾函數(shù)是雙曲線.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，下列關(guān)于函數(shù)f(x)=久+；的說(shuō)法

正確的是()

A.漸近線方程為x=0和y=x

B.y=/(%)的對(duì)稱(chēng)軸方程為y=(/2+l)x和y=(1-72)x

C.M,N是函數(shù)〃>)圖象上兩動(dòng)點(diǎn)，P為的中點(diǎn)，則直線MN,OP的斜率之積為定值

D.Q是函數(shù)/(?圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作切線，交漸近線于4B兩點(diǎn)，則AOAB的面積為定值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量2=(1,2),3=(2—尢4),若N與3的夾角為銳角，則2的取值范圍是.

13.數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為%,的=1,an+1=2Sn(neJV*),則與=.

14.設(shè)等差數(shù)列｛a"的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)的=3,且對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)小，使得的+a2+…

+an=am,則關(guān)于此數(shù)列公差d的論述中，正確的序號(hào)有.

①公差d可以為1；

②公差d可以不為1；

③符合題意的公差d有有限個(gè)；

④符合題意的公差d有無(wú)限多個(gè).

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

在銳角A4BC中，角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且%等=空警.

ab3a

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若6=2后，求a+c的取值范圍.

16.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—HBCD中，四邊形ABCD為矩形，AB=3,BC=2.AP4D為等邊三角形，平面PAD1

平面4BCD,E為AD的中點(diǎn).

(I)求證：PELAB■,

(II)求平面P4C與平面4BCD夾角的余弦值.

17.(本小題12分)

已知橢圓C：郎+，=l(a>6>0)的離心率為全左、右頂點(diǎn)分別為4、B,左、右焦點(diǎn)分別為&、尸2.過(guò)

右焦點(diǎn)/2的直線1交橢圓于點(diǎn)”、N,且A&MN的周長(zhǎng)為16.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵記直線WBN的斜率分別為小七，證明：物定值?

18.(本小題12分)

設(shè)/(%)=ex.

(1)求證：直線y=%+1與曲線y=/(%)相切；

(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=/(%)上，點(diǎn)Q在直線y=%—l上，求|PQ|的最小值；

(3)若正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足：對(duì)于任意汽eR,都有/(%)>ax+bf求ab的最大值.

19.(本小題12分)

a

數(shù)列{即}的前幾項(xiàng)a「2>■■■>%i(n€N*)組成集合力.={的,￡12,…，即},從集合4t中任取k(k=1,2,3,…，九)

個(gè)數(shù)，其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為若只取一個(gè)數(shù)，規(guī)定乘積為此數(shù)本身)，例如：對(duì)于數(shù)列{2n-

1),當(dāng)n=l時(shí)，&={1},7\=1;九=2時(shí)，A2={1,3}，7\=1+3,T2=1-3；

⑴若集合4=口35,…,2n-l},求當(dāng)n=3時(shí)，7\,T2,。的值;

(2)若集合4n={l,3,7,...,2n-1},證明：n=k時(shí)集合4的心與n=k+1時(shí)集合4c+1的孰(為了以示區(qū)

別，用噲'表示)有關(guān)系式%'=(2k+1—1)7nl_】+射，其中爪，k€N*,2<m<k；

⑶對(duì)于(2)中集合4n.定義為=A+72+…+Tn,求%(用n表示).

參考答案

1.71

2.C

3.C

4.B

5.4

6.D

7.C

8.F

9.BC

10.BD

U.ABD

y-44

12.(-2,1)U(1,+OO)

13f15=1

(2-3n-2,n>2

14.①②③

15.(本題滿(mǎn)分為12分)

解：(1)銳角△ABC中，等+等=空H匹，

???bcosA+acosB=^-^-bsinC,

由正弦定理得siziBcosA+cosBsinA=^^-sinBsinC,

???sin(>l+8)=^^-sinBsinC,

又sin(/+B)=sinCW0,

???sinB=苧，

又0V8V今

?e-B='..6分

⑵由正弦定理短=肅=六=4,

則有Q=4sizi4c=AsinC,...7分

則a+c=4sinA+4sinC=4sinA+4s譏(與一力)=6sinA+2yf3cosA=4A/3sin(4+》...9分

由0<4<熱0<y-/l<p

可得：1<A<\〈亭，...11分

6Z363

可得：?<sin(X+^)<1,

可得：6<a+c<4后…12分

16.解：(/)因?yàn)锳PAD為正三角形，E為4D中點(diǎn)，

所以PELAD.

因?yàn)槠矫鍼AD_L平面2BCD,平面PADCl平面4BCD=AD,PEu平面PAD,

所以PE1平面ABCD.

因?yàn)榱u平面4BCD,

所以PELAB.

(II)由(I)知，PE1平面4BCD.

取BC中點(diǎn)F,連結(jié)EF.

因?yàn)榈酌鍭BC。為矩形，E為2。中點(diǎn)，

所以EF1AD.

所以R4,EF,EP兩兩垂直.

分別以瓦4,EF,EP為x軸，y軸，z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

則E(0,0,0),4(1,0,0),P(0,0,73)-C(-l,3,0)

所以同=(1,0,—0)，AC=(-2,3,0).

設(shè)平面P4C的法向量元=(%,y,z),

由以二例M72

令z=V3,得％=3,y=2.

