江蘇省常州市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊期初檢測數(shù)學(xué)試題 （含解析）

江蘇省前黃中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初檢測試卷

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.已知集合2={》€(wěn)2》<行},8={》|卜=恒0-1）},貝!|/n（&S）=（）

A.{1,2}B.{1}C.{0,1}D.{0}

2-

2.已知z=-其中i為虛數(shù)單位，則z-（z-1）=（）

1+1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.已知a〉0且awl,則函數(shù)y=log〃（x+L）的圖象一定經(jīng)過（）

a

A.一、三象限B.一、二象限C.三、四象限D(zhuǎn).二、四象限

4.已知a力都是正數(shù)，貝！J“ab?4”是“abNa+b”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

5.已知a,尸滿足sin（a+2夕）=』,cos(a+〃)sin〃=g,貝!Isina值為(

)

6.現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個志愿者小組，到外面參加兩項(xiàng)不同的服務(wù)工作,

則丙、丁兩人恰好參加同一項(xiàng)服務(wù)工作的概率為（）

4321

A.C.D.

555

7T

7.將函數(shù)歹=2sin（2x+：）的圖象向右平移9（。〉0）個單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

6

171

縮短到原來的萬，得到函數(shù)/a）的圖象.若/a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（w，o）中心對稱，則。的最小值

為（）

3%5萬5萬n

A.—B.—C.—D.一

41264

8.若函數(shù)/（》）=111%+2/+辦有兩個極值點(diǎn)苞,馬,且/a）+/（X2）W-9,則（）

A.aW-4B.a24C.aW-4,\/2D.a>2A/^

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合

題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

萬式

9.關(guān)于函數(shù)/（x）=sin（2x+—）+cos（2x+—）,其中正確命題是（）

66

A.J=/（x）是以"為最小正周期的周期函數(shù)

B.y=/（》）的最大值為近

C.將函數(shù)y=J5cos2x的圖象向左平移￡個單位后，將與已知函數(shù)的圖象重合

Ji137r

D.y=/(x)在區(qū)間,-)上單調(diào)遞減

2424

2

1.0.已知/(x)=alnx+—,則以下結(jié)論正確的有()

x

A.Va<0,/(x)有零點(diǎn)

B.Ba>Q,/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

C.a=2時，/(x)>2

D.a=—1時，/(2x—l)—/(x)>0的解集為(；/)

11.甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，

再從乙罐中隨機(jī)取出一球.4表示事件”從甲罐取出的球是紅球“，4表示事件“從甲罐

取出的球是白球”，8表示事件”從乙罐取出的球是紅球則下列結(jié)論正確的是()

A.4,8為互斥事件B.0(5|4)=、

,47

C.尸(4忸)=5D.P(5)=—

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)函數(shù)/(x)=2'—2T,則使得/(%2)+/(2工一3)<0成立的》的解集是.

13.設(shè)A48C的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為見“c.若(b-c)sin8=bsin(4—C),則角Z=.

14.已知存在?！?,使得函數(shù)/(x)=alnx與g(x)=——3x-b的圖象存在相同的切線，且切線的斜

率為1>則力的最大值為一.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

在A48c中，內(nèi)角4民。的對邊分別為a,b,c,且c=2b,a=2ccosC.

(1)求，的值；

D

(2)若AA8C的面積為JF，求4B邊上的高.

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=bx+log—(a>0且。wl,beR),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

a4-x

(1)當(dāng)b=2,證明：/(x)+/(4-x)為定值，并求出函數(shù)/(x)的對稱中心；

(2)當(dāng)a=e時，若/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)6的最小值.

17.(本小題滿分15分)

足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分.常州龍城足球隊(duì)2024年

10月將迎來主場與Z隊(duì)和客場與8隊(duì)的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與Z隊(duì)比賽：

勝的概率為2,平的概率為工，負(fù)的概率為工；客場與8隊(duì)比賽：勝的概率為工，平的概率為,，負(fù)的

36636

概率為工，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

2

(1)求常州龍城隊(duì)10月主場與N隊(duì)比賽獲得積分超過客場與5隊(duì)比賽獲得積分的概率；

(2)用X表示常州龍城隊(duì)10月與Z隊(duì)和5隊(duì)比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望.

