浙江省2024屆第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省2024屆第一屆啟航杯聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1.已知集合，則的元素數(shù)量是（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由于，故，又，故，有5個元素，故選：D.2.已知，則（）A.1 B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗由題得，則，答選：B.3.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為為上一點(diǎn)，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的取值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，，設(shè)，則，由，得時面積最大，此時，而此時，故，所以.故選：A.4.已知邊長為6正方體與一個球相交，球與正方體的每個面所在平面的交線都為一個面積為的圓，則該球的表面積為（）A.96π B.100π C. D.〖答案〗B〖解析〗由對稱性，球心與正方體重心重合，且每個面的交線半徑為4.連球心與任意面中心，則連線長為3，且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5，則表面積為.故選：B.5.已知的二項式系數(shù)之和為64，則的展開式中常數(shù)項為（）A.1 B.6 C.15 D.20〖答案〗C〖解析〗由二項式系數(shù)的組合意義，，得，則中常數(shù)項.故選：C.6.已知對恒成立，則的最大值為（）A.0 B. C.e D.1〖答案〗D〖解析〗由，得，所以對恒成立，令，則在上單調(diào)遞增，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，即，令，則在上單調(diào)遞增，由，得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，所以的最大值為1.故選：D.7.已知且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗平方得，令，則，不妨取，則，，故選：C.8.克拉麗絲有一枚不對稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計的取值并計算.(若有多個使最大，則取其中的最小值).下列說法正確的是（）A. B.C. D.與10的大小無法確定〖答案〗B〖解析〗由題，服從二項分布，則，最大即為滿足的最小，即為，又，故為整數(shù)時，不為整數(shù)時為大于的最小整數(shù)，而，當(dāng)為整數(shù)時顯然成立，當(dāng)不為整數(shù)時大于的最小整數(shù)為的整數(shù)部分，其小于，故，答選：B.9.如圖所示，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn)，為線段MG上一動點(diǎn)，則（）A.三棱錐的體積為定值 B.C.HD的最小值為 D.若，則〖答案〗AC〖解析〗對于A，取中點(diǎn)為，連中點(diǎn)為，連，則易得且，故為平行四邊形，，又GM為中位線，故，故，又平面平面，故平面，其上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，故三棱錐體積為定值，A正確，對于B，由題，，而，故，B錯誤，對于C，當(dāng)時HD最小，在平面內(nèi)以為原點(diǎn)，DB為軸正方向，為軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則到GM的距離為，經(jīng)驗(yàn)證此時在線段GM上，C正確，對于D，當(dāng)與重合時，，則，取明顯錯誤，故D錯誤.故選：AC.10.設(shè)定義域?yàn)榈膯握{(diào)遞增函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，B.C.不等式的解集為D.若使得時，恒成立，則的最小值為2〖答案〗ACD〖解析〗當(dāng)時，根據(jù)題意可得，累加可得，A說法正確；，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，所以，B說法錯誤，由函數(shù)單調(diào)遞增可得，解得，C說法正確，由時和單調(diào)遞增可得，當(dāng)時，，取即可，另一方面，同理有，則時，，而當(dāng)時右式在時趨于，故不存在滿足條件，D說法正確故選：ACD.11.數(shù)學(xué)有時候也能很可愛，如題圖所示是小D同學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種曲線，因形如小恐龍，因此命名為小恐龍曲線.對于小恐龍曲線，下列說法正確的是（）A.該曲線與最多存在3個交點(diǎn)B.如果曲線如題圖所示(x軸向右為正方向，y軸向上為正方向)，則C.存在一個，使得這條曲線是偶函數(shù)的圖像D.時，該曲線中的部分可以表示為y關(guān)于x的某一函數(shù)〖答案〗ABC〖解析〗A項，曲線方程，令，得關(guān)于的一元三次方程，令，則，最多兩根，即函數(shù)最多兩個極值點(diǎn)，即方程最多有三個實(shí)根，故A正確；B項，若曲線如題圖所示，則存在，使得與曲線圖象有三個交點(diǎn)，即存在，關(guān)于的方程有三個實(shí)根.令，則，假設(shè)，，都有，即單調(diào)遞增，則方程在最多有一個實(shí)根，與題圖矛盾，假設(shè)錯誤.故，B正確；C項，當(dāng)時，曲線即函數(shù)的圖象，設(shè)，，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.且，所以是偶函數(shù).故存在，使得曲線是偶函數(shù)的圖象，故C正確：D項，當(dāng)時，曲線方程為.令，得，令，則，由零點(diǎn)存在性定理知至少兩根，則對應(yīng)的值不唯一，不符合函數(shù)定義，故D錯誤；故選：ABC.二、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著某抽卡游戲在班級內(nèi)流行，李華統(tǒng)計了6位同學(xué)獲得某角色的抽取次數(shù)，結(jié)果如下:10，60，90，80，20，180，則以上數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為_________.