所以元=(3,2,43).

平面ABCO的法向量前=(0,0,0

設(shè)平面R4C與平面4BCD夾角大小為仇

元.前_⑶2,⑸(0,0,6)_73

則cos。=\cos(n,EP)\=

同.1研一4x/3-4

所以平面24c與平面4BCD夾角的余弦值為今

17.解：(1)由A6MN的周長(zhǎng)為16,及橢圓的定義，可知：4a=16,即a=4,

又離心率為c=；=3,所以c=2,

Z?2=a2-c2=16—4=12.

(2)依題意，直線/與無(wú)軸不重合,

設(shè)2的方程為：x=my+2.

Ny2

聯(lián)立16+12-1得：(3m2+4)y2+12my-36=0,

x=my+2

因?yàn)槭?在橢圓內(nèi)，所以/>0,

即(12M)2+4(3m2+4)X36>0,易知該不等式恒成立,

設(shè)MQ1，%),N(x2,y2)>

-36

由韋達(dá)定理得％+y=—12m

23m2+4137n2+4‘

又4(—4,0),8(4,0),

yi

1=%1+4_丫式%2-4)_，1(預(yù)彩-2)="丫2一2%

2--y(Xi+4)-丫2(加丫1+6)-myy+6y,

<“2一，2122

注意到唱餐=一!券W，即：my1y2=3(%+y2),

所以燈=.次>2_2-=3(當(dāng)+力)一2巧=力+3y2=1

.々2-血丫1丫2+6丫2-301+〉2)+6丫2-3丫1+9y2-3,

18.1?：(1)證明：設(shè)直線y=x+l與/Q)=峭相切于點(diǎn)?),靖。)，

易知/(久)=/,則斜率k=((K。)=〃。=1,解得久0=0,即切點(diǎn)為(0,1)；

此時(shí)切線方程為y—1=%,即y—x+1,

所以可得直線y=%+1是曲線y=/(%)在點(diǎn)(0,1)處的切線方程；

(2)根據(jù)題意，將直線y=x—1往靠近曲線y=的方向平移，

當(dāng)平移到直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)P與直線間的距離最近，

設(shè)切線方程為y=x+c,

由(1)可知，當(dāng)切線斜率為1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),此時(shí)切線方程為y=x+l,

此時(shí)P(0,l),從P點(diǎn)向直線y=;c—1作垂線，垂足為Q,此時(shí)|PQ|取最小值，

即1PQI=*T=2，

所以|PQ|的最小值為丁2

(3)若對(duì)于任意％eR,都有/(%)>ax+b,即可得e"—ax—b>0恒成立，

xx

令g(%)=e—ax—b9則g'(%)=e-a,

當(dāng)a<0時(shí)，g'(%)=ex-a>0恒成立，即g(%)在久6R上單調(diào)遞增，

顯然當(dāng)不趨近于-8時(shí)，不等式并不恒成立，不合題意；

當(dāng)a>0時(shí)，令g'(x)=ex—a=0,解得久=Ina,

所以當(dāng)％E(一8,伍a)時(shí)，“(%)<0,此時(shí)g(%)在(一8,仇a)上單調(diào)遞減，

當(dāng)久e()a,+8)時(shí)，“(%)>0,此時(shí)g(%)在(伍a,+8)上單調(diào)遞增，

所以9(%)在％="a處取得最小值，

即滿(mǎn)足9(%)而九=g(lna)=elna-alna—b=a—alna—b>0即可，

即b<a—alna,

由a>0可得ab<a2(l—Ina),

設(shè)九(%)=x2(l—Znx),則〃(%)=2x(1—Inx)+%2x(--)=x(l—2"

令h'(%)=0可得久=

即%G(0,，石)時(shí)，//(%)>0,所以/i(%)在(0,V~3)上單調(diào)遞增，

當(dāng)?shù)趀+8)時(shí)，h'(x)<0,所以九(%)在+8)上單調(diào)遞減，

所以九(%)7n以=/i(V~e)=e(l-lnV-e)=|,

即ab<I，

所以ab的最大值為1

19.(1)解：當(dāng)人=3時(shí),A3={1,3,5),

7\=1+3+5=9,T2=1x34-1x5+3x5=23,T3=1x3x5=15.

1k+1

(2)證明：當(dāng)幾=/￡+1時(shí)，集合及+有k+1個(gè)元素，比n=k時(shí)的集合4c多了一個(gè)元素：ak+1=2-

1.???對(duì)應(yīng)的篇包含兩個(gè)部分：

①若心中不含以+i，則&中的任何項(xiàng)恰好為幾=k時(shí)集合4的對(duì)應(yīng)的7中的■項(xiàng).

(ii)若4%中含耿+i的任何一項(xiàng)，除了以+「其余的爪-1個(gè)數(shù)均來(lái)自集合4k，這m-1個(gè)數(shù)的乘積恰好為集

合4所對(duì)應(yīng)的小_】中的一項(xiàng).

???有關(guān)系式7'=(2丘1一1)7%_1+射，其中6，k€N*,2<m<k.

13

(3)解：由￡=1—"Z—1—1,S2=7=2—1,S3=63=2,一1,

n(n+l)

猜想匕=22—1.

下面證明：

(i)易知?1=1