18.(本小題滿分17分)

如圖，已知菱形48CQ和菱形ZO跖的邊長均為2,NFAD=/BAD=60。,BF=C,M,N分

別為8。上的動點(diǎn)，且加=AAE,BN=ABD{0<2<1).

(1)證明：MN"平面CDE；

(2)當(dāng)?shù)拈L度最小時，求：

①4;

②點(diǎn)C到平面"ND的距離.

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=aex-x-a(aeR),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)a=-l時,求9(x)=/(x)-cos?x在［0/］上的值域；

(2)當(dāng)0<。41時，討論/(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

(3)當(dāng)a21時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選一個進(jìn)行證明.

(I)sinx>xlnx-/(x)；②x+cosx>xlnx-/(x).

江蘇省前黃中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期初檢測試卷

數(shù)學(xué)試卷參考答案

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的._

1.已知集合2={》?2》《布},8={》b=lg(x—l)},貝!!/p|(金S)=()C

A.{1,2}B.{1}C.{0,1}D.{0}

【詳解】?；N={xeN|xW君}={0,1,2},5={x|j=lg(x-l)}=(1,+s),

.?<8=(fl],2口(a3)={0,1}.

2

2.已知z=-----，其中i為虛數(shù)單位，則J（z-1）=（）D

1+i

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

22(1-i)

=l-i,Az(z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

【詳解】Z=TT?（i+i）（j）+

3.已知a〉0且awl,則函數(shù)v=log〃（x+L）的圖象一定經(jīng)過（）C

a

A.一、三象限B.一、二象限C.三、四象限D(zhuǎn).二、四象限

,1?

【詳解】當(dāng)x=0時,y=log“一=-1,

a

則當(dāng)0<"1時,函數(shù)圖象過二、三、四象限

則當(dāng)a>1時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；

所以函數(shù),v=log“（x+4）的圖象一定經(jīng)過三、四象限.

a

4.已知都是正數(shù)，貝!J"/24”是"仍的（)B

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【詳解】由題意可知當(dāng)ab24時，可取。=1,b=4,顯然不滿足+

當(dāng)6時，且a>0,b>0,所以ab>a+b>2y[ab,即(a￡>)2>4ab,解得

ab>4或ab<0,所以“ab24”是“ab2a+b”的必要不充分條件

5.已知a,尸滿足sin（a+2〃）=：,cos（a+6）sin￡=g,貝！Isina值為（

)A

1i11

A.----B.-C.——D.

441212

【詳解】sin(a+2￡)=sin[(a+/?)+/?]=sin(a+/?)cos(3+cos(a+/?)sin/3

=sin(6f+/)cos，+g=(,/.sin(6Z+/?)cosP='，

:.sina=sin[(dz+')—,]=sin(a+尸)cos°-cos(a+￡)sin￡

6.現(xiàn)將甲、乙、丙、丁、戊、己6名員工平均分成兩個志愿者小組，到外面參加兩項(xiàng)不同的服務(wù)工作,

則丙、丁兩人恰好參加同一項(xiàng)服務(wù)工作的概率為（)C

4321

A.-B.-C.一D.-

5555

C3c382

【詳解】〃=^^?4=20,m=C1-Al=8,：.P=-

A2n205

JT

7.將函數(shù)歹=2sin（2x+：）的圖象向右平移9（?！?）個單位長度，再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)

6

]JT

縮短到原來的5,得到函數(shù)/（X）的圖象.若/（X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（§,0）中心對稱，則。的最小值

為()D

3?5〃5171

A.—B.—C.—D.—

41264

7T

【詳解】令g(x)=2sin(2x+—),

6

7T

圖象向右平移(p((p>0)個單位長度，則g(x-0)=2sin(2x-20+—),

6

171

再將所得圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的二，則/(x)=2sin(4x-20+7)，

26

7T7T47r71

又/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(；,0)中心對稱，則/(；)=2sin(--2^+-)=0,

3336

r37r_77rLi37rkn1rL八一37rnn

所以飛--2(p=kji,kjZ,則0=7———,又。>0,故/min=7--y=—?