〖答案〗20〖解析〗共有6個數(shù)據(jù)，則向上取整為2，從小到大的第二個數(shù)據(jù)為20.13.已知正四面體O-ABC棱長為4，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn).若，則的最大值為_________.〖答案〗〖解析〗由題意棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，棱上有一點(diǎn)，則，在中，由余弦定理有:，得，同理在有.一方面：若，則為方程兩根，則得，又兩根都為正，故即，但此時不可能最大，理由如下：不妨，則在上取一點(diǎn)使，在上取一點(diǎn)使，則為等邊三角形，由對稱性可知，而，從而，所以這個時候取不到最大值，另一方面：當(dāng)重合時，即時，最大，且的最大值為.當(dāng)時，為等邊三角形，此時，由題存在這樣的OB1，使得成立，則的最大值為，故當(dāng)且僅當(dāng)時取等.14.設(shè)函數(shù)的極小值點(diǎn)為，若的圖象上不存在關(guān)于直線對稱的兩點(diǎn)，則的取值范圍為_________.〖答案〗〖解析〗由題，無解，則在不存在零點(diǎn).又時，，而，所以必有時，故必有使在時在0附近單調(diào)遞減，（否則若，若g'(x)不存在正零點(diǎn)則單調(diào)遞增而恒正，若g'(x)存在正零點(diǎn)，記g'(x)的最小正零點(diǎn)為，則在[0，m不符合題意），而，故同理必有，而，同理必有，，而，故，又，故，又，故下證明充分性：即只需恒成立，而單調(diào)遞增，設(shè)零點(diǎn)為，由前述必要條件知，故，只需，而零點(diǎn)為得，故即證，即，由題必有，則，令，則，只需，即，令，即，而單調(diào)遞增且有唯一零點(diǎn)，且，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，而，故，原命題得證.三、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15.已知中，角所對的邊分別為已知.（1）求的取值范圍；（2）求最大時，的面積.解：（1）由于，所以.由三角形的三邊關(guān)系知:.又，所以；（2）由余弦定理可得，，當(dāng)時取等，又B∈0,π，所以的最大值為，此時.16.已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.（1）記直線的斜率為，直線的斜率為，求.（2）當(dāng)直線的斜率為3時，求點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）因?yàn)?，所?又設(shè)，因?yàn)?，所?而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，所以.所以，又，所以.（2）設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡并整理得：，其中.設(shè)，所以，即點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以，而，即，解?因此，所以.17.浙里啟航團(tuán)隊舉辦了一場抽獎游戲，玩家一共抽取次.每次都有的概率抽中，的概率沒抽中.小明的抽獎得分按照如下方式計算：1.將玩家次抽獎的結(jié)果按順序排列，抽中記作1，未抽中記作0，形成一個長度為的僅有01的序列.2.定義序列的得分為：對于這個序列每一段極長連續(xù)的1，設(shè)它長度為，那么得分即為.3.序列的得分即為每一段連續(xù)的1的得分和.例如:如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中獎，那么序列即為1，0，1，1，1，0，1，得分為.可能用到的公式：若為兩個隨機(jī)變量，則.（1）若，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量為清照的最終得分，求.（2）記隨機(jī)變量表示長度為的序列中從最后一個數(shù)從后往前極長連續(xù)的1的長度，求.（3）若，清照進(jìn)行了一次游戲.記隨機(jī)變量為清照的最終得分，求.解：（1）若序列為：0，0，0，則最終得分為0，若序列為：1，0，0，或0，1，0，或0，0，1，則最終得分為1，若序列為：1，0，1，則最終得分為2，若序列為：1，1，0，或0，1，1，則最終得分為4，若序列為：1，1，1，則最終得分為9，，，，；（2）令表示長度為的序列，的〖答案〗，換言之.則有遞推關(guān)系，表示第n+1位分別為1或0的〖答案〗.顯然，設(shè)，則，所以，解得，所以，解得：，故所求為.（3）設(shè)表示進(jìn)行次游戲后的期望得分，即.則有遞推關(guān)系，解釋：因?yàn)?，考慮第位為1的時候?qū)π蛄械念~外貢獻(xiàn)，即為，如果為0的貢獻(xiàn)即為0，特別的，，直接累加得到:，若，帶入上式，于是得，故所求即為.18.定義:表示的整數(shù)部分，表示的小數(shù)部分，例如.數(shù)列滿足其中.若存在，使得當(dāng)時，恒成立，則稱數(shù)為木來數(shù).（1）分別寫出當(dāng)時的值.（2）證明:是木來數(shù)（3）若為大于1的有理數(shù).且.求證:為木來數(shù)（1）解：當(dāng)時，，同理，當(dāng)時，，同理；（2）證明：當(dāng)時，即，則，由于，所以，所以，則，所以，由于，所以，則，由此知對恒成立.可知當(dāng)時，為木來數(shù)；（3）解：設(shè)且互質(zhì)，可知與均不為整數(shù)時，有，顯然，且此時為正整數(shù)，又互質(zhì)，則，故，下面用反證法說明數(shù)列中存在整數(shù).由為有理數(shù)可知，也為有理數(shù).則，推出，與假設(shè)矛盾.因此為木來數(shù).19.稱代數(shù)系統(tǒng)為一個有限群，如果1.為一個有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，2.3.稱為的單位元4.，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.（1）設(shè)為有限群的子群，為中的元素.求證:(i)當(dāng)且僅當(dāng)；(ii)與元素個數(shù)相同.（2）設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個群，求證:(其中表示個作運(yùn)算)證明：（1）（i）如果，則，，從而.另一方面，如果，則有，，即，從而，即，從而，反之由得到，類似討論得中的元素也全