8.若函數(shù)/(x)=lnx+gx2+qx有兩個極值點(diǎn)匹,々，且/(%)+/(々)<—9,則()A

A.a<-4B.?>4C.a<-242D.a>242

【詳解】?.?函數(shù)/(x)=lnx+|x2+ax有兩個極值點(diǎn)石,/且/'(x)=『+""1(x>0),

2x

???方程％2+辦+1=0由兩個不同的正根芯,％2，

工/—4〉0,項(xiàng)+%2=-a>°,再々=1,:?a<—2,

；?In%]+。再+ln%2+0%=lnx\xi+；(再+x2)2一占％2+a('i+/)

=lnl+—tz2-1-tz2=--a2-1,

22

又/(X】)+/(X2)W—9,即_卜2_1<_9,得1620,

.,?。4一4或〃24(舍去).

9.ABD

【詳解】/(x)=sin(2x+令+cos(2x+令=血sin(2x+?+?)=行sin(2x+普),

顯然A、B選項(xiàng)

正確；

C選項(xiàng)：將函數(shù)”=&cos2x的圖象向左平移翥個單位得到廣&cos（2x+W）,圖象不會與原

圖像重合，故C錯誤；一

IT13%S77Jr37r7i137r

D選項(xiàng):當(dāng)X￡（,---）,2xH---G（一,）,?，?V=/（%）在區(qū)間（「?，二不）上單調(diào)遞減成立.

242412222424

10.ACD

22

【詳解】對A,當(dāng)。<0時，/(x)=alnx+—=0即一=—alnx有解,

xx

2

又歹二一與V=-alnx的圖象明顯有交點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確;

x

2ax-2

對B,f\x)=-

Xx2x2

2

〃>0時，0<x<-,/'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減，故B選項(xiàng)錯；

a

2x-2

對C,Q=2時，/'(%)=———=0Px=1,0vx<l時，/(x)遞減，x〉l時，/(x)遞增，

/?3/(xU=/(l)=2,故C選項(xiàng)正確；

-V-9

對D,Q=-1時，/'(、)=—―<0,/(X)單調(diào)遞減，

X

[(2x—1)—/(x)>0等價于/(2x—l)〉/(x),.?.0<2x—l<x,故D選項(xiàng)正確.

2

11.BD

【詳解】A選項(xiàng):顯然不成立；

B選項(xiàng):當(dāng)4發(fā)生時，乙罐中有4個紅球，7個白球，此時8發(fā)生的概率為打，...0(814)=1，

...B選項(xiàng)正確；

D選項(xiàng)：當(dāng)4發(fā)生時，乙罐中有3個紅球，8個白球，此時8發(fā)生的概率為士，.?.尸(81a)=±，

11111

...P(B)=尸(4)尸(叫4)+尸(4)P(B=+=■,?D選項(xiàng)正確；

乙X.JL乙J.JL乙乙

c選項(xiàng)：尸(4忸)=4^=2尹=3,，c選項(xiàng)不正確.

_2_7

22

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.設(shè)函數(shù)八>)=2*—2T,則使得/，)+/(2》-3)<0成立的％的解集是.

【答案】(—3,1)

【詳解】函數(shù)/(x)=2，—2-工為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，/./(x2)<-f(2x-3)=/(3-2x),

—2x，解集為(一3,1).

13.AABC的內(nèi)角4瓦。的對邊分別為見"c.若(b—c)sinB=bsin(N—C),則角4=.

7T

【答案】￡/60。

3

【詳解】(b-c)sinB=Z?sin(^-C),所以(b—c)sin5=b(sin4cosc-cosZsinC),

^2/2_2L2,2_2

所以/-be-abcosC-bccosA=------------------------=a2-c2，

22

171

=b2+c2-2bccosA,所以cosZu,,因?yàn)镹e(0/),所以/=了.

14.已知存在?！?,使得函數(shù)/(x)=alnx與g(x)=x2—3%—的圖象存在相同的切線，且切線的斜

率為1,則6的最大值為一.

【答案】-3

【解析】f\x)=-,g'(x)=2x-3,

X

令/'(x)=q=l，得x=a,切點(diǎn)為(a,alna),

x

令g'(x)=2x—3=l,得％=2,切點(diǎn)為(2,-2-6).

切線方程為y-alnQ=x-。代入，可得-2-b-aln。=2-。，則6=Q—Qlna-4,

令/z(x)=x—x]nx-4,貝！)/z'(x)=l-lnx-l=-Inx,

當(dāng)0<x<l時，h'(x)>0,當(dāng)x>1時,h'(x)<0,

AA(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+s)上單調(diào)遞減,

X

h()max=IQ)=-3,即6的最大值為-3.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分13分)

在AA8C中，內(nèi)角4民。的對邊分別為劣“。，且c=26,a=2ccosC.

(1)求f的值；

D

(2)若AA8C的面積為JF，求48邊上的高.

〃2人2_2

解：???Q=2CCOSC,由余弦定理得，0=2。?巴匚一-……2分

2ab

又c=2b,

：.a=2x2bxa'+b~~m2,化簡得/=6/,

......5分

2ab

巴=戈.......6分

b

(2)由⑴#cosC=—=

2c2x2b4

C為銳角，,sinC=71-cos2C=①，

……8分

4

:.AABC的面積5=-aZ>sinC=-x46b2x叵=—b2=V15，

2244

:?b=2,……10分

設(shè)45邊上的高為人

則AABC的面積S=-ch=bh=2h=415,

2

：.h;叵,即48邊上的高為姮.

……12分

22

本題卷面分1分

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)/(x)=bx+loga」一(a>0且。中l(wèi),beR),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

4-x

(1)當(dāng)1=2,證明：/(x)+/(4-x)為定值,并求出函數(shù)/(x)的對稱中心；

(2)當(dāng)a=e時，若/(x)在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的最小值.

解：⑴當(dāng)1=2,/(x)=2x+log"X-logo(4-x),其中xe(0,4),

/(4-x)=2(4-x)+log.(4-x)-logfl[4-(4-x)]

=8-2x+loga(4-x)-logax,

.-./(%)+/(4-x)=8,…4分

??.函數(shù)/(乃的對稱中心為(2,4).?…“6分

(2)當(dāng)a=e時，/(x)=Z?x+Inx-ln(4-x),其中xe(0,4),

???/(x)在定義域上單調(diào)遞增，.?./'(x)20在(0,4)上恒成立，……7分

114

而尸(%)="—+——=b+---------,……9分

x4-xx(4-x)

_-y"|-Y-

???x(4-x)<(?"=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時等號成立,

.?"'(x)min=b+l,……12分

而/'(x)NO成立，.?.6+120,即62—1,

的最小值為—1.……14分

本題卷面分1分

17.（本小題滿分15分）

足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積3分，平一場積1分，負(fù)一場積0分.常州龍城足球隊(duì)2024年

10月將迎來主場與Z隊(duì)和客場與8隊(duì)的兩場比賽.根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與Z隊(duì)比賽：

勝的概率為2,平的概率為工，負(fù)的概率為工；客場與5隊(duì)比賽：勝的概率為』，平的概率為工，負(fù)的

36636

概率為工，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

2

（1）求常州龍城隊(duì)10月主場與幺隊(duì)比賽獲得積分超過客場與5隊(duì)比賽獲得積分的概率；

（2）用X表示常州龍城隊(duì)10月與2隊(duì)和8隊(duì)比賽獲得積分之和，求X的分布列與期望.

解：（1）設(shè)事件4="常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽獲得積分為3分”，

事件4="常州龍城隊(duì)主場與Z隊(duì)比賽獲得積分為1分”，

事件4="常州龍城隊(duì)主場與A隊(duì)比賽獲得積分為0分”，

事件B]="常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為3分”，

事件B2="常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為1分”，

事件員="常州龍城隊(duì)客場與B隊(duì)比賽獲得積分為0分”，

事件C="常州龍城隊(duì)七月主場與A隊(duì)比賽獲得積分超過客場與8隊(duì)比賽獲得積分”，……1分

211

P（AlB2）=-x-=-,……2分

P（453）=|X1=|,……4分

尸（4員）=/.5，……6分

則P（C）=尸（4鳥）+尸（4員）+尸（4員）=:+：+==II，

931236

19

,常州龍城隊(duì)七月主場與4隊(duì)比賽獲得積分超過客場與5隊(duì)比賽獲得積分的概率為二.……7分

36

（2）由題意可知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,6.

(

p(X=0)=-x-=—pX=l)=-x-+ixi=—

62126266369

21117

P(X=2)=—x—=—,尸(X=3)=—x-+-x-=—,

6636326318

13分

……14分

本題卷面分1分

18.（本小題滿分17分）

如圖，已知菱形48C3和菱形/￡>￡下的邊長均為2,ZFAD=ZBAD=60°,BF=5M,N

分別為2瓦8。上的動點(diǎn)，且而=ME,BN=X筋（0<2<1）.

（1）證明：MN//平面CDE；

（2）當(dāng)"N的長度最小時，求：

①4；②點(diǎn)C到平面肱V。的距離.

18.證明：（1）（方法一）在菱形ZDEE內(nèi)，過點(diǎn)"作

AA/fAp

MP^AD=P,連接尸N,則——=—,

AEAD

,-—■—■—-?AMBN

由AM=AAE,BN=2BD得——=——，

.AP_BN

:.NP//CD,

'?茄—訪

,/MPHDE,〃？.平面。?！?。。匚平面。?！?

/.MV/平面CQE.

,/NPHCD,NP■平面CDE,。。匚平面。。￡,

NP//平面CDE.

又MP,NPu平面MNP,MPCNP=P,

二平面MVP〃平面CDE,……4分

又MNu平面MNP,:.MN〃平面CDE.……6分

（方法二）延長ZN交直線。。于點(diǎn)G,連結(jié)EG,

BNAN

由ABHDG,得——

BD~AG

----------?--------?--------?--------?/11V1

由幺=得定=茄，則ACW/EG,

而平面CDE,￡6匚平面。?！?……4分

:.MN〃平■面CDE.……6分

解：（2）取/。的中點(diǎn)。，連接5。,E。，由A48。為等邊三角形，得5。，幺￡）,

同理尸O,4D,

而80A尸。=O,BO,尸Ou平面8。/，則AD1平面BOF,

又4Du平面45CD,于是平面8。9，平面45CD,……8分

①在平面BOF內(nèi)作Oz，08,平面BOFp［平面ABCD=OB,則0z，平面ABCD,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA,OB,Oz分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則A(l,0,0),￡>(-1,0,0),5(0,百,0),由BO=FO=BF=6，

得/(0,萬，5)，^(-2,—,-)?AE=(-3,-,-)>

AB=(-1,V3,0),BD=(-1,-^3,0),

由而=AAE,BN=25D(0<2<1),

MN=AN-AM=AB+BN-AM=(2A-l,-^A+y/3,-^.

.W

從而|=-\/13/l2-13/1+4=11分

1/?

當(dāng)X=一時，取最小值班,12分

22

②此時訴=(O，F(xiàn)，—j),麗=?麗=(^,?,0),DC=28=(-1,73,0),

--------1V3

n-DN=—xH----y=0

22

設(shè)〃=(x,y,z)為平面跖VD的法向量，貝?卜

-M3

n-MN=—y—z=n0

44

令z=1,得〃=(—3,V35l)，15分

點(diǎn)。到平面MV。的距離為

一一??一衣二|IDC-^I66V13

|DC||COS<DC,〃>=℃?——=--------17分

111MH\n\V1313

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)f(x)=aex-x-a(aeR),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=一1時，求9(x)=/(xbcos2x在［0㈤上的值域；

(2)當(dāng)0<aWl時，討論/(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

(3)當(dāng)a21時，從下面①和②兩個結(jié)論中任選一個進(jìn)行證明.

(J)sinx>xlwc-/(x)；(2)x+cosx>xlnx-/(x).

解：(1)當(dāng)a=-l時，^(x)=-e￥-x+sin2x,°'(x)=—e，—1+sin2x,......1分

V-1<sin2x<1,/."(x)=—e"-1+sin2x<-ev<0,

.??9(x)在［0/］上單調(diào)遞減，……3分

又9(0)=-1,°(?)=-e"-?，.?.O(x)的值域?yàn)閨-e"-肛一1］.......5分

(2)f(x)=aex-x-a(0<a<i),令/'(x)=ae*-1=0得x=-Ina,

當(dāng)x<—Ina時，f'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>—Ina時,